摘 要：為提升起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)的抗振性能，針對(duì)雙梁橋式起重機(jī)主梁進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，并基于響應(yīng)面法對(duì)主梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)優(yōu)化。針對(duì)雙梁橋式起重機(jī)主梁模型進(jìn)行有預(yù)應(yīng)力的模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析，得出主梁結(jié)構(gòu)的固有頻率、振型及頻響曲線，對(duì)比分析結(jié)果，選擇諧響應(yīng)分析下的X方向、Y方向的最大位移作為后續(xù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)。通過(guò)靈敏度分析篩選設(shè)計(jì)變量，并運(yùn)用面心復(fù)合設(shè)計(jì)獲取樣本點(diǎn)，構(gòu)建Kriging響應(yīng)面模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)和材料參數(shù)優(yōu)化。結(jié)果顯示，優(yōu)化后的主梁相比原型主梁，諧響應(yīng)分析下的X方向、Y方向的最大位移分別降低了23.1%和25.5%，其質(zhì)量降低了1.8%，這對(duì)主梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及抗振性能提升提供了技術(shù)支持。

關(guān)鍵詞：起重機(jī)主梁；模態(tài)分析；響應(yīng)譜分析；響應(yīng)面分析

中圖分類號(hào)：TH215

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

收稿日期：2024-01-23

基金項(xiàng)目：安徽省高校自然科學(xué)研究重大項(xiàng)目（KJ2019ZD47）；巢湖學(xué)院校級(jí)重點(diǎn)科研項(xiàng)目（XLZ-202204）

作者簡(jiǎn)介：陳宇，男，博士研究生，從事先進(jìn)制造技術(shù)系統(tǒng)研究工作；E-mail：cy3059555@163.com

Dynamic analysis and response surface optimization of the main beam of a double-beam crane

CHEN Yu， DING Kai， GONG Yuhao， ZHAO Jun

（School of Mechanical Engineering， Chaohu University， Chaohu 238000， China）

Abstract： In order to improve the anti-vibration performance of the crane main beam structure， the dynamic analysis the double-beam crane main beam was carried out， and the dynamic optimization of the main beam structure was carried out based on the response surface method. The pre-stressed modal analysis and harmonic response analysis were carried out for the double-beam crane main beam model， and the natural frequency， mode shape and frequency response curve of the main beam structure were obtained. By comparing the analysis results， the maximum displacements in X direction and Y direction under the harmonic response analysis were selected as the objective function of the subsequent optimization design. By screening design variables through sensitivity analysis and obtaining sample points using face center composite design， a Kriging response surface model for structural and material parameter optimization was constructed. The results show that the optimized main beam reduces the maximum displacements in the X and Y directions by 23.1% and 25.5%， respectively， under harmonic response analysis compared to the prototype main beam， and its mass was also reduced by 1.8%， providing technical support for the structural design and vibration resistance improvement of the main beam.

Key words： crane main beam; modal analysis; response spectrum analysis; response surface analysis

迄今為止，我國(guó)對(duì)于起重機(jī)的設(shè)計(jì)總體處于傳統(tǒng)設(shè)計(jì)階段，安全系數(shù)仍較大，其設(shè)計(jì)理論相對(duì)保守，在保證安全的基礎(chǔ)上產(chǎn)品存在結(jié)構(gòu)笨重、耗能低等缺點(diǎn)，不符合我國(guó)科學(xué)、綠色發(fā)展的理念。雙梁橋式起重機(jī)主梁橫架在兩根平行的軌橋之上，搭載起重小車、走臺(tái)護(hù)欄、電器設(shè)備等，其承擔(dān)著起重工作時(shí)的主要載荷［1］。

