劉雪松 姚 玲 彭天亮

（1.安徽新華學(xué)院移動(dòng)通信實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230088；2.江西省水信息協(xié)同感知與智能處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330099）

一、引言

高光譜遙感圖像具有豐富的圖譜信息， 因而被廣泛用于軍用，民用等領(lǐng)域[1-2]。 高光譜遙感圖像中的像元通常是以混合像元的形式呈現(xiàn)[2-3]，這主要是因?yàn)榈孛姝h(huán)境的復(fù)雜多樣和空間分辨率的各種限制。 而混合像元解混的目的就是從中提取出相應(yīng)的地物信息（端元）， 及這些端元所占像元的比例（豐度）， 從而減少對(duì)先驗(yàn)知識(shí)的依賴。 非負(fù)矩陣分解（NMF）與線性混合的高光譜模型比較一致，因此在高光譜解混中被廣泛應(yīng)用。 近年來(lái)， 隨著科研工作者開始利用核函數(shù)將經(jīng)典的線性特征提取與分類識(shí)別的方法推廣到一般的情況[4]，使得核函數(shù)理論和NMF 理論相結(jié)合得以實(shí)現(xiàn)，并且成為高光譜解混的重要研究方向。 目前基于核函數(shù)的核非負(fù)矩陣分解（Kernel NMF,KNMF）算法[5]主要有：核非負(fù)矩陣分解（no-pure-pixels KNMF,npKNMF）[6]， 該算法不包含純像元。約束的核非負(fù)矩陣分解（Constrained KNMF,CKNMF）[7]， 雙目標(biāo)非負(fù)矩陣分解 （Bi-objective NMF）[8]等。 但是，基于傳統(tǒng)的高光譜分解方法往往忽略了在典型的高光譜圖像（HI）中觀察到的光譜特征具有潛在變異性， 從而導(dǎo)致這種分解存在很大的誤差[9]。 為了克服這一問(wèn)題，通常根據(jù)數(shù)據(jù)所具有的不同屬性， 將其分成不同的子空間， 進(jìn)而得到高階數(shù)據(jù)的推廣應(yīng)用，非負(fù)張量分解算法（Non-negative Tensor Factorization,NTF）。該方法構(gòu)建的張量空間能夠充分的挖掘數(shù)據(jù)中潛在的信息， 因此張量分解在許多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[10]。

1963 年，Tucker[11]提出了Tucker 分解算法。 所以， 矩陣-張量分解的光譜解混分為典型多態(tài)分解（Canonical Polyadic Decomposition，CPD）[12]、Tucker 分解（Tucker Decomposition，TD） 以及BTD 分解（Block Term Decompositions，BTD）[13]。張量結(jié)構(gòu)存在于許多現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)中，例如圖像數(shù)據(jù)中的圖像值，所以，HIS 自然地被表示并視為張量，因此，基于高光譜圖像的張量分解得以廣泛應(yīng)用。 但是，它們將解決方案限制在低階張量上， 而低階張量往往不能代表現(xiàn)實(shí)世界場(chǎng)景的復(fù)雜性，同時(shí)，它們?nèi)狈ΡＷC最終成員和豐度能被正確地分解在各自的張量中。 因?yàn)?，高階（＞2）張量的低秩分解傾向于捕捉張量結(jié)構(gòu)中的同質(zhì)性， 所以讓低秩張量分解這種策略對(duì)HU 更有吸引力。 ULTRAV 這種算法[9]被提出，它通過(guò)正則化來(lái)施加低秩結(jié)構(gòu)，其嚴(yán)格性由標(biāo)量參數(shù)控制。 該方法與最先進(jìn)的解釋光譜變異性的解混算法相比具有更高的精度。 為了尋求張量低秩分解的廣泛應(yīng)用， 一些學(xué)者開始將張量分解在低秩上的表現(xiàn)與核函數(shù)相結(jié)合， 如Pan等提出了一種基于字典學(xué)習(xí)的雙張量核表示方法（LRR-TTK）[14]，Xiao 等提出了基于核函數(shù)的低秩表示方法（RKLRR）[15]。

但是，上述方法都存在以下問(wèn)題：基于核空間下的NMF 模型存在參數(shù)難以確定問(wèn)題；基于張量分解下的解混算法復(fù)雜度高，并且運(yùn)行效率低。 因此，有必要針對(duì)非線性光譜混合模型存在參數(shù)難以確定、自身復(fù)雜度及高光譜圖像（HI）中的光譜特征具有潛在變異性等問(wèn)題來(lái)深入研究高光譜解混算法之間的聯(lián)系，改善解混算法性能方面的應(yīng)用潛力。

