劉錦程

摘 要：數(shù)與形是數(shù)學(xué)學(xué)科中的兩個(gè)基本對象，如果不能將二者進(jìn)行有機(jī)結(jié)合、找到對應(yīng)的關(guān)系，則會(huì)影響學(xué)生在解答數(shù)學(xué)題的過程中難以運(yùn)用各種思維方法分析題目、掌握知識(shí)。本文首先分析高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)現(xiàn)狀，指出其中存在的問題，再闡述將數(shù)形結(jié)合方法應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的必要性，最后從體驗(yàn)、理解、啟迪、鍛煉四個(gè)方面提出數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用策略，并給出具體的示例，以期培養(yǎng)高中學(xué)生的解題能力，為廣大數(shù)學(xué)教師提供參考與建議。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；數(shù)形結(jié)合方法

最新版的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出：要注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題時(shí)，經(jīng)歷多種思維過程，對各種客觀事物中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考與判

斷[1]。在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷思維過程、做出思考與判斷的過程中，則離不開多種數(shù)學(xué)方法與思想，而數(shù)形結(jié)合方法正是高中階段學(xué)生常用的數(shù)學(xué)方法，被廣泛運(yùn)用于高中數(shù)學(xué)的各個(gè)部分中。那么，如何將數(shù)形結(jié)合方法應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，使二者的結(jié)合發(fā)揮“1+1＞2”的效果呢？這是每位數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)深入思考的問題。

一、高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)現(xiàn)狀

（一）師生對解題的認(rèn)識(shí)存在誤區(qū)

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生思考、解題，并不是為了得到一個(gè)答案，而是為了讓學(xué)生在解題過程中實(shí)現(xiàn)知識(shí)獲得、能力提升與素養(yǎng)養(yǎng)成。但在應(yīng)試教育觀念的長期影響下，無論是教師與學(xué)生，都在認(rèn)識(shí)解題教學(xué)最終目的上走進(jìn)了誤區(qū)。一些教師認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)是依托于大量習(xí)題的練習(xí)和講解展開的，學(xué)生要多練習(xí)，才會(huì)“熟能生巧”，在考試中取得較高的分?jǐn)?shù)，在教師的影響下，許多學(xué)生也深以為然。但這些師生都忽視了，若無概念與知識(shí)點(diǎn)“奠基”，學(xué)生從什么角度切入題目，又該用怎樣的方法解題呢？因此，這樣的想法和模式是片面的，也不利于解題教學(xué)的開展。

（二）現(xiàn)代教育技術(shù)手段應(yīng)用不足

隨著社會(huì)物質(zhì)條件的改善，各個(gè)學(xué)校的教學(xué)硬件設(shè)施也煥然一新，許多數(shù)學(xué)教師將現(xiàn)代教育技術(shù)手段引入解題教學(xué)，在這之中，電子課件、電子白板運(yùn)用的頻率最高，但一些教師對現(xiàn)代教育手段應(yīng)用水平不高、綜合素質(zhì)有待提升，這就讓現(xiàn)代教育技術(shù)在解題教學(xué)中的應(yīng)用出現(xiàn)了兩種情況。一方面，教師通常會(huì)將具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)概念、問題和知識(shí)點(diǎn)呈現(xiàn)在幻燈片上，學(xué)生所要解答的題目自然也不例外，這讓本該由學(xué)生深入探究的數(shù)學(xué)課堂與休閑性、趣味性的文學(xué)藝術(shù)影片相類似，這顯然與解題教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)是相悖的；另一方面，各種新式設(shè)備與教學(xué)模式固然活躍了課堂氣氛，但教師在大多數(shù)時(shí)候是站在講臺(tái)上進(jìn)行講授的，并未深入到學(xué)生群體中實(shí)時(shí)觀察學(xué)生的課堂表現(xiàn)與解題反饋，這讓師生的距離變遠(yuǎn)、互動(dòng)量減少，最終階梯教學(xué)的實(shí)效性可想而知。

