李薈

摘 要： 在整個(gè)初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，二次函數(shù)線段問題是重中之重，也是考察的熱點(diǎn).但在傳統(tǒng)教學(xué)中，學(xué)生針對(duì)這一部分知識(shí)學(xué)習(xí)依然停留在淺層階段中，無法觸摸知識(shí)的內(nèi)核本質(zhì)，學(xué)生只能解決簡單的問題，一旦遇到較復(fù)雜的問題就無從下手.鑒于此，唯有基于變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生在一題多變中，完成知識(shí)的深度學(xué)習(xí)，才能真正提升學(xué)生的解題效率.本論文就以此作為研究的視角，結(jié)合一定的題目，針對(duì)二次函數(shù)中線段問題的變式訓(xùn)練進(jìn)行了詳細(xì)地探究，旨在提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué)；思維品質(zhì)；二次函數(shù)；線段問題；變式訓(xùn)練

二次函數(shù)在教學(xué)中占據(jù)十分重要的地位，線段最值問題也是初中數(shù)學(xué)考察的熱點(diǎn).鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，常常將兩者結(jié)合到一起，進(jìn)行綜合性的考察.在傳統(tǒng)初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式下，由于初中生學(xué)習(xí)到的知識(shí)點(diǎn)十分零散，并且學(xué)生自身思維能力發(fā)展有限，在面對(duì)二次函數(shù)中線段問題時(shí)，常常無從下手，無法形成明確的解題思路.鑒于此，初中數(shù)學(xué)教師在優(yōu)化課堂教學(xué)時(shí)，唯有轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的解題教學(xué)模式，以具體的二次函數(shù)中線段問題作為例題，積極開展變式訓(xùn)練，促使學(xué)生在一題多變中，完成數(shù)學(xué)知識(shí)的深度理解、遷移和運(yùn)用，真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.另外，變式訓(xùn)練也是一種思維訓(xùn)練，極大地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).

1 變式訓(xùn)練與數(shù)學(xué)解題教學(xué)

鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，解題教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成.現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材上的題目，基本上都是對(duì)概念、公式、性質(zhì)的直接運(yùn)用，旨在借助相關(guān)的習(xí)題訓(xùn)練，幫助學(xué)生完成數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)性質(zhì)的理解.但是在考試的時(shí)候，題目更具綜合性，涉及到的知識(shí)點(diǎn)更多， 對(duì)學(xué)生的要求更高.面對(duì)這一類型的題目，學(xué)生常常是無從下手，找不到具體的解題思路.導(dǎo)致這一現(xiàn)狀的主要原因，就是數(shù)學(xué)教師在日常的解題教學(xué)中，常?！熬皖}論題”，并未對(duì)題目進(jìn)行闡發(fā)、引申和拓展，忽視了數(shù)學(xué)解題中的變式訓(xùn)練.

具體來說，變式訓(xùn)練就是立足于數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì)，通過改變題目形式和條件，從不同的角度、不同層次將數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)暴露出來，進(jìn)而促使學(xué)生在“一題多變”的訓(xùn)練中，深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，并促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移和運(yùn)用.同時(shí)，學(xué)生在變式訓(xùn)練的過程中，不僅加深了學(xué)習(xí)的深度，也在變式訓(xùn)練的探究和思考中，促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，真正提升了的數(shù)學(xué)綜合能力，為學(xué)生更好地開展解題奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)［1］.

2 二次函數(shù)中線段問題變式訓(xùn)練

在初中二次函數(shù)學(xué)習(xí)中，發(fā)現(xiàn)拋物線與直線相結(jié)合的題目常常處于壓軸題的位置.但結(jié)合調(diào)查數(shù)據(jù)反饋發(fā)現(xiàn)，學(xué)生關(guān)于“二次函數(shù)中線段問題”的解答能力比較弱，在考試中頻頻出現(xiàn)失分現(xiàn)象.鑒于此，教師要積極開展變式訓(xùn)練，在“一題多變”的例題中，深化所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)、促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，逐漸提升自身的數(shù)學(xué)解題能力［2］.

例1 ??如圖1所示，已知二次函數(shù)y=-x2-2x+3的圖象與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)，并與y軸相交于點(diǎn)C.

求：（1） A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，以及直線AC的解析式.

（2） 如圖2，點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P做y軸的平行線，并與直線AC相交于點(diǎn)Q，求線段PQ的最大值.

