劉清源　黃翠蓮

［摘? 要］ 文章立足教考銜接，以高考常見(jiàn)的雙變量問(wèn)題為例，通過(guò)橫縱對(duì)比，找尋雙變量問(wèn)題的本質(zhì)，以期拋磚引玉.

［關(guān)鍵詞］ 雙變量；橫向比；縱向比

新高考的推行，更加側(cè)重學(xué)生思維的考查，使得機(jī)械式刷題失速失效，從而有效引導(dǎo)教學(xué)，服務(wù)“雙減”政策. 高考命題嚴(yán)格依據(jù)高中課程標(biāo)準(zhǔn)，確保內(nèi)容不超范圍、深度不超要求. 基于此，教師在教學(xué)中必須做到遵循教育規(guī)律，加強(qiáng)教考銜接，注重通用方法，強(qiáng)調(diào)在深刻理解基礎(chǔ)之上的融會(huì)貫通、靈活運(yùn)用，讓學(xué)生掌握原理、內(nèi)化方法、舉一反三，主動(dòng)探究和深層次學(xué)習(xí)［1］.

結(jié)合近幾年的高考試卷，不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)與不等式、導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合交匯應(yīng)用，一直是學(xué)生的困惑和煩惱，一些問(wèn)題如果沒(méi)有抓住其本質(zhì)，容易有“似曾相識(shí)”的感覺(jué)而造成混淆，導(dǎo)致問(wèn)題出現(xiàn)錯(cuò)解. 本文以高考常見(jiàn)的雙變量問(wèn)題為例，結(jié)合高三復(fù)習(xí)實(shí)際，設(shè)置了三道典型的高考試題作為微專(zhuān)題前置性作業(yè)，力求通過(guò)橫縱對(duì)比，找尋雙變量問(wèn)題的本質(zhì).

雙變量問(wèn)題，主要是基于題設(shè)條件給出的兩個(gè)變量所展開(kāi)的問(wèn)題，常見(jiàn)的雙變量以x，x或m，n或a，b等形式出現(xiàn)，題目所賦予的雙變量（以x，x為例）的關(guān)系主要有：

夯實(shí)橫向比，求同存異，形成通性通法

題1的雙變量x，x只有大小關(guān)系，沒(méi)有等量關(guān)系，注意到x，x的任意性與函數(shù)的單調(diào)性定義的表述相一致，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).

在此立足微專(zhuān)題的教學(xué)特點(diǎn)，利用問(wèn)題串的形式引導(dǎo)如下：

問(wèn)題1：設(shè)f（x）=（0

問(wèn)題2：結(jié)合單調(diào)性的定義，嘗試用x，x來(lái)表示f（x）的單調(diào)性

問(wèn)題3：比對(duì)題1的選項(xiàng)C，D，你有何發(fā)現(xiàn)？

預(yù)設(shè)：通過(guò)分析可知，當(dāng)0

所以當(dāng)0f（x），即>，即xe>xe，故選項(xiàng)D正確.

問(wèn)題4：結(jié)合上述分析，如何處理選項(xiàng)A，B？

預(yù)設(shè)：通過(guò)分離變量，構(gòu)造函數(shù)f（x）=ex-lnx，求導(dǎo)可知f′（x）=ex-，f″（x）=ex+. 當(dāng)00，所以y=f′（x）為（0，1）上的增函數(shù). 當(dāng)x→0+時(shí)f′（x）→-∞，當(dāng)x→1時(shí)f′（x）→e-1>0，故f（x）=ex-lnx不是（0，1）上的單調(diào)函數(shù). 所以選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤.

通過(guò)問(wèn)題串把該類(lèi)問(wèn)題與之前所學(xué)的函數(shù)的單調(diào)性聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生明白為什么要將x，x分離到不等式的兩邊后再構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求解.

類(lèi)型1的常見(jiàn)做法：題1的題設(shè)條件表述與單調(diào)性的定義相符，因此通過(guò)運(yùn)算先把x，x分離到不等式的兩邊，再構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求解.

類(lèi)型2的常見(jiàn)做法：題2、題3的題設(shè)條件均蘊(yùn)含等量關(guān)系，通過(guò)等量關(guān)系轉(zhuǎn)化減少一個(gè)變量，構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求解.

