張庚年 （甘肅省武威鐵路中學(xué)）

在學(xué)科教學(xué)中，教師教會學(xué)生如何自主探究獲取知識比單純傳授知識更有意義。數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，其研究對象與內(nèi)容的廣泛性和抽象性、理論體系的系統(tǒng)性和嚴密性、研究方法的靈活性和精確性，對培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的探究能力具有獨特優(yōu)勢。探究對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力具有重要意義，是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要手段。因此，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和探究能力是高中數(shù)學(xué)教師的重要任務(wù)，也是數(shù)學(xué)教育工作者的使命。為此，教師要轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教學(xué)觀念，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，積極創(chuàng)設(shè)條件，靈活運用探究式教學(xué)法，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，讓學(xué)生樂于探究、勇于探究，有效培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和探究能力。

一、探究對于數(shù)學(xué)發(fā)展的重要意義

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)（或式）的運算關(guān)系、圖形的結(jié)構(gòu)關(guān)系、變量間的變化關(guān)系、空間的位置關(guān)系等的學(xué)科。數(shù)學(xué)來源于生活，又高于生活。數(shù)學(xué)的發(fā)展對人類的生活、生產(chǎn)實踐活動具有強大的推動作用。在生活、生產(chǎn)實踐活動中，我們可能會遇到各種各樣的困難或問題，對問題進行提煉、歸納、概括，并引入科學(xué)合理的符號、語言，抽象成一個或多個數(shù)學(xué)問題，深入進行探索研究，有時便發(fā)現(xiàn)了重要的數(shù)學(xué)結(jié)論或數(shù)學(xué)定理，有時也會因此引發(fā)創(chuàng)建新的數(shù)學(xué)分支，推動數(shù)學(xué)的發(fā)展。例如，歐拉正是通過對“哥尼斯堡七橋問題”的探索與研究建立了“圖論”這一數(shù)學(xué)分支。在后續(xù)的研究中他又發(fā)現(xiàn)了“多面體的歐拉定理”，從而為“拓撲學(xué)”的建立奠定了理論基礎(chǔ)。由此可見，積極進行數(shù)學(xué)探究活動，不僅是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要途徑，而且還是推動數(shù)學(xué)不斷發(fā)展的源泉。

二、探究對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容更為復(fù)雜和抽象，學(xué)習(xí)目標也不再是對知識簡單、機械地背誦或記憶，而是要弄清概念的本質(zhì)，洞悉公式與定理的來歷與推導(dǎo)過程，從過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法。一方面，學(xué)生通過之前的學(xué)習(xí)積累了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，有了對數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法的初步認知，形成了淺顯的數(shù)學(xué)思維；另一方面，隨著年齡的增長，學(xué)生有了相對成熟的思維能力和理解能力，有較為充沛的精力和較強的探究欲望。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師適時地引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)探究活動，不僅能加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、定理等知識的理解，升華對數(shù)學(xué)知識的認知，掌握新、舊知識之間的聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史與文化，還能讓學(xué)生重溫數(shù)學(xué)家關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，體會數(shù)學(xué)思想的博大精深，收獲數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的快樂與喜悅，增進對數(shù)學(xué)家的了解和崇拜之情，形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

三、運用探究式教學(xué)法的策略

1.在概念、定理教學(xué)中培養(yǎng)探究意識和探究能力

高中數(shù)學(xué)知識內(nèi)容豐富。有的知識屬于陳述性或者描述性知識，只需要學(xué)生正確理解其意義，能進行是非判別。對于這類知識的學(xué)習(xí)，教師應(yīng)該多安排學(xué)生課前預(yù)習(xí)自學(xué)，課上精講多練，在練習(xí)檢測中反饋學(xué)生的理解情況，有針對性地加以糾偏指正即可。有的知識是在學(xué)生已有知識的基礎(chǔ)上推理演變而重新生成的，需要學(xué)生弄清楚知識的產(chǎn)生緣由和來龍去脈才能更好地理解知識和運用知識。針對這些知識的教學(xué)，教師就要結(jié)合學(xué)生實際，在了解學(xué)生知識儲備和認知水平的基礎(chǔ)上，適時合理設(shè)計探究問題，引導(dǎo)學(xué)生開展探究活動，以達到追根溯源、夯實根基的目的。