二、基于核方法的NMF

（一）線性混合NMF 解混模型

目前，較為應(yīng)用最廣泛的混合像元分解模型是線性光譜混合模型，該模型表示如下：

其中X=[x1,x2, …，xM]T為單個(gè)像素點(diǎn)的接收譜傳感器信號(hào)，M 為譜通道數(shù)，（·）T是轉(zhuǎn)置。 A 是端元矩陣，其大小為M×P, P 是端元的個(gè)數(shù)，S=[s1,s2,…，sp]T為豐度向量, n 為相應(yīng)的噪聲向量。 寫成矩陣形式可以寫成如下：

類比上述式子的推導(dǎo)方法， 將其思想引入到多項(xiàng)式核非負(fù)矩陣分解中， 同樣可以得到多項(xiàng)式核張量非負(fù)矩陣分解算法（PLKTNMF）的加性更新規(guī)則。

（二）核空間下的線性核NMF 模型

核方法的一般過(guò)程為首先將模式分析算法調(diào)整為輸入向量?jī)?nèi)積的形式，然后將分析算法與核函數(shù)相結(jié)合，利用核函數(shù)計(jì)算特征空間中兩個(gè)輸入向量映射的內(nèi)積[16]。 其表示形式為：

治療前兩組患者的神經(jīng)功能缺損評(píng)分差異沒有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（t=0.084，P=0.933）。甲組患者治療后的神經(jīng)功能缺損評(píng)分小于治療前，差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（t=28.071，P=0.000）。乙組患者治療后的神經(jīng)功能缺損評(píng)分小于治療前，差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（t=17.109，P=0.000）。治療后，甲組患者的神經(jīng)功能缺損評(píng)分小于乙組，差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（t=11.687，P=0.000）。如表2。

通過(guò)前面更新規(guī)則算法的分析，進(jìn)而可得出基于加性和乘性更新規(guī)則的多項(xiàng)式核NMF（PLKNMF），C為常數(shù)。

（三）核空間下的多項(xiàng)式核NMF 模型

多項(xiàng)式核理論：k（an,z）=（zTan+c）d，其中c 是非負(fù)常數(shù)，c 是用來(lái)平衡核函數(shù)中從高階到低階項(xiàng)的影響。 對(duì)其求梯度得：

將NMF 理論和核函數(shù)理論結(jié)合，得到核NMF 理論[17-18]。 其代價(jià)函數(shù)為：

（1）加性更新：

三、張量分解模型及其改進(jìn)算法

（一）NTF 模型

其中Sx1是張量S 的模1 展開，1p和1h1×h2表示一個(gè)p 維向量和一個(gè)h1×h2大小的矩陣，每個(gè)元素為1。

其中，A∈?hl×p是端元矩陣，Sn是在A 中對(duì)應(yīng)的系數(shù)向量，n 為噪聲。h1,h2,h3,p 分別是高光譜數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度、寬度、波段數(shù)和端元數(shù)。 對(duì)于整個(gè)HSI，它被認(rèn)為是一個(gè)三維張量X， 端元是一個(gè)二維矩陣A，因此，豐度S 和噪聲n 也應(yīng)該是張量的形式。 它可表示為：

其中Sx3是張量S 的模3 展開。 因此，在NTF 框架下的目標(biāo)函數(shù)為：

根據(jù)LMM，每個(gè)像素由所有端成員的線性組合形成。 因此，已知的高光譜數(shù)據(jù)X∈?h1,h2,h3，X 中的每個(gè)像素可Xn以表示為：

（二）低秩張量解混算法

曾有學(xué)者為了解決HU 問(wèn)題，捕獲HIS 的低維結(jié)構(gòu)，在NTF 的基礎(chǔ)上提出了一個(gè)有效策略將低秩結(jié)構(gòu)強(qiáng)加給豐度張量和端元張量，通過(guò)在四維端元張量上引入了一個(gè)新的低秩正則化，該張量包含每個(gè)像素的一個(gè)端元矩陣，以考慮端元的可變性[9]。 低秩張量分解的代價(jià)函數(shù)為：

