［摘? 要］ 以新課標(biāo)倡導(dǎo)的“三會”目標(biāo)為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，教師在學(xué)法指導(dǎo)上需突破傳統(tǒng)的“刷題”教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生更新學(xué)習(xí)理念，不斷提升學(xué)習(xí)能力. 文章認(rèn)為，基于“三會”培養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)學(xué)法指導(dǎo)可從以下三點(diǎn)展開：建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)，學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界；鞏固知識基礎(chǔ)，學(xué)會用數(shù)學(xué)思維思考世界；加強(qiáng)課后探究，學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.

［關(guān)鍵詞］ 三會；學(xué)法指導(dǎo)；知識結(jié)構(gòu)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中提出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動是師生、生生之間交往互動與共同發(fā)展的過程，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)情出發(fā)，通過各種教學(xué)手段引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐、交流、思考，發(fā)展思維，學(xué)會學(xué)習(xí)，形成會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、會用數(shù)學(xué)思維思考世界、會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界的能力（簡稱“三會”）［1］. 在新課標(biāo)的引領(lǐng)下，教師如何立足“三會”目標(biāo)，進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)呢？本文從以下幾方面展開分析.

建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)，學(xué)會以數(shù)學(xué)眼光觀察世界

數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性極強(qiáng)的學(xué)科，學(xué)習(xí)過程是一個有機(jī)整體，教材所安排的每一個知識點(diǎn)都有一定的動機(jī)與規(guī)律. 基于“三會”培養(yǎng)的學(xué)法指導(dǎo)活動首先應(yīng)從知識結(jié)構(gòu)出發(fā)，探尋教學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)含的歷史發(fā)展軌跡、內(nèi)在邏輯以及與客觀世界的關(guān)系等，只有從每一個知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)動機(jī)出發(fā)，才能在自主探索、合作學(xué)習(xí)或數(shù)學(xué)閱讀中體會到每一個知識點(diǎn)的獨(dú)到之處.

引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并透過數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)獲得用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的能力，需經(jīng)歷一個漫長的過程. 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)并非人類主觀隨意指派而來的，而是經(jīng)過人們總結(jié)大量經(jīng)驗(yàn)得到的. 布爾巴基學(xué)派提出：數(shù)學(xué)研究的母結(jié)構(gòu)分別有代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu). 其中代數(shù)結(jié)構(gòu)來自數(shù)學(xué)事務(wù)中的數(shù)量關(guān)系，其與運(yùn)算有著重要聯(lián)系；序結(jié)構(gòu)具有一定的先后與時間順序；拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)源于空間經(jīng)驗(yàn)，具有連續(xù)性特征.

數(shù)學(xué)的各個系統(tǒng)并非單一結(jié)構(gòu)，而是多種結(jié)構(gòu)共同存在. 如學(xué)生所熟悉的實(shí)數(shù)系，不僅有加減乘除（運(yùn)算）的代數(shù)結(jié)構(gòu)，還有大小之分的序結(jié)構(gòu)，以及具有連貫性的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu). 事實(shí)證明，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)錯綜復(fù)雜地存在各個知識系統(tǒng)中，因此教師進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)時，應(yīng)結(jié)合學(xué)情從多角度帶領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)知識的魅力.

當(dāng)學(xué)生首次接觸新的知識內(nèi)容時，第一反應(yīng)就是想方設(shè)法將新知納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，若可以，則會立即啟動該結(jié)構(gòu)的已知性質(zhì)來接納新知. 從這個習(xí)慣不難看出，新知與舊知有著密不可分的聯(lián)系，這也是培養(yǎng)學(xué)生形成用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的基礎(chǔ).

縱觀數(shù)學(xué)史的發(fā)展，曾經(jīng)有很長一段時間數(shù)學(xué)家們都無法理解復(fù)數(shù)的概念，因此將這個無法理解的數(shù)設(shè)定為虛數(shù). 隨著時間的流逝，有人發(fā)現(xiàn)可以用平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，這是將復(fù)數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)融合的過程，此時的復(fù)數(shù)研究有了現(xiàn)實(shí)意義，其實(shí)際應(yīng)用也很快被推廣開來［2］. 由此也能看出，將新知納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)是促使人類學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的重要途徑.

