摘要：教材編修是落實數(shù)學核心素養(yǎng)教育的關鍵，在具體修訂過程中存在許多有爭議的問題，對這些問題在討論、辯論過程中達成“共識”或者拋出問題，引起大家的進一步討論，有助于教材的編修.無理數(shù)概念的名稱問題與編排的“位置”問題，幾何證明位置的編排問題，銳角三角形函數(shù)的“稱謂”問題，以及勾股定理的優(yōu)化與是否需要證明等問題是困惑我們編修人員的問題.

關鍵詞：教材編修;幾何證明;無理數(shù);銳角三角函數(shù);勾股定理

筆者有幸參加了《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》頒布以來初中數(shù)學實驗教材的編寫，以及《義務教育教學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》）發(fā)布后教材的修訂工作.在《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）頒布后，有關出版社便組織教材修訂人員，對與《課標（2011年版）配套的教材進行修訂.二十余年以來，筆者親身經歷了在教材整體規(guī)劃、修訂、打磨過程中，始終有許多問題困擾著我們，今選幾個典型問題與大家進一步探討，也期望對正在進行的編修工作有所啟發(fā).

1 關于無理數(shù)概念的問題

無理數(shù)是數(shù)學的基礎概念，是學生學習的難點，也是教材編寫中有爭議的地方之一.爭議主要體現(xiàn)在兩點：一是名稱問題；二是編排的“位置”問題.

在《課標（2022年版）》頒布之前，筆者對“無理數(shù)”的誕生歷史進行過研究，通過深刻思考曾經發(fā)表了以《初中數(shù)學教材無理數(shù)概念編排斷想——供教材編者參考》為代表的論文.該文主要論述了三個問題：無理數(shù)概念的誕生史；對教材中無理數(shù)概念的總體設想；對教材中無理數(shù)概念編排的具體建議.對于無理數(shù)的概念，我們認為有如下兩個問題：

（1）名稱應還原歷史：把有理數(shù)和無理數(shù)分別稱為“可比數(shù)”和“不可比數(shù)”

大量資料表明，有理數(shù)應叫可比數(shù)，無理數(shù)叫不可比數(shù).無理數(shù)的產生早于數(shù)軸的發(fā)明，教材中無理數(shù)出現(xiàn)在數(shù)軸之后是不符合“史實”的.把無理數(shù)提前到數(shù)軸之前，和有理數(shù)“同時”安排，還原了“歷史”面貌，有助于學生整體認識數(shù)學，感悟數(shù)學的本質.

長期以來，我們一直把整數(shù)和分數(shù)叫做有理數(shù)，這似乎是一個毋庸置疑的問題.據(jù)文[1]介紹，由于一開始翻譯的訛誤，才造成了把整數(shù)和分數(shù)叫做“有理”的數(shù)，其原意并不是這個意思.

“有理數(shù)”的英文是rational number，“無理數(shù)”的英文是irrational number，irrational是rational的反義詞.rational這個詞原本的含義有二：其一是“比”，其二是“合理”.按照概念的內涵，rational number和irrational number應該分別翻譯為“可比數(shù)”和“不可比數(shù)”[2]，由此可見，無理數(shù)的本質是不能用整數(shù)之比表示的數(shù)[2].

《課標（2022年版）》在“課程性質”中的第一句話是“數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學”[3].教材編寫首先應遵循“科學性原則”，數(shù)學教材是學生學習這門“科學”的第一載體，理所當然要尊重科學史實！教材編寫中把有理數(shù)叫做“可比數(shù)”，把“無理數(shù)”叫做不可比數(shù)”就是還原歷史、尊重科學的舉措.

利用是否可“比”定義有理數(shù)和無理數(shù)的意義有三：

一是突出了數(shù)學的本質.教材最大的特色或者說排在第一位的特色就是要注重體現(xiàn)數(shù)學的本質.《課標（2022年版）》提出了“注重教材創(chuàng)新”的“編寫建議”，其中提出，“教材編修……，‘所選內容應注重體現(xiàn)數(shù)學的本質[2]”，用“比”的定義方式突出了數(shù)學的本質.

