余樹寶 袁 悅

合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (230601) 合肥工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué) (230009)

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版2020年修訂)中,對“圓錐曲線的方程”做了如下學(xué)業(yè)要求:能夠根據(jù)不同的情境,建立橢圓、拋物線、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,能夠運(yùn)用代數(shù)的方法研究上述曲線之間的基本關(guān)系,能夠運(yùn)用平面解析幾何的思想解決一些簡單的實(shí)際問題．

縱觀歷年考題,圓錐曲線的考查多以考查圓錐曲線方程與幾何性質(zhì),考查直線與圓錐曲線位置的關(guān)系為主,滲透著函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等主要數(shù)學(xué)思想,對學(xué)生的邏輯思維、運(yùn)算求解等關(guān)鍵能力和直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等學(xué)科素養(yǎng)要求較高．

為此,筆者以2022年全國乙卷理科第20題圓錐曲線問題教學(xué)為例,談?wù)勛约旱慕虒W(xué)過程、設(shè)計(jì)意圖以及教學(xué)思考,供同行參考．

1 考題再現(xiàn)

(1)求E的方程;

2 考題分析

這是一道探索創(chuàng)新情境試題,具體考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓相交的位置關(guān)系下動直線恒過定點(diǎn)等知識．

第(1)問是求解橢圓E的方程,核心條件是給出了橢圓上的兩點(diǎn)坐標(biāo),核心考點(diǎn)是用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,問題的關(guān)鍵是橢圓方程應(yīng)設(shè)為什么樣的形式可以簡化運(yùn)算．

第(2)問是基于橢圓與直線相交來構(gòu)建問題,在解題的過程中應(yīng)先確定目標(biāo)問題,然后為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo),應(yīng)明確需要的條件以及題目中給出的已知條件．此題的目標(biāo)問題是動直線HN過定點(diǎn),需要寫出動直線HN的方程,并將直線方程整理成斜截式y(tǒng)=kx+m,接下來有兩條途徑可求定點(diǎn):一是通過尋找k,m關(guān)系,求定點(diǎn)坐標(biāo);二是通過特殊位置發(fā)現(xiàn)定點(diǎn),然后驗(yàn)證一般情況下動直線也過這一點(diǎn)．具體路徑是先選擇好主變量,求過定點(diǎn)P的動直線與橢圓相交于M,N兩點(diǎn)坐標(biāo),然后依次求出T、H坐標(biāo),從而得到動直線HN的方程,最后說明動直線過定點(diǎn)．核心考點(diǎn)是橢圓與直線之間的位置關(guān)系,以及定點(diǎn)存在并求解．

3 教學(xué)設(shè)計(jì)

基于學(xué)生數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)發(fā)展,本節(jié)課以問題為導(dǎo)向,采取啟發(fā)式、互動式、探究式教學(xué)法開展教學(xué)．

3.1 探究橢圓方程求解

問題1 橢圓的方程的形式有幾種?求橢圓的方程常用什么方法?

追問:你能確定本題中的橢圓的焦點(diǎn)位置嗎?如果不能,我們該采用橢圓哪種形式的方程?

教師提醒學(xué)生在無法確定橢圓的焦點(diǎn)位置時(shí),可考慮將橢圓方程設(shè)為Ax2+By2=1,這樣可以避免對焦點(diǎn)位置的討論．

設(shè)計(jì)意圖:旨在回顧橢圓的方程的表達(dá)形式與求解方法,突出在求解橢圓方程的過程中,橢圓方程選擇的重要性,好的選擇有利于方程的求解．

問題2 完成第(1)問需要幾步?請寫出解答過程．

根據(jù)上述分析,結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,大多學(xué)生應(yīng)該能夠獨(dú)立梳理做題思路、表達(dá)解題過程．教師給予學(xué)生適量答題時(shí)間,待學(xué)生完成后,展示解題步驟,并針對科學(xué)性和規(guī)范性加以點(diǎn)評．

第一步(設(shè)方程):設(shè)橢圓E的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)．

追問：我們已經(jīng)求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程,你能否畫出本題中橢圓的簡圖嗎?

教師要求學(xué)生根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程快速畫出橢圓簡圖,為接下來借圖分析問題做好鋪墊．

設(shè)計(jì)意圖:旨在讓學(xué)生通過獨(dú)立完成解題過程,提高學(xué)生數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力和規(guī)范書寫能力．另外,建立圖形與代數(shù)的聯(lián)系,利用幾何圖形描述問題,借助幾何直觀理解問題,發(fā)展學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合的思想在解決圓錐曲線問題的重要性．

3.2 探究動直線過定點(diǎn)

問題3 已知動直線l1的方程是y=kx+2,動直線l2的方程是y=(m+1)x+m,你能分別判斷出l1,l2所過的定點(diǎn)坐標(biāo)嗎?

學(xué)生:對于直線l1,當(dāng)x=0時(shí),斜率k不影響y的值,此時(shí)y=2,所以直線l1過定點(diǎn)(0,2)．對于直線l2,可以將其直線方程整理成y=m(x+1)+x,當(dāng)x+1=0,即x=-1時(shí),m不影響y的取值,此時(shí)y=-1,所以直線l2過定點(diǎn)(-1,-1)．

設(shè)計(jì)意圖:通過具體問題,幫助學(xué)生回顧并理解動直線過定點(diǎn)問題,旨在為第(2)的解決提供解題策略．

問題4 第(2)問中有幾條動直線?哪條是主動直線?哪條是從動直線?動直線HN的位置最終取決于哪條動直線?