案例1 “子集與推出關(guān)系”的教學(xué).

問題 判斷下列式子中的α是β的什么條件，分別從充分條件、必要條件與充要條件著手.

①α：x>4；β：x>3. ②α：四邊形為矩形；β：四邊形為正方形. ③α：p?q；β：q?p（p，q分別是p，q條件的否定）.

大部分學(xué)生都能準(zhǔn)確回答問題①中的α是β的充分條件，問題②中的α是β的必要條件，但對于問題③，不少學(xué)生反饋推出符號過多，無法進(jìn)行準(zhǔn)確判斷.

師：問題③無法進(jìn)行準(zhǔn)確判斷的主要原因在于問題比較抽象，大家難以從常規(guī)的角度進(jìn)行判斷. 想要解決這個問題該怎么辦呢？

生1：如果能將問題③轉(zhuǎn)化成類似于前兩個問題那樣明確、具體，那么判斷就沒有這么復(fù)雜了.

師：這是一個不錯的建議！那么問題③應(yīng)該如何轉(zhuǎn)換呢？轉(zhuǎn)換過程中推出的關(guān)系和哪些數(shù)學(xué)對象有聯(lián)系呢？這些數(shù)學(xué)對象又分別是什么呢？這就是本節(jié)課我們即將探索的主題.

問題①和問題②比較簡單，意在引發(fā)學(xué)生提取認(rèn)知結(jié)構(gòu)中關(guān)于用幾種條件進(jìn)行判斷的基本步驟，為本節(jié)課的教學(xué)奠定基礎(chǔ). 問題③稍有難度，難點(diǎn)在于推出符號的抽象性. 但適當(dāng)?shù)碾y度成功激發(fā)了學(xué)生的探究欲，順利引出了本節(jié)課的教學(xué)主題.

問題③的提出，讓學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)該問題無法從常規(guī)的充分必要性的角度去思考，因而提出讓問題變得具體直觀的想法. 順應(yīng)學(xué)生的思維，遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，引出本節(jié)課的教學(xué)主題，整個過程自然且流暢. 不僅讓學(xué)生充分了解到學(xué)習(xí)“子集與推出關(guān)系”的必要性，還有效激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，讓學(xué)生產(chǎn)生了深入探索的興趣.

在解決問題的過程中，學(xué)生通過自主探索有以下兩點(diǎn)收獲：①此問（問題③）的背景為“原命題與其逆否命題是等價命題”，之前學(xué)生只是一種直覺，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，形成了自主證明的能力，這充分體現(xiàn)了人類認(rèn)知發(fā)展的邏輯關(guān)系；②通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能自主發(fā)現(xiàn)命題、集合、推出關(guān)系之間具備怎樣的聯(lián)系，感知集合與命題的內(nèi)涵，充分體會了數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯. 這兩點(diǎn)收獲，能有效促進(jìn)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界.

從深層次分析，教師若帶領(lǐng)學(xué)生從集合論與邏輯學(xué)的角度來探討“子集與關(guān)系”發(fā)生與發(fā)展的過程，則能讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識到邏輯知識對科技研究與發(fā)展的促進(jìn)作用和深遠(yuǎn)影響，從而嘗試用數(shù)學(xué)眼光來觀察世界. 久而久之，學(xué)生就能通過一定的邏輯關(guān)系將各個章節(jié)的知識內(nèi)容組合到一起，形成完整的知識體系.

