☉王 霞

數(shù)學(xué)教學(xué)中，對數(shù)學(xué)思想的提煉與滲透，有助于拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力。例如數(shù)學(xué)分類思想、模型思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等。通過探究數(shù)學(xué)思想，結(jié)合數(shù)學(xué)問題，逐步拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思路，靈活掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，來解決問題，為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。本文以模型思想為例，結(jié)合學(xué)生學(xué)情，增進(jìn)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的關(guān)聯(lián)，促進(jìn)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言來描述現(xiàn)實(shí)問題，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

一、梳理數(shù)學(xué)模型分類，增強(qiáng)學(xué)生建模意識

對數(shù)學(xué)模型思想的討論，旨在通過數(shù)學(xué)語言來描述數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生全面認(rèn)識數(shù)學(xué)問題。模型思想，拉近數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的距離，增進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。［1］

（一）構(gòu)建量化模型，發(fā)展學(xué)生抽象意識

從數(shù)學(xué)課程中，量化可以表示為用數(shù)來講述現(xiàn)實(shí)世界中量的關(guān)系。數(shù)學(xué)量化模型，體現(xiàn)了對現(xiàn)實(shí)世界的精確定量。量化的過程，幫助學(xué)生從形象思維向抽象思維過渡。例如，在學(xué)習(xí)《認(rèn)識圖形》時，對于平面圖形的認(rèn)識、理解與抽象，可以通過學(xué)生玩積木的方式，認(rèn)識積木的幾何結(jié)構(gòu)，把握這些圖形的特點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生在頭腦中建立不同幾何圖形的模型表象。再例如，對于“三角形”，根據(jù)其定義，讓學(xué)生回歸生活情境，自己動手去“畫一個三角形”，觀察“三角形”需要滿足什么條件？即三角形需要有三條邊，三個角，三個頂點(diǎn)等?？梢?，對于數(shù)學(xué)模型中的量化方法，通過有形的物來揭示數(shù)學(xué)的抽象本質(zhì)，幫助學(xué)生體認(rèn)數(shù)學(xué)概念、定理，感悟模型思想的應(yīng)用價值，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識。

（二）利用等價模型，感知等式內(nèi)涵

對于“等價”，可以表述為“相等關(guān)系”。在數(shù)學(xué)中，“相等”用“=”來表示，即“=”號兩邊是相互等價的兩件事情。在認(rèn)識“等式”關(guān)系時，無論是已知量，還是未知量，無論是一個數(shù)，還是多個數(shù)，只要能夠滿足“相等關(guān)系”，在數(shù)學(xué)中都可以用“=”來表示。例如在低年級學(xué)習(xí)“1＋3 ＝4”，再到中年級“a ＋b＝b ＋a”，以及計算面積時所用公式：“S ＝ab”，還有高年級將學(xué)到的方程、函數(shù)等問題，都要涉及與“等式”相關(guān)的數(shù)學(xué)模型。由此，在描述“等價模型”時，著重讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)符號來建構(gòu)等式關(guān)系，提升學(xué)生的代數(shù)思想。如在學(xué)習(xí)《小數(shù)乘法》時，對于小數(shù)乘以整數(shù)的計算，要讓學(xué)生認(rèn)識到小數(shù)點(diǎn)的位置變化。某題中，一斤西瓜0.8元，問3 斤西瓜需要付多少元？通過分析，1 斤西瓜為0.8 元，3 斤就是3 個0.8 元，可以表示為“0.8 ＋0.8 ＋0.8”。對于三個0.8 的和，可以用小數(shù)乘以整數(shù)即“0.8×3 ＝2.4（元）”來表示。也就是說，“0.8 ＋0.8 ＋0.8 ＝0.8×3”。由此，利用等價模型，來簡化數(shù)學(xué)計算。

