胡松

摘要：素養(yǎng)導(dǎo)向下的教學(xué)評價(jià)功能要在發(fā)揮數(shù)學(xué)思維內(nèi)在力量的前提下，落實(shí)立德樹人的根本目標(biāo).立足“教—學(xué)—評”一致性的課程理念，運(yùn)用系統(tǒng)性思維，分析評價(jià)取向，整合教學(xué)內(nèi)容，優(yōu)化教學(xué)環(huán)節(jié)，“教對數(shù)學(xué)課”.

關(guān)鍵詞：素養(yǎng)導(dǎo)向;評價(jià)素材；價(jià)值分析；教學(xué)啟示

中考不僅考查學(xué)生基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法，而且也常常用壓軸題的形式考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題和解決問題的能力.近幾年，南京市中考壓軸題有其獨(dú)創(chuàng)性和前瞻性，筆者以其中部分試題為例，分析素材選取的特點(diǎn)，關(guān)注壓軸題的所“壓”之處，以供一線教師對課程的深度理解和育人方式的變革作參考.

1 素養(yǎng)導(dǎo)向下評價(jià)素材的選擇

2022年版新課標(biāo)指出要發(fā)揮評價(jià)的育人導(dǎo)向，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的過程和結(jié)果［1］.而選擇較好的素材尤為關(guān)鍵，這里主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面，一方面可以結(jié)合核心素養(yǎng)的水平表現(xiàn)從知識維度來選擇素材，一方面也要結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)的過程、熟悉的情景等從問題解決角度來選擇素材.

南京市這幾年的中考壓軸題從學(xué)生的學(xué)習(xí)生活出發(fā)，符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，讀起來熟悉，上手不畏懼，同時(shí)又具有一定的思維深度和區(qū)分度，一定程度上對關(guān)注素養(yǎng)導(dǎo)向的評價(jià)做出了有意義的嘗試.

1.1 素材來自課堂延伸處，壓在鈴聲響起時(shí)

試題重現(xiàn) （2021年·南京）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？

（2）圖1③中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成.O是圓錐的頂點(diǎn)，點(diǎn)A在圓柱的底面圓周上.設(shè)圓錐的母線長為l，圓柱的高為h.

①螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)O的最短路徑的長為（用含l，h的代數(shù)式表示）.

試題分析：我們常常有這樣的體會(huì)，當(dāng)鈴聲響起時(shí)，一個(gè)問題剛好講完了，但是不是真的講完了，學(xué)生是不是真的理解了我們想要表達(dá)的內(nèi)容，無論是知識點(diǎn)，還是思想方法，他們能不能運(yùn)用到其他場景中，會(huì)不會(huì)對我們所講的內(nèi)容進(jìn)行進(jìn)一步的思考.這也是鈴聲響起后，教師希望學(xué)生能夠繼續(xù)的內(nèi)容.

“螞蟻怎樣爬路徑最短”問題是個(gè)典例，通過展開立體圖形的側(cè)面或表面，從而把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題，把折線段或曲線段轉(zhuǎn)化為直線段，最后利用“兩點(diǎn)之間線段最短”來解決問題.課堂上討論的無非是螞蟻在長方體、圓柱體和圓錐體表面爬行的問題，也可能是在這幾個(gè)立體圖形的相關(guān)元素，比如長方體的長寬高、圓柱體的高和底面半徑上，進(jìn)行一些一般性的討論.當(dāng)鈴聲響起時(shí)，學(xué)生常常終止了對這個(gè)問題的思考.而這類問題的解法是否可以運(yùn)用到新的場景中去，應(yīng)該是講解這節(jié)課的價(jià)值所在.南京市這道壓軸題正是延伸了這類問題的內(nèi)涵，當(dāng)鈴聲響起后，學(xué)生可以繼續(xù)往下思考，如果螞蟻是在一些簡單幾何體的組合體表面上爬行，這樣的問題如何解決呢？題目由易到難地提出了兩個(gè)問題，其中第（2）個(gè)問題的難度就在于是否真正能把“熟悉的解題方法”運(yùn)用到“新的問題場景”中來，這有效考查了學(xué)生對這一模型的理解和應(yīng)用，具有一定的挑戰(zhàn)性.

1.2 素材來自在平時(shí)備課時(shí)，壓在教材留白處

試題重現(xiàn) （2018年·南京）結(jié)果如此巧合！

下面是小穎對一道題目的解答.

題目 如圖2，Rt△ABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點(diǎn)D，AD＝3，BD＝4，求△ABC的面積.

解：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與AC，BC相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，CE的長為x.

根據(jù)切線長定理，得AE＝AD＝3，BF＝BD＝4，CF＝CE＝x.

根據(jù)勾股定理，得（x＋3）2＋（x＋4）2＝（3＋4）2.

整理，得x2＋7x＝12.

小穎發(fā)現(xiàn)12恰好就是3×4，即△ABC的面積等于AD與BD的積.這僅僅是巧合嗎？

請你幫她完成下面的探索.