鞏固知識基礎(chǔ)，學(xué)會用數(shù)學(xué)思維思考世界

根據(jù)艾賓浩斯遺忘曲線規(guī)律，新知建構(gòu)后需要經(jīng)歷鞏固環(huán)節(jié)才能形成長時記憶. 課后作業(yè)、配套練習(xí)與復(fù)習(xí)等都是實(shí)施知識鞏固的過程. 在這些過程中，學(xué)生的思維會隨著問題的發(fā)展而逐漸活躍，通過一定的思考夯實(shí)知識基礎(chǔ)的同時，也能深化學(xué)生對知識的理解與應(yīng)用. 受傳統(tǒng)教育思想的影響，仍有些教師以“題海戰(zhàn)術(shù)”來深化學(xué)生對知識的認(rèn)識，殊不知這種方法只會消減學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，久而久之，題目刷得越來越多，思維能力卻越來越差，形成惡性循環(huán).

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是知識教學(xué)，更重要的是思維鍛煉. 縱觀近些年的高考試題，無一不透露出“新穎”二字，這些問題不是“題海戰(zhàn)術(shù)”所能解決的，而需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S與扎實(shí)的基礎(chǔ). 有些學(xué)生遇到?jīng)]見過的題型或問題就不知所措，其實(shí)只要掌握知識的本質(zhì)，就能形成“以不變應(yīng)萬變”的解題能力.

教師應(yīng)在鞏固練習(xí)中精選問題，注重一題多解、多題一解等變式訓(xùn)練，以啟發(fā)學(xué)生的思維，從一定程度上將學(xué)生的線性思維轉(zhuǎn)化為網(wǎng)狀思維，讓學(xué)生學(xué)會從不同的維度去分析與解決問題，達(dá)到真正意義上的用數(shù)學(xué)思維思考世界的能力.

案例2 數(shù)列問題的解決與拓展.

問題 若數(shù)列｛a｝中的a=1，a=2a+1，則數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式是什么？

解法1 退階相減法（過程略）.

變式拓展1：在數(shù)列｛a｝中，已知a=1，a=2，a=3a+2a，則數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式是什么？

解法2 同除以某個式子（過程略）.

變式拓展2：在數(shù)列｛a｝中，已知a=1，a=2a+3n，則數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式是什么？

變式拓展3：在數(shù)列｛a｝中，已知a=1，a=2a+n，則數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式是什么？

解法3 待定系數(shù)法（過程略）.

變式拓展4：在數(shù)列｛a｝中，已知a=a，a=pa+r（p≠0，1，且r≠0），則數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式是什么？

學(xué)生通過學(xué)習(xí)獲得的概念、定理、法則等有很多，僅僅“知其然”還不夠，還要“知其所以然”，思考這些結(jié)論源于何處、去向何方，蘊(yùn)含著哪些數(shù)學(xué)思想方法，等等. 只有了解知識的本質(zhì)，做到“知其然且知其所以然”，獲得良好的思維能力，才能真正從“刷題”中解放學(xué)生.

本題的三種解法其實(shí)都蘊(yùn)含著同等重要的數(shù)學(xué)思想方法. 顯然，這些數(shù)學(xué)思想方法的形成并非一蹴而就的，它們是在漫長的學(xué)習(xí)生涯中逐漸總結(jié)、提煉而來的，學(xué)生在之前的解題中或許應(yīng)用過，在結(jié)構(gòu)特征的分析中或許提煉過，總歸都有一定的源頭.

教師在進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)時，應(yīng)結(jié)合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，利用學(xué)生原有的思維結(jié)構(gòu)去探索問題的解決方法，讓學(xué)生充分感知數(shù)學(xué)學(xué)科的系統(tǒng)性與邏輯性等特征，并聯(lián)系基本概念，有效鞏固學(xué)生對“聯(lián)系”的理解. 當(dāng)然，案例2中的問題還有其他多種解法，但涉及學(xué)生未接觸過的內(nèi)容，此處不再贅述.

值得注意的是，教師與學(xué)生探討每一種解題方法或解題思路時，都要重視過程的完整性，讓學(xué)生從真正意義上達(dá)到掌握與應(yīng)用的程度，也突出每一種解題方法或解題思路承上啟下的作用. 應(yīng)用每一種解題方法或解題思路后，教師都要引導(dǎo)學(xué)生及時進(jìn)行反思與拓展，以深化學(xué)生對此類問題的認(rèn)識，達(dá)到觸類旁通的目的.