王存［2］通過(guò)綜合運(yùn)用有限元分析技術(shù)、優(yōu)化技術(shù)、參數(shù)化建模技術(shù)及虛擬仿真技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)雙梁橋式起重機(jī)鋼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化及交互式展示系統(tǒng)的設(shè)計(jì)；陳守伯［3］通過(guò)對(duì)箱型主梁技術(shù)要求控制以及焊接變形控制，讓箱型主梁的裝備焊接質(zhì)量有了進(jìn)一步的保證，進(jìn)一步提高了起重機(jī)產(chǎn)品的合格率；蘇文利［4］以研究分析主梁結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性和振動(dòng)特性為基礎(chǔ)，對(duì)雙梁橋式起重機(jī)主梁進(jìn)行了輕量化的研究和設(shè)計(jì)，在保證安全的前提下降低了成本?？梢钥闯?，多數(shù)研究人員只是基于有限元分析結(jié)果對(duì)起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行單方面的分析設(shè)計(jì)與優(yōu)化，其大多都只對(duì)起重機(jī)底盤結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，缺乏全面的研究。

本文首先選取某起重機(jī)生產(chǎn)公司生產(chǎn)的QD75 t-31.5 m-A3型號(hào)的雙梁橋式起重機(jī)為研究原型；其次，在考慮合適的工況后，對(duì)起重機(jī)主梁進(jìn)行靜力分析、有預(yù)應(yīng)力的模態(tài)分析、諧響應(yīng)分析，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析和討論；最后，以材料屬性及尺寸參數(shù)為設(shè)計(jì)變量，對(duì)主梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行響應(yīng)面分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)靜態(tài)特性分析

1.1 主梁的模型選取及建模

橋式起重機(jī)按照取物裝置分為吊鉤、抓斗和電磁鐵，起重機(jī)工作級(jí)別分為A1～A8［5］。選取雙梁橋式起重機(jī)主梁，其腹板高X1=2 000 mm，腹板厚度X2=8 mm，腹板間距X3=720 mm，翼緣板厚度X4=20 mm，翼緣板寬度X5=800 mm，具體技術(shù)參數(shù)如表1所示。

起重機(jī)主梁的材料是Q235高強(qiáng)度低合金結(jié)構(gòu)鋼，其密度為7 850 kg/m3，彈性模量為200 GPa，泊松比為0.3，屈服強(qiáng)度為235 MPa。在起重機(jī)實(shí)際工作過(guò)程中，主梁結(jié)構(gòu)上搭載著起重小車、走臺(tái)護(hù)欄等，考慮到后續(xù)軟件實(shí)際操作，對(duì)模型簡(jiǎn)化并建模時(shí)，只對(duì)主梁主體部分進(jìn)行建模。借助Solidworks軟件對(duì)主梁進(jìn)行建模，建模結(jié)果見(jiàn)圖1，其跨中截面見(jiàn)圖2。

1.2 工況選擇

在實(shí)際工作中，起重機(jī)的起重量、小車所處的位置以及主梁的自重都對(duì)主梁所受的最大載荷產(chǎn)生影響［6-7］。在主梁承受最大載荷的工況下進(jìn)行靜力分析，在起重機(jī)承受最大額定起重量工況下，主梁承受的總重量最大，總載荷最大；在小車兩輪中點(diǎn)與主梁中點(diǎn)處于同一垂線工況下，主梁中點(diǎn)承受的載荷以及彎曲變形最大。

當(dāng)主梁在承受最大額定起重量以及小車兩輪中點(diǎn)與主梁中點(diǎn)處于同一垂線的工況下，主梁的受力模型可簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁模型［8］，如圖3所示。

圖3中：F1和F2表示小車在行駛到跨中位置工況時(shí)的輪壓；q表示主梁自重載荷；a表示小車兩車輪中心點(diǎn)到兩側(cè)固定約束之間的距離；l表示小車兩輪中點(diǎn)間的距離；l表示主梁跨度；A和B表示主梁兩端約束。

當(dāng)前工況下，在小車輪壓F1和F2以及自重載荷q單獨(dú)作用下，主梁所承受的輪壓F1可等價(jià)于F2，用F表示，對(duì)應(yīng)主梁的力學(xué)模型如下：

M=18qS2+Fa+l2（1）

FZ=-FlS（2）

Fd=qS2+F2a+lS（3）

Tn=2FIZ（4）

式中：M表示跨中彎矩；FZ表示跨中剪力；Fd表示跨端剪力；Tn表示跨中扭矩。當(dāng)小車起重量為最大額定起重量，且處在跨中位置時(shí)，由上式計(jì)算求得主梁跨中位置工況下小車單個(gè)輪壓為：