二是能澄清學生的模糊認識.利用“比”定義有理數(shù)，學生就能很容易認定227是有理數(shù)了，而目前大多教材中所定義有理數(shù)和無理數(shù)的方式，導致學生對227究竟是有理數(shù)還是無理數(shù)一直存有疑問.

三是符合先“質”后“量”的習慣.任何數(shù)學概念都有“質”和“量”兩個方面，是“質”和“量”的統(tǒng)一體，在這兩個方面中，前者是第一位的.對于數(shù)學概念，有兩種定義方式：一是通過揭示概念的內涵來定義；二是利用外延來定義.用內涵來定義是立足于“質”的方面揭示概念的本質，而用外延來定義則是從“量”的方面來考慮的.選擇定義方式時應先“質”后“量”.

（2）強調關聯(lián)：把有理數(shù)和無理數(shù)作為一節(jié)課安排在數(shù)軸之前

把有理數(shù)和無理數(shù)放到一節(jié)課，提到“數(shù)軸”前安排，很多教師認為這樣會增加學習困難或負擔.那么，該如何讓學生“看到”無理數(shù)呢？

把有理數(shù)和無理數(shù)作為一節(jié)課符合學生的認識規(guī)律，理由有二：

二是具備了知識基礎.《課標（2022年版）》在第三學段的“課程內容”中，提出了“探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積公式”[3]的要求；在“教學要求”中，提出了“會計算平行四邊形、三角形、梯形的面積，能用相應公式解決實際問題”[3]；在“教學提示”中，提出了“引導學生運用轉化的思想，推導平行四邊形、三角形、梯形、圓等平面圖形的面積公式”[3].由此可見，學生通過第三學段的要求，已經具備了學習無理數(shù)的知識基礎.

如何讓學生感悟到無理數(shù)是客觀存在的數(shù)呢？

筆者認為，對于無理數(shù)位置前移，應引導學生經歷“實驗操作—得到新數(shù)（擴充數(shù)系的必要性）—探索新數(shù)特點（擴充數(shù)系的合理性）—給出無理數(shù)定義—擴大數(shù)學知識結構[2]”的過程.教材要突出“給出可比數(shù)的概念、引進不可比數(shù)、畫不可比數(shù)點”三個環(huán)節(jié)，目的是讓學生感悟到“無理數(shù)”是實實在在存在的數(shù).

2 關于幾何證明安排的位置問題

“推理能力”是《課標（2022版）》提出的重要核心素養(yǎng)之一.推理能力主要包括合情推理能力與演繹推理能力.以往在培養(yǎng)推理能力方面過分依賴幾何，比較重視“演繹推理”，對“代數(shù)推理”“統(tǒng)計推理”的重視程度不夠.為了改變這一現(xiàn)狀，《課標（2022版）》在“課程內容”中增加了“了解代數(shù)推理”的要求.代數(shù)推理能力一方面可以通過合情推理訓練來培養(yǎng)，也可以通過演繹推理訓練來提升.

平面幾何內容歷來被認為是培養(yǎng)學生推理能力的重要載體.數(shù)學教材應把培養(yǎng)學生的推理能力作為貫穿“圖形與幾何”內容的主線之一，遵循“合情推理—演繹推理—合情推理與演繹推理相結合”的原則，分三個階段來設計這部分內容.

《課標（2022版）》對于“圖形的性質”這一主題，強調“通過實驗探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理論證來研究圖形”[3]，這里“強調”意味著在學習圖形的性質時應采用三種方法，這三種方法出現(xiàn)的順序為“實驗探究—直觀發(fā)現(xiàn)—推理論證”.前兩種方法有助于合情推理能力的發(fā)展，后一種方法注重演繹推理能力.

合情推理對于學生將來的發(fā)展具有重要的意義.從這個角度看，教材中“證明”不宜過早出現(xiàn)，安排在八年級下冊比較合適，如果安排在八年級上冊的話，也應該在其后半部分.