從這兩種情況的出現(xiàn)能看出一個(gè)問題：現(xiàn)代教育技術(shù)本該在解題教學(xué)中起到輔助作用，但教師卻讓其“喧賓奪主”，當(dāng)技術(shù)工具的使用在課堂上占據(jù)主要位置時(shí)，那往往會(huì)適得其反。數(shù)學(xué)是一門腦與手并用的學(xué)科，學(xué)生只觀看課件、進(jìn)行思考或是跟著教師的思路來探究具體的數(shù)學(xué)問題顯然是不夠的，學(xué)生要親自動(dòng)手動(dòng)腦解題，這樣才能在實(shí)踐認(rèn)知過程中理解數(shù)學(xué)概念原理的本質(zhì)意義，這也要求教師要認(rèn)識(shí)到現(xiàn)代教育技術(shù)的輔助作用，使其“錦上添花”，而非“喧賓奪主”。

（三）教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)難以提升

大多數(shù)高中數(shù)學(xué)教師接受過高等教育的洗禮，具有較高的知識(shí)水平與能力，但在數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)提升方面，卻因種種原因難以提升。這就導(dǎo)致教師在教學(xué)實(shí)踐中只知數(shù)學(xué)的工具性、科學(xué)性，卻未能深入挖掘數(shù)學(xué)題目背后的人文資源與生活價(jià)值。教師對課程編排意圖、出題意圖的認(rèn)知出現(xiàn)偏差，解題教學(xué)的目標(biāo)也就難以實(shí)現(xiàn)了。教師如此，那學(xué)生呢？許多學(xué)生也只是將數(shù)學(xué)視作工具，對于數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系一概不管、不知，長此以往顯然不利于學(xué)生的全面發(fā)展。解答高中數(shù)學(xué)題目，系統(tǒng)學(xué)過高中數(shù)學(xué)的知識(shí)都能基本完成，但要將高中數(shù)學(xué)題目講清楚、講透徹、講深入，教師任重而道遠(yuǎn)。

（四）傳統(tǒng)教學(xué)評價(jià)對教學(xué)的影響

大多數(shù)學(xué)校評價(jià)教師教學(xué)效果的方式很簡單，那就是在每次考試中取教師所任教班級(jí)的學(xué)生成績平均數(shù)，再將各班平均成績進(jìn)行排序，以平均成績的高低來作為教學(xué)評價(jià)的依據(jù)。為了提高“平均成績”，教師會(huì)在課內(nèi)外為學(xué)生布置大量的數(shù)學(xué)練習(xí)題，而學(xué)生為了取得一個(gè)較高的分?jǐn)?shù)，也會(huì)在課外進(jìn)行補(bǔ)課，同時(shí)利用教輔資料進(jìn)行大量練習(xí)，這無疑讓師生共同陷入了“題海戰(zhàn)術(shù)”的誤區(qū)。一方面，平均成績本就是以高分?jǐn)?shù)補(bǔ)低分?jǐn)?shù)，對有待提高的學(xué)生并沒有多少實(shí)質(zhì)意義，以此作為衡量教師教學(xué)水平與教學(xué)效果的標(biāo)準(zhǔn)，過于淺層化、表面化和形式化；另一方面，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是多種因素作用的階段性結(jié)果，其中既有教師的講授和學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)與課后練習(xí)，也有學(xué)生本身的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)能力和學(xué)生是否在課外通過補(bǔ)課進(jìn)行額外的補(bǔ)充與提升。因此，這種傳統(tǒng)的教學(xué)評價(jià)是不利于解題教學(xué)的改進(jìn)與提升的，同時(shí)也會(huì)讓教師對學(xué)生的當(dāng)下學(xué)習(xí)能力與未來發(fā)展?jié)撃芄烙?jì)錯(cuò)誤，這顯然不利于學(xué)生的全面發(fā)展。

