摘要：課堂是由學(xué)生生成數(shù)學(xué)任務(wù)、生長數(shù)學(xué)知識，開展交互式數(shù)學(xué)活動，梳理自己的思維，評價(jià)和反饋其他同學(xué)的思維，經(jīng)歷思維的打磨過程.課堂中的練習(xí)題是由學(xué)生根據(jù)習(xí)得的數(shù)學(xué)知識自己編制而成的數(shù)學(xué)題目.經(jīng)過“獨(dú)立編題；小組內(nèi)交流、反饋；組際交流，將各組編題進(jìn)行歸類和排序；問題解決，追蹤思維，提煉方法；展示編題路徑、提煉編題的方法”等環(huán)節(jié)，充分體現(xiàn)學(xué)生主體性和思維的交互、評估和創(chuàng)造.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)高階思維；生本課堂；課堂演進(jìn)

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維的重點(diǎn)是課堂中使學(xué)生深度卷入數(shù)學(xué)活動過程，實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階.課堂中踐行“不用PPT，不用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)題”［1］，由學(xué)生生成數(shù)學(xué)任務(wù)、生長數(shù)學(xué)知識，親歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程.課堂中的練習(xí)題由學(xué)生根據(jù)習(xí)得的數(shù)學(xué)知識自己編制而成，讓學(xué)生親歷提出問題、分析問題與解決問題的過程.課堂以學(xué)生主動參與為本，以深度經(jīng)歷和體驗(yàn)為徑，以思維層次的提升為旨.下面以“特殊平行四邊形”［2］單元復(fù)習(xí)課為例，談?wù)劇吧?、生成、生長”的課堂演進(jìn)過程.

1 由學(xué)生梳理知識，架構(gòu)體系

問題1? 你有哪些辦法判定一個(gè)四邊形是平行四邊形？

學(xué)生回顧之前學(xué)過的知識，通過思考，回答平行四邊形的判定方法，教材提供了三個(gè)判定定理.

問題2? 能否說出所有判定平行四邊形的方法？

這個(gè)問題其實(shí)就是指向于學(xué)生去尋找判定方法的規(guī)律或者基本特征，追蹤“判定”的基本方法.

學(xué)生面臨任務(wù)時(shí)，會產(chǎn)生思維的沖突.首先激發(fā)獨(dú)立思考，產(chǎn)生想法，需要得到其他同學(xué)共鳴；碰到困惑和挫折，需要得到其他同學(xué)提示和啟發(fā).這樣學(xué)生就會產(chǎn)生交流需求，自覺進(jìn)入群組互動環(huán)節(jié).

群組互動：讓組內(nèi)每位學(xué)生“出聲思考”——“說出”自己的思維及其發(fā)現(xiàn)過程，實(shí)現(xiàn)思維曝光.

小組反饋：要判定一個(gè)四邊形是平行四邊形需要兩個(gè)特征條件，可以考慮邊的特征，也可以考慮角或者對角線的特征，梳理得到平行四邊形有十個(gè)表現(xiàn)特征，分別為兩組對邊相等、兩組對邊平行，兩組對角相等，兩組鄰角互補(bǔ)，兩條對角線互相平分.這十個(gè)特征里任選兩個(gè)作為條件就可以得到四十五種判定平行四邊形的方法，如表1.至于這些判斷方法是否正確，有待驗(yàn)證.如果是真命題，則需要證明；如果是假命題，則需要舉出反例.

