劉 靜 鐘珍玖

江蘇省江陰市第一初級中學(xué) (214432)

七年級是從小學(xué)的算術(shù)思維向用字母表示數(shù)形成代數(shù)思維的啟蒙期,八年級則是學(xué)生符號意識形成的關(guān)鍵期.從學(xué)生認(rèn)知能力來看,八年級學(xué)生抽象能力迅速發(fā)展,已經(jīng)基本能夠借助符號進(jìn)行形式化演繹推理;從學(xué)習(xí)內(nèi)容來看,軸對稱圖形(線段、角、等腰三角形)和中心對稱圖形(平行四邊形、菱形、矩形、正方形)是初中階段運用符號進(jìn)行邏輯推理核心內(nèi)容,也是符號意識形成的最佳素材;一次函數(shù)和反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)豐富了符號語言的種類,用函數(shù)圖像來表達(dá)函數(shù)是符號意識形成新的突破口.在八年級的教學(xué)中有目的、有意識的加強學(xué)生的符號意識,讓學(xué)生主動理解與運用符號,從而提高數(shù)學(xué)表達(dá)的能和習(xí)慣,落實學(xué)生的核心素養(yǎng).

一、 在幾何教學(xué)中運用符號推理,強化符號的思維功能,滲透符號意識

幾何演繹推理遵循著《幾何原本》的公理化思想,由已知的公理和定義,用邏輯推理的方法推導(dǎo)出其它數(shù)學(xué)定理和命題.教材的編寫也遵循同樣的思想,研究幾何圖形的性質(zhì)都是把定義作為基本事實,然后用邏輯推理的方法得出圖形的性質(zhì)及判定方法.幾何定義、公理、定理的表達(dá)和幾何推理的過程都需要較強的符號意識支撐,數(shù)學(xué)的形式化、結(jié)構(gòu)化、操作化都離不開數(shù)學(xué)符號的表達(dá)[1].羅素認(rèn)為:數(shù)學(xué)就是符號加邏輯.幾何圖形之間的關(guān)系包括數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生用符號刻畫這些關(guān)系的意識,符號意識的發(fā)展有利于學(xué)生理解符號的使用和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考,強化符號意識的同時,獲得知識,發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力.

案例1 蘇科版教材八年級上冊“2.4線段、角的抽對稱性”.

如圖1,若△ABC的角平分線AD、BE相交于點P．求證:點P在∠C的平分線上.

圖1

證明：過P作PM⊥CB,PN⊥CA,PF⊥AB,垂足分別為M、N、F.∵EB平分∠CBA,PM⊥CB,PF⊥AB,∴PM=PF.∵AD平分∠BAC,PN⊥CA,PF⊥AB,∴PF=PN.∴PM=PN,PM⊥CB,PN⊥CA,∴點P在∠C的平分線上.

從教學(xué)實踐來看,八年級學(xué)生對于這些圖形位置關(guān)系的問題非常陌生,不容易入手,從直觀上來說點在直線上很好理解,但是用符號語言如何表達(dá)?其中又蘊含著怎樣的圖形特征?對這些問題的追問可以幫助學(xué)生找到問題的解決方法,強化用符號推理的功能,深刻理解符號表達(dá)的思維價值.

教學(xué)策略：八年級是學(xué)生邏輯思維能力發(fā)展的關(guān)鍵學(xué)段,而符號語言是思維的載體和抓手,符號語言的靈活運用能促進(jìn)思維能力發(fā)展,同時也幫助學(xué)生形成符號意識.在結(jié)構(gòu)化的幾何教學(xué)中,滲透符號意識的策略:①引導(dǎo)學(xué)生用符號語言表達(dá)圖形的性質(zhì)(結(jié)構(gòu))和圖形之間的關(guān)系,從大概念的視角審視符號語言的作用,即幾何符號語言表達(dá)的是結(jié)構(gòu)和關(guān)系;②符號語言中蘊含著基本圖形語言,是進(jìn)行邏輯推理的工具和抓手,實際上就體現(xiàn)了符號語言的可操作性,從本質(zhì)上和代數(shù)推理和變形原理是一致的,強調(diào)步步有據(jù),這樣的教學(xué)就體現(xiàn)了符號語言的作用,讓學(xué)生從更高的視角理解幾何推理的本質(zhì),實現(xiàn)知識在不同情境下的正向遷移.

