徐偉東

浙江省象山中學(xué) (315700)

為什么我連解三角形都不會?”這是近期聽到學(xué)生抱怨最多的一句話．原本十拿九穩(wěn)的“解三角形”問題,在近幾年的高考、模擬考中也變得不那么容易了,與“解三角形”相關(guān)的解答題的得分率較之前普遍低了很多．在高三復(fù)習(xí)階段,盡管進(jìn)行了大量的“解三角形”的講解與訓(xùn)練,但效果不甚理想,學(xué)生還是束手無策．

1、是什么讓“解三角形”變得這么難?

現(xiàn)在的高考命題已經(jīng)由“知識立意、能力立意評價”向“價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”的綜合評價轉(zhuǎn)變,“優(yōu)化情境設(shè)計,增強試題開放性、靈活性,減少死記硬背和‘機(jī)械刷題’現(xiàn)象”也已經(jīng)成為了考試命題的風(fēng)向標(biāo),因此,“解三角形”試題難度增加是大勢所趨,具體表現(xiàn)在以下幾個方面．

1.1 結(jié)構(gòu)不良試題增加了思維量與運算量

三角形的豐富背景和廣泛的應(yīng)用價值決定了其成為結(jié)構(gòu)不良問題的良好載體．結(jié)構(gòu)不良問題往往存在問題條件或數(shù)據(jù)局部缺失或冗余、問題目標(biāo)界定不明確、具有多種處理方法和路徑、具有多種評估處理方法的尺度、所波及的概念、規(guī)則和原理等不確定等特性．

面對上述結(jié)構(gòu)不良問題,學(xué)生首先要根據(jù)自身的認(rèn)知水平,結(jié)合解題經(jīng)驗,對題目給定的“條件”進(jìn)行甄別與選擇,“條件”優(yōu)劣決定解題過程的繁簡程度．若學(xué)生選擇的“條件”恰當(dāng),可能會很順利完成解題任務(wù);若學(xué)生選擇的“條件”處于知識盲區(qū)之內(nèi)或者不符合題目要求,就不得不重新選擇新的條件進(jìn)行嘗試．因此,對命題者而言,相比結(jié)構(gòu)良好問題,結(jié)構(gòu)不良問題更能考查學(xué)生分析問題、解決問題、推理論證和運算求解能力;對學(xué)生而言,解決結(jié)構(gòu)不良問題需要以敏銳的洞察力和果斷的決策力為前提,而這恰恰是很多學(xué)生的短板．

1.2 條件與結(jié)論的聯(lián)系不明顯

解題就是尋找題目條件與題目結(jié)論之間的數(shù)學(xué)聯(lián)系,它表現(xiàn)為溝通條件與結(jié)論的一系列演算或推理,讓條件與結(jié)論相互靠近、相互轉(zhuǎn)化,最終相互融合,就實現(xiàn)了解題的目標(biāo)．所謂的容易題就是題目的條件與結(jié)論之間聯(lián)系緊密,容易構(gòu)建它們之間的數(shù)學(xué)關(guān)系;而難題就是題目中的條件與結(jié)論“距離”較遠(yuǎn),需要動用一定的解題策略與運算技巧拉近“距離”,才能看清它們之間的聯(lián)系．

此題條件與結(jié)論之間的“距離”看似很近,但要建立起它們之間的聯(lián)系,卻需要經(jīng)歷“弦化角——邊化弦——正弦化余弦——多角化單角”等運算與推理過程,需要學(xué)生具備較強的消參與化歸能力．

要成功建立本題條件與結(jié)論之間的關(guān)系,需要經(jīng)歷“切化弦——弦化邊——三邊化雙邊——多參變單參——確定參數(shù)的范圍——求函數(shù)的值域”等運算與推理過程,與上一題相比,難度大幅度增加．

解析：這道題也是改編自2022全國I卷的高考題,與上一題異曲同工,需要經(jīng)歷“弦化邊——切化弦——弦化邊——三參變單參”等運算與推理過程,與高考原題相比,難度基本相同．

1.3 三角形中幾何關(guān)系復(fù)雜化

還有很多解三角形問題并不是單純的涉及到邊與角之間的關(guān)系,而是引入新的幾何量,比如,中線、高線、角平分線、重心、內(nèi)心、外心等,使三角形形成了一系列新的幾何關(guān)系,從而導(dǎo)致條件與結(jié)論之間的“距離”更加疏遠(yuǎn),解題方法也變得多樣,解題思路更難把握．

例6 (2021全國I卷)記ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac,點D在邊AC上,BDsin∠ABC=asinC．(1)證明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC．

圖1

2、如何讓學(xué)生學(xué)會解“解三角形”?