問題3? 可以用這種方式類比探究其他圖形嗎？

學(xué)生自主探究：獨(dú)立思考—群組互動—反饋.要判定四邊形是矩形，還需增加一個(gè)矩形的特征.矩形有兩個(gè)表現(xiàn)特征，選其中一個(gè)，即可在原來判定平行四邊形的基礎(chǔ)上判定矩形.同樣的道理要判定四邊形是菱形，還需增加一個(gè)菱形的特征，菱形有三個(gè)表現(xiàn)特征，選其中一個(gè)，即可在原來判定平行四邊形的基礎(chǔ)上判定菱形.同學(xué)們得到45×2×3=270種判定一個(gè)四邊形是正方形的方法.因而非常激動，由同學(xué)歸納判斷一個(gè)四邊形是平行四邊形的基本策略，如圖1所示：

這其實(shí)是方法的習(xí)得，不僅可以重新梳理整合之前學(xué)習(xí)過的圖形的判定方法，還可以用這樣的方法探究新的圖形.

2 由學(xué)生編題，將知識轉(zhuǎn)化為問題解決

任務(wù)：既然學(xué)習(xí)了判定一個(gè)四邊形是平行四邊形方法，那么用這些知識可以解決什么樣的問題呢？

此問題引起學(xué)生思考如何將知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)題，養(yǎng)成數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用意識.

環(huán)節(jié)1：每個(gè)學(xué)生獨(dú)立編題.

環(huán)節(jié)2：學(xué)生編題后小組交流，保證編的題更有科學(xué)性和針對性.

通過互動，學(xué)生的思維能得到回應(yīng)和反饋.吸收各小組反饋的不同結(jié)論、不同思考路徑和創(chuàng)造性的想法，并對自己的思維進(jìn)行進(jìn)一步加工，因此，群組交流的過程是思維的優(yōu)化過程.

環(huán)節(jié)3：每一組反饋所編的不同類型的題.

環(huán)節(jié)4：組際交流.

將各組反饋的所編題目按不同類型、不同難度進(jìn)行歸類和排序，使解決問題變得有序而有梯度.

環(huán)節(jié)5：呈現(xiàn)最終分類、分層的學(xué)生編題.本節(jié)課組際評估出的思維水平層次較高的兩道編題如下：

例1? 如圖2，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E.

（1）求證：四邊形ADCE為矩形；

（2）添加什么條件時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形？

例2? 已知，兩個(gè)含30°角的三角板ABC和FED如圖3-1放置，現(xiàn)翻折三角板FED到FE′D，如圖3-2）所示.

（1）求證：四邊形BFE′C是平行四邊形.

（2）要使四邊形BFE′C是矩形，還需要什么條件？有沒有辦法使它為正方形？

3 由學(xué)生追蹤解題和編題過程，提煉方法

環(huán)節(jié)6：解決問題，質(zhì)疑、拓展.

（1）要求所有學(xué)生將他組編的題，落到筆頭.

（2）反饋不同解法、思路及其發(fā)現(xiàn)的路徑；反饋遇到的挫折及其解決辦法；反饋存在的疑問或質(zhì)疑；反饋有創(chuàng)造性的想法，包括有創(chuàng)造性但沒有形成結(jié)論的想法、有創(chuàng)造性但結(jié)論錯(cuò)誤的想法；反饋可能碰到的典型錯(cuò)誤.

（3）由學(xué)生對編題和解法提出質(zhì)疑和變式.

（4）教師隆重地板書，記錄學(xué)生的表達(dá).

各組在互相點(diǎn)評、反饋的過程中，吸收并優(yōu)化了自己的思維．

環(huán)節(jié)7：展示編題路徑、提煉編題方法.以供沒有編出題目或者不是按這樣的思路編題的同學(xué)學(xué)習(xí)、反思和評估.

編得例1的同學(xué)反饋：要編一個(gè)矩形判斷的問題，可由平行四邊形加一個(gè)直角的條件得到，而平行四邊形可以由兩組對邊分別平行得到.其中一組對邊平行由“角平分線+等腰三角形”得到;另一組對邊平行和直角，由“垂直于平行線的兩直線”得到，如圖4所示.