兩題的等量關(guān)系x·x=1與f（x）=f（x）還是有所差別，前者關(guān)系式可以直接消元，后者為超越方程相對(duì)復(fù)雜，直接消元有一定難度，可以結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性將f（x）用f（x）等量替換達(dá)成消元的目的.

題2中的等量關(guān)系比較簡(jiǎn)單，由第（1）小題可知x·x=1，直接消去x，把證明的對(duì)象

題3中的等量關(guān)系相對(duì)復(fù)雜，通過(guò)設(shè)x=，x=得到等量關(guān)系f（x）=f（x），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及f（x1）=f（x2）進(jìn)行消元，把2

分析上述兩種不同類(lèi)型的雙變量問(wèn)題，可以發(fā)現(xiàn)其解決通法都是將“雙元”往“一元”轉(zhuǎn)化，這對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)有較高的要求.

分析 變式題1沒(méi)有具體給出雙變量的大小關(guān)系，但是通過(guò)閱讀和分析，可知x，x不存在等量關(guān)系，因此可自行給定x，x的大小關(guān)系，把絕對(duì)值去掉，用類(lèi)型1的處理方法解決問(wèn)題. 構(gòu)造函數(shù)f（x）=ex-lnx，由題1可知y=f′（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，且f′

<0，f′（1）>0，故f（x）=ex-lnx是（1，+∞）上的增函數(shù)，所以選B，C，D.

基于題3的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，在學(xué)生明確極值點(diǎn)偏移原理的基礎(chǔ)上，對(duì)結(jié)論進(jìn)行改編和等價(jià)替換.

變式題2 已知函數(shù)f（x）=x（1-lnx），設(shè)x，x為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且f（x）=f（x），若x=，求證：f′（x）<0.

分析 變式題2的證明主要基于題3的極值點(diǎn)偏移原理：題3求證“21. 又f′（x）=-lnx，f″（x）=-<0，所以f′（x）

變式訓(xùn)練有助于提升學(xué)生的思維能力，促使學(xué)生真正把握解決問(wèn)題的方法，真正做到舉一反三.

2. 一題多解，拓展學(xué)生的思維

一題多解主要體現(xiàn)在類(lèi)型2的雙變量問(wèn)題上——雙變量問(wèn)題的處理方式不同而產(chǎn)生不同的解法.

解法1：消元、對(duì)稱(chēng)構(gòu)造.

解法2：引入第三個(gè)變量t，把雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元函數(shù)問(wèn)題，應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求解.

解法3：可以利用二級(jí)結(jié)論求解.比如利用指數(shù)均值不等式e<<和對(duì)數(shù)均值不等式<<轉(zhuǎn)化問(wèn)題中的指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系.

例如題2的條件中蘊(yùn)含著x·x=1，可以直接把x=代入

例如題3對(duì)2<+

另外，題2和題3也可以引入第三個(gè)變量t=，把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元函數(shù)問(wèn)題，當(dāng)然這其中會(huì)用到一些常見(jiàn)的不等式結(jié)論.

不僅如此，題2還可以利用對(duì)數(shù)均值不等式求解：2，所以證明

結(jié)語(yǔ)

雙變量問(wèn)題是一個(gè)常見(jiàn)的問(wèn)題，若能厘清其特征，做好準(zhǔn)確分類(lèi)，對(duì)號(hào)入座，問(wèn)題就會(huì)變得簡(jiǎn)單明了. 在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和探究知識(shí)的內(nèi)涵，既能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)，又能減量提質(zhì)，落實(shí)“雙減”. 同時(shí)還能幫助學(xué)生更加深刻地理解數(shù)學(xué)基本概念和基本思想方法，重視數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在關(guān)系.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 教育部教育考試院.深化高考內(nèi)容改革 加強(qiáng)教考銜接——2022年高考全國(guó)卷命題總體思路［J］. 中國(guó)考試，2022（07）：1-6.

基金項(xiàng)目：福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度課題“雙減背景下薄弱高中前置性作業(yè)設(shè)計(jì)的實(shí)證研究”（FJJKZX22-393）.

作者簡(jiǎn)介：劉清源（1981—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作，曾獲泉州市骨干教師、南安市名師等榮譽(yù)稱(chēng)號(hào).