（三）引入數(shù)軸模型，探究數(shù)與形的結(jié)合

在數(shù)學(xué)中，數(shù)軸是刻畫一維空間的數(shù)學(xué)模型。數(shù)軸可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的銜接。從數(shù)軸的概念來看，數(shù)軸包括原點(diǎn)、正方向、單位長度。數(shù)軸模型，利用數(shù)軸上的不同點(diǎn)的相對位置關(guān)系，來表示數(shù)學(xué)中的數(shù)。由此，可以從一維空間延伸到二維空間、三維空間的直角坐標(biāo)系模型、球面空間的黎曼幾何模型等等。數(shù)軸思想，還體現(xiàn)了圖形與幾何的關(guān)系。如在教學(xué)近似數(shù)、小數(shù)、負(fù)數(shù)等知識點(diǎn)時，也會運(yùn)用數(shù)軸模型，來幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)理。如某題中，有一筐雞蛋，第一次拿走1/2，第二次又拿走剩下的1/2，最后筐里剩4 個雞蛋。問原來有多少個雞蛋？對該題的解決，可以將整個筐里的雞蛋看作“1”，第一次取走后，再將剩下的雞蛋看作“1”，利用數(shù)與形關(guān)系，第二次拿走雞蛋時，所剩雞蛋為4的2 倍，即8 個；第一次拿走雞蛋時，雞蛋應(yīng)該是8 的2 倍。利用數(shù)與形的關(guān)系，讓數(shù)學(xué)問題直觀化。

二、把握模型思想價值，有序融入數(shù)學(xué)教學(xué)

模型思想在融入數(shù)學(xué)實(shí)踐中，要突出數(shù)學(xué)問題與現(xiàn)實(shí)生活的內(nèi)在聯(lián)系，全面梳理小學(xué)數(shù)學(xué)教材，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的感性認(rèn)識，開放數(shù)學(xué)活動空間，讓學(xué)生體會建模過程。

（一）細(xì)化階段性目標(biāo)，分步滲透模型思想

對數(shù)學(xué)模型思想的認(rèn)識，要立足小學(xué)數(shù)學(xué)，從階段性目標(biāo)設(shè)計中，讓學(xué)生漸進(jìn)感悟模型思想。［2］低年級要初步感知模型思想，中高年級參與模型思想的抽象、概括過程。例如，在認(rèn)識《10 以內(nèi)的數(shù)》時，我們可以融入數(shù)軸模型，通過觀察數(shù)軸上的點(diǎn)，讓學(xué)生感知點(diǎn)與對應(yīng)數(shù)的關(guān)系。在進(jìn)行兩個數(shù)比較大小時，可以依托數(shù)軸上的點(diǎn)，觀察哪個點(diǎn)代表的數(shù)大，哪個點(diǎn)代表的數(shù)小。在求近似數(shù)時，可以結(jié)合數(shù)軸，讓學(xué)生對比“哪個數(shù)最接近某數(shù)”。由此，從數(shù)到數(shù)軸上的點(diǎn)之間，學(xué)生感知數(shù)與形的關(guān)系。同樣，在后續(xù)學(xué)習(xí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)時，也可以延伸數(shù)軸，讓學(xué)生透過數(shù)軸上的點(diǎn)，來辨析數(shù)的概念。在學(xué)習(xí)《數(shù)對確定位置》時，通過觀察教室里學(xué)生的座位次序，讓學(xué)生將座位抽象成數(shù)軸上的點(diǎn)，感受數(shù)軸中原點(diǎn)和正方向的重要性。在拓展平面二維坐標(biāo)中，對于學(xué)生的座位，可以從“行”與“列”中確立。如某學(xué)生的座位位于“第幾排”“第幾列”，與對應(yīng)的橫向、縱向數(shù)軸上的點(diǎn)形成對應(yīng)關(guān)系，從而透析“數(shù)對”的內(nèi)涵，發(fā)展學(xué)生用數(shù)來描述不同空間相對位置的意識。

