劉珈亦 范子萱 王立經(jīng) 夏鋮君 徐仁新

(1 揚州大學物理科學與技術學院引力與宇宙學研究中心 揚州 225009)

(2 北京大學物理學院天文學系 北京 100871)

(3 北京大學核物理與核技術國家重點實驗室 北京 100871)

1 引言

量子色動力學(Quantum Chromodynamics)表明強相互作用同時具有漸近自由和色禁閉兩個基本性質(zhì), 因此人們預期核物質(zhì)在密度足夠大后會發(fā)生解禁閉相變生成夸克物質(zhì). 該過程及其逆過程在地面實驗室中難以實現(xiàn), 但是卻有可能在極端天體環(huán)境下不斷發(fā)生, 如恒星演化末期的引力塌縮過程、雙星系統(tǒng)的并合過程甚至宇宙演化的早期.

對于夸克物質(zhì)的性質(zhì), 最早人們猜想由u、d、s夸克構成的奇異夸克物質(zhì)比核物質(zhì)更穩(wěn)定[1–3], 因此宇宙中可能存在各類由奇異夸克物質(zhì)構成的物體, 如奇異子[4–7]、奇異核素[8–9]、超密隕石[10]以及奇異星[11–13]等. 然而, 近期一些研究表明, 手征對稱性自發(fā)破缺將會導致s夸克質(zhì)量太大, 使奇異夸克物質(zhì)不再穩(wěn)定[14–15]. 在這種情況下, 奇異夸克物質(zhì)只可能存在于混雜星的中心或在重離子碰撞實驗過程中短暫地產(chǎn)生并迅速衰變.

另一方面, 在線性σ模型框架內(nèi), 通過擬合強子譜的實驗數(shù)據(jù), 人們發(fā)現(xiàn)僅由u、d夸克構成的輕夸克物質(zhì)(ud夸克物質(zhì))可能更穩(wěn)定[16], 此后其他模型也得到了相同的結(jié)論[17–21]. 因此, 與奇異夸克物質(zhì)類似, 宇宙中可能存在ud夸克物質(zhì)團[16,18]和ud夸克星[17,19–21]. 進一步研究發(fā)現(xiàn), 若ud夸克物質(zhì)的對稱能較大, 那么其物質(zhì)團會在特定大小時最穩(wěn)定[22–23]. 此時更重的ud夸克物質(zhì)團會發(fā)生裂變, ud夸克星表面則會碎裂成由這類物質(zhì)團和電子構成的殼層結(jié)構. 而除此之外, 甚至存在完全由ud夸克物質(zhì)團和電子構成的致密矮星, 即ud夸克矮星[22–23].

本文主要探討ud夸克物質(zhì)對稱能及其對ud夸克物質(zhì)團性質(zhì)的影響, 并在此基礎之上進一步討論ud夸克矮星的結(jié)構和性質(zhì). 我們發(fā)現(xiàn), 在對稱能較大時重子數(shù)A ≈1000附近的ud夸克物質(zhì)團最穩(wěn)定.而相較于傳統(tǒng)的白矮星, ud夸克矮星通常具有較小的半徑, 被正常物質(zhì)覆蓋的ud夸克矮星的半徑則在它們之間, 這與最近觀測到的質(zhì)量和半徑都異常小的白矮星相符.

2 原子核、ud夸克物質(zhì)團以及奇異子

為了得到原子核、ud夸克物質(zhì)團以及奇異子的性質(zhì), 我們首先對構成這些物質(zhì)集團的核物質(zhì)(Nuclear Matter, NM)、ud夸克物質(zhì)(ud Quark Matter, udQM)和奇異夸克物質(zhì)(Strange Quark Matter, SQM)在不考慮有限體積效應下的單位重子能εDM做二階展開, 即

這里的二階展開系數(shù)εs表示對稱能, 自變量fZ≡Z/A為比電荷, 其中Z和A分別表示電荷數(shù)和重子數(shù). 當fZ=fZ0時單位重子能最小(εDM=ε0),其對應的比電荷fZ0及最小單位重子能ε0在表1中列出. 需要指出的是, 原子核、ud夸克物質(zhì)團以及奇異子的密度隨重子數(shù)A的變化較小. 因此, 為了方便計算, 我們忽略了重子數(shù)密度變化的影響, 并假定(1)式對應物質(zhì)的重子數(shù)密度為n0.

