孫素貞

【摘要】在近幾年高考數(shù)學(xué)中，學(xué)生建模能力考查越來(lái)越受重視，因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生建模能力以及模型應(yīng)用能力培養(yǎng)，有效提高問(wèn)題解決能力，實(shí)現(xiàn)學(xué)生綜合能力的提升.本文分析數(shù)學(xué)建模思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；應(yīng)用策略

在新課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，注重?cái)?shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用，為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)的空間，加深學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的作用與價(jià)值，加強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)科與生活的聯(lián)系.作為高中數(shù)學(xué)教師，借助典型的數(shù)學(xué)例題，傳授學(xué)生模型構(gòu)建技巧，利用模型解決問(wèn)題，傳授學(xué)生解題方法，鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的提升.

1 構(gòu)建函數(shù)模型，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

對(duì)于高中數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，函數(shù)模型是一種比較熟悉的數(shù)學(xué)模型，在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已經(jīng)有所接觸.在高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)模型更加深入，難度增加，教師需要加強(qiáng)函數(shù)模型講解，讓學(xué)生了解函數(shù)模型構(gòu)建的關(guān)鍵點(diǎn)，在解題時(shí)，認(rèn)真閱讀題目，理解題目意思，找出自變量的范圍，準(zhǔn)確解題題目.同時(shí)，教師需要向?qū)W生講解常見(jiàn)的函數(shù)模型解題方法，如二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)等模型，讓學(xué)生了解應(yīng)用相應(yīng)的知識(shí)解題［1］，例題如下：

例1 某個(gè)樹(shù)林現(xiàn)有的木材儲(chǔ)量為7100cm3，為了使木材儲(chǔ)量在20年后達(dá)到28400cm3，（1）那么每年木材儲(chǔ)量的平均增長(zhǎng)率為多少？（2）如果每年的平均增長(zhǎng)率為8%，那么幾年后可以翻兩番？

分析 此題在解答時(shí)，可以利用函數(shù)模型中的指數(shù)函數(shù)模型.

解 （1）設(shè)增長(zhǎng)率是x，根據(jù)題意得 ：

28400=7100（1+x）20

所以（1+x）20=4，20lg（1+x）=2lg2，即lg（1+x）≈0.03010，

所以1+x=1.072，

所以x≈0.072=7.2%.

（2）設(shè)y年可以翻兩番，所以28400=700（1+0.08）y，即1.08y=4，

所以y=2lg2lg1.08≈0.60200.0334≈18.02，所以在18年之后就可以翻兩番.

2 構(gòu)建數(shù)列模型，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

高中數(shù)學(xué)數(shù)列學(xué)習(xí)中，主要有等差數(shù)列和等比數(shù)列，并且兩種數(shù)列各有特點(diǎn)，如等差數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的差值是定值，而等比數(shù)列中，相鄰兩項(xiàng)的比值為定值.在數(shù)學(xué)解題中，根據(jù)數(shù)列知識(shí)構(gòu)建數(shù)列模型，重點(diǎn)求解數(shù)列的首項(xiàng)和公差或者公比.然而，還有一些數(shù)學(xué)問(wèn)題比較抽象，教師需要引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)列知識(shí)內(nèi)容，如數(shù)列前n項(xiàng)和、單調(diào)性等，對(duì)于等比數(shù)列則需要分類(lèi)討論公比為1和不為1.例題如下：

例2 政府部門(mén)決定通過(guò)“對(duì)社會(huì)的有效貢獻(xiàn)率”來(lái)評(píng)價(jià)企業(yè)，用an表示企業(yè)在第n年投入的環(huán)保費(fèi)用，bn表示企業(yè)第n年的產(chǎn)值.設(shè)a1=a萬(wàn)元，之后每年的環(huán)保費(fèi)用比上一年增加增加2a萬(wàn)元，設(shè)b1=b萬(wàn)元，企業(yè)每年產(chǎn)值的平均增長(zhǎng)率是10%，用pn=anbn100ab表示企業(yè)第n年的“對(duì)社會(huì)的有效貢獻(xiàn)率”.那么，從第幾年開(kāi)始，企業(yè)的“對(duì)社會(huì)的有效貢獻(xiàn)率”不低于20%？

分析 此題解題時(shí)，通過(guò)審題，分析題干可以得出，需要構(gòu)建出等比數(shù)列和等差數(shù)列模型.環(huán)保費(fèi)用符合等差數(shù)列特點(diǎn)，構(gòu)建相應(yīng)的等差數(shù)列模型解題.

