韓富萬(wàn) 劉再平

摘要：在討論數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的提出與內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，結(jié)合2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷相關(guān)試題，詳細(xì)分析了高考對(duì)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的考查情況，并提出教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：關(guān)鍵能力；高考數(shù)學(xué)；考查研究；教學(xué)建議

基金項(xiàng)目：陜西省“十四五”教育科學(xué)規(guī)劃2022年度課題——基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)建模實(shí)踐研究（SGH22Y1040）；陜西省“十四五”教育科學(xué)規(guī)劃2023年度課題——新高考背景下高考數(shù)學(xué)研究、展望與教學(xué)建議（SGH23Y1834）.

能力是一個(gè)人的綜合素養(yǎng)，關(guān)鍵能力是學(xué)生適應(yīng)時(shí)代要求和支撐自己終身發(fā)展的前提，也是培養(yǎng)核心價(jià)值、發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)所必須具備的能力基礎(chǔ)，更是國(guó)家所需的高素質(zhì)人才的重要組成部分.數(shù)學(xué)在發(fā)展人的智力、培養(yǎng)人的關(guān)鍵能力的過(guò)程中發(fā)揮著不可替代的作用.那么，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的內(nèi)涵是什么？高考如何考查學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力？本文結(jié)合2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷有關(guān)試題的特征，探究高考對(duì)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的考查情況，并針對(duì)性地提出一些教學(xué)建議，期望能給教師教學(xué)帶來(lái)一些啟發(fā).

一、數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的提出與內(nèi)涵

隨著《關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見(jiàn)》《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》和《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》（以下簡(jiǎn)稱《體系》）的相繼頒布與制訂，高考數(shù)學(xué)逐步構(gòu)建了以素養(yǎng)為導(dǎo)向、服務(wù)選才、知識(shí)為基、能力為重的考評(píng)體系，提出關(guān)鍵能力是高考重要的考查目標(biāo)，也是測(cè)試、評(píng)價(jià)的核心指標(biāo)和因素.

數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是指即將進(jìn)入更高層次學(xué)校的學(xué)習(xí)者，在面對(duì)與數(shù)學(xué)學(xué)科相關(guān)的生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索問(wèn)題情境時(shí)，能有效地提出問(wèn)題、認(rèn)識(shí)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題所必須具備的數(shù)學(xué)能力.《體系》中闡述了適合高考評(píng)價(jià)規(guī)律的三個(gè)方面的關(guān)鍵能力群：以認(rèn)識(shí)世界為核心的知識(shí)獲取能力群，以解決實(shí)際問(wèn)題為核心的實(shí)踐操作能力群，涵蓋了各種關(guān)鍵思維能力的思維認(rèn)知能力群.

以關(guān)鍵能力為重的高考數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)體系，可以緩解學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)死記硬背的問(wèn)題，強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的理解與綜合運(yùn)用，減少學(xué)生大量的機(jī)械刷題，消除當(dāng)下盛行的題海戰(zhàn)術(shù)，著重提升學(xué)生的思辨意識(shí)和創(chuàng)新能力，促進(jìn)“雙減”政策的落實(shí)，從而為一線數(shù)學(xué)教學(xué)樹(shù)立正確的導(dǎo)向.

能力的范疇比較寬泛，中國(guó)高考在貫徹新一輪教育改革的理念、借鑒國(guó)外能力考查的經(jīng)驗(yàn)和國(guó)內(nèi)高中教育的實(shí)際情況條件下，重點(diǎn)選取了閱讀理解能力、信息整理能力、應(yīng)用寫(xiě)作能力、語(yǔ)言表達(dá)能力、問(wèn)題解決能力、批判性思維能力、辯證思維能力、應(yīng)用實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力進(jìn)行考查.然而，在高考數(shù)學(xué)中，綜合各方面的實(shí)際情況，主要選取邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、應(yīng)用實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力五種數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力進(jìn)行重點(diǎn)考查，前四項(xiàng)具有明顯的數(shù)學(xué)學(xué)科特征，是高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須具備的關(guān)鍵能力，第五項(xiàng)創(chuàng)新能力符合高考服務(wù)選才的要求，體現(xiàn)了國(guó)家教育發(fā)展的意志.