表1 本文采用的對應于核物質(zhì)(NM)[24–25]、ud夸克物質(zhì)(udQM)[16]和奇異夸克物質(zhì)(SQM)[26]的參數(shù)組. 除此之外, 對于ud夸克物質(zhì)和奇異夸克物質(zhì), 我們還考慮了更大的對稱能(εs = 32、40、60 MeV)Table 1 The adopted parameter sets for nuclear matter (NM)[24–25], ud quark matter (udQM)[16], and strange quark matter (SQM)[26]. Larger symmetry energies are adopted for udQM and SQM as well(i.e., εs = 32, 40, 60 MeV)

表1列出了(1)式中由各類模型得到的核物質(zhì)[24–25]、ud夸克物質(zhì)[16]和奇異夸克物質(zhì)[26]的參數(shù)組. 值得一提的是, 表1中奇異夸克物質(zhì)單位重子能最小處的比電荷fZ0= 0.1是由微擾模型取特定參數(shù)組情況下得到的[26]. 而實際上采用其他參數(shù)組或模型時fZ0的具體取值會稍有不同, 甚至對于色味鎖定的奇異夸克物質(zhì)fZ0= 0. 除此之外,對于ud夸克物質(zhì)和奇異夸克物質(zhì), 表1所列的對稱能εs主要來源于夸克動能的貢獻, 而夸克之間的相互作用(如形成u-d夸克庫伯對)將會大大改變εs的具體取值[27–31]. 因此我們進一步考慮了εs= 32、40、60 MeV的情形來探討夸克物質(zhì)對稱能對ud夸克物質(zhì)團、奇異子以及ud夸克矮星的影響.

在液滴模型框架內(nèi), 考慮有限體積效應, 重子數(shù)A和比電荷fZ給定的原子核、ud夸克物質(zhì)團以及奇異子的單位重子能(εNugget)由下式得到

這里的第一項由(1)式給出,第二項對應于庫倫相互作用的貢獻(精細結(jié)構常數(shù)α= 1/137), 而第三項則來源于表面能. 表面能的具體取值由表面張力σ和物質(zhì)集團的表面積決定. 對于不同的物質(zhì)類型,σ的取值也存在較大差異, 表1列出了σ的典型值. 對于給定的重子數(shù)A, 我們對(2)式進行變分, 得到物質(zhì)集團滿足β平衡條件時的比電荷, 即

對于給定重子數(shù)A和比電荷fZ的物質(zhì)集團, 其所帶的電荷為Z=fZA.

圖1給出了液滴模型預言的原子核、ud夸克物質(zhì)團以及奇異子的比電荷和單位重子能隨重子數(shù)A的變化關系, 其中比電荷滿足β平衡條件, 由(3)式確定. 由圖中黑色實線可知, 隨著重子數(shù)A增加,β穩(wěn)定線上原子核的比電荷fZ從0.5附近開始單調(diào)下降, 而單位重子能卻存在一個最小值εNugget=930 MeV, 對應于56Fe. 隨著A增大,εNugget開始不斷增加, 此時原子核容易發(fā)生裂變并變得越來越不穩(wěn)定, 最終能夠被實驗證認的β穩(wěn)定原子核在266Hs終結(jié), 而目前實驗室合成的最重原子核則為294Og[35].原子核單位重子能存在極小值(56Fe)表明恒星核合成存在終點1取決于恒星的質(zhì)量, 核合成可能在56Fe之前就結(jié)束., 是白矮星產(chǎn)生和存在的必要條件.

圖1 滿足β平衡條件的原子核、ud夸克物質(zhì)團以及奇異子的比電荷(fZ, 上)和單位重子能(εNugget, 下). 圖中三角形代表當前實驗測得的最重β穩(wěn)定原子核266Hs[32–34], 若ud夸克物質(zhì)團的單位重子能小于266Hs則可以被排除.Fig.1 Charge-to-mass ratio (fZ, upper panel) and energy per baryon (εNugget, lower panel) for β-stable nuclei, udQM nuggets, and strangelets. The experimental data for the heaviest β-stable nucleus 266Hs is indicated with the open triangle[32–34], which rules out the udQM nuggets that are more stable than 266Hs.