（二）引入結(jié)構(gòu)性材料，感知模型思想的數(shù)學(xué)意義

認(rèn)識模型思想，重在感知和體驗(yàn)。小學(xué)階段，對數(shù)學(xué)概念的講解，教師可以利用結(jié)構(gòu)性材料，讓學(xué)生從觀察、觸摸中體認(rèn)數(shù)學(xué)模型，幫助學(xué)生感悟模型思想。如對于“等價”模型的學(xué)習(xí)，小學(xué)低年級簡單加法的運(yùn)算，可以借助于“天平”模型，讓學(xué)生觀察“左邊”與“右邊”之間的平衡關(guān)系，來體會加法的意義。天平的左邊我們用“□”表示，右邊用“□＋□”表示。要想實(shí)現(xiàn)平衡，需要“左邊＝右邊”，即滿足“□＝□＋□”的關(guān)系。舉例來講，8 ＋△＝□＝5，請同學(xué)們觀察等式兩邊的△與□，請思考并列舉符合等式的數(shù)。由此，教師借助于“天平”模型，讓學(xué)生展開問題探究，從結(jié)構(gòu)性認(rèn)知中，深入感知“等價模型”的數(shù)學(xué)意義。同樣，在學(xué)習(xí)《方程》時，對于“方程”的理解，一些學(xué)生搞不清楚。我們結(jié)合“等價模型”，讓學(xué)生展開探討。“30 ＋30 ＝60”觀察這個等式，如果“30 ＋x ＝60”，則請思考，等式中的x 應(yīng)該是多少？再者，對比“30 ＝60 － 30”與“30 ＋x ＝60”的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生辨析等式成立的條件，進(jìn)而求解出x 的值。在這個過程中，學(xué)生體認(rèn)到“方程”的意義。由此我們延伸方程問題，某班，男生有17 人，女生有15 人，一共有多少人？如果男生有17 人，女生有a 人，全班共有30 人；如果男生有b 人，女生有17 人，共有30人。請求出a、b 的值是多少。學(xué)生從模型建構(gòu)中，深化對模型思想的理解。

（三）重視課堂活動，給予學(xué)生建模體驗(yàn)

在小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想滲透中，要順應(yīng)小學(xué)生好玩愛動的天性，通過開展課堂活動，鼓勵學(xué)生認(rèn)識、體認(rèn)數(shù)學(xué)模型思想。課堂活動的組織，要突出開放性、自主性，讓學(xué)生從建?；顒又蟹e累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。如在學(xué)習(xí)《角的度量》時，對于“度”與“量”的理解，我們指導(dǎo)學(xué)生利用量角器，去量化角的大小。借助于“比角”活動，去觀察“單位小角”（10 度角），激發(fā)學(xué)生去合并“單位小角”，得到18 個“單位小角”，正好為半圓度量模型。對“量角器”的認(rèn)識，由“單位小角”進(jìn)行平分為10 份，每份所代表的刻度為“1 度”。在這個過程中，學(xué)生深刻認(rèn)識“量角器”的結(jié)構(gòu)與度量特點(diǎn)。再例如，對于“植樹”問題的探討，有一條小路長20 米，每隔5 米栽一棵樹，請同學(xué)們嘗試提煉數(shù)學(xué)模型。由此得到三種類型，兩端都種樹，可以栽5 棵；兩端都不種，可以栽3 棵；只種一端，可以栽4 棵。將種樹問題轉(zhuǎn)換為三條線段圖，讓學(xué)生從線段總長、間距、間隔數(shù)之間，歸納、計算間隔數(shù)的模型，即間隔數(shù)=總長÷間距。

三、注重思想方法采用，養(yǎng)成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

思想方法可以分為數(shù)形結(jié)合思想方法、集合思想方法、對應(yīng)思想方法、劃歸思想方法等，教師要注意思想方法的分類，并注重、注意方法在課程教學(xué)中的采用，促使學(xué)生形成數(shù)學(xué)思想的同時養(yǎng)成核心素養(yǎng)。［3］