二、 在函數(shù)教學(xué)中用符號描述變化,強化符號的表達(dá)功能,促進(jìn)符號意識形成

七年級的符號意識形成表現(xiàn)為用字母表示數(shù),完成了從算術(shù)思維到代數(shù)思維的跨越,并且把符號作為對象參與運算,實現(xiàn)了符號的可操作性.在實際問題中引入符號(未知數(shù))刻畫現(xiàn)實世界中的等量關(guān)系和不等關(guān)系,初步體會了代數(shù)思維的特點[1].八年級數(shù)學(xué)中很重要的內(nèi)容就是一次函數(shù)與反比例函數(shù),函數(shù)模型簡明扼要的把復(fù)雜的現(xiàn)實情境中的一類兩個變量的關(guān)系概括的清清楚楚,利用函數(shù)的圖像、表格及表達(dá)式等符號語言表達(dá)函數(shù)關(guān)系三類符號語言的相互轉(zhuǎn)化,促進(jìn)學(xué)生符號意識的形成與深化理解,發(fā)展學(xué)生的抽象能力和建模能力[2],函數(shù)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化教學(xué)方法如下所示.

1.用符號表示函數(shù)關(guān)系,描述和解釋現(xiàn)實世界

從具體情境中抽象出兩個變量之間的關(guān)系與規(guī)律,是列函數(shù)表達(dá)式的基礎(chǔ).而函數(shù)表達(dá)式同樣深刻揭示了一類問題中的共性和普遍性,學(xué)生運用表達(dá)式或圖像或表格解決問題則提升了學(xué)生對于符號的理解,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力和數(shù)學(xué)建模能力.

案例2 蘇科版八年級上冊“6.2一次函數(shù)”.

問題1 給汽車加油的加油槍流量為25L/min．如果加油前油箱里沒有油,那么在加油過程中,用y(L)表示油箱中的油量,x(min)表示加油時間.

(1)y是x的函數(shù)嗎?如果是,請寫出函數(shù)表達(dá)式;

變式1 油的加油槍流量為40L/min．如果加油前油箱里沒有油,那么在加油過程中,用y(L)表示油箱中的油量,x(min)表示加油時間,y與x之間有怎樣的函數(shù)表達(dá)式?

(2)如果加油前油箱里有6L油,y與x之間有怎樣的函數(shù)表達(dá)式?

變式2 如果加油前油箱里有5L油,y與x之間有怎樣的函數(shù)表達(dá)式?加油前油箱里有8L油呢?

(3)如果加油后油箱里有油40L,每行駛100km耗油10L,寫出行駛過程中油箱內(nèi)剩余油量Q(L)與行駛路程s(km)的函數(shù)表達(dá)式;

問題2 這些函數(shù)表達(dá)式有什么共同特點?

歸納：一般地,如果兩個變量x與y之間的函數(shù)關(guān)系,可以表示為y=kx+b(k、b為常數(shù),且k≠0)的形式．那么稱y是x的一次函數(shù)(linearfunction).特別地,當(dāng)b=0時,y叫做x的正比例函數(shù)．所以正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).

這是八年級上冊一次函數(shù)概念教學(xué)的片段,問題的設(shè)置蘊含了豐富的符號意識,用變量表達(dá)現(xiàn)實世界的變化,即兩個變量之間的關(guān)系,這是學(xué)生要經(jīng)歷的第一次抽象的過程,而概括這些函數(shù)表達(dá)式的共同特點是讓學(xué)生再次經(jīng)歷用符號來表示一次函數(shù)模型,是學(xué)生在概念形成前的第二次抽象.這些問題及其變式就是運用符號來培養(yǎng)抽象能力和建模能力的生活具象,是教學(xué)中不可或缺的重要環(huán)節(jié).

2.用多種語言表征函數(shù),促進(jìn)符號表達(dá)的深刻理解

引導(dǎo)學(xué)生用多種語言表示函數(shù):一種是數(shù)學(xué)內(nèi)部與外部之間的轉(zhuǎn)化,即自然語言和函數(shù)的符號語言的轉(zhuǎn)化,第二種是數(shù)學(xué)內(nèi)部間的互相轉(zhuǎn)化,即函數(shù)的不同表達(dá)方式之間的相互轉(zhuǎn)化,從而提高學(xué)生的符號意識,發(fā)展學(xué)生的多元表征意識.

案例3 蘇科版八年級上冊“6.3一次函數(shù)的圖像”.

觀察如圖2的圖片,并將你獲得的信息填入下表:

點燃時間/min05101520香的長度/cm

圖2

設(shè)燃燒過程中香的長度為y,燃燒時間為x,你能寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式嗎?

以x軸表示香的燃燒時間,y軸表示香的長度,建立平面直角坐標(biāo)系,畫出它的圖像.

很多一線教師在進(jìn)行這節(jié)課的教學(xué)中常忽視此情境.實際上此現(xiàn)實情境能幫助學(xué)生深入理解自然語言所蘊含的香的長度隨著燃燒時間的變化而變化的含義,用不同的方式記錄香的長度:表格、表達(dá)式、函數(shù)圖像,讓學(xué)生體會到不同的符號語言的內(nèi)在一致性,同時,讓學(xué)生感受到符號語言比自然圖片語言更具有一般性與概括性,更能表述函數(shù)的本質(zhì)屬性.