對于ud夸克物質(zhì)團和奇異子,fZ和εNugget都隨重子數(shù)A單調(diào)下降, 并且當A足夠大時εNugget<930 MeV. 這表明ud夸克物質(zhì)和奇異夸克物質(zhì)都有可能比核物質(zhì)更穩(wěn)定,在A ≈1057時就會形成ud夸克星或奇異星. 除此之外, 我們發(fā)現(xiàn)ud夸克物質(zhì)團的比電荷與原子核類似, 這主要是因為它們都由兩味夸克構成, 在fZ= 0.5時, ud夸克物質(zhì)和核物質(zhì)能量最低. 而奇異子的比電荷比ud夸克物質(zhì)團小得多, 其主要原因是奇異夸克物質(zhì)由數(shù)量大致相同的u、d、s夸克構成. 另一方面, 由于目前實驗上還沒有發(fā)現(xiàn)有原子核衰變成為ud夸克物質(zhì)團, 因此可以采用最重的β穩(wěn)定原子核266Hs的單位重子能作為ud夸克物質(zhì)團的下限. 由圖1可知, 本文選取的參數(shù)組所對應的ud夸克物質(zhì)團都滿足這一要求. 在此基礎之上, 我們進一步增大對稱能使其達到εs=32、40、60 MeV, 以探討對稱能對ud夸克物質(zhì)團和奇異子性質(zhì)的影響. 我們發(fā)現(xiàn), 隨著εs增加, ud夸克物質(zhì)團和奇異子的比電荷都增加并且趨近fZ0,其對應的每重子能量也增大并趨近于(2)式給出的εNugget(A,fZ0). 由于奇異子的比電荷較小并接近fZ0, 其能量增大的幅度不明顯. 而對稱能對ud夸克物質(zhì)團的影響則大得多,由于額外增加的庫倫排斥,其單位重子能εNugget在A較大(?103)時隨著εs顯著增加, 并在A較小(?102)時εNugget保持不變. 此時就會出現(xiàn)ud夸克物質(zhì)團在特定大小(A ≈1000)時最穩(wěn)定的情形. 在這種情況下, 類似于原子核單位重子能存在極小值的情形, 更重的ud夸克物質(zhì)團將會發(fā)生裂變, 并且還可能存在由這類ud夸克物質(zhì)團和電子組成的晶體結(jié)構, 形成ud夸克星的外殼和ud夸克矮星.

3 白矮星和致密矮星

為了計算得到ud夸克物質(zhì)團或原子核與電子構成的晶體結(jié)構, 我們這里采用BPS (Baym-Pethick-Sutherland)模型[36], 即假定物質(zhì)集團為球形, 沉浸在均勻分布的電子氣當中并構成體心立方晶體. 在給定平均重子數(shù)密度nb、物質(zhì)集團比電荷fZ以及重子數(shù)A的情況下, 具有體心立方晶格結(jié)構的致密物質(zhì)的能量密度為

這里的第一項由液滴模型(2)式給出, 代表物質(zhì)集團的能量密度. 其對應的物質(zhì)集團數(shù)密度為nd=nb/A、Wigner-Seitz (WS)原胞半徑為RW= (3A/4πnb)1/3、物質(zhì)集團的半徑為Rd= (3A/4πn0)1/3. 第二項對應于體心立方晶格的能量貢獻[37]. 第三項則是電子的能量密度, 由下式可得

其中電子質(zhì)量me=0.511 MeV,

在給定平均重子數(shù)密度nb的前提下, 我們對(4)式關于fZ和A作變分, 得到能量密度的極小值,即對應于β穩(wěn)定的冷白矮星或ud夸克矮星物質(zhì)的能量密度. 圖2分別展示了由原子核和ud夸克物質(zhì)團構成的白矮星和ud夸克矮星物質(zhì)的微觀結(jié)構. 由左圖可知, 白矮星和ud夸克矮星內(nèi)部物質(zhì)集團的半徑Rd遠小于WS原胞半徑RW, 即星體內(nèi)部大部分空間被電子填充. 在較低密度時, 白矮星和ud夸克矮星物質(zhì)所對應的Rd、A、Z主要對應于圖1中單位重子能最低點. 隨著nb增加,Rd逐漸增大, 與之對應的A和Z也增大, 而RW則不斷減小. 這就造成了各類物質(zhì)集團的空間占比隨nb增加不斷增大. 對于由核物質(zhì)構成的傳統(tǒng)白矮星, 當原子核間距足夠近時就會發(fā)生中子滴出, 此時白矮星就不再穩(wěn)定,因此這類物質(zhì)只能在中子星內(nèi)殼層中穩(wěn)定存在[38].對于由ud夸克物質(zhì)團構成的ud夸克矮星, 當其密度足夠高時就會發(fā)生一階相變轉(zhuǎn)變成均勻ud夸克物質(zhì), 形成ud夸克星[23]. 對比傳統(tǒng)的白矮星物質(zhì)和ud夸克矮星物質(zhì), 我們發(fā)現(xiàn)ud夸克物質(zhì)團比原子核大得多, 其對應的WS原胞、A以及Z也更大. 此外, 由于BPS模型采用了真實的包含殼效應的原子核質(zhì)量, 因此白矮星物質(zhì)中原子核的A和Z隨密度會發(fā)生突變. 而這里我們采用液滴模型來得到原子核的結(jié)構和性質(zhì), 因此A和Z隨密度均勻變化, 反映了白矮星物質(zhì)中原子核的平均性質(zhì). 盡管如此, 兩種方法得到的能量密度基本相同.

