［摘? 要］ 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并不是讓學(xué)生被動(dòng)接受知識(shí)的過(guò)程，而是從學(xué)生原有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程. 弗賴登塔爾倡導(dǎo)的“發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造”對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)具有指導(dǎo)意義. 文章認(rèn)為，經(jīng)歷“創(chuàng)造”過(guò)程，優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)的措施有：課題引入，突出創(chuàng)造的必要性；注重探索，探尋創(chuàng)造的途徑；完善認(rèn)知，驗(yàn)證創(chuàng)造的正確性；總結(jié)提煉，揭示創(chuàng)造的意義.

［關(guān)鍵詞］ 創(chuàng)造；優(yōu)化；探索；復(fù)數(shù)

弗賴登塔爾提出：數(shù)學(xué)家從不按照創(chuàng)造數(shù)學(xué)的思維歷程去講述工作成效，而是顛倒思維，以結(jié)論作為出發(fā)點(diǎn)，反推出其他東西［1］. 正因?yàn)槿绱?，他著重?qiáng)調(diào)“再創(chuàng)造”為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)唯一正確的方法，即學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出待學(xué)習(xí)的內(nèi)容. 如復(fù)數(shù)就是虛構(gòu)了一個(gè)“i”，創(chuàng)建了一個(gè)新的數(shù)學(xué)體系.

筆者曾參加過(guò)一次教研活動(dòng)，觀摩多位教師對(duì)于“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念”的教學(xué)，發(fā)現(xiàn)不少教師的課堂存在一個(gè)共同問(wèn)題，即學(xué)生對(duì)概念的理解浮于表面，對(duì)概念的原理一知半解，為后期概念的應(yīng)用埋下了隱患. 因此，筆者緊扣“創(chuàng)造”過(guò)程，以“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入”教學(xué)為例，具體談?wù)勂湓淼慕沂具^(guò)程，與同行分享.

課題引入，突出創(chuàng)造的必要性

復(fù)數(shù)概念背后有什么數(shù)學(xué)原理呢？從數(shù)學(xué)發(fā)展史來(lái)看，能發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)知識(shí)是由人類(lèi)創(chuàng)造的. 因此本節(jié)課教學(xué)，首先要讓學(xué)生明白知識(shí)“創(chuàng)造”的必要性.

師：大家說(shuō)說(shuō)你們心目中的數(shù)學(xué)是什么.

這個(gè)看似隨意的問(wèn)題，似乎和本節(jié)課教學(xué)沒(méi)有什么關(guān)系. 筆者設(shè)計(jì)這個(gè)問(wèn)題的主要意圖在于拉近師生之間的距離，同時(shí)為導(dǎo)入教學(xué)主題做好情感鋪墊. 有的學(xué)生提出數(shù)學(xué)就是解題，有的學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是公式、定理的應(yīng)用，還有的學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是一種文化……順著學(xué)生的思維，筆者提出自己的觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)還是一種“創(chuàng)造”.

情境創(chuàng)設(shè)：數(shù)學(xué)家卡丹提出，把10分成兩個(gè)數(shù)，且這兩個(gè)數(shù)的積恰好為40，求這兩個(gè)數(shù).

生1：假設(shè)把10分成的兩個(gè)數(shù)分別為x，10-x，根據(jù)題意有x（10-x）=40，經(jīng)化簡(jiǎn)可得一元二次方程x2-10x+40=0，但Δ=-60<0，方程無(wú)解.

師：“方程無(wú)解”，這種表達(dá)準(zhǔn)確嗎？

生2：不準(zhǔn)確，應(yīng)該表述為“方程無(wú)實(shí)數(shù)解”.

師：但卡丹認(rèn)為該方程是有解的，解為x=5±，理由是這兩個(gè)數(shù)的和恰好為10，積也恰好為40，與題意完全符合.