二、高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷的特征

2022年高考結(jié)束后，師生普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)試題難度較大，然而從整體上來(lái)說(shuō)，全國(guó)乙卷試題穩(wěn)中有變、穩(wěn)中求新，注重對(duì)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的考查.通過(guò)對(duì)比2021年和2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷的考點(diǎn)和試題設(shè)置情況，得到以下結(jié)論.

（1）2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷文、理科相同試題由2021年的8道（共計(jì)47分）增加到13道（共計(jì)91分），并且有兩道試題背景相同的姊妹題.

（2）2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷文、理科試題基本都立足于高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)進(jìn)行命制，僅理科生學(xué)習(xí)的微積分、排列組合等知識(shí)少有涉及，即將淡出新教材的三視圖、框圖、線性規(guī)劃等知識(shí)正處于由全考到選擇性考查的過(guò)渡階段.

（3）2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷命制了結(jié)構(gòu)不良的開(kāi)放性試題，試題順序變化較大，試題的表述簡(jiǎn)潔，試題情境與數(shù)學(xué)本質(zhì)的融合度更高，文、理科試題的難度都在增加.總體來(lái)說(shuō)，理科卷的難度仍然大于文科卷，但是兩者之間的差距正在逐漸縮小.

綜上所述，高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷正在向文、理不分科的新高考靠攏，高考數(shù)學(xué)改革已經(jīng)進(jìn)入收尾的關(guān)鍵階段.

通過(guò)對(duì)2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷考查的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到以下結(jié)論.

（1）2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷文、理科試題對(duì)邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、應(yīng)用實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力都有所考查，并且在考查力度上，文、理科呈現(xiàn)相似的趨勢(shì).

（2）2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷文、理科試題對(duì)各種關(guān)鍵能力的考查不夠均衡.具體來(lái)說(shuō)，對(duì)運(yùn)算求解能力和邏輯思維能力的考查力度最大，對(duì)創(chuàng)新能力的考查次之，對(duì)空間想象能力和應(yīng)用實(shí)踐能力的考查力度較弱.

（3）2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷文、理科試題對(duì)關(guān)鍵能力的考查呈現(xiàn)綜合性，即某道試題不只考查一種關(guān)鍵能力，而是綜合考查了多種數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.

綜上所述，為了更好地服務(wù)選才，高考數(shù)學(xué)對(duì)邏輯思維能力和創(chuàng)新能力的考查有所加強(qiáng)，然而對(duì)運(yùn)算求解能力的考查力度過(guò)大，在有限的時(shí)間內(nèi)開(kāi)展大量運(yùn)算不利于學(xué)生數(shù)學(xué)水平的發(fā)揮，建議適當(dāng)“少算多想”.另外，建議高考數(shù)學(xué)加強(qiáng)對(duì)應(yīng)用實(shí)踐能力的考查，探索適合學(xué)生和國(guó)情的應(yīng)用實(shí)踐能力考查范式，發(fā)揮高考在數(shù)學(xué)建模等方面的積極導(dǎo)向作用.

三、試題關(guān)鍵能力考查分析

1.邏輯思維能力

邏輯思維能力是指按照數(shù)學(xué)本身的規(guī)律，理性地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題，不受其他無(wú)關(guān)因素的干擾，以概念、判斷、推理的方式展開(kāi)邏輯思考，從而得出表征清晰、邏輯嚴(yán)密的數(shù)學(xué)結(jié)論的能力.具備邏輯思維能力的主要表現(xiàn)有：能對(duì)問(wèn)題或資料進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括，能用演繹、歸納和類比進(jìn)行推理，能準(zhǔn)確、清晰、有條理地進(jìn)行表達(dá).