編得例2的同學(xué)反饋：如圖5所示的流程，我們組想要用一種對邊平行且相等來得到一個(gè)四邊形是平行四邊形，而對邊相等可以由全等得到，我們每個(gè)人手頭上都有兩副三角板（用同是含30°角的直角三角板），如圖3-1，兩條斜邊一部分重疊在一條直線上，就滿足了第一個(gè)條件.然后，想要用內(nèi)錯(cuò)角相等來得到對邊平行，這里有內(nèi)錯(cuò)角，但是沒能得到平行線的內(nèi)錯(cuò)角，于是把一個(gè)三角板翻折下去，如圖3-2，只要判斷四邊形BFE′C是平行四邊形即可.

評析：這個(gè)環(huán)節(jié)最有創(chuàng)造性的表現(xiàn)是將三角板實(shí)物操作過程“翻譯”成數(shù)學(xué)圖形，補(bǔ)全△DE′F，尤其補(bǔ)全在實(shí)物操作中并不存在的兩條線段BF和E′C是題目編成和實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的關(guān)鍵所在，“畫出圖形”需要學(xué)生正真理解問題的本質(zhì).

接著，按照圖形特征研究的一般方法，想到在平行四邊形的基礎(chǔ)上，需要添加什么條件得到一個(gè)矩形呢？我們在平行四邊形BFE′C的∠FBC處添加了一個(gè)直角符號，但圖中∠FBC明顯不是一個(gè)直角，所以不能直接畫一個(gè)直角符號就表示它是直角了.先把平行四邊形畫成矩形，判斷它還需要補(bǔ)充什么條件.

評析：從圖3-2到圖6-1，對學(xué)生來說是一個(gè)非常簡單的嘗試，但對下一步起到了重大的作用.因?yàn)榫o接著他們要補(bǔ)充條件得到一個(gè)正方形.

根據(jù)剛才的思路，先把這個(gè)正方形畫出來，滿足正方形的特征，正方形的對角線平分一組對角（還需滿足FB與FE′對稱），而根據(jù)操作，F(xiàn)E′是由FE翻折得到的，因此，當(dāng)平行四邊形BFE′C是正方形時(shí)，F(xiàn)B與FE重合，所以點(diǎn)B與E重合，得到圖6-2.

從圖6-1到圖6-2，是學(xué)生創(chuàng)造性思維的體現(xiàn)，它來自于數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身的邏輯.最后創(chuàng)造性得到綜合問題：△ABC沿AC的一條垂線對稱得到△DEF（如圖3-1），再沿AD所在直線對稱到△DE′F（如圖3-2）.（1）求證：四邊形BFE′C為平行四邊形.（2）再添一個(gè)什么條件可得到矩形、正方形呢？學(xué)生經(jīng)過作圖得到圖6-2，從而確定題目條件．

學(xué)生編的題完全達(dá)到了本堂課所要求的思維水平層次，給學(xué)生帶來了很大的鼓舞、震撼和觸動.

組際提出質(zhì)疑：三角板按圖3-1放置，本身是一個(gè)對稱圖形，平移就可以直接得到平行四邊形，那么他們組通過翻折得到圖3-2，想得到平行四邊形考慮再對稱，兩次軸對稱就成了一次中心對稱，直接得到平行四邊形.

評析：整個(gè)構(gòu)圖過程中，學(xué)生自己嘗試條件的構(gòu)造，經(jīng)歷了由知識點(diǎn)到圖形符號到數(shù)學(xué)問題的構(gòu)造過程，學(xué)生的評價(jià)和質(zhì)疑促進(jìn)學(xué)生從不同角度進(jìn)行思考，對問題的本質(zhì)有了更深層次的理解.