生3：二次根號(hào)下可以是負(fù)數(shù)嗎？不對(duì)吧？

師：x=5±確實(shí)符合本題條件. 從剛才的表述來(lái)看，方程x2-10x+40=0無(wú)實(shí)數(shù)解，但并非無(wú)解，那是不是意味著它存在其他解呢？或者認(rèn)為在其他數(shù)系中有一定意義呢？

將方程x2-10x+40=0的根的表述作為課堂導(dǎo)入情境，意在制造認(rèn)知沖突，以引發(fā)學(xué)生思考與探索，為學(xué)生更好地接受“虛數(shù)”奠定基礎(chǔ). 這種課堂導(dǎo)入方式，不僅讓學(xué)生明確實(shí)數(shù)系向外擴(kuò)充的原因，還讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)創(chuàng)造的必要性.

注重探索，探尋創(chuàng)造的途徑

章建躍先生認(rèn)為：想要挖掘知識(shí)的育人價(jià)值，首先需打開(kāi)知識(shí)，將知識(shí)原創(chuàng)者的實(shí)踐過(guò)程與思維還原、重演、再現(xiàn)，讓學(xué)生與知識(shí)重新“相遇”，感知知識(shí)創(chuàng)造的途徑，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的重組與生成［2］. 數(shù)學(xué)知識(shí)不僅刻畫(huà)了客觀事物的規(guī)律與特征，還蘊(yùn)含了人類(lèi)主觀的思想與情感等.

因此，講授新課時(shí)，教師除了帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)新知外，還要關(guān)注知識(shí)所凝聚的實(shí)踐因素，只有將這些因素轉(zhuǎn)化為學(xué)生的精神財(cái)富，才能讓學(xué)生從本質(zhì)上掌握知識(shí)的內(nèi)涵. 想讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，就要帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程. 實(shí)踐證明，從運(yùn)算中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，從探索中總結(jié)規(guī)律，可成功轉(zhuǎn)變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念，為形成合理的“虛構(gòu)”奠定基礎(chǔ).

師：如何讓有意義呢？

生4：根號(hào)里出現(xiàn)負(fù)數(shù)，不合常理?。。▽W(xué)生無(wú)法接受根號(hào)里存在負(fù)數(shù)的現(xiàn)象）

師：新事物的形成與發(fā)展需要經(jīng)歷一個(gè)過(guò)程，我們要有接納新事物的胸懷，若有疑問(wèn)，可以進(jìn)行探索和研究.

在筆者的啟發(fā)下，學(xué)生開(kāi)始探索在什么情況下有意義. 縱觀整個(gè)數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程，每次擴(kuò)充必然伴隨著運(yùn)算的完善. 因此，可以借鑒加、減、乘、除與開(kāi)方運(yùn)算在各個(gè)數(shù)系中成立的情況進(jìn)行分析. 如表1所示，要求學(xué)生自主判斷各種運(yùn)算在各個(gè)數(shù)系中成立的情況.

由于任意自然數(shù)經(jīng)加或乘運(yùn)算后，仍然是自然數(shù)，但經(jīng)除、減或開(kāi)方運(yùn)算后就不一定是自然數(shù)，故只有加和乘運(yùn)算在自然數(shù)集中是成立的；任意整數(shù)經(jīng)加、減、乘運(yùn)算后依然為整數(shù)，而經(jīng)除與開(kāi)方運(yùn)算后就不一定為整數(shù)……

師：通過(guò)這張表格，你們有什么收獲？

生5：由自然數(shù)到整數(shù)，再?gòu)恼麛?shù)到有理數(shù)，數(shù)系經(jīng)過(guò)兩次擴(kuò)充后，之前無(wú)法解決的問(wèn)題就都解決了，但從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，負(fù)數(shù)的開(kāi)方運(yùn)算依然未能解決.

