姜靜怡

摘要：函數(shù)部分是中考考查的熱點，也是初中數(shù)學教學的重難點.根據(jù)《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》，中考關(guān)于函數(shù)考查的題目比例有所增加，其中應用數(shù)形結(jié)合思想解決的問題較多，給學生帶來了一定的難度.本文中以此作為研究視角，立足初中函數(shù)解題教學，科學融入數(shù)形結(jié)合思想，借助圖形的輔助，將抽象思維和形象思維結(jié)合起來，最終將復雜的函數(shù)問題簡單化，幫助學生順利解決相關(guān)函數(shù)問題.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學;函數(shù);數(shù)形結(jié)合思想

1 利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)概念問題

學習函數(shù)，首先要明確函數(shù)的概念.這就要求學生能識別簡單實際問題中的常量、變量及其意義；能根據(jù)函數(shù)圖象分析出實際問題中變量的信息，發(fā)現(xiàn)變量間的變化規(guī)律；能結(jié)合函數(shù)圖象分析簡單實際問題中的函數(shù)關(guān)系，進而能初步推測變量的變化趨勢.

例1?最近長春市連降雨雪，某水庫水位上漲.圖1表示某一天的水位變化情況，0時的水位為警戒水位.結(jié)合圖象判斷下列敘[JP]述不正確的是（）.

A.8時水位最高

B.P點表示12時水位為0.6 m

C.8時到16時水位都在下降

D.這一天水位均高于警戒水位

解析：本題是一道典型的運用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)概念的問題.解題時要在具體情景的基礎上認真審題，結(jié)合題目給出的圖象分析得出答案.

對于A選項，通過觀察圖象可知，在8時圖象縱坐標最大為1.0.所以A選項正確.

對于B選項，在圖象中可以觀察到，P點對應的橫坐標為12，縱坐標為0.6.所以B選項正確.

在C選項中，提到了從8時到16時的水位問題.通過觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)，從8時到12時水位確實在不斷下降，但從12時到16時水位沒有發(fā)生變化.所以C選項錯誤.

D選項中提到這一天水位均高于警戒水位，即高于0時水位，觀察圖象可知D選項正確.

在解決本題時，教師要提醒學生運用數(shù)形結(jié)合的思想將圖象與題干對應的信息聯(lián)系起來，進而輕松解決問題.

2 利用數(shù)形結(jié)合思想解決一次函數(shù)問題

在學習一次函數(shù)的過程中，要十分注意數(shù)形結(jié)合思想的運用.要會畫一次函數(shù)的圖象，能根據(jù)圖象和表達式y(tǒng)=kx+b（k≠0）探索并理解k>0和k<0時圖象的變化情況，并且能夠根據(jù)已知條件結(jié)合以往學過的知識解決實際問題.

例2 已知正比例函數(shù)y=2x的圖象上有一點B（m+2，m2－4），且點B在第一象限.

（1）求點B的坐標；

解析：（1）通過數(shù)形結(jié)合思想，利用待定系數(shù)法將點B的坐標代入正比例函數(shù)解析式，解方程即可求得m的值.將點B（m+2，m2－4）代入正比例函數(shù)解析式y(tǒng)=2x，得到2（m+2）=m2－4，解得m=4或-2.又因為點B在第一象限，所以m=4.故點B的坐標為B（6，12）.

（2）算出△OBC的面積為36，結(jié)合正比例函數(shù)解析式設點P（a，2a），分兩種情況討論.

當點P在線段OB上時，過點P作PD⊥BC于點D，如圖2，

則PD=6－a.

當點P在射線BA上時，過點P作PD⊥BC交BC的延長線于點D，如圖3，則PD=a－6.

綜上，點P的坐標為（3，6）或（9，18）.

3 利用數(shù)形結(jié)合思想解決二次函數(shù)問題

在初中函數(shù)的學習中，二次函數(shù)既是重點也是難點，更是中考的熱點.中考對于二次函數(shù)考查的難度也在不斷增加，在解題中，要不斷融入數(shù)形結(jié)合思想才可以更加順利地解決相關(guān)問題［1］.關(guān)于二次函數(shù)，主要考查其圖象問題，包括圖象的開口方向、對稱軸以及二次函數(shù)的最大值和最小值并確定相應的自變量的值，在此基礎上還要能夠解決簡單的實際問題.學生在學習時要更加關(guān)注二次函數(shù)解析式中各個字母代表的含義.

A.①②

B.②③

C.②④

D.③④

當x=1時，由圖象知y=2，代入解析式得a+b+c=2，所以②正確.

當x=-1時，y=a-b+c<0;由（a+b+c）-（a-b+c）>2，得b>1，所以④錯誤.

綜上所述，B選項正確.

4 利用數(shù)形結(jié)合思想解決反比例函數(shù)問題

反比例函數(shù)作為初中函數(shù)的重要組成部分，主要考查其函數(shù)解析式及函數(shù)圖象的應用，明確當k<0和k>0時反比例函數(shù)圖象的整體特征，并能基于此解決實際問題.反比例函數(shù)知識點經(jīng)常與一次函數(shù)和二次函數(shù)相結(jié)合，并且解題方法也相對比較特殊.經(jīng)常借助交點求解三角形的面積.

（1）求k的值及點C的坐標；

（2）在y軸上有一點D（0，5），連接AD，BD，求△ABD的面積.

總而言之，函數(shù)是初中數(shù)學學習的一個難點，它也是考試的重點.對于學生在解決函數(shù)問題的過程中經(jīng)常出現(xiàn)的一些錯誤，要給予他們足夠的引導和啟發(fā)，在解答問題的時候，將數(shù)形結(jié)合思想與問題直觀融合起來，利用圖形的幫助，將抽象、復雜的函數(shù)問題形象地展示出來，以便讓學生能夠更好地理清解題思路，從而更好地完成問題的解答.與此同時，在數(shù)形結(jié)合思想的幫助下，學生也實現(xiàn)了對數(shù)學知識的內(nèi)化，推動了數(shù)學思維的發(fā)展，從而數(shù)學綜合素質(zhì)也得到了提高.總之，數(shù)形結(jié)合思想的合理應用，對于初中數(shù)學函數(shù)解題具有很大幫助.因此，具體教學中，教師應根據(jù)實際情況，引導學生通過合理的數(shù)學思維進行解題.這樣才可以獲得更好的教學效果，促進初中生數(shù)學學科的良好學習與發(fā)展[2].

參考文獻：

［1］楊遠鴻.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學解題中的應用——以初中函數(shù)問題為例[J].數(shù)理天地（初中版），2023（1）：52-53.

［2］曹峰.初中數(shù)學解題中的函數(shù)思想應用策略[J].數(shù)理天地（初中版），2023（9）：26-27.