已知△ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點(diǎn)D，AD＝m，BD＝n.

可以一般化嗎？

（1）若∠C＝90°，求證：△ABC的面積等于mn.

倒過來思考呢？

（2）若AC·BC＝2mn，求證∠C＝90°.

改變一下條件……

（3）若∠C＝60°，用m，n表示△ABC的面積.

試題分析：很多中考試題，都可以在教材中找到原型.閱讀教材，做教材中的習(xí)題，本質(zhì)是為了讓學(xué)生進(jìn)行深度思考，培養(yǎng)思維能力和獨(dú)創(chuàng)精神，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)后能真正“聰明”起來，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的“育人功能”.

2018年的這道壓軸題的原型就是蘇科版教材九年級上冊第93頁的第16題，教材中題目的條件和小穎解決的問題條件一樣，只是求的不是面積而是內(nèi)切圓半徑.我們常遇到的求直角三角形的內(nèi)切圓半徑問題都是“已知兩條直角邊長，求內(nèi)切圓半徑”，而這個(gè)問題條件不一樣，那么學(xué)生在解決教材這個(gè)問題的過程中，是不是可以思考一下，這個(gè)圖形中還有哪些量是可求的，并將其寫在教材的空白處，進(jìn)而再思考，如果將題目中的長度和三角形的形狀一般化，是否還可求解，而這就演變成了此壓軸題中的問題.

1.3 素材來自學(xué)習(xí)過程里，壓在典型習(xí)題中

試題重現(xiàn) （2020年·南京）如圖3，要在一條筆直的路邊l上建一個(gè)燃?xì)庹?，向l同側(cè)的A，B兩個(gè)城鎮(zhèn)分別鋪設(shè)管道輸送燃?xì)?試確定燃?xì)庹镜奈恢?，使鋪設(shè)管道的路線最短.

（1）如圖4，作出點(diǎn)A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A′，線段A′B與直線l的交點(diǎn)C的位置即為所求，即在點(diǎn)C處建燃?xì)庹?，所得路線ACB是最短的.

為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，不妨在直線l上另外任取一點(diǎn)C′，連接AC′，BC′，證明AC＋CB＜AC′＋C′B.請完成這個(gè)證明.

（2）如果在A，B兩個(gè)城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個(gè)生態(tài)保護(hù)區(qū)，燃?xì)夤艿啦荒艽┻^該區(qū)域.請分別給出下列兩種情形的鋪設(shè)管道的方案（不需說明理由）.

①生態(tài)保護(hù)區(qū)是正方形區(qū)域，位置如圖5所示；

②生態(tài)保護(hù)區(qū)是圓形區(qū)域，位置如圖6所示.

試題分析：為什么說這道題目壓在典型習(xí)題中，因?yàn)槌踔腥甑臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有很多典型習(xí)題是學(xué)生一定會(huì)碰到的，這些典型的習(xí)題還會(huì)產(chǎn)生很多變式，從而形成一類典型問題.當(dāng)問題的背景復(fù)雜化以后，學(xué)生要能從中抽象出相應(yīng)的模型或方法，這是真正理解典型習(xí)題的關(guān)鍵.通過深挖這些典型習(xí)題，可以很好地考查學(xué)生對一個(gè)典型習(xí)題的多種變式及其拓展應(yīng)用是否看清了知識的本質(zhì)，是否能夠觸類旁通，思維的深刻性、廣闊性和靈活性是否得到了很好的發(fā)揮和展現(xiàn).

“將軍飲馬”問題就是初中階段典型習(xí)題之一.在初中幾何求最值問題中它通過與一些特殊圖形結(jié)合，展現(xiàn)出了特殊的魅力.如，與直線、角、三角形、四邊形、圓、直角坐標(biāo)系中拋物線等函數(shù)圖象的結(jié)合，在中考中都很常見.2020年的這道考題首先要求對“將軍飲馬”問題進(jìn)行證明，考查學(xué)生對該典型習(xí)題的理解深度，不僅要知道方法，更要知道道理，體現(xiàn)數(shù)學(xué)是一門講道理的學(xué)科.第（2）問的挖掘方向是在原來的線段中間加上障礙物，讓“兩點(diǎn)之間，線段最短”失效，在“經(jīng)典”問題上開辟新問題，找準(zhǔn)“經(jīng)典”問題生長的源泉和動(dòng)力，從而把一個(gè)比較“難”的問題，轉(zhuǎn)化為比較熟悉的“簡單”問題.

2 素養(yǎng)導(dǎo)向下評價(jià)素材選擇的教學(xué)啟示

中考試卷中的壓軸題，具有一定的選拔功能，其目的就是要區(qū)分出學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.中考試卷的亮點(diǎn)往往也在壓軸題，體現(xiàn)對重要數(shù)學(xué)思想與方法等的考查.壓軸題的綜合性較強(qiáng)、難度比較大.在教學(xué)中，很多教師也認(rèn)為，壓軸題講多了學(xué)生也聽不懂，甚至是即使聽懂了，稍微一變化還是不會(huì)做，因而他們選擇放棄講解壓軸題，甚至直接忽略了壓軸題.