（1）在概念教學(xué)中合理運用探究式教學(xué)法。

有些數(shù)學(xué)概念其本身的含義通俗易懂，但在應(yīng)用過程中展開探究會有新的發(fā)現(xiàn)。例如，湘教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）必修第一冊“集合與邏輯”這部分知識，學(xué)生在學(xué)習(xí)時容易乏味。為此，在教學(xué)“子集和補集”時，教師可以針對“子集”這一概念設(shè)置一組探究練習(xí)題：分別寫出下列集合的所有子集。試探究任意集合M所有子集的個數(shù)與集合M中所含元素的數(shù)目n之間的關(guān)系。通過本組練習(xí)引導(dǎo)探究活動，不僅能讓學(xué)生在動手寫子集的過程中進一步加強對子集概念的理解，更重要的是激發(fā)了學(xué)生的探究興趣，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指引了方向，同時還讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)了一個結(jié)論：含有n個元素的集合，其所有子集的總數(shù)為2n個。緊接著，教師再通過探究練習(xí)“集合共有多少個非空真子集？”來鞏固發(fā)現(xiàn)成果，讓學(xué)生體會發(fā)現(xiàn)的價值，收獲發(fā)現(xiàn)的喜悅。

又如，在教學(xué)教材選擇性必修第一冊中“等差數(shù)列”“等比數(shù)列”的概念時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從定義中保留限制條件“從第2 項起”和去掉這個條件后兩者進行對比探究，思考差異，不僅可以讓學(xué)生對概念有更為精準的理解與把握，還有助于學(xué)生理解兩個數(shù)列的遞推公式中為什么要強調(diào)n≥2，以此培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度。

（2）在定理的證明與推導(dǎo)中運用探究式教學(xué)法。

數(shù)學(xué)定理通常是精準地刻畫了相聯(lián)系的各要素之間的關(guān)系或規(guī)律，在相對領(lǐng)域或范圍內(nèi)具有普遍性和通用性，它的證明也具有一般性和嚴密性。高中數(shù)學(xué)中的定理大多數(shù)是數(shù)學(xué)界比較著名的，它們的證明方法經(jīng)過了前人的推敲與檢驗，具有很好的示范引領(lǐng)作用。在教授這些內(nèi)容時，部分教師往往忽視了定理的推理證明過程，把重心放在了定理的應(yīng)用舉例和練習(xí)上，而這恰恰是本末倒置的做法。數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)不僅是對學(xué)生解題能力的培養(yǎng)，更要注重數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，學(xué)生一旦掌握了數(shù)學(xué)方法，形成了數(shù)學(xué)思維，更能促進其解題能力的提高。因此，教師既要重視定理的應(yīng)用，更要重視定理的發(fā)現(xiàn)過程與推導(dǎo)證明過程，在過程中向?qū)W生傳授和滲透探究方法，培養(yǎng)學(xué)生探究能力。

例如，在教學(xué)教材必修第二冊“正弦定理”時，教師要引領(lǐng)學(xué)生感受定理發(fā)現(xiàn)的過程，學(xué)習(xí)探究的方法。教師先通過帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)回顧直角三角形的邊角關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在直角三角形中有“各邊和它所對角的正弦的比值相等”這一結(jié)論。接下來，學(xué)生自然會產(chǎn)生“在銳角三角形和鈍角三角形中上述結(jié)論還成立嗎？”這樣的疑問。在問題的驅(qū)使下，教師指導(dǎo)學(xué)生在銳角三角形和鈍角三角形中展開探究活動，最后整合三種情況得到正弦定理。這樣的探究活動看似放慢了課堂進度，但極大地調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，加深了學(xué)生對定理內(nèi)容的認識，讓學(xué)生領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)探究的方法和定理的證明方法，而且在探究的過程中還讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的嚴密性，培養(yǎng)了學(xué)生嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度。在后續(xù)“擴充的正弦定理”的教學(xué)中，學(xué)生就可以模仿上述探究思路，“究出”定理中“相同的比值”恰為2R，即三角形外接圓直徑的長度。