F=Q+Gg4（5）

式中：F為單個(gè)車輪的輪壓；Q為額定起重量；G為小車自重；g為重力加速度。最終算得單個(gè)車輪輪壓F=2.427×105 N，考慮到實(shí)際小車運(yùn)行中存在偏差，因此，將數(shù)據(jù)圓整為F=2.430×105 N，以便于后續(xù)的計(jì)算。

1.3 靜態(tài)分析

1.3.1 網(wǎng)格劃分

在進(jìn)行網(wǎng)格劃分模塊的應(yīng)用時(shí)，考慮到主梁自身的大小、仿真分析的計(jì)算以及計(jì)算機(jī)處理的效率，將網(wǎng)格尺寸設(shè)置為100 mm。其中，節(jié)點(diǎn)數(shù)為245 609個(gè)，單元數(shù)為121 660個(gè)，其網(wǎng)絡(luò)劃分模型見(jiàn)圖4。

1.3.2 施加載荷與約束

當(dāng)主梁橫架在兩根端梁上時(shí)，可以近似將受力模型簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁模型，主梁主要受到小車的輪壓載荷，考慮到實(shí)際小車運(yùn)行中存在導(dǎo)軌，因此，在小車行駛至跨中位置時(shí)，在主梁中點(diǎn)兩側(cè)1 750 mm處，添加4個(gè)長(zhǎng)為300 mm，寬為50 mm的印跡面，用于模擬小車輪壓。在主梁上端面模擬的小車車輪與主梁接觸的4個(gè)微小截面處添加分別添加1.215×105 N的載荷。左側(cè)約束X、Y和Z方向上的移動(dòng)以及X、Y方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)，右側(cè)約束Y、Z方向上的移動(dòng)和X、Y方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)。

1.3.3 靜態(tài)分析求解結(jié)果

在主梁上端面已添加好的印跡面上施加小車車輪的輪壓為1.215×105 N，方向垂直主梁上端面向下，求解得出主梁在該工況下的應(yīng)力和位移云圖，其結(jié)果分別見(jiàn)圖5、圖6。

由圖5和圖6可知，該主梁在小車行駛至小車兩輪中點(diǎn)與主梁中點(diǎn)處于同一垂線下的工況時(shí)，所受最大等效應(yīng)力約為216.13 MPa，主梁最大位移為13.508 mm。

2 主梁的模態(tài)分析

模態(tài)分析是一種用于分析結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的方法［9-10］。

提取主梁的前六階固有頻率，其結(jié)果如表2所示。

由表2中可知，主梁結(jié)構(gòu)的最大固有頻率為12.641 Hz，最小固有頻率為5.116 2 Hz。得到主梁結(jié)構(gòu)的前六階固有頻率與變形，因此主梁結(jié)構(gòu)可能會(huì)在這幾處變形位置上發(fā)生共振與形變。結(jié)構(gòu)發(fā)生共振就會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)變形并產(chǎn)生不可預(yù)料的行為，影響結(jié)構(gòu)的安全性。

3 主梁的諧響應(yīng)分析

起重機(jī)在起升重物時(shí)，當(dāng)重物與地面相離的瞬間，主梁在垂向會(huì)受到瞬時(shí)沖擊力的作用。由于沖擊作用時(shí)間很短，無(wú)法精確測(cè)量沖擊力的大小和頻率，因此，采用諧響應(yīng)分析來(lái)模擬主梁在受到?jīng)_擊作用時(shí)可能產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)響應(yīng)［11］。

由諧響應(yīng)分析得出在給定頻率下發(fā)生共振時(shí)主梁上表面在Y方向上的位移頻率圖和應(yīng)力頻率圖。再分別求出X方向以及Z方向上的位移頻率圖和應(yīng)力頻率圖，其結(jié)果分別見(jiàn)圖7、圖8。

對(duì)于Y方向，當(dāng)激勵(lì)頻率為10.64 Hz時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變首次達(dá)到峰值，隨著激勵(lì)頻率繼續(xù