特別需要說明的是，“全等三角形”和“軸對稱圖形”內容是落實《課標（2022版）》“通過實驗探究、直觀發(fā)現(xiàn)研究圖形”最恰當?shù)膬热?，因此建議把“證明”放在這兩章的后面.這樣有助于培養(yǎng)學生合情推理能力和實驗探究能力.

這兩部分內容主要承擔的是培養(yǎng)學生的合情推理能力，并為演繹推理能力的發(fā)展奠定基礎.教科書應采取以實驗、觀察、類比、推測等合情推理的方式獲取數(shù)學結論為主，初步感悟演繹推理和變換幾何的思想.

例如，全等形概念是在學生“觀察圖片”的基礎上引入的；全等三角形及其特征是在學生“動手操作、觀察、比較、探究、感悟”的基礎上得到的；三角形全等的四個判定方法都是通過實驗探究得到的.

這種安排促進了學生合情推理能力的發(fā)展，也有利于培養(yǎng)和發(fā)展學生的幾何直觀和空間觀念，豐富學生的數(shù)學活動經驗，同時對于他們感受數(shù)學思考過程的合理性和數(shù)學結論的確定性也是非常有益的.

3 關于三角函數(shù)的名稱問題

“銳角三角函數(shù)”是解直角三角形的基礎，對應銳角A的正弦、余弦、正切應定義為銳角A的三角比，而不是銳角三角函數(shù).理由如下：

（1）《課標（2022年版）》把“圖形與幾何”領域分為“圖形的性質”“圖形的變化”“圖形與坐標”三個主題.“銳角三角函數(shù)”是解直角三角形的基礎，銳角三角函數(shù)概念在“圖形的變化”主題中，在這個主題中圖形的變化是主線，這里面包含了合同變換（圖形的軸對稱、圖形的旋轉、圖形的平移、圖形的相似），直角三角形的邊角關系也屬于這一主線.

（2）《課標（2022年版）》對“銳角三角函數(shù)”的要求是“利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數(shù)（sin A，cos A，tan A）[3]”.對應《課標（2022年版）》的解讀指出“關于銳角三角函數(shù)，初中階段主要研究直角三角形的邊角關系，而沒有從函數(shù)的角度去研究”[4].

（3）對于直角三角形的邊角關系，教材中是利用“相似三角形的對應邊成比例”來研究的，而不是從變量和函數(shù)的角度去研究的.

在定義過程中“比”是核心知識，我們認為叫銳角三角比更能反映它們的實質，也能很好地體現(xiàn)《課標（2022年版）》的上述要求.

在具體引入概念時，應從概念的內涵與外延上作深入的剖析，剖析概念的內涵就是抓住概念的本質特征.教材中可抓住正弦進行剖析，正弦在本質上是一個“比”.為了突出這個比值，結合圖1，說明如下：

（1）正弦是一個比；

（2）這個比是∠A的終邊上任意一點的縱坐標y與這一點到原點的距離r的比值；

（3）這個比值隨∠A的確定而確定，與點在∠A的終邊上的位置無關（這一點可用相似三角形的原理來說明）；

（4）由于y≤r，所以這個比值不會超過1[5].

事實上，對于∠A的每一個確定的值，都有一個確定的比值與之相對應.讓學生認識到這一點，他們對正弦的理解就更深刻了.

另外，∠A的終邊上的一點P（x，y）一旦確定，x，y，r這三個量（見圖2）的值也就確定了，任取其中兩個就可以確定一個比值，這樣的比值有且只有六個.因此，基本銳角三角比有且只有六個，這便是銳角三角比的外延，在初中我們僅學習其中的三個.

4 關于勾股定理的問題

勾股定理是直角三角形的一個性質定理，由于它有著悠久的歷史、豐富的文化內涵以及在數(shù)學史上的獨特地位和廣泛的應用，因此成為數(shù)學中最著名、最重要的定理之一.