2.在類同知識的教學(xué)中培養(yǎng)類比探究的思維

類比能夠培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維，是一種重要的思維方法。類比思維的基本邏輯為：甲與乙是兩個事物，已知甲具有性質(zhì)A，且乙具有性質(zhì)A′（A和A′類似），如果再知甲還有性質(zhì)B時，我們自然想到乙應(yīng)該也有類似于B的性質(zhì)B′。在研究活動中有時會找不到前進的方向。雖然B′不一定正確，而它恰能引起我們探究的興趣。數(shù)學(xué)研究的對象不盡相同，但有些不同的對象卻往往在某些方面具有很多相似的特點或性質(zhì)。

例如，數(shù)學(xué)中的實數(shù)、向量、復(fù)數(shù)是不同屬性的量，但它們各自的加法運算都遵循交換律，各自的乘法運算（向量的數(shù)量積運算相當于實數(shù)、復(fù)數(shù)的乘法）都滿足分配律。以此為可類比的基礎(chǔ)，在教學(xué)教材必修第二冊“數(shù)量積的定義及計算”時，教師可以鼓勵學(xué)生大膽類比實數(shù)的運算律探究數(shù)量積的運算律，讓學(xué)生類比實數(shù)中乘法的交換律ab=ba推出向量中a·b=b·a，類比實數(shù)中乘法的分配律a(b+c)=ab+ac推出向量中有a·( )b+c=a·b+a·c。相對于探究結(jié)果來說，探究過程在某些方面更能反映學(xué)生的發(fā)展變化。在探究過程中，學(xué)生獲取的不僅僅是數(shù)學(xué)知識，還有數(shù)學(xué)思想方法，以及獨立思考和分析問題的能力，這些都將隨著探究過程不斷提高。同樣，當學(xué)生學(xué)完等差數(shù)列后再學(xué)等比數(shù)列時，教師可以放手讓學(xué)生發(fā)揮類比學(xué)習(xí)與類比探究的作用，可以發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列類似于等差數(shù)列的許多性質(zhì)。這樣的探究式學(xué)習(xí)既能調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，又提高了課堂教學(xué)實效。

3.在特殊問題的處理中引導(dǎo)探究一般性方法

數(shù)學(xué)中特殊的圖形、特殊的位置、特殊的對象更受人關(guān)注，有現(xiàn)實的意義和背景。事實上，只要把特殊問題處理好了，許多一般性問題往往可以轉(zhuǎn)化分解為若干特殊問題來解決。這種思維方法也是數(shù)學(xué)研究與解題時常見而有效的方法。

例如，當學(xué)生掌握了等差數(shù)列、等比數(shù)列的各種知識與技能之后，很多非等差數(shù)列、非等比數(shù)列的問題就可以化解為這些特殊數(shù)列來處理。高中數(shù)學(xué)教材中在推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和的公式時，使用了錯位相減法。教師通過板演具體處理方法，讓學(xué)生理解領(lǐng)會此方法的數(shù)學(xué)原理后，不失時機地引導(dǎo)學(xué)生把等比數(shù)列看作是一個公差為1 的特殊等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積數(shù)列。因為它的求和能使用錯位相減法，于是向?qū)W生提出問題：求任意一個公差為d的等差數(shù)列與任意等比數(shù)列的積數(shù)列的前n項和，是否還能使用錯位相減法？教師引出問題后讓學(xué)生在課后分小組討論探究，以此滲透從特殊到一般的探究方法，并讓學(xué)生探究清楚上述數(shù)列為什么能用錯位相減法求和，真正掌握錯位相減法求和的具體步驟和方法。引發(fā)此類探究活動的載體可以靈活多樣，既可以是教材中的某個片段，又可以是某道例題、習(xí)題，還可以是一次考試中的某個試題等。探究的形式可以是一次小組活動，一次作業(yè)，還可以是一次課堂小測驗。