2.1 領(lǐng)會“變與不變”的命題觀

高考命題不變是相對的,變是永恒的,尤其在“一核”“四層”“四翼”的高考評價體系下,以批判性思維為代表的關(guān)鍵能力成為了高考命題的主要方向和要求,關(guān)于“解三角形”的命題只會更加變化多端,通過大量刷題來提升解題的能力的招數(shù)不再有效;“解三角形”不一定被定格在高考解答題的“第一題”,不一定屬于“容易拿分的題”,學(xué)生不會做可能是“正常的事”．

雖然我們無法把控試題形式和難度,但解決“三角形”問題的兩個工具和三大思想?yún)s是不變的．兩大工具就是“正弦定理”與“余弦定理”,它們是解三角形的利器,可以實現(xiàn)邊角關(guān)系的互化．三大思想指得是化歸轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想．運用化歸與轉(zhuǎn)化思想方法,把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題,把陌生的情境轉(zhuǎn)化為熟悉情境;將問題中已知的條件轉(zhuǎn)化為包含邊角關(guān)系的關(guān)系式,如不等式、方程或方程組和不等式組,然后通過函數(shù)或方程視角去分析問題、解決問題;若問題中涉及到相對復(fù)雜的位置關(guān)系,此時可以利用數(shù)形結(jié)合思想,將問題中復(fù)雜的邏輯關(guān)系與直觀圖形關(guān)聯(lián)起來,充分利用其中的幾何性質(zhì)來實現(xiàn)簡化運算的目的．只要靈活運用兩大工具與三大思想,“解三角形”問題一般都能夠迎刃而解．

2.2 堅持培養(yǎng)“專家思維”的教學(xué)觀

為了快速提升學(xué)生的解三角形的能力,很多教師會把教學(xué)重心放在一些拓展結(jié)論的運用上,不可否認(rèn),在某些情況下,應(yīng)用這些結(jié)論確實能夠起到事半功倍的作用．

但這些結(jié)論的適用范圍有嚴(yán)格的限制,比如,例6同樣滿足“張角定理”模型,但“張角定理”的結(jié)論對它基本沒什么用．不僅如此,這些拓展性的結(jié)論從發(fā)現(xiàn)到證明、到運用,到被納入到認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,期間需要經(jīng)歷一個比較長內(nèi)化的過程,學(xué)生未必能夠真正掌握．因此,“解三角形”一方面應(yīng)該立足通性通法,另一方面應(yīng)該把教學(xué)重心放在培養(yǎng)學(xué)生的“專家思維”上,即讓學(xué)生學(xué)會像專家那樣能夠?qū)?shù)學(xué)問題作出快速而準(zhǔn)確的判斷,并在洞悉問題本質(zhì)的基礎(chǔ)上提出解決問題的方案．

如何培養(yǎng)“專家思維”?首先要重視概念的再認(rèn)知,不僅要讓學(xué)生數(shù)量掌握常用的公式與定理,還要探究它們之間的關(guān)聯(lián)性,例如,正弦定理與余弦定理本質(zhì)上是一致的,可以從正弦定理推出余弦定理,反之也成立;正弦定理與余弦定理是圓的性質(zhì)的三角表征,也就說能夠利用圓的性質(zhì)來推導(dǎo)這個兩個定理;余弦定理是勾股定理的推廣,那么能否像推導(dǎo)勾股定理那樣推導(dǎo)余弦定理?經(jīng)歷概念再認(rèn)知的過程有助于學(xué)生加深對核心概念的理解,能強化知識與現(xiàn)象、與情境的關(guān)聯(lián)程度．其次,立足波利亞的解題四步曲 “理解題目——擬定方案——執(zhí)行方案——回顧總結(jié)”來提煉針對不同類型三角形問題的解題思路與研究視角,例如,對于“取值范圍問題”,可以選擇從“三角形中的不等關(guān)系、三角形解的個數(shù)、函數(shù)值域、基本不等式”等4個視角來求取值范圍;對于“面積問題”,可以采用“執(zhí)果索因”的辦法,先把面積用邊、角等基本量表示出來,然后在通過化歸、消參實現(xiàn)對問題的轉(zhuǎn)化,從而能夠保證學(xué)生根據(jù)解題的實際需求,熟練調(diào)用相關(guān)的解題策略．