為了有效地施加低秩約束，實(shí)現(xiàn)規(guī)律性，并保持建模的小變化和細(xì)節(jié)的靈活性。參考已有學(xué)者通過(guò)引入新的正則化項(xiàng)來(lái)修改式（13），新的代價(jià)函數(shù)產(chǎn)生了一種迭代算法[9]，稱為低秩張量正則化算法（ULTRAV）。在每次迭代中，ULTRA-V 更新豐度和端元張量的估計(jì)以及它們的低秩近似。 其代價(jià)函數(shù)為：

四、基于核函數(shù)與張量模型的KTNMF 算法

考慮核NMF 和低秩張量分解算法在高光譜解混中的優(yōu)勢(shì)，所以，我們將張量模型引入到核非負(fù)矩陣分解中去，將X 和A 以張量形式映射到特征空間H，得到和AΦh1,h2,L,P， 此時(shí)端元是一個(gè)4-D 張量。則得到KTNMF 的代價(jià)函數(shù)模型：

其中，N1，N2，L 分別為HSI 的長(zhǎng)、寬和波段數(shù)；P 為端元數(shù)。 對(duì)端元張量和豐度張量求導(dǎo)，得到梯度公式如下：

假設(shè)在正午時(shí)刻太陽(yáng)的方位角為A，如建筑物在12時(shí)刻的向光面坡向?yàn)?[A-90，A+90]，據(jù)此分別提取不同時(shí)刻的建筑物背光面輪廓(以下以提取時(shí)刻為12∶00 的背光面輪廓為例，其他時(shí)刻問(wèn)題不重復(fù)說(shuō)明)。選擇 [Spatial Analyst 工具]→[地圖代數(shù)]→[柵格計(jì)算]工具，在對(duì)話框中輸入公式：((" aspect 12">=90)&("aspect 12"<=270))&("aspect 12">= 0)，計(jì)算12∶00時(shí)方位角為180的建筑物背光面輪廓，如圖6。

同理，為了優(yōu)化上述問(wèn)題，根據(jù)梯度下降理論，得到基于線性核張量非負(fù)矩陣分解算法（LKTNMF）的加性更新規(guī)則：

施工準(zhǔn)備階段的技術(shù)準(zhǔn)備工作能夠?yàn)槭┕?chuàng)造有利的條件，以達(dá)到施工任務(wù)的順利進(jìn)行。施工準(zhǔn)備階段的技術(shù)管理工作的內(nèi)容及基本任務(wù)是為了分析建設(shè)工程特點(diǎn)、進(jìn)度和要求，摸清施工的客觀條件，編制施工組織設(shè)計(jì)并制定合理的施工方案，從而及時(shí)地從技術(shù)、物資、人力和組織上為工程施工創(chuàng)造一切必要的條件，保證施工過(guò)程的連續(xù)均衡進(jìn)行，保證工程在規(guī)定的工期內(nèi)交付使用，所以施工的組織指導(dǎo)工程項(xiàng)目應(yīng)加強(qiáng)施工組織設(shè)計(jì)的編制組織工作，明確對(duì)參加編寫的人員的分工，做到責(zé)任到人，最后匯總和修改定稿，以此達(dá)到施工組織設(shè)計(jì)在編制依據(jù)，編寫格式和基本內(nèi)容上的統(tǒng)計(jì)，最終實(shí)行標(biāo)準(zhǔn)化的管理。

加性更新規(guī)則雖然簡(jiǎn)單，但是其收斂速度與步長(zhǎng)取值有關(guān)，并且步長(zhǎng)的確定比較困難，為此，我們對(duì)加性更新規(guī)則進(jìn)行改進(jìn)，進(jìn)而提高收斂速度，避免參數(shù)的選擇。 令式（18）中的進(jìn)而可得出LKTNMF 豐度張量的乘性更新規(guī)則：

實(shí)驗(yàn)選取的高光譜圖像空間分辨率為64×64， 端元數(shù)為6。 實(shí)驗(yàn)中七種算法的初始化都是通過(guò)VCA-FCLS進(jìn)行的。 實(shí)驗(yàn)中， 信噪比分配給10dB，20dB，30dB 和40dB。 結(jié)果如圖2 所示。 從整體趨勢(shì)來(lái)看，幾種算法的SAD 和RMSE 隨著信噪比的增加而降低，混合像元分解的結(jié)果越來(lái)越好。 與其他五種算法相比，PLKTNMF 和LKTNMF 在所有情況下都能得到最小的SAD 和RMSE，所以其對(duì)噪聲有較強(qiáng)的魯棒性，算法性能最優(yōu)。在SAD 部分，L1/2NMF 較好，MV-NMF 和LKNMF 次之，ULTRA-V 和PLKNMF 最差。在RMSE 方面，L1/2NMF 較好，PLKTNMF 和ULTRA-V、LKNMF 和MV-NMF 相差不大，PLKNMF 最差。 信噪比在20dB 左右是一個(gè)臨界點(diǎn)。