圖2 白矮星和ud夸克矮星內(nèi)部液滴相所對應的半徑Rd、WS原胞半徑RW、重子數(shù)A以及電荷數(shù)Z. 而Baym等(BPS)的計算得到的結(jié)果也已在右圖中標明[36].Fig.2 Droplet size Rd, WS cell radius RW, baryon number A, and charge number Z for the droplet phase in white dwarfs and udQM dwarfs. The corresponding values fixed by Baym et al.[36](BPS) are indicated as well.

基于(4)式預言的白矮星和ud夸克矮星物質(zhì)的能量密度, 可進一步計算得到其對應的壓強, 即

由此我們就得到了白矮星和ud夸克矮星物質(zhì)的狀態(tài)方程. 在此基礎之上, 通過求解Tolman-Oppenheimer-Volkoff方程

就可以得到與之對應的白矮星和ud夸克矮星的質(zhì)量-半徑關系. 其中(7)式中G=6.707×10-45MeV-2為引力常數(shù),r為球?qū)ΨQ星體內(nèi)部徑向坐標,m(r)表示通過坐標r的同心球體所包圍的星體物質(zhì)總質(zhì)量,由(8)式積分得到. 圖3展示了我們計算得到的白矮星和ud夸克矮星物質(zhì)的狀態(tài)方程及由此得到的質(zhì)量-半徑關系. 整體上來說, 在相同的壓強下, ud夸克矮星物質(zhì)的能量密度要比傳統(tǒng)白矮星物質(zhì)高得多.因此,ud夸克矮星會比傳統(tǒng)白矮星更致密,其質(zhì)量和半徑都要小得多. 此外, 隨著對稱能增加, ud夸克矮星物質(zhì)的壓強變大, 其對應的ud夸克矮星的半徑也增大. 圖3左圖中黑色實線給出了本文得到的傳統(tǒng)白矮星狀態(tài)方程, 與BPS狀態(tài)方程基本相同[36]. 相較于圖3右圖中展示的質(zhì)量大于0.5M⊙的4顆典型白矮星的質(zhì)量和半徑[39], 我們得到的白矮星質(zhì)量和半徑都稍小. 若進一步考慮溫度、磁場以及不同的原子核組分, 白矮星的質(zhì)量和半徑將增大并與觀測相符. 然而, 圖中7顆質(zhì)量和半徑都異常小的白矮星[40]卻無法用傳統(tǒng)白矮星模型來解釋, 傳統(tǒng)模型得到的半徑都遠大于觀測值. 另一方面, 盡管ud夸克矮星比傳統(tǒng)白矮星更致密, 但是其半徑卻比觀測值小得多.

圖3 左圖: 白矮星和ud夸克矮星物質(zhì)所對應的狀態(tài)方程. 右圖: 白矮星和ud夸克矮星的質(zhì)量-半徑關系, 其中三條虛線對應于ud夸克矮星表面覆蓋正常物質(zhì)的情形. 圖中質(zhì)量大于0.5 M⊙的4個點代表典型白矮星的質(zhì)量和半徑[39], 而下面的7個點表示質(zhì)量和半徑都異常小的白矮星[40].Fig.3 Left: Equation of states for dense stellar matter in white dwarfs and udQM dwarfs. Right: Mass-radius relations of white dwarfs and udQM dwarfs, where the three dashed curves indicate udQM dwarfs covered by normal matter. The four dots with masses larger than 0.5 M⊙indicate the typical white dwarfs’ masses and radii[39], while the seven dots below present the white dwarfs with unusually small masses and radii[40].