數(shù)學(xué)是理性精神與實(shí)踐結(jié)合的產(chǎn)物，邏輯思維能力不僅是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的關(guān)鍵能力，更是人們形成理性精神的保障.高考考查邏輯思維能力的主要措施有：利用數(shù)學(xué)圖形和數(shù)據(jù)處理問(wèn)題、設(shè)置日常生活情境、開(kāi)發(fā)多項(xiàng)選擇題、增加開(kāi)放型試題、提高對(duì)語(yǔ)言表達(dá)的要求.教學(xué)中，教師要善于創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生的問(wèn)題情境，在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

2.運(yùn)算求解能力

運(yùn)算求解能力是指在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中起到調(diào)節(jié)作用的個(gè)性心理品質(zhì)，這種調(diào)節(jié)必須先明確運(yùn)算方向、運(yùn)算的操作程序和運(yùn)算結(jié)果.運(yùn)算求解能力主要表現(xiàn)為：對(duì)運(yùn)算對(duì)象的理解，對(duì)運(yùn)算法則的掌握，對(duì)運(yùn)算思路與方向的探究，準(zhǔn)確求解運(yùn)算結(jié)果.運(yùn)算是數(shù)學(xué)最典型的特征.

例2（全國(guó)乙卷·文/理19）某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m3），得到數(shù)據(jù)如表1所示.

（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

關(guān)鍵能力考查分析：此題以我國(guó)多年的環(huán)境治理工程植樹(shù)造林為真實(shí)情境進(jìn)行命制，契合習(xí)近平總書(shū)記提出的“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念.為了估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總材積量，層層遞進(jìn)地設(shè)置了求平均數(shù)、相關(guān)系數(shù)和總材積量三個(gè)小問(wèn)題.相關(guān)系數(shù)的求解無(wú)疑是運(yùn)算的難點(diǎn)，試題所給的參考數(shù)據(jù)適用于相關(guān)系數(shù)的另外一個(gè)公式，因此學(xué)生在運(yùn)算求

在高中階段，要引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)運(yùn)算屬于演繹推理，是正確解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的保障和發(fā)展其他數(shù)學(xué)素養(yǎng)的前提.數(shù)學(xué)運(yùn)算能培養(yǎng)學(xué)生思考問(wèn)題的品質(zhì)和一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度.高考考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力的主要措施有：利用統(tǒng)計(jì)應(yīng)用問(wèn)題和統(tǒng)計(jì)圖表問(wèn)題等直接考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，設(shè)置具體情境間接考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，將運(yùn)算與圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)等融合綜合考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生將有關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算問(wèn)題，明確運(yùn)算對(duì)象、合理選用運(yùn)算法則、優(yōu)化運(yùn)算思路，切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

3.空間想象能力

空間想象能力是人們對(duì)客觀事物的空間形式、空間幾何體進(jìn)行觀察、分析、認(rèn)知的抽象思維能力，它主要包括三個(gè)方面的內(nèi)容：能根據(jù)空間幾何體或表述幾何體的語(yǔ)言、符號(hào)在大腦中展現(xiàn)出相應(yīng)的空間幾何圖形，并能正確想象其直觀圖；能根據(jù)直觀圖，在大腦中展現(xiàn)出直觀圖表達(dá)的幾何體及其組成部分的形狀、位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；能對(duì)大腦中已有的空間幾何體進(jìn)行分解、組合，產(chǎn)生新的空間幾何體，并正確分析其位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

例3（全國(guó)乙卷·文18）如圖1，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，E為AC的中點(diǎn).

（1）證明：平面BED⊥平面ACD；

（2）設(shè)AB=BD=2，∠ACB=60°，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求三棱錐F-ABC的體積.

關(guān)鍵能力考查分析：此題以三棱錐為背景，要求學(xué)生探究平面與平面的位置關(guān)系，并通過(guò)分析△AFC面積的最小值，計(jì)算具體三棱錐的體積.解答時(shí)，不僅需要學(xué)生結(jié)合題意對(duì)空間四面體進(jìn)行形狀觀察，數(shù)量分析，抽象線與線、線與面和面與面的位置關(guān)系，而且需要將試題中的四面體在大腦中進(jìn)行分解、組合，分析△AFC面積取最小值時(shí)點(diǎn)F的位置和有關(guān)數(shù)量關(guān)系.此題在考查學(xué)生邏輯推理能力的同時(shí)，對(duì)空間想象能力的考查力度更大.