長此以往，學(xué)生就能切身體會到如何應(yīng)用自己所擁有的知識與技能、思想方法等擬定問題并提出解決問題的方案，從根本上促進(jìn)思維的提升. 同時，錯題的訂正、整理與總結(jié)等都是提高學(xué)生思考能力的重要途徑. 實(shí)踐證明，從真正意義上揭開數(shù)學(xué)這門學(xué)科的神秘面紗，是促使學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考世界的關(guān)鍵.

加強(qiáng)課后探究，學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界

隨著新課改的推進(jìn)，“以生為本”“減負(fù)增效”“培養(yǎng)創(chuàng)新人才”等理念越來越受到廣大教育工作者的重視. 為了踐行這些重要的教育教學(xué)理念，加強(qiáng)課后探究已然成為培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的重要路徑.

教師可結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況與教學(xué)資源，給學(xué)生布置一些科學(xué)合理的課后探究活動，鼓勵學(xué)生通過查閱文獻(xiàn)、小組討論等方式進(jìn)行自主探究，適時適當(dāng)給予一定的學(xué)法指導(dǎo)，要求學(xué)生將研究成果以調(diào)研報(bào)告、小論文等形式呈現(xiàn)出來，作為互動交流的依據(jù). 互動交流的過程是學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界的過程，也是促進(jìn)學(xué)生形成創(chuàng)新意識的基礎(chǔ).

案例3 “最大容積問題”的課后探究活動.

問題 將一塊邊長為1米的正方形紙盒的四個角各剪下一個小正方形后，將剩下的圖形折疊成一個無蓋的盒子，若要讓盒子的容積達(dá)到最大容量，求被剪下的小正方形的邊長.

學(xué)生探索：假設(shè)剪下的小正方形的邊長為x米，那么制作而成的盒子的容積則為V=x（1-2x）2（立方米），且0

一旦明確了問題探索方向，就可以鼓勵學(xué)生通過自主思考與小組合作等方式進(jìn)行研究. 學(xué)生在思考與交流的過程中，借助基本不等式不難獲得初步結(jié)論，再利用多媒體等資源以及基本不等式證明三元基本不等式，最后將探究思路與探究過程整理成小論文.

這是一道承接基本不等式的問題，整個活動由學(xué)生課后自主完成，主要由小組合作與小論文撰寫兩環(huán)節(jié)組成. 在小組合作環(huán)節(jié)，每一個學(xué)生都在明確的分工與合作中積極開動腦筋參與探索，分享自身的觀點(diǎn)、思路等；在小論文撰寫環(huán)節(jié)，學(xué)生則借助現(xiàn)代化的手段查閱資料，獲得更多的見解，夯實(shí)理論基礎(chǔ).

顯而易見，小論文撰寫過程是學(xué)生用數(shù)學(xué)語言記錄自己的想法、觀點(diǎn)與思維的過程，也是逐漸形成辯證、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)觀的過程. 這種開放式的課后探究活動，不僅有效發(fā)散了學(xué)生的思維，增強(qiáng)了學(xué)生對知識深度與廣度的認(rèn)識，還讓學(xué)生形成了用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界的能力.

總之，“教書育人”是教師的重要職責(zé)，學(xué)生在課堂中不僅僅要掌握基本的數(shù)學(xué)知識，更重要的是要學(xué)會思考，順利獲得“三會”能力. 結(jié)合高中生的身心發(fā)展規(guī)律，教師可從課堂教學(xué)、知識鞏固與課后探索三個環(huán)節(jié)著手，利用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段、學(xué)法指導(dǎo)，激活學(xué)生的思維能力，促使學(xué)生建構(gòu)完整的知識結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 史寧中. 學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與教學(xué)——以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為例［J］. 中小學(xué)管理，2017（01）：35-37.

作者簡介：顧靜凌（1978—），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾獲江陰市三力課堂大比武一等獎.