為了解釋這7顆白矮星, 文獻[40]假定其中心存在奇異夸克物質(zhì)內(nèi)核, 內(nèi)核表面有極強的電場以支撐由正常物質(zhì)構成的殼層結(jié)構. 在這里我們則考慮ud夸克矮星覆蓋正常物質(zhì)的情形, 假設兩類物質(zhì)分界面處的壓強分別為Pb= 10-12、10-13、10-14MeV·fm-3, 那么相應的狀態(tài)方程可由圖3左圖的兩類狀態(tài)方程組合得到, 即P>Pb處取ud夸克矮星物質(zhì)狀態(tài)方程, 而P≤Pb處采用正常物質(zhì)狀態(tài)方程. 由此得到的質(zhì)量-半徑關系如圖3右圖的虛線所示, 能夠?qū)d夸克矮星(εs= 60 MeV)和傳統(tǒng)白矮星連接起來. 與奇異夸克物質(zhì)的情形不同,由圖2可知, 在被正常物質(zhì)覆蓋的ud夸克矮星內(nèi)部,分界面上原子核和ud夸克物質(zhì)團的重子數(shù)A存在較大差別, 因此要將正常物質(zhì)轉(zhuǎn)變成ud夸克物質(zhì)需要由多個原子核熔合得到, 相關的反應過程需要同時克服圖1處的能量位壘和核熔合的庫倫位壘, 因此難以進行. 另一種可能性是通過不斷熔合原子核和ud夸克物質(zhì)團, 形成較大的ud夸克物質(zhì)團并由此裂變得到穩(wěn)定的ud夸克物質(zhì)團, 而該反應同樣需要克服極高的庫倫位壘[26]. 因此, 可以認為在冷白矮星中正常物質(zhì)轉(zhuǎn)變成ud夸克物質(zhì)效率極低, 兩種物質(zhì)可以同時存在. 除此之外, 當白矮星內(nèi)部出現(xiàn)ud夸克物質(zhì)團之后質(zhì)量降低, 即?m/?nc<0 (其中nc為該致密矮星中心密度). 由于此時致密矮星由兩種不容易互相轉(zhuǎn)化的物質(zhì)構成, 我們認為致密矮星可能仍然穩(wěn)定[41–43]. 在這種情況下, 被正常物質(zhì)覆蓋的ud夸克矮星就能夠解釋最近觀測到的質(zhì)量和半徑都異常小的白矮星[40].

4 總結(jié)與展望

本文研究了由核物質(zhì)、奇異夸克物質(zhì)和ud夸克物質(zhì)構成的物質(zhì)集團, 即原子核、奇異子以及ud夸克物質(zhì)團的性質(zhì)及穩(wěn)定性. 隨著對稱能增加,ud夸克物質(zhì)團和奇異子的比電荷都增加, 其對應的單位重子能也增大. 盡管如此, 奇異子能量增大的幅度不明顯, 而ud夸克物質(zhì)團在重子數(shù)A較大(?103)時隨對稱能顯著增加. 此時就會出現(xiàn)ud夸克物質(zhì)團在特定大小(A ≈1000)時最穩(wěn)定的情形, 并能夠形成由ud夸克物質(zhì)團和電子構成的致密矮星,即ud夸克矮星. 在此基礎之上, 我們進一步討論了傳統(tǒng)白矮星和ud夸克矮星的結(jié)構和性質(zhì). 我們發(fā)現(xiàn), 相較于傳統(tǒng)的白矮星, ud夸克矮星通常具有較小的半徑, 而其半徑和質(zhì)量也會隨著對稱能增加而增大. 若ud夸克矮星被正常物質(zhì)覆蓋, 則其對應的半徑會在裸的ud夸克矮星和傳統(tǒng)的白矮星之間, 這與最近觀測到的質(zhì)量和半徑都異常小的白矮星相符[40]. 在本文的基礎之上, 下一步我們將更細致地研究被正常物質(zhì)覆蓋的ud夸克矮星的穩(wěn)定性及其演化過程, 討論各類不同的脈動模式及可能的引力波輻射過程. 而對于奇異星或ud夸克星, 還有可能通過一些特殊的高能爆發(fā)現(xiàn)象如快速射電暴來尋找其存在的線索[44].