師：由此可見(jiàn)，每次數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程都是一次運(yùn)算的完善過(guò)程，但負(fù)數(shù)的開(kāi)方運(yùn)算仍然是個(gè)“懸案”，這就說(shuō)明進(jìn)一步擴(kuò)充數(shù)系勢(shì)在必行.

生6：實(shí)數(shù)集還能如何擴(kuò)充呢？

筆者帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)歷史中數(shù)系擴(kuò)充的方法，讓學(xué)生感知數(shù)系擴(kuò)充應(yīng)用了哪些技巧，并要求學(xué)生將圖1補(bǔ)充完整.

生7：想讓有實(shí)際意義，就要讓有實(shí)際意義，要是能開(kāi)平方就好了.

師：你指哪個(gè)數(shù)能開(kāi)平方？

生7：我的意思是要是x2=-1就好了，但實(shí)數(shù)集中并不存在這樣的數(shù).

師：這種想法非常好！既然實(shí)數(shù)集中不存在這樣的數(shù)，我們是否可以創(chuàng)造一個(gè)數(shù)系呢？結(jié)合之前數(shù)系擴(kuò)充的原則進(jìn)行思考，看看有沒(méi)有什么好辦法.

生8：引入一個(gè)新的符號(hào)或者新的數(shù).

師：非常好！現(xiàn)在我們就虛構(gòu)一個(gè)這樣的數(shù)為“i”，讓i2=-1.

在“以生為本”的基礎(chǔ)上，筆者循循善誘引導(dǎo)學(xué)生突破原認(rèn)識(shí)的禁錮，鼓勵(lì)學(xué)生向未知挑戰(zhàn)，讓學(xué)生自主考慮“創(chuàng)造”是解決問(wèn)題的良好方法. 那么，這種“創(chuàng)造”是否科學(xué)呢？這需要經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶剿髋c驗(yàn)證.

完善認(rèn)知，驗(yàn)證創(chuàng)造的正確性

創(chuàng)造、猜想等是人類(lèi)主觀意識(shí)的表現(xiàn)，想要證明其是否科學(xué)合理，需要經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶剿髋c驗(yàn)證. 當(dāng)然，探索與驗(yàn)證的過(guò)程離不開(kāi)教師的引導(dǎo)與啟發(fā).

師：現(xiàn)在我們引入“i”，可表達(dá)為i，那么5±就可以表達(dá)為5±i，如此就解決了二次根號(hào)下存在負(fù)數(shù)的問(wèn)題. 大家覺(jué)得給含“i”的數(shù)取個(gè)怎樣的名字比較合適呢？

生9：既然是創(chuàng)造出來(lái)的數(shù)，就稱為“虛數(shù)”吧.

師：看來(lái)這位同學(xué)預(yù)習(xí)過(guò). “i”是imaginary（虛幻、想象的）的首字母，用“虛數(shù)”命名再貼切不過(guò)了. 現(xiàn)在我們明確“i”為虛數(shù)單位，結(jié)合數(shù)系擴(kuò)充的規(guī)律，是否可以將i和實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算呢？請(qǐng)舉例.

生10：如4i，3+2i，-i，3-4i.

師：觀察生10所舉的例子，從結(jié)構(gòu)上看，有什么特點(diǎn)？

生11：每個(gè)結(jié)構(gòu)都符合a+bi（a，b∈R）的模式.

師：4i，-i也符合這個(gè)模式嗎？

生12：符合，當(dāng)a=0，b=4時(shí)，就是4i；當(dāng)a=0，b=-1時(shí)，就是-i.

師：實(shí)數(shù)2，0的結(jié)構(gòu)也符合a+bi（a，b∈R）嗎？

生13：符合，當(dāng)a=2，b=0時(shí)，就是實(shí)數(shù)2；當(dāng)a=0，b=0時(shí)，就是實(shí)數(shù)0.