解 因?yàn)閍n=a1+2a（n－1）=（2n－1）a（a∈N+），

bn=b1×（1+0.1）n－1=1.1n－1b（b∈N+）

所以Pn=（2n－1）a×1.1n－1b100ab

=（2n－1）·1.1n－1%

先證明Pn=f（n）=（2n－1）·1.1n－1%是增函數(shù)，

因?yàn)镻n＞0 Pn+1Pn=（2n+1）×1.1n%（2n－1）×1.1n－1%＞1

所以Pn+1＞Pn

所以Pn=f（n）=（2n－1）·1.1n－1%是關(guān)于n的增函數(shù).

Pn+1－Pn=（2n+1）×1.1n%－（2n－1）×1.1n－1%.

因?yàn)镻9=17×1.18%≈36.38%＞20%，

P4=7×1.13%≈9.31%＜20%

P7=13×1.16%≈23.01%＞20%，

P6=11×1.15%≈17.71%＜20%

因此，從第七年開(kāi)始，企業(yè)的“對(duì)社會(huì)有效貢獻(xiàn)率”不低于20%.

3 構(gòu)建空間模型，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

為了讓學(xué)生能靈活利用空間模型解決立體幾何問(wèn)題，教師可以利用多媒體技術(shù)，從不同的角度展示立體圖形，幫助學(xué)生深入理解空間的點(diǎn)、線(xiàn)、面要素，讓學(xué)生聯(lián)系生活進(jìn)行想象，對(duì)立體幾何圖形形成清晰的印象.同時(shí)，教師可以結(jié)合具體問(wèn)題解答，傳授學(xué)生立體幾何的常規(guī)解題方式以及向量法解題方法，強(qiáng)化學(xué)生空間模型構(gòu)建能力［2］.例題如下：

例3 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1上的一點(diǎn)，CE=2EC1，則異面直線(xiàn)AE與A1B所成角的余弦值是.

分析 此題解題時(shí)，通過(guò)對(duì)題目進(jìn)行分析，構(gòu)建相應(yīng)的空間模型，快速有效解題.

解 以D作為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=3，所以A（3，0，0），E（0，3，2），A1（3，0，3），B（3，3，0），AE=（－3，3，2），A1B=（0，3，－3）

設(shè)異面直線(xiàn)AE與A1B所成角為θ，則異面直線(xiàn)AE與A1B所成角的余弦值是：

cosθ=|AE·A1B||AE|·|A1B|=322·18=1122.

4 構(gòu)建不等式模型，解答數(shù)學(xué)問(wèn)題

對(duì)于高中學(xué)生來(lái)說(shuō)，不等式是比較熟悉的內(nèi)容，為了提高學(xué)生知識(shí)應(yīng)用能力，教師應(yīng)當(dāng)注重基本不等式模型的構(gòu)建，以及利用基礎(chǔ)不等式模型解決問(wèn)題.在解題中，根據(jù)題目中的參數(shù)關(guān)系，合理配湊參數(shù)，是基本不等式應(yīng)用的基礎(chǔ).同時(shí)，還需要考慮不等式的定義域，保證結(jié)果的準(zhǔn)確性［3］.例題如下：

例4 在對(duì)某個(gè)房屋房頂和外墻噴涂隔熱材料時(shí)，隔熱材料的使用年限是20年，一層隔熱材料是每毫米6萬(wàn)元.每年的能源消耗費(fèi)用H（萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（毫米）的關(guān)系是H=403x+5（0≤x≤10）.設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用的和.（1）解釋H（0）的含義，求解f（x）的表達(dá)式；（2）當(dāng)隔熱層多厚時(shí)，業(yè)主付的費(fèi)用最低，比沒(méi)有隔熱層節(jié)約多少錢(qián)？

分析 根據(jù)建造費(fèi)用和能源消耗費(fèi)用，得出f（x）的解析式.利用基本不等式計(jì)算出f（x）的最小值，以及對(duì)應(yīng)x的值，和不適用隔熱材料的費(fèi)用進(jìn)行對(duì)比.

解 （1）H（0）=405=8，H（0）的實(shí)際意義是不適用隔熱材料，每年的能源消耗費(fèi)用是8萬(wàn)元，f（x）=8003x+5+6x（0≤x≤10）

（2）f（x）=8003x+5+6x

=8003x+5+2（3x+5）－10≥21600－10=70，當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)取等號(hào)

所以厚度為5毫米時(shí)，總費(fèi)用最低是70萬(wàn)元，如果不適用隔熱材料，20年的能源消耗費(fèi)用是160萬(wàn)元，業(yè)主可以節(jié)約90萬(wàn)元.