高考考查空間想象能力的主要措施有：利用立體幾何證明與求解問(wèn)題，直接考查空間想象能力；設(shè)置實(shí)際情境或古代國(guó)內(nèi)外著名建筑等數(shù)學(xué)文化背景，間接考查空間想象能力；挖掘某些代數(shù)問(wèn)題的幾何背景，數(shù)形結(jié)合地將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，綜合考查空間想象能力.在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從初中二維平面自然過(guò)渡到三維空間，意識(shí)到空間想象能力是溝通數(shù)與形的媒介，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)三維空間的認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從周?chē)膶?shí)物模型出發(fā)，養(yǎng)成良好的畫(huà)圖習(xí)慣和識(shí)圖、理解、表達(dá)問(wèn)題的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.

4.應(yīng)用實(shí)踐能力

應(yīng)用實(shí)踐能力是指學(xué)生積極主動(dòng)參與和充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)生成、生長(zhǎng)和發(fā)展的全過(guò)程，并運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本思想對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析探究，進(jìn)而解決問(wèn)題的能力.高考數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)用實(shí)踐能力的考查主要分為三個(gè)階段：表征分析階段，提煉數(shù)量關(guān)系階段，模型化階段.其中，模型化階段是數(shù)學(xué)應(yīng)用能力考查的高級(jí)階段，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力有著一定的要求.

例4（全國(guó)乙卷·理10）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤(pán)，各盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤(pán)的概率為p，則（）.

（A）p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān)

（B）該棋手在第二盤(pán)與甲比賽，p最大

（C）該棋手在第二盤(pán)與乙比賽，p最大

（D）該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，p最大

關(guān)鍵能力考查分析：此題以某棋手與三名棋手下棋比賽為背景，通過(guò)分析比賽規(guī)則，構(gòu)建連勝兩盤(pán)的實(shí)際模型，運(yùn)用獨(dú)立事件、互斥事件和對(duì)立事件等知識(shí)，推導(dǎo)該棋手連勝兩盤(pán)的概率p的表達(dá)式，并且通過(guò)作差比較獲得不同條件下概率p的最大值.顯然，此題考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和應(yīng)用實(shí)踐能力.

高考考查數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐能力的主要措施有：綜合考查數(shù)學(xué)思維，注重對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)的考查，突出試題情境的真實(shí)化，試題形式與位置的動(dòng)態(tài)化.教學(xué)中，為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐能力，既要重視從實(shí)際問(wèn)題中提取數(shù)學(xué)概念與原理，又要關(guān)注運(yùn)用數(shù)學(xué)概念與原理解決實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，樹(shù)立正確的數(shù)學(xué)觀，體會(huì)數(shù)學(xué)的內(nèi)在價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值，拉近數(shù)學(xué)與學(xué)生實(shí)際生活的距離，同時(shí)突出其中的人文精神和德育價(jià)值.

5.創(chuàng)新能力

創(chuàng)新能力是指在數(shù)學(xué)實(shí)踐研究活動(dòng)中，不斷提供具有原創(chuàng)價(jià)值、學(xué)術(shù)價(jià)值、發(fā)展價(jià)值的新思想、新理論和新方法的能力.高考數(shù)學(xué)對(duì)創(chuàng)新能力考查的主要特點(diǎn)有：一是相對(duì)的新穎性，即考查的對(duì)象不是學(xué)生沒(méi)見(jiàn)過(guò)的，而是學(xué)生不熟悉的，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)相對(duì)新穎；二是注重思維過(guò)程，即不全注重問(wèn)題結(jié)果，而是鼓勵(lì)學(xué)生在思路的選擇與優(yōu)化上有所創(chuàng)新；三是關(guān)注思維的靈活性和深刻性，以不變應(yīng)萬(wàn)變.隨著高考改革的不斷深入和為了更好地服務(wù)選才，高考數(shù)學(xué)試題越來(lái)越關(guān)注對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的考查.