4.在學(xué)生的生活體驗中探究數(shù)學(xué)的理論解釋

數(shù)學(xué)能解決生產(chǎn)實踐活動中的問題，也能解釋生活中的許多現(xiàn)象。學(xué)生成長過程中會有種種生活體驗感。

例如，我們把一重物固定于一斜面上，在抬起斜面時會感受到：隨著斜面與水平面夾角θ的增大，抬起斜面越來越容易。這種體驗在學(xué)習(xí)教材必修第一冊“三角函數(shù)”時通過探究分析就可將它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：函數(shù)F=Gcosθ的單調(diào)性。這里的G為重物的重力，是定值，而當時，cosθ隨角θ的增大而減小，所以F將隨角θ的增大而減小。雖然這個問題的解決不復(fù)雜，但它涵蓋了物理知識和數(shù)學(xué)知識，在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科間的綜合應(yīng)用能力方面大有裨益，其中蘊含的探究精神和探究意識也是難能可貴的。

又如，我們將一定量的冰糖放在一杯水中，嘗一嘗不夠甜，于是再放入一塊冰糖使其溶解（水不溢出），會比剛才更甜些。如果將其概括成數(shù)學(xué)問題：第一次糖水的濃度一定小于第二次糖水的濃度，即已知a ＞b ＞0，c ＞0，則。這樣的過程旨在培養(yǎng)學(xué)生將生活體驗抽象概括為數(shù)學(xué)問題的能力，在探究證明上述不等式成立的過程中又強化了不等式證明的一般方法——作差法。如果再引導(dǎo)學(xué)生通過探究函數(shù)的單調(diào)性來解釋問題，又能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。這種將學(xué)生體驗與數(shù)學(xué)緊密結(jié)合的探究活動容易激發(fā)學(xué)生的興趣，教師在備課時應(yīng)該充分挖掘這方面的素材，合理融入數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，讓數(shù)學(xué)課堂變得豐富多彩，拉近數(shù)學(xué)與生活的距離。

5.在信息技術(shù)輔助下拓寬數(shù)學(xué)探究的廣度和渠道

信息技術(shù)的飛速發(fā)展，不僅改變了教學(xué)環(huán)境和教學(xué)方式，還改變了學(xué)習(xí)模式和學(xué)習(xí)手段。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用信息技術(shù)，能借助信息技術(shù)的資源優(yōu)勢和技術(shù)優(yōu)勢豐富數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，優(yōu)化教學(xué)方法，調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，有效突出教學(xué)重點，突破教學(xué)難點。借助信息技術(shù)繪制函數(shù)圖象，探究圖形的形狀、位置關(guān)系，探究動點的軌跡都非常便捷、迅速且直觀形象。

例如，在教學(xué)教材必修第一冊“指數(shù)函數(shù)”時，教師可以應(yīng)用幾何畫板軟件繪制指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0，且a≠1）的圖象，不僅能知道一個具體函數(shù)的圖象形狀與輪廓，還能探究底數(shù)a改變時函數(shù)圖象形狀的變化規(guī)律，對學(xué)生歸納、概括函數(shù)的性質(zhì)及不同指數(shù)函數(shù)間的聯(lián)系與區(qū)別有重要作用。另外，借助信息技術(shù)的動畫演示還可以幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)知識，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)現(xiàn)象，從而再引起理論上的探究，使問題上升一定的高度。

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分挖掘教材內(nèi)容和生活素材，于不同的情境、不同的內(nèi)容和對象、不同的形式和渠道，以不同的載體靈活進行歸納探究、類比探究、從特殊到一般的探究、體驗式探究、信息技術(shù)輔助探究等多元化的探究活動，充分調(diào)動學(xué)生探究的積極性和主動性，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。