教學(xué)策略：函數(shù)是表達(dá)現(xiàn)實世界規(guī)律和數(shù)量關(guān)系的又一重要模型,函數(shù)教學(xué)是符號意識形成的又一重要契機,在函數(shù)教學(xué)中促進(jìn)符號意識形成有如下策略:①強化函數(shù)三種表示方法(函數(shù)表達(dá)式、圖表法、圖像法)的教學(xué),同時揭示不同符號表達(dá)函數(shù)在本質(zhì)上的一致性;②從三種符號表示方式的差異性上,理解每種表達(dá)方式的優(yōu)缺點,特別是要強化函數(shù)圖像的教學(xué),實踐證明學(xué)生在處理函數(shù)圖像有關(guān)問題還不能靈活和創(chuàng)造性應(yīng)用.

三、在問題解決教學(xué)中引入符號,強化符號的操作功能,深化符號意識

符號語言不僅僅是數(shù)學(xué)交流和表達(dá)的工具,更是一種思維和操作的方式,也是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的工具,是代數(shù)思維的基礎(chǔ).能夠使用符號進(jìn)行運算推理,實現(xiàn)問題解決,是提升符號意識的一種可視化表現(xiàn).

案例4 甲、乙兩運動員在長為100m的直道AB(A,B為直道兩端點)上進(jìn)行勻速往返跑訓(xùn)練,兩人同時從A點起跑,到達(dá)B點后,立即轉(zhuǎn)身跑向A點,到達(dá)A點后,又立即轉(zhuǎn)身跑向B點…若甲跑步的速度為5m/s,乙跑步的速度為4m/s,則起跑后100s內(nèi),兩人相遇的次數(shù)為( ).

A．5 B．4 C．3 D．2

方法1：分別計算每次相遇的時間(略).

方法3：圖象法(如圖3):觀察圖象,兩人運動圖象交點有4個,兩人相遇4次.

三種解法是三種不同符號語言的表達(dá),方法1是算術(shù)方法,方法2是構(gòu)造方程模型,方法3用函數(shù)圖像來表示運動過程,直觀性強,問題解決有創(chuàng)新意識,是符號意識靈活運用的具體體現(xiàn).這個問題還可以作變式,變化為甲乙兩人分別從A、B兩地同時起跑,這樣第一次相遇路程和為100m,問題會變得更加復(fù)雜,用圖像法來解決問題更具有優(yōu)勢.

教學(xué)策略：問題解決是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié),教學(xué)中要善于運用問題解決深化符號意識的形成.在問題解決中深化符號意識形成策略:①設(shè)置典型問題深化符號意識.八年級學(xué)生已經(jīng)具備較強的邏輯推理能力,教學(xué)中可以設(shè)計有一定思維含量的綜合性問題,在問題解決中強化學(xué)生引入符號表達(dá)現(xiàn)實問題或數(shù)學(xué)問題的意識,引入?yún)⒘拷鉀Q問題是高中階段學(xué)習(xí)必需的技能,是符號意識形成的重要標(biāo)志;②優(yōu)化符號的表達(dá)方式,深化符號意識.數(shù)學(xué)表達(dá)不僅是解決問題的方式,更是認(rèn)識問題的途徑,同一個問題用不同的表達(dá)方式,在最優(yōu)化的符號表達(dá)中形成符號解決問題的深刻理解;③ 運用符號語言使問題解決程序化和操作化,深化符號意識.要引導(dǎo)學(xué)生看透形式符號背后的代數(shù)結(jié)構(gòu)或者圖形結(jié)構(gòu),把解決問題的過程內(nèi)化為“對象”,能對“對象”進(jìn)行操作,提高解決問題的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力.

在義務(wù)教育階段,數(shù)學(xué)眼光主要表現(xiàn)為:抽象能力(包括數(shù)感、 量感、符號意識)、幾何直觀、空間觀念與創(chuàng)新意識.會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界,表現(xiàn)為能夠運用符號運算、形式推理等數(shù)學(xué)方法,分析、解決數(shù)學(xué)問題和實際問題.會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界表現(xiàn)為:數(shù)據(jù)意識或數(shù)據(jù)觀念、模型意識或模型觀念、應(yīng)用意識.通過經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實世界中的簡單數(shù)量關(guān)系與空間形式的過程,學(xué)生初步感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的交流方式[3].可見學(xué)生符號意識形成與核心素養(yǎng)密切相關(guān),隨著義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的頒布和實施,以核心素養(yǎng)立意的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革必將向縱深的方向發(fā)展,初中生符號意識的形成其本身就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分,也是數(shù)學(xué)交流和表達(dá)的重要載體,初中生符號意識形成策略值得深入研究.