教師給學(xué)生思考的時(shí)間,進(jìn)行小組討論．

學(xué)生:三條動直線MN,MT,HN,其中過點(diǎn)P的直線MN是主動直線,其位置的變化影響著直線與橢圓相交的交點(diǎn)M、N,其中M點(diǎn)的變化決定點(diǎn)T的位置,從而影響點(diǎn)H的位置,所以動直線HN的位置最終取決于動直線MN．

此時(shí)教師再次提醒學(xué)生應(yīng)當(dāng)根據(jù)題意,先畫出簡圖(如圖1),并借助圖形來分析．

圖1

設(shè)計(jì)意圖：旨在讓學(xué)生感知本題中所涉及到的直線,除了直線AB,其余的都是動直線,并且各個(gè)交點(diǎn)都與主動直線MN存在著內(nèi)在關(guān)系．

問題5 要確定過點(diǎn)P(1,-2)的動直線MN的位置,我們設(shè)直線MN的斜率為k,是不是最好的選擇?

學(xué)生思考并回答．以往的解題經(jīng)驗(yàn)告訴我們,若直線l斜率一定存在,則設(shè)直線方程為y=kx+m,否則均需要補(bǔ)充說明斜率不存在的情況．若直線l的斜率不可能為0,則可設(shè)直線方程為x=ty+n．此題中,顯然直線MN的斜率不可能為0,所以我們?yōu)榱吮苊庥懻?我們最好設(shè)直線MN的方程為x=t(y+2)+1,即x=ty+(2t+1)．

設(shè)計(jì)意圖：基于前面的分析,我們有必要先確定直線MN的方程．大多數(shù)學(xué)生習(xí)慣于設(shè)直線的斜率,易忽視斜率不存在的情形．另外,也基于減少運(yùn)算量和運(yùn)算步驟,提醒學(xué)生過定點(diǎn)的直線有兩種設(shè)法．

問題6 接下來我們將按怎樣的路徑來走?

學(xué)生:先將直線MN和橢圓方程聯(lián)立,得(4t2+3)y2+8t(2t+1)y+8(2t2+2t-1)=0．

追問1：需要求方程的根嗎?

追問2：你能否根據(jù)M,T,H三點(diǎn)之間的關(guān)系,來表示出點(diǎn)H(xH,yH)的坐標(biāo)嗎?

學(xué)生:第一步先求點(diǎn)T的坐標(biāo),第二步再求點(diǎn)H的坐標(biāo)．具體如下:

追問3:由點(diǎn)H,N的坐標(biāo)能否將直線HN的方程寫成y=○x+□的形式嗎?

教師給予學(xué)生思考、計(jì)算的時(shí)間,鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,并且板書運(yùn)算過程．

追問4:為了證明直線HN過定點(diǎn),有必要將○,□用變量t來表示嗎?需要利用什么?

設(shè)計(jì)意圖:教師通過層層設(shè)問,引導(dǎo)學(xué)生尋找解題路徑,探究解題技巧,完成解題過程．并在問題解決的過程中,讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想,提升學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

問題7 本題還有其它的解題路徑嗎?

教師給予肯定,并讓學(xué)生課后再思考優(yōu)化本題解題路徑的好方法,下次課共享．

設(shè)計(jì)意圖:旨在訓(xùn)練學(xué)生思維,尋求一題多解的方法,追求最佳解題路徑,提高解題效率,積累此類問題解題經(jīng)驗(yàn)．同時(shí),這種解法先特殊后一般,可簡化運(yùn)算過程,也是解決定點(diǎn)問題的一種策略,這種方法體現(xiàn)了特殊與一般的思想．

4 教學(xué)思考

4.1 關(guān)注學(xué)生,實(shí)施問題導(dǎo)向

教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)要圍繞學(xué)生,尊重學(xué)生,適應(yīng)學(xué)生,因材施教．因此,課堂教學(xué)中采取啟發(fā)式、互動式、探究式的教學(xué)法,教會學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí),充分體現(xiàn)學(xué)生主體地位,問題是數(shù)學(xué)的心臟,教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)最好以問題為導(dǎo)向,將綜合性強(qiáng)、思維量大的問題,化為一個(gè)個(gè)小問題串,引導(dǎo)學(xué)生由淺入深,循序漸進(jìn),點(diǎn)燃學(xué)生思維火花,激發(fā)學(xué)生求知欲望,持續(xù)讓學(xué)生體會到問題解決成功的快樂．

4.2 總結(jié)方法,重視解題策略

波利亞說過,掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題．雖然圓錐曲線問題變化多樣,但是題型總是有限的,且各種題型的解決方法和求解思路往往是有一定的規(guī)律性．常見的圓錐曲線問題,除本題中的曲線方程求解問題、定點(diǎn)問題,還有定值問題、最值或范圍問題、探索性或存在性問題等等．備考復(fù)習(xí)時(shí),建議教師多多引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析和解決問題,多指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)各種題型的通性通法,讓學(xué)生不斷積累解題經(jīng)驗(yàn),以便在應(yīng)試時(shí)快速找到解題策略、完成解答過程．

4.3 滲透思想,發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想是解題的精髓．圓錐曲線問題的解決往往需要應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、方程、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想,來有效降低思維難度,簡化解題過程,尤其是數(shù)形結(jié)合思想．盡管解析幾何是用方程來研究曲線,但借助圖形,利用曲線的幾何性質(zhì)仍是解析幾何問題解決的有效手段．同時(shí),圓錐曲線問題的解決,對學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求較高,因此課堂教學(xué)時(shí),要重視對學(xué)生的關(guān)鍵數(shù)學(xué)能力和核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)和發(fā)展,以適應(yīng)具有選拔性的新高考．