上述模型求解的目標(biāo)函數(shù)如下：

用水總量方面，2013年全市實(shí)現(xiàn)GDP 14 500億元，同比增長(zhǎng)11.97%，工業(yè)增加值達(dá)到5 889億元。在全市經(jīng)濟(jì)保持持續(xù)增長(zhǎng)的情況下，近三年來(lái)用水總量基本持平并呈下降趨勢(shì)，全市原水供應(yīng)總量由2011年的19.55億m3下降到2013年的19.07億m3，下降2.5%。2013年全市自來(lái)水供應(yīng)總量為15.91億m3，與2011年相比下降1.49%。

在園林景觀的設(shè)計(jì)中，園林植物配置應(yīng)與周邊環(huán)境氛圍相結(jié)合，例如，學(xué)校的景觀設(shè)計(jì)，應(yīng)根據(jù)學(xué)校的環(huán)境，選擇桃樹和李樹作為主要樹種，如紫葉李、桃樹等，以頌揚(yáng)教師默默耕耘、無(wú)私奉獻(xiàn)的精神；政府機(jī)關(guān)的設(shè)計(jì)應(yīng)根據(jù)政府機(jī)關(guān)的環(huán)境景觀特點(diǎn)，選擇荷花和竹子作為主要樹種，以表達(dá)公務(wù)員出淤泥而不染、全心全意為人們服務(wù)的精神；居住區(qū)的景觀設(shè)計(jì)應(yīng)根據(jù)居住區(qū)的環(huán)境景觀特色，選擇柏樹和梧桐樹作為主要樹種，以代表人們的高潔莊嚴(yán)、長(zhǎng)壽無(wú)疆的寓意。

再由加性更新規(guī)則，設(shè)置步長(zhǎng)，簡(jiǎn)化計(jì)算和參數(shù)選擇，推導(dǎo)出相應(yīng)的乘性更新規(guī)則如下：

截至2018年底，聯(lián)盟網(wǎng)站共發(fā)布各類新聞300余條，聯(lián)盟微信公眾平臺(tái)總用戶數(shù)為9434人。發(fā)布2013～2017年《聯(lián)盟年報(bào)》共5期，《聯(lián)盟簡(jiǎn)報(bào)》共17期，《聯(lián)盟海外BIM簡(jiǎn)訊》共11期；聯(lián)盟每年發(fā)布年報(bào)1期，每季度定期發(fā)布簡(jiǎn)報(bào)及海外BIM簡(jiǎn)訊各1期，介紹聯(lián)盟工作情況及國(guó)內(nèi)外BIM最新資訊動(dòng)態(tài)、科研進(jìn)展、應(yīng)用實(shí)踐等。

5)綜合木墊板對(duì)錨桿預(yù)緊力損失、轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)化效率、預(yù)應(yīng)力擴(kuò)散效果影響的研究結(jié)論，建議在井下錨桿托盤下盡量不使用木墊板，以免大幅度降低支護(hù)效果。

總結(jié)上述描述，算法1 中給出了核張量非負(fù)矩陣分解（KTNMF）算法的流程，另外，在算法中設(shè)置了兩個(gè)終止條件，第一個(gè)是誤差容忍程度，如果算法在實(shí)驗(yàn)中連續(xù)迭代誤差的結(jié)果都在容忍誤差之內(nèi)，則迭代終止。第二個(gè)是迭代次數(shù)，當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到上限，迭代也會(huì)停止。

Algorithm1：KTNMF 算法偽代碼

五、實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)方面，本節(jié)分別利用一個(gè)模擬的高光譜數(shù)據(jù)和一個(gè)真實(shí)的高光譜數(shù)據(jù)驗(yàn)證所提算法的性能，并分別與L1/2NMF[19]、LKNMF[16]、PLKNMF[16]、MV-NTF[20]和ULTRA-V[9]方法獲得的結(jié)果進(jìn)行比較，其中，L1/2NMF、LKNMF、PLKNMF 是基于NMF 基礎(chǔ)作框架， 而MVNTF 和ULTRA-V 則是基于NTF 基礎(chǔ)作為框架的。所有的算法都是采