解析： ?針對(duì)題目（1），結(jié)合圖象上A，B，C三點(diǎn)的位置，以及二次函數(shù)的解析式，即可輕松得出三點(diǎn)的坐標(biāo)，這針對(duì)多數(shù)學(xué)生來說，均可輕松解答出答案.

題目（2），具備一定的難度.因?yàn)樵谶@一題目中，將二次函數(shù)和直線結(jié)合到一起.在引導(dǎo)學(xué)生解答這一問題時(shí)，要指導(dǎo)學(xué)生在思考求線段PQ最大值的時(shí)候，先運(yùn)用字母將P，Q點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，假設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則縱坐標(biāo)為-m2-2m+3，得到P點(diǎn)坐標(biāo)為P（m，-m2-2m+3），又因?yàn)镻Q∥y軸，因此，點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為m，則縱坐標(biāo)為m+3.因此，Q（m，m+3）.得到Q點(diǎn)坐標(biāo)為PQ的距離為（-m2-2m+3）-（m+3）=-m2-3m.

此時(shí)，就可將線段PQ的最大值轉(zhuǎn)化為-m2-3m的最大值，學(xué)生可結(jié)合二次函數(shù)圖象，對(duì)稱軸等相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答.

在完成基本的教學(xué)之后，為了幫助學(xué)生深刻了解這一部分知識(shí)，又以此為中心，對(duì)其進(jìn)行了變式訓(xùn)練：

變式一： ?如圖3所示，點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P做x軸的平行線，與直線AC相交于M點(diǎn)，求線段PM的最大值.

解析： ?在變式一中，所求問題為“線段PM的最大值”，但是在具體求解時(shí)，由于P、M兩點(diǎn)僅有縱坐標(biāo)相等，不易確定橫坐標(biāo)，致使無法直接解答這一題目.此時(shí)，就可借助轉(zhuǎn)化的思維，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)線段PM進(jìn)行轉(zhuǎn)化.而要達(dá)到這一目標(biāo)，就可過點(diǎn)P做PQ∥y軸，與直線AC相交于Q點(diǎn).如此，就構(gòu)建出了△PQM.由于PQ∥y軸，因此∠PQM=∠OCA.因?yàn)镻M∥x軸，因此∠PMQ=∠CAO.結(jié)合A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷出△OAC為等腰直角三角形，即∠CAO=∠OCA=45 ° .因此，在△PQM中，∠PQM=∠PMQ=45 ° .因此，該三角形也為等腰直角三角形，即PM=PQ.此時(shí)，就可將線段PM的最大值轉(zhuǎn)化為線段PQ的最大值.之后，學(xué)生便可按照原題的解題思路，順利完成這一題目的解答.

變式二： ?如圖4所示，點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線AC距離的最大值.

解析： ?變式二比變式一更深一層，難度更大.在解答這一問題時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題目和圖象分析，明確要想得出點(diǎn)P到直線AC的距離的最大值，就必須要過點(diǎn)P做直線AC的垂線，即PH⊥AC.此時(shí)，就將所求問題轉(zhuǎn)化為線段PH最大值.

在具體求解的過程中，由于線段PH最大值難以確定，必須要再次進(jìn)行轉(zhuǎn)化，過點(diǎn)P做PQ∥y軸.由于△PQH為等腰直角三角形，因此，PH= ?2 ?2 PQ.

此時(shí)，要想求出線段PH最大值，只需要求線段PQ最大值.之后，即可根據(jù)原題目的解題思路進(jìn)行求解.

變式三： ?點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P做PQ∥y軸，并AC相交于Q點(diǎn)，過點(diǎn)P做PH⊥AC，求△PQH的周長.

解析： ?在這一變式訓(xùn)練中，可參考圖4進(jìn)行觀察分析，得△PQH周長為PQ+QH+PH，結(jié)合變式二，得△PQH為等腰三角形，PH=QH= ?2 ?2 PQ.因此，求△PQH周長最大值時(shí)，就可將其轉(zhuǎn)化為求線段PQ的最大值，又回歸到原題的解題思路中.

變式四： ?如圖5所示，點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PC，求△PAC面積的最大值.