師：也就是說(shuō)a+bi（a，b∈R）不僅能表示虛數(shù)，還能表示實(shí)數(shù). 由此可以看出這一類(lèi)數(shù)的集合包含實(shí)數(shù)集，我們將這一類(lèi)數(shù)統(tǒng)稱為復(fù)數(shù)，用C表示其集合. 從字面來(lái)看，復(fù)數(shù)就是復(fù)合的數(shù)，現(xiàn)在請(qǐng)大家說(shuō)說(shuō)對(duì)復(fù)數(shù)的直觀理解.

生14：結(jié)構(gòu)為a+bi（a，b∈R）的數(shù)為復(fù)數(shù)，主要由前后兩部分組成.

師：非常好，復(fù)數(shù)可記作z=a+bi（a，b∈R），a稱作實(shí)部，b稱作虛部.

類(lèi)比實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，筆者帶領(lǐng)學(xué)生從特殊到一般進(jìn)行復(fù)數(shù)概念的提煉，從一定意義上促進(jìn)學(xué)生知識(shí)體系的完善，讓學(xué)生進(jìn)入探尋事物性質(zhì)的積極狀態(tài). 在以上教學(xué)過(guò)程中，避免了機(jī)械式教學(xué)的弊端，讓學(xué)生從根本上理解了復(fù)數(shù)的由來(lái)與意義.

師：現(xiàn)在你們知道復(fù)數(shù)分為哪幾類(lèi)呢？

生（齊）：實(shí)數(shù)和虛數(shù).

師：我們將類(lèi)似于4i，-i的復(fù)數(shù)稱為純虛數(shù). 如圖2所示，用韋恩圖表示實(shí)數(shù)、虛數(shù)、復(fù)數(shù)之間的關(guān)系.

問(wèn)題1 寫(xiě)出下列復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，并指出哪些是實(shí)數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù).

2-3i，5，6+i，0，7i，2i2.

學(xué)生解題還算順利，但對(duì)2i2的分類(lèi)出現(xiàn)了爭(zhēng)議，經(jīng)過(guò)交流與探索，最終發(fā)現(xiàn)2i2實(shí)際上是-2，由此確定2i2是實(shí)數(shù). 據(jù)此，學(xué)生得到了“含有i的數(shù)不一定是虛數(shù)”的結(jié)論.

問(wèn)題2 復(fù)數(shù)系中，怎樣證明復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）與復(fù)數(shù)z=c+di（c，d∈R）是相等的關(guān)系？

生15：要確定復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部也相等，即a+bi=c+di?（a-c）+（b-d）i=0?a=c，b=d.

隨著問(wèn)題的提出與解決，學(xué)生領(lǐng)略到復(fù)數(shù)概念的內(nèi)涵與邏輯關(guān)系，并在分類(lèi)中對(duì)知識(shí)形成了系統(tǒng)認(rèn)識(shí)，在完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的同時(shí)，達(dá)到了融會(huì)貫通的目的.

總結(jié)提煉，揭示創(chuàng)造的意義

創(chuàng)造的形成離不開(kāi)創(chuàng)新思維的支撐. 創(chuàng)造是邏輯思維與非邏輯思維的結(jié)合，也是收斂思維與發(fā)散思維的統(tǒng)一，是人腦對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)按照一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)并創(chuàng)新的過(guò)程，因此創(chuàng)造凸顯著創(chuàng)新思維的價(jià)值. 創(chuàng)造（創(chuàng)新）思維既具有一般思維的深刻性、敏捷性、批判性等，又具備區(qū)別于一般思維的獨(dú)特性. 因此，在創(chuàng)造過(guò)程中，應(yīng)注重對(duì)思維的提煉與總結(jié)，凸顯出創(chuàng)造的價(jià)值與對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的意義.