（一）數(shù)形結(jié)合思想方法

數(shù)學(xué)教學(xué)主要研究的對象是“數(shù)”和“形”，從幾何、函數(shù)、統(tǒng)計這些數(shù)學(xué)知識點(diǎn)可以得知數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)領(lǐng)域無處不在。數(shù)形結(jié)合是一種思想方法，也是核心素養(yǎng)元素之一，而數(shù)形結(jié)合思想就是要求學(xué)生能夠?qū)?shù)量關(guān)系與空間形式結(jié)合起來去分析問題、解決問題。在分析和解決的過程中，還需要具備畫圖能力，利用圖形、表格、符號、線條、文字等繪畫示意圖，從而找出了關(guān)鍵知識點(diǎn)，梳理問題與關(guān)鍵知識點(diǎn)的關(guān)系。為此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中可以滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，利用“數(shù)形結(jié)合”的方法將抽象的數(shù)學(xué)知識和問題簡單化，降低理解難度，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想。如在學(xué)習(xí)“長方體和正方體”知識時，教師就可以利用數(shù)形結(jié)合的思想去教學(xué)，活躍學(xué)生思維。用橡皮泥或小圓木棒制作成不同的正方體和長方體，并讓學(xué)生思考，如何選取木棒才能又快又好地做出物體？之后學(xué)生開始實(shí)踐，最終選取合適的長方形和正方形將框架圍起來。接下來教師利用學(xué)生做出來的物體引出知識點(diǎn)——用棱、面和頂點(diǎn)去總結(jié)長方體和正方體的特征，從而得出表面積就是長方體和正方體六個面的總面積，通過這種方法來活躍學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想。

（二）集合思想方法

小學(xué)數(shù)學(xué)主要學(xué)習(xí)了點(diǎn)、數(shù)、線這些抽象的數(shù)學(xué)知識，將這些知識放在一起研究需要運(yùn)用到集合思想。集合思想是將一組研究對象放在一起，一起討論范圍，并用畫集合圖的方法來養(yǎng)成集合思想。為此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師可以采用集合思想教學(xué)，滲透集合知識概念，提高學(xué)生空間觀，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維。［4］如在學(xué)習(xí)《平行四邊形》時，教師可以給學(xué)生分析平行四邊形的集合。平行四邊形的集合主要分為長方形的集合，通過這種方法直觀地向?qū)W生滲透集合概念，引導(dǎo)學(xué)生將擁有共同屬性的物體或知識看成一個整體，漸漸形成集合思想。

（三）對應(yīng)思想方法

對應(yīng)思想是把握兩個集合的問題聯(lián)系，從小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排中可以看出是存在對應(yīng)的，常見的有箭頭、虛線、實(shí)線、計數(shù)器等，為此，小學(xué)數(shù)學(xué)可以采用對應(yīng)思想方法去教學(xué)，將元素與元素、數(shù)與算式、實(shí)物與實(shí)物、量與量聯(lián)系起來，培養(yǎng)學(xué)生對應(yīng)思維。重點(diǎn)是一年級教學(xué)，將知識主人公、關(guān)鍵詞相互對應(yīng)，開展比較學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生了解事物間對應(yīng)關(guān)系，通過這種方法培養(yǎng)學(xué)生對應(yīng)思想方法。

（四）劃歸思想方法

數(shù)學(xué)具有矛盾性特點(diǎn)，知識的復(fù)雜與簡單、問題的已知與未知、學(xué)習(xí)的困難與容易，這都需要根據(jù)學(xué)生自身特點(diǎn)進(jìn)行矛盾轉(zhuǎn)化。所謂劃歸思想就是數(shù)學(xué)問題解決思想，將需要解決的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，歸結(jié)成已經(jīng)解決或比較容易解決的問題中去從而解決。［5］為此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師可以采用劃歸思想方法來將數(shù)學(xué)的矛盾性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化難為易、化曲為直。如在學(xué)習(xí)《小數(shù)除法》這節(jié)課，教師可以利用“商不變性質(zhì)”將小數(shù)除法劃歸為整數(shù)除法，將異分母分?jǐn)?shù)比較大小轉(zhuǎn)化利用“通分”原理劃歸同分母分?jǐn)?shù)比較大小，通過這種方法，構(gòu)建完善學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，降低了學(xué)生學(xué)習(xí)難度。

綜上所述，數(shù)學(xué)知識具有抽象性，小學(xué)生正處于形象化思維階段，對數(shù)學(xué)的理解，很大程度上依賴于具體的形象。數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要參考，教師在平時要重視數(shù)學(xué)思想的滲透，引領(lǐng)學(xué)生參與感知、體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有效。