環(huán)節(jié)8：評價(jià)解題和編題.（1）自我評估.有什么思維的增長？有什么方法、能力的提升？（2）群組學(xué)生評價(jià)和質(zhì)疑.小組以題目原創(chuàng)、新穎、思維含量高、解法多樣、編題方法可操作等為評價(jià)標(biāo)準(zhǔn).（3）教師評價(jià).以學(xué)生為主體的課堂中，學(xué)生思維的深度在于群組互動時(shí)，教師能否敏銳地抓取到學(xué)生生成的創(chuàng)造性信息及不同的思維路徑.教師要大張旗鼓地鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)群組互動中產(chǎn)生的質(zhì)疑、有創(chuàng)造性的想法.這是對學(xué)生創(chuàng)造性思維的一種肯定，倡導(dǎo)學(xué)生不只是追求正確的結(jié)論，更多地去追求創(chuàng)造性思維過程.

評析：由學(xué)生編題，使問題產(chǎn)生（編題及方法）與問題解決（解題及方法）形成閉環(huán)，小組交流、反饋，促成學(xué)生創(chuàng)造性思維，提煉編題的方法.教師的行為、煽動性的追問，是鼓勵(lì)和回應(yīng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和方法的重要策略.

4 生本課堂發(fā)展學(xué)生高階思維的關(guān)鍵

促動學(xué)生高階思維的課堂，關(guān)鍵在于能否以學(xué)生為主體.這需要解決以下三個(gè)問題：

（1）學(xué)生編出來的問題不是教師想要的問題怎么辦？學(xué)生之所以編出這些問題，是他認(rèn)知范圍內(nèi)知識產(chǎn)生的路徑所理解的問題表述.不用PPT的好處就是可以把這些問題納入課堂要解決的問題，如果預(yù)設(shè)PPT的話，那么學(xué)生編出來的問題不在PPT預(yù)設(shè)之內(nèi)，就會經(jīng)常出現(xiàn)這樣的狀況：你這個(gè)問題很好，我們課后去研究.因此，利用PPT會造成教學(xué)沒有辦法以學(xué)生為中心.至于這個(gè)問題的科學(xué)性和內(nèi)容的針對性在小組互動的時(shí)候，已經(jīng)篩選過了，并進(jìn)行了分類、分層.因此，凡是學(xué)生編出來的問題都是課堂中要解決的問題，學(xué)生編出的問題反應(yīng)了學(xué)生的疑問和當(dāng)前的認(rèn)知水平，這些題可能教師自己沒有想到，因而把學(xué)生的問題納入到課堂中來，同時(shí)，教師的教學(xué)策略也應(yīng)據(jù)此作出改變.

（2）課程內(nèi)容所涉及到的數(shù)學(xué)知識，如果學(xué)生編寫的問題中沒有得到反映和完善怎么辦呢？事實(shí)上，促動學(xué)生有序思考，類比已有知識探究的方法，課堂上所要研究的問題基本上學(xué)生都會涉及到；如果沒有想到，小組同學(xué)互動一下，經(jīng)過思維的碰撞就會得到這些問題；進(jìn)一步教師在巡視時(shí)可以介入到小組中對類似的探究進(jìn)行追問，必然會追蹤到問題的本源.

（3）學(xué)生為主體的開放課堂怎樣收回來呢？實(shí)際上每次上課都要做好整個(gè)內(nèi)容的設(shè)計(jì)以及PPT（包括PPT的每一張動畫），然后，上課之前經(jīng)過深思熟慮會把PPT刪去，之所以能夠把課堂收回來，最主要的原因是教師對課堂內(nèi)容非常嫻熟.教師課堂上要關(guān)注教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的反應(yīng)，在數(shù)學(xué)內(nèi)容非常熟練的情況下，教師的注意力可都放在學(xué)生身上.學(xué)生編出來的問題，如果正好是預(yù)設(shè)體系里有的內(nèi)容，便可以直接把這個(gè)問題納入到本節(jié)教學(xué)體系中；如果原預(yù)設(shè)中沒有，那就是學(xué)生現(xiàn)場生成的創(chuàng)造性產(chǎn)物.教師要對學(xué)生新生成的問題作出判斷和評估，也就是說，能不能挖取到學(xué)生原創(chuàng)的東西，是對教師最基本能力的考量.

參考文獻(xiàn)：

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