5 構(gòu)建三角模型，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)解題中，對(duì)于一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，教師需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角形關(guān)系，構(gòu)建三角模型，完成解題.在高中數(shù)學(xué)中，三角模型是幾何模型中的重要模型，不僅包含三角模型的使用，還需要利用正余弦定理以及勾股定理等解題.例題如下：

例5 A觀察哨在上午11點(diǎn)接到通知，正西方出現(xiàn)風(fēng)暴，向正東方移動(dòng)，預(yù)計(jì)兩個(gè)小時(shí)達(dá)到A觀察哨，并且繼續(xù)向前移動(dòng)，同時(shí)，在觀察哨發(fā)現(xiàn)一艘輪船，在A北偏西60°的B點(diǎn)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間之后，輪船到達(dá)A點(diǎn)北偏東60°的C點(diǎn)，輪船保持 93km/h的速度勻速前行，最后達(dá)到A點(diǎn)正東方5千米處的小島E點(diǎn)，如果輪船在BC段的時(shí)間是CE段的四倍，那么輪船是否可以在風(fēng)暴到達(dá)A點(diǎn)之前回到E點(diǎn)？

分析 通過(guò)題目分析可以得出B、C、E三點(diǎn)共線(xiàn)，畫(huà)出相應(yīng)的示意圖，如圖1所示，根據(jù)示意圖構(gòu)建三角模型，計(jì)算BE的長(zhǎng)度.

解 由題意得出BC=4CE，

設(shè)CE=x，所以BE=5x，BC=4x，

在三角形ABE中，因?yàn)椤螮AB=150°，

所以利用正弦定理，sinBAE=sin∠EABBE，

所以sinB=12x.

因?yàn)樵谌切蜛BC，∠CAB=120°，

所以根據(jù)正弦定理，sinBAC=sin∠CABBC，所以AC=433.

在三角形ACE中，因?yàn)椤螩AE=30°，AE=5，AC=433，

所以根據(jù)余弦定理，CE2=AE2+AC2－2AE·ACcos30°，

所以CE=933，BE=5933，所以，航行時(shí)間t=53h，即輪船經(jīng)過(guò)t=53h后到達(dá)小島E，因?yàn)?3＜2，得出輪船在風(fēng)暴達(dá)到A點(diǎn)之前可以回到E點(diǎn).

6 構(gòu)建概率模型，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

在日常生活生產(chǎn)中，概率模型被廣泛使用，利用概率模型，分析解決生活中的很多問(wèn)題.因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重培養(yǎng)學(xué)生概率模型應(yīng)用能力，加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)講解，傳授學(xué)生計(jì)算方式，深入理解和掌握事件聯(lián)系.針對(duì)與統(tǒng)計(jì)有關(guān)的知識(shí)，要求學(xué)生掌握相關(guān)概念的同時(shí)，還需要學(xué)生掌握相關(guān)計(jì)算公式，了解各個(gè)參數(shù)的意思，避免出現(xiàn)運(yùn)用錯(cuò)誤［4］.例題如下：

例6 在某種飲料的促銷(xiāo)中，通過(guò)瓶蓋內(nèi)印“再來(lái)一瓶”和“謝謝惠顧”字樣，開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng)，“再來(lái)一瓶”則可以免費(fèi)兌換飲料一瓶，視作中獎(jiǎng)，其概率是16.如果甲、乙、丙三人各買(mǎi)一瓶飲料，（1）甲、乙中獎(jiǎng)，丙未中獎(jiǎng)的概率是多少？（2）求解中獎(jiǎng)人數(shù)X的分布以及期望E（X）.

解 （1）由題意可知，中獎(jiǎng)和未中獎(jiǎng)屬于互斥事件，

所以未中獎(jiǎng)的概率是1－16=56，

設(shè)甲中獎(jiǎng)，乙、丙沒(méi)有中獎(jiǎng)為事件A

因?yàn)槿酥歇?jiǎng)與否是相互獨(dú)立的，

所以由獨(dú)立事件概率模型，

P（A）=16×56×56=25216.

（2）根據(jù)題意，X=（0，1，2，3），

所以P（X=0）=C03×（16）0×（56）3=125216；

P（X=1）=C13×（16）1×（56）2=75216：

P（X=2）=C23×（16）2×（56）1=15216；

P（X=3）=C33×（16）3×（56）0=1216.

所以X的分布列如下表1所示

所以E（X）=0×125216+1×75216+2×15216

+3×1216=12.

【本文系安徽省淮北市教育科學(xué)研究項(xiàng)目課題“數(shù)學(xué)建模思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究”<立項(xiàng)編號(hào)：HBJK2102015>研究成果】

參考文獻(xiàn)：

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［3］施紅娟.論高中數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)建模思想的方法［J］.數(shù)理化解題研究， 2019（21）：2.

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