關(guān)鍵能力考查分析：此題考查了函數(shù)的對(duì)稱性（對(duì)稱軸、對(duì)稱中心）、周期性等重要性質(zhì)，涉及數(shù)形結(jié)合思想，看似平淡無(wú)奇，實(shí)則難度較大.究其原因是命題人創(chuàng)新性地命制了兩個(gè)函數(shù)，學(xué)生需要從兩個(gè)函數(shù)的交會(huì)關(guān)系中深入探究隱藏較深的函數(shù)性質(zhì)，學(xué)生對(duì)此并不熟悉，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)的公平性、綜合性和選拔性，有效考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力.

創(chuàng)新能力是民族進(jìn)步的靈魂、經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)的核心.高考考查數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的主要措施有：增強(qiáng)考試內(nèi)容的基礎(chǔ)性、綜合性，多角度、多層次考查學(xué)生的綜合素質(zhì)；突出對(duì)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的考查；增強(qiáng)試題的開(kāi)放性和探究性，加強(qiáng)獨(dú)立思考能力的考查；創(chuàng)新新穎情境，創(chuàng)新試題呈現(xiàn)方式；設(shè)置開(kāi)放性的參考答案，建立多元綜合的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷知識(shí)的生成過(guò)程，營(yíng)造思考與探究氛圍濃厚的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境.加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，是社會(huì)進(jìn)步和國(guó)家發(fā)展對(duì)高考的急切要求，也是高考數(shù)學(xué)作為選拔性考試的重要體現(xiàn).

四、教學(xué)建議

數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是高考數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)的核心指標(biāo)和因素.那么，教學(xué)中要如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力？筆者認(rèn)為應(yīng)該在以下幾個(gè)方面采取措施.

1.創(chuàng)設(shè)新穎的問(wèn)題情境是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的工具

教學(xué)中，在導(dǎo)入環(huán)節(jié)和試題命制情境的挖掘方面，要善于將抽象、枯燥的數(shù)學(xué)知識(shí)和新穎、真實(shí)的生活情境或科學(xué)情境恰當(dāng)?shù)厝诤掀饋?lái)，突出數(shù)學(xué)的趣味性、靈活性和實(shí)用性.在學(xué)生揭開(kāi)情境層層面紗的思考過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，發(fā)揮數(shù)學(xué)在育人心智方面的重要作用.

2.以外顯知識(shí)為主、內(nèi)隱知識(shí)為輔，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力

數(shù)學(xué)知識(shí)主要包括外顯知識(shí)和內(nèi)隱知識(shí)，外顯知識(shí)是靜態(tài)的，主要指以文字、語(yǔ)言、符號(hào)、圖形、圖標(biāo)等在教材或媒體上顯示的知識(shí)，而內(nèi)隱知識(shí)是被顯性知識(shí)所包含的知識(shí)內(nèi)核，主要涉及知識(shí)的文化元素、過(guò)程元素、邏輯元素、背景元素和外顯知識(shí)的拓展等.在數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的形成過(guò)程中，外顯知識(shí)起著主要作用，內(nèi)隱知識(shí)起著輔助作用，但內(nèi)隱知識(shí)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力不可或缺的資源，兩者要有機(jī)結(jié)合.

3.深度教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的核心手段

開(kāi)展數(shù)學(xué)深度教學(xué)時(shí)，教師要在數(shù)學(xué)思維層面下功夫，即當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)困惑時(shí)，教師要恰當(dāng)?shù)貐⑴c，引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行反復(fù)、深入的思考，深度教學(xué)離不開(kāi)合作探究學(xué)習(xí)，但也少不了獨(dú)立思考，應(yīng)該將兩者有機(jī)融合起來(lái)，以構(gòu)成合作探究學(xué)習(xí)的核心要素和內(nèi)在精神品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和創(chuàng)新能力等.當(dāng)然，數(shù)學(xué)教學(xué)不必為了探究而探究，要避免表面的熱鬧掩蓋學(xué)生認(rèn)知的膚淺和思維貧乏的現(xiàn)象.

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