解析： ??在變式四訓(xùn)練中，要想求出△PAC的面積，就可借助“割補(bǔ)”的方式進(jìn)行，鑒于本題目，可直接思考“割”法進(jìn)行求解：過點(diǎn)P做PQ∥y軸（如圖6所示）.此時(shí)，就可將△PAC的面積最大值進(jìn)行轉(zhuǎn)化成S △PAC=S △PAQ+S △PCQ= 1 2 PQ·AO= 3 2 PQ.如此，經(jīng)過轉(zhuǎn)化之后，△PAC的面積最大值即可轉(zhuǎn)化為線段PQ的最大值，學(xué)生利用原題解題思路即可完成.

變式五： ?如圖7所示，點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PB與AC相交于F點(diǎn)，求 PF BF 的最大值.

解析： ?這一變式訓(xùn)練難度逐漸增加，學(xué)生要想求 PF BF 的最大值，必須要結(jié)合這兩條線段構(gòu)建相關(guān)的圖形，結(jié)合初中階段學(xué)生所學(xué)的知識(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將其與相似三角形知識(shí)結(jié)合到一起.于是，過點(diǎn)P做PQ∥y軸，與直線AC相交于Q點(diǎn)；過點(diǎn)B做BH∥y軸，與直線AC相交于H點(diǎn).此時(shí)，可結(jié)合相似三角形性質(zhì)，將 PF BF 進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其變成： PF BF = PQ BH = 1 4 PQ.因此，這一題目又轉(zhuǎn)化為求線段PQ的最大值.

經(jīng)過五次變式訓(xùn)練之后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)無論是三角形的周長，還是三角形的面積，亦或是相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系，都可以通過轉(zhuǎn)化，最終成為豎直線段的最大值.因此，在日常二次函數(shù)中最值問題求解中，必須要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最終成為二次函數(shù)中垂直線段的最值問題，以便于學(xué)生輕松解答［3］.

例2： ?已知拋物線y=2x2-12x+16，該拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為D.點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，要使得△PAC周長最小，求P點(diǎn)的坐標(biāo).

解析： ?如圖8所示，連接BC，與直線x=3相交于P點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱軸的性質(zhì)，得出PA=PB，鑒于此，可得知直線BC的解析式為y=-4x+16，由此得出P的坐標(biāo)為（3，4）.可以說，在解答這一問題時(shí)，關(guān)鍵就是找出A點(diǎn)關(guān)于x=3的對(duì)稱點(diǎn)，并結(jié)合“兩點(diǎn)之間線段最短”的性質(zhì)進(jìn)行解答.

為了幫助學(xué)生對(duì)本節(jié)內(nèi)容形成深刻的理解，就對(duì)其進(jìn)行了以下變式訓(xùn)練：

變式一： ?拋物線y=2x2-12x+16，該拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為D.在該拋物線上有一點(diǎn)E，其橫坐標(biāo)為5，點(diǎn)F（m，0）是x軸上的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)FC+EF值最小時(shí)，求m的值.

解析： ?如圖9所示，這一變式題目相對(duì)比較簡單，要想使得FC+EF值處于最小時(shí)，應(yīng)關(guān)于對(duì)稱軸做E點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接CE′，使其與x軸相交于F點(diǎn).由此，結(jié)合已知條件，可的求得CE′直線的解析式為y=- 22 5 x+16，因此，F(xiàn) ?40 11 ，0 .隨即，結(jié)合“兩點(diǎn)之間線段最短”的性質(zhì)，得出：FC+EF=FC+E′F=CE′，由此得出：m= 40 11 .

變式二： ?拋物線y=2x2-12x+16，該拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為D.點(diǎn)G（0，n）是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求線段GD與GA中較長的線段減去較短線段差的最小值和最大值，并求出n的值.

解析： ?如圖10所示，結(jié)合題目含義，以及圖象觀察，當(dāng)A，G，D三點(diǎn)共線的時(shí)候，|GD-GA|=AD，據(jù)此可得出直線AD的解析式為y=-2x+4，此時(shí)可簡單求出G點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），因此，n=4.當(dāng)G′D-G′A=0的時(shí)候，可得出G′D=G′A，因此，|GD-GA|存在最小值，為0.此時(shí)，AD的垂直平分線G′E的解析式應(yīng)為y= 1 2 x- 9 4 ，進(jìn)而求出G′點(diǎn)的坐標(biāo)為 0，- 9 4 ?，因此，n=- 9 4 .