從以上列舉的南京市近幾年的中考壓軸題可以看出，壓軸題并沒有想象中那么可怕.首先，壓軸題通常來源于課堂、教材、習(xí)題等學(xué)生熟悉的場景，在熟悉的問題和背景中進(jìn)行挖掘，考查學(xué)生對課堂、教材、習(xí)題的理解深度；其次，這些題目來源于但是又高于

研究和討論過的問題，這就要學(xué)生養(yǎng)成愛提問題、愛思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣.那么，如何提高學(xué)生的思維能力、培養(yǎng)愛思考的習(xí)慣就成為了教師日常教學(xué)中值得思考的課題.要培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，關(guān)鍵要“教對數(shù)學(xué)課”［2］.

2.1 數(shù)學(xué)課要體現(xiàn)學(xué)科育人的價(jià)值

“教對數(shù)學(xué)課”首先要讓數(shù)學(xué)課體現(xiàn)出學(xué)科育人的價(jià)值.我們的數(shù)學(xué)課應(yīng)當(dāng)不僅僅是停留在教授教材中的數(shù)學(xué)知識上，而應(yīng)該是通過數(shù)學(xué)課培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的多種數(shù)學(xué)思想，如類比思想、函數(shù)思想，以及優(yōu)良品質(zhì)，如勇于探索、百折不撓的品格等，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)特的育人價(jià)值.比如，在探究三角形全等條件的過程中，引導(dǎo)學(xué)生從三角形全等的性質(zhì)出發(fā)，探究判斷三角形全等究竟需要幾個(gè)條件，進(jìn)而嘗試論證或舉反例說明，形成幾何學(xué)習(xí)的基本方法.那么，在研究三角形相似的條件時(shí)，學(xué)生就可根據(jù)學(xué)習(xí)全等的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行自主探究.

2.2 數(shù)學(xué)課要讓學(xué)生養(yǎng)成主動(dòng)思考的習(xí)慣

“教對數(shù)學(xué)課”其次要讓學(xué)生養(yǎng)成主動(dòng)思考的習(xí)慣.數(shù)學(xué)課的核心就是教學(xué)生學(xué)會(huì)思考，從本質(zhì)上說就是要教學(xué)生學(xué)會(huì)提出問題，學(xué)會(huì)抽象概念，學(xué)會(huì)研究問題的一般方法.要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中不斷地問自己幾個(gè)問題：提出什么樣的問題？問題從哪來？問題提出后如何解決？問題解決后有什么用？還以探索三角形全等的條件為例，在下課鈴聲響起后，鼓勵(lì)學(xué)生探究四邊形全等的條件，并找時(shí)間和學(xué)生一起討論.這樣的探究，不要認(rèn)為是耽誤時(shí)間，這種“慢”其實(shí)不是慢，而是為了弄清數(shù)學(xué)的本質(zhì)，為了將來的“快”.

2.3 數(shù)學(xué)課要用好典型問題的模型

“教對數(shù)學(xué)課”還要用好典型問題的模型.當(dāng)下，“題海戰(zhàn)術(shù)”還是被不少教師認(rèn)為是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的法寶，即從大容量的題目訓(xùn)練中“悟”出解題的方法，“練”出解題的速度.在解題教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)當(dāng)充分挖掘典型例題的教學(xué)功能，用好例題的典型性進(jìn)行發(fā)散，用好例題的題設(shè)進(jìn)行變式，用好習(xí)題的模型進(jìn)行分解，培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的立場、觀點(diǎn)、方法.對于一個(gè)例題或者一個(gè)試題，如何拆解成能啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思考的一個(gè)個(gè)問題，是講好題目的關(guān)鍵.課堂中教師的問題不僅是學(xué)習(xí)內(nèi)容的載體，也是驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)、完善知識結(jié)構(gòu)、形成數(shù)學(xué)思想方法、獲得活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的抓手.將典型例題中的圖形、模型進(jìn)行拓展，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考，讓這些思考呈現(xiàn)在教材、練習(xí)冊的空白處，留給學(xué)生的思考空間就可以從課上延伸到課外［3］.

壓軸題并沒有想象中那么高深莫測，在日常教學(xué)中，教師可以通過對教學(xué)內(nèi)容的深度挖掘及教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變，把學(xué)習(xí)的時(shí)間和空間還一點(diǎn)給學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，并且逐步養(yǎng)成在數(shù)學(xué)上敢于實(shí)踐的勇氣，這樣會(huì)讓學(xué)生樂于接受挑戰(zhàn)，帶著問題走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂，帶著問題走出數(shù)學(xué)課堂，走向更廣闊的天地.

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