師：本節(jié)課我們一起創(chuàng)造了“虛數(shù)”，復(fù)數(shù)開(kāi)方運(yùn)算的問(wèn)題就解決了，同時(shí)還認(rèn)識(shí)了一個(gè)更大的數(shù)系——復(fù)數(shù). 通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，大家認(rèn)為虛數(shù)純屬虛構(gòu)嗎？

生16：貌似有點(diǎn)“虛”，但從解決實(shí)際問(wèn)題的角度來(lái)看，好像又沒(méi)那么“虛”了.

師：大家都知道，每個(gè)實(shí)數(shù)都能與數(shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來(lái)，如圖3所示，通過(guò)數(shù)軸我們可以看見(jiàn)，將1繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到-1，也就是1×（-1）=-1. 如圖4所示，將1繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后再旋轉(zhuǎn)90°得到-1，引入i2=-1，即1×（-1）=1×i×i. 因此，你們有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)和i的積存在什么幾何意義？

生17：可認(rèn)定其為有向線段的旋轉(zhuǎn).

筆者所提的這個(gè)幾何意義在虛數(shù)出現(xiàn)前并未被發(fā)現(xiàn)，而是隨著虛數(shù)的創(chuàng)造逐漸被挖掘出來(lái). 其實(shí)，科學(xué)家創(chuàng)設(shè)各種知識(shí)時(shí)，不一定事先獲得真理，真理可能是通過(guò)后續(xù)不斷研究與實(shí)踐而得到的. 此處，通過(guò)揭示復(fù)數(shù)的幾何意義，讓學(xué)生切身感受虛數(shù)的價(jià)值與意義，使學(xué)生發(fā)自內(nèi)心地理解并接納復(fù)數(shù).

師：本節(jié)課給你們帶來(lái)了什么收獲？復(fù)數(shù)能否繼續(xù)擴(kuò)充？

對(duì)于這個(gè)總結(jié)性的問(wèn)題，學(xué)生的回答比較豐富，有學(xué)生提出虛數(shù)原來(lái)并不“虛”，也有學(xué)生提出數(shù)學(xué)原來(lái)是創(chuàng)造出來(lái)的……在此筆者趁機(jī)滲透以下幾點(diǎn)重要思想：①數(shù)是人類(lèi)創(chuàng)造出來(lái)的；②當(dāng)遇到無(wú)法解決的問(wèn)題時(shí)，可嘗試創(chuàng)造出新的數(shù)來(lái)分析問(wèn)題；③能否解決問(wèn)題、有與無(wú)等都是相對(duì)而言的，數(shù)學(xué)創(chuàng)造的難點(diǎn)在于如何打破思維定式，只有解決這一難點(diǎn)，才能獲得創(chuàng)造力.

至于復(fù)數(shù)是否可以繼續(xù)擴(kuò)充的問(wèn)題，意在激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維以及學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力. 值得注意的是，課堂小結(jié)不僅僅是知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)，更是數(shù)學(xué)思想方法、情感體驗(yàn)與綜合素養(yǎng)的提煉. 尤其是“懸案”的設(shè)置，能有效激發(fā)學(xué)生探究的動(dòng)力，讓學(xué)生感知理性思維的重要性與創(chuàng)造的意義.

總之，知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造”過(guò)程，實(shí)質(zhì)上就是架構(gòu)局部數(shù)學(xué)體系的過(guò)程［3］. 學(xué)生親歷知識(shí)創(chuàng)造的過(guò)程，對(duì)知識(shí)的實(shí)際意義與價(jià)值有更深刻的理解，這體現(xiàn)了探究性學(xué)習(xí)的宗旨.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 弗賴登塔爾. 作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)［M］. 陳昌平，唐瑞芬，譯. 上海：上海教育出版社，1995.

［2］ 曹才翰，章建躍. 數(shù)學(xué)教育心理學(xué)［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2006

［3］ 湯慧龍. 關(guān)于數(shù)學(xué)創(chuàng)新性教育的另一種思考［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011， 20（03）：17-18.

作者簡(jiǎn)介：姜璐璐（1989—），碩士研究生，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.