變式三： ?拋物線y=2x2-12x+16，該拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為D.K是OC中點(diǎn).Q是一動(dòng)點(diǎn)，從K點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過x軸上的M點(diǎn)，再經(jīng)過對(duì)稱軸上的N點(diǎn)，然后返回到C點(diǎn).如果動(dòng)點(diǎn)Q所走的路程最短，請(qǐng)據(jù)此找出M，N點(diǎn)的位置，并求出最短的路程.

解析： ?如圖11所示，結(jié)合拋物線對(duì)稱軸的性質(zhì)，可找出K點(diǎn)，C點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，分別為K′，C′，將其連接，與x軸相交于M點(diǎn)，與直線x=3相交于N點(diǎn).由此即可確定出動(dòng)點(diǎn)Q經(jīng)過的最短路程S=KM+MN+CN=K′M+MN+C′N′=K′C′.之后結(jié)合已知條件，可由C和K點(diǎn)的坐標(biāo)， 推出C′和K′點(diǎn)坐標(biāo)，即C′（6，16），K′（0，-8），最終計(jì)算出最短的路程S=6 17 .

在例2以及三個(gè)變式訓(xùn)練中，難度有所增加，不僅涉及到的數(shù)學(xué)知識(shí)比較多，也融入了數(shù)學(xué)模型的認(rèn)知.學(xué)生經(jīng)過原題和變式訓(xùn)練的分析，經(jīng)歷了化繁為簡、化難為易的深度思考，不僅掌握了二次函數(shù)中線段最值的相關(guān)知識(shí)，也在深度思考和探究中，促進(jìn)了思維的發(fā)展［4］.

3 ?初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中變式訓(xùn)練注意事項(xiàng)

變式訓(xùn)練核心就是圍繞某一核心知識(shí)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生在不斷的變式訓(xùn)練中，對(duì)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程形成深刻的感知，使其在理解知識(shí)的基礎(chǔ)上，促進(jìn)知識(shí)的遷移和應(yīng)用，使其在深度思考中，學(xué)會(huì)舉一反三、觸類旁通，真正提升初中生的數(shù)學(xué)解題能力.鑒于此，為了日常解題教學(xué)中，更好地開展變式訓(xùn)練，應(yīng)注意以下三個(gè)問題：

第一，變式訓(xùn)練應(yīng)具備適用性.初中數(shù)學(xué)教師在開展數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練之前，必須要了解學(xué)生的實(shí)際能力、已有知識(shí)掌握情況，設(shè)計(jì)出與學(xué)生學(xué)習(xí)需求相契合的變式訓(xùn)練題目，力求通過變式訓(xùn)練促使所有學(xué)生的發(fā)展.同時(shí)，在設(shè)計(jì)變式訓(xùn)練題目時(shí)，還應(yīng)設(shè)定多種難度，以免變式題目過于簡單，導(dǎo)致師生“白忙活一場”，收效卻不大.

第二，變式訓(xùn)練應(yīng)具備針對(duì)性.為了提升數(shù)學(xué)解題變式訓(xùn)練的有效性，在設(shè)計(jì)變式訓(xùn)練時(shí)，必須要把握知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)，通過適當(dāng)?shù)母淖儯M(jìn)而為學(xué)生提供多個(gè)解題思路，使得學(xué)生在多角度思考和解題中，真正掌握這一核心知識(shí)點(diǎn)，并促進(jìn)知識(shí)的遷移.

第三，變式訓(xùn)練應(yīng)滲透數(shù)學(xué)思想.變式訓(xùn)練就是在本質(zhì)特征不變的情況下，對(duì)問題情形、思維的角度進(jìn)行改變.其中蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)思想，如：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想等.這就要求在具體的解題變式訓(xùn)練中，應(yīng)科學(xué)、適時(shí)融入數(shù)學(xué)思想，使得學(xué)生在使用數(shù)學(xué)思想分析解答題目的過程中，促進(jìn)思維的深度發(fā)展，循序漸進(jìn)提升自身的解題能力［5］.

4 結(jié)束語

綜上所述，變式訓(xùn)練有助于幫助學(xué)生深刻理解知識(shí)的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移和靈活運(yùn)用.同時(shí)，變式訓(xùn)練還是打開學(xué)生數(shù)學(xué)思維的“鑰匙”，是促進(jìn)高階思維發(fā)展、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵，更是提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的必然選擇.因此，初中數(shù)學(xué)教師在開展解題教學(xué)時(shí)，必須要積極開展變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生在“一題多變”的訓(xùn)練中，獲得提升和發(fā)展.

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