二、將數(shù)形結(jié)合方法應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的必要性

（一）提供解題思路

作為數(shù)學(xué)問題中的兩大基本元素，圖形中的數(shù)量關(guān)系可以用“數(shù)”表達(dá)，卻也要借助“形”來觀察與分析[2]。這兩種基本元素的異同、組合形式、轉(zhuǎn)換思路等為學(xué)生提供了解題思路。一方面，數(shù)形結(jié)合思想能引導(dǎo)學(xué)生從宏觀的角度認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)課程的地位與價(jià)值，從而讓學(xué)生對數(shù)學(xué)有更準(zhǔn)確和深刻的認(rèn)知；另一方面，數(shù)形結(jié)合方法是溝通數(shù)學(xué)與生活的“橋梁”，既能將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，也能讓數(shù)學(xué)問題回歸生活，有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行遷移與創(chuàng)新。由此可見，將數(shù)形結(jié)合方法應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)，對為學(xué)生提供解題思路、幫助學(xué)生建立起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心有著重大的意義。

（二）降低解題難度

不可否認(rèn)的是，在所有的高考科目中，數(shù)學(xué)是難度最大、兩極分化最嚴(yán)重的學(xué)科，許多學(xué)生稱“一見到數(shù)學(xué)就頭疼”“一開始做題就不知道何處下筆”，這是因?yàn)閷W(xué)生并未建立起“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系，對數(shù)形結(jié)合的靈活運(yùn)用更是無從談起，這才覺得數(shù)學(xué)題很難、無從下筆。從以形化數(shù)的角度出發(fā)，引入函數(shù)圖象、求解數(shù)量關(guān)系是其中的重要內(nèi)容，而函數(shù)圖象的五種性質(zhì)在降低解題難度中發(fā)揮著重要的作用，如函數(shù)的凹凸性與求證不等式。學(xué)生在遇到除函數(shù)外的數(shù)學(xué)疑難問題時(shí)，可以嘗試?yán)脭?shù)形結(jié)合思想，引入函數(shù)來思考探究問題，在這個(gè)時(shí)候，所謂的疑難問題也就不再難了。

（三）培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想既是強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的重要保障，也是推動(dòng)學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維的重要載體。而數(shù)形結(jié)合方法作為將高中數(shù)學(xué)兩大重要內(nèi)容聯(lián)系起來的“紐帶”與“橋梁”，不僅能助力學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的形成與發(fā)展，讓學(xué)生通過以形代數(shù)、以數(shù)解形形成多樣的數(shù)學(xué)解題思路，還能憑借著數(shù)學(xué)思想之間的貫通性，培養(yǎng)學(xué)生其他方面的數(shù)學(xué)思想，如分類討論這種典型的應(yīng)用數(shù)學(xué)思想、類比思想等，這對于學(xué)生數(shù)學(xué)思想的形成與發(fā)展有著重要的作用。

（四）落實(shí)核心素養(yǎng)

高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括六個(gè)方面：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析。在這六個(gè)方面中，邏輯推理和數(shù)學(xué)建模與數(shù)形結(jié)合思想息息相關(guān)。在數(shù)學(xué)建模中，構(gòu)建函數(shù)關(guān)系、構(gòu)建方程、利用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)皆屬于數(shù)形結(jié)合范疇，而邏輯推理作為一種復(fù)合能力，涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等，同樣離不開數(shù)形結(jié)合。由此可見，將數(shù)形結(jié)合方法應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)，能真正落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

三、將數(shù)形結(jié)合方法應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的策略

（一）關(guān)注數(shù)學(xué)概念，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合

高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程呈現(xiàn)出明顯的階段性和差異性特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要遵循循序漸進(jìn)原則，將數(shù)形結(jié)合的方法由淺入深地滲透到教學(xué)中，幫助學(xué)生建立數(shù)形結(jié)合思維[3]。開展解題教學(xué)的第一步就是關(guān)注最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念形成，這樣不僅能幫助學(xué)生建立起數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)與體系，還能發(fā)展學(xué)生的邏輯推理這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。而學(xué)生在幾何背景中觀察、思考、推導(dǎo)、總結(jié)數(shù)學(xué)概念的過程，正是體驗(yàn)、理解數(shù)形結(jié)合思想與方法的過程。