關于勾股定理，主要有兩個問題：一是單獨成章還是與實數(shù)合并；二是教材中需不需要對其進行證明的問題.這兩個問題，編修過程中爭議很大.筆者建議：

（1）把勾股定理并到實數(shù)一章

從《課標（2022年版）》可知“勾股定理”和“數(shù)的開方”分別是“圖形與幾何”和“數(shù)與代數(shù)”兩個領域的核心內容，它們分別代表著“形”和“數(shù)”，從科學發(fā)展史來看，二者有著密切的關聯(lián)，是并存發(fā)展的.如2，3等無理數(shù)是伴隨著勾股定理的發(fā)現(xiàn)而誕生的，所以說無理數(shù)使得勾股定理對于邊長是任意正數(shù)的直角三角形都能成立，反過來，勾股定理使得無理數(shù)有了明確直觀的幾何解釋.

將“勾股定理”和“數(shù)的開方”合為“實數(shù)”一章，這種安排是還實數(shù)（勾股定理）到其應在的“位置”.二者合為一體，揭示了他們之間本來固有的實質性的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學的整體性和文化價值.

這種處理方式，不僅解決了傳統(tǒng)教材中將二者分開后，究竟先安排勾股定理再安排無理數(shù)，還是先安排無理數(shù)再安排勾股定理的矛盾.同時，還回歸到人類發(fā)現(xiàn)勾股定理和無理數(shù)的歷史，揭示了二者之間的聯(lián)系，是“形”和“數(shù)”兩個研究對象在一定條件下相互轉化，相互滲透的典范，也符合《課標（2022年版）》突出學生感悟數(shù)學思想方法的要求精神.

將勾股定理合并到“實數(shù)”后，本章的宏觀設計是：在有理數(shù)的基礎上，通過研究平方、立方運算的逆運算，以及已知直角三角形的兩邊由勾股定理求第三邊邊長的需要，引入新的運算——開平方和開立方運算，以及開方運算產生的新數(shù)——無理數(shù)，提出實數(shù)概念（前面只提出無理數(shù)概念，但不出現(xiàn)實數(shù)），將數(shù)的范圍擴充到實數(shù).

本章之后將在實數(shù)范圍內討論一元一次不等式、二次根式、一次函數(shù).這種統(tǒng)籌安排、整體設計的方式，有利于學生逐步掌握當數(shù)域擴充后數(shù)學研究的規(guī)律和方法，加深學生對數(shù)學本質的理解與感受.同時，這種設計更加印證了人類對數(shù)的認識是在生產、生活和數(shù)學自身矛盾的發(fā)展過程中不斷加深和完善的事實.

（2）勾股定理不需要證明

《課標（2022年版）》對于勾股定理的要求是“探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題”[3].這個要求在21世紀初開始實施的課程標準中一直沒有變化.

直角三角形中的判定有：（1）有兩個角互余的三角形是直角三角形；（2）兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，（3）斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.

用勾股定理看判定方法（2）（3），可以得到如下結論：

在等式a２+b２=c２中，任給兩個字母的值就可以唯一確定第三個字母的值.勾股定理的重要性在于它在定量幾何中扮演著重要的角色.勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明具有很強的構造性，如果沒有畢達哥拉斯那樣對圖形關系的高度敏感性和好運氣，那么要發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的平方關系也是很難的.

《課標（2022年版）》對勾股定理的要求是“探索”得到定理并且“會運用”，因此，在教材中不能出現(xiàn)關于勾股定理的證明問題.如果教材中出現(xiàn)勾股定理的證明，則超標了.

以上是作者對編修初中數(shù)學教材中幾個“敏感”問題的思考建議，供大家討論.

參考文獻：

[1]王紅權.怎樣教好無理數(shù)[J].數(shù)學通報，2018（6）：18-22.

[2]李樹臣.初中數(shù)學教材無理數(shù)概念編排斷想——供教材編者參考[J].教育研究與評論（中學教育教學），2021（11）：75-78.

[3]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[4]史寧中，曹一鳴.義務教育數(shù)學課程課標（2022年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[5]李樹臣.注重數(shù)學實質 突出內在聯(lián)系——青島版義務教育教科書·數(shù)學九年級上冊第二章“解直角三角形”介紹[J].中學數(shù)學，2015（4）：43-47，3.