例如：在教學(xué)“復(fù)數(shù)的概念”時(shí)，教師可以先讓學(xué)生對數(shù)集的擴(kuò)充過程進(jìn)行回顧，復(fù)習(xí)“自然數(shù)集→整數(shù)集→有理數(shù)集→實(shí)數(shù)集”，再以“在實(shí)數(shù)集中方程+1=0有解嗎”這一問題創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生進(jìn)行思考。當(dāng)學(xué)生通過交流、討論、回顧知識(shí)得出“此方程無實(shí)數(shù)解”的答案后，教師再提出以下問題讓學(xué)生思考：1.負(fù)數(shù)能否開平方？2.為了解決負(fù)數(shù)開平方這一問題，我們能否擴(kuò)充實(shí)數(shù)集來解決呢？由這兩個(gè)問題，教師可以提出“科學(xué)家們由此引出了虛數(shù)i”，那么，i這個(gè)虛數(shù)單位到底有什么作用呢？這就是本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的概念。

（二）創(chuàng)設(shè)問題情境，理解數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用是非常廣泛的，如解析幾何中的對應(yīng)關(guān)系、在函數(shù)中的應(yīng)用、在概率與統(tǒng)計(jì)中的幾何概型和密度函數(shù)等[4]。為了讓學(xué)生更好地理解數(shù)形結(jié)合方法，教師可以在解題教學(xué)中創(chuàng)設(shè)問題情境，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)形結(jié)合思想與方法。一方面，教師可以以數(shù)學(xué)題目中的條件為基礎(chǔ)，根據(jù)學(xué)生的基本學(xué)情做出適當(dāng)?shù)难由炫c拓展，讓學(xué)生調(diào)動(dòng)生活經(jīng)驗(yàn)和所學(xué)知識(shí)進(jìn)行“舉一反三”后，再回歸原問題進(jìn)行思考，以此引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度來思考問題；另一方面，教師要對學(xué)生所做出的反應(yīng)進(jìn)行提前預(yù)設(shè)，準(zhǔn)確抓住提問時(shí)機(jī)，以層層深入的問題將學(xué)生引入問題情境中，使課堂教學(xué)更加高效。

例如：在教學(xué)“直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式”時(shí)，教師可以提出以下問題，引導(dǎo)學(xué)生從直線的交點(diǎn)切入，逐步建立“求兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)就是解方程組，看解的個(gè)數(shù)”的概念：1.請分別說出以下三個(gè)公式：兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，兩平行線之間的距離公式；2.用數(shù)形結(jié)合的思想與方法分析解決具體辦法，并用圖像進(jìn)行呈現(xiàn)；3.結(jié)合所學(xué)的三個(gè)公式，分析將復(fù)雜的問題幾何化與代數(shù)化的意義。

（三）牢抓典型真題，啟迪數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)教材是承載數(shù)學(xué)知識(shí)的“容器”，而高考題則為教師開展解題教學(xué)指明了方向。數(shù)形結(jié)合思想與方法在高考中有著重要地位，為了更好地剖析高考命題、引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確抓住零散的知識(shí)點(diǎn)，教師應(yīng)在解題教學(xué)中牢抓典型真題，讓學(xué)生在思考、探究、解答真題的過程中建立起多個(gè)零散知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的重要性，理解數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵，并通過對比高考典型真題與自己平時(shí)所練習(xí)的題目，找出自身不足，有針對性地改進(jìn)與提升。同時(shí)，學(xué)生在練習(xí)真題的過程中形成書寫規(guī)范，為未來的高考奠定良好的基礎(chǔ)。

除此之外，教師的解題教學(xué)活動(dòng)不應(yīng)是簡單就題解題、答疑解惑，數(shù)學(xué)方法上的提煉總結(jié)和數(shù)學(xué)思維上的點(diǎn)撥啟發(fā)固然對學(xué)生有著積極影響，但典型真題、例題的應(yīng)用價(jià)值同樣不可忽視[5]。這就要求教師在解題教學(xué)中聯(lián)系社會(huì)生活實(shí)際，與學(xué)生共同探究數(shù)學(xué)題目中蘊(yùn)含的生活經(jīng)驗(yàn)規(guī)律，從而開闊學(xué)生的視野，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系。例如：在學(xué)習(xí)“分段函數(shù)求最大值”的時(shí)候，教師可以將其轉(zhuǎn)化為“出租車計(jì)價(jià)”問題，讓學(xué)生求市中心到機(jī)場的距離，畫出函數(shù)圖象，探究“如何乘車才能讓花費(fèi)最小”。這不僅能讓枯燥的函數(shù)知識(shí)變得更加生動(dòng)有趣、變得“活”起來，還能讓學(xué)生在利用數(shù)形結(jié)合方法解題時(shí)建立起數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，更真實(shí)地去“觸摸”數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)的妙趣。

（四）重視實(shí)踐應(yīng)用，鍛煉數(shù)形結(jié)合

在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)結(jié)合雖然得到了廣泛的重視，但在應(yīng)用過程中仍存在一些不足，如：僅重視“以形助數(shù)”、僅將數(shù)形結(jié)合方法視作解題工具、應(yīng)用意識(shí)不強(qiáng)等。在這些不足之中，應(yīng)用意識(shí)不強(qiáng)是最大的問題，具體體現(xiàn)在學(xué)生主觀上認(rèn)為作圖浪費(fèi)時(shí)間、學(xué)生對知識(shí)掌握不全面、學(xué)生對代數(shù)的幾何意義理解不全面等方面。為了改善此種問題，教師要重視數(shù)形結(jié)合思想與方法的時(shí)間應(yīng)用，縮短自己講解的時(shí)間，以點(diǎn)撥、引導(dǎo)的形式鼓勵(lì)學(xué)生思考、探究與解決問題，讓學(xué)生在實(shí)踐應(yīng)用中鍛煉數(shù)形結(jié)合思想，最終掌握數(shù)形結(jié)合方法并將其應(yīng)用于解題過程中。

例如：在講解“直線與圓、圓與圓”的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，教師首先可以用圖像呈現(xiàn)直線與圓的三種位置關(guān)系、圓與圓的五種位置關(guān)系，讓學(xué)生分別運(yùn)用幾何法與代數(shù)法揭示、判斷原理。而后，教師可以讓學(xué)生用對比圖表的形式來對直線與圓進(jìn)行對比，讓學(xué)生理解兩者關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)與代數(shù)方法相結(jié)合，并從不同角度切入做出客觀判斷，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐意識(shí)。而在教學(xué)圓的基本性質(zhì)、圓被直線截得的弦長計(jì)算方法時(shí)，教師同樣可以讓學(xué)生用幾何法與代數(shù)法分別切入，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法簡化問題，以此得到圓的幾個(gè)基本性質(zhì)，總結(jié)出求圓的弦長應(yīng)注意的問題。

結(jié)束語

將數(shù)形結(jié)合方法應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，既是新課改對數(shù)學(xué)學(xué)科提出的要求，也是有效解決數(shù)學(xué)抽象知識(shí)、簡化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的迫切需求，更是教師與學(xué)生在數(shù)學(xué)“教”與“學(xué)”的過程中實(shí)現(xiàn)協(xié)同發(fā)展、共同成長的個(gè)人訴求。除了數(shù)形結(jié)合這種重要方法之外，教師還要不斷探索更多的數(shù)學(xué)的教學(xué)模式與思維方法，讓學(xué)生在解題過程中對這些方法和模式進(jìn)行實(shí)踐探索，選擇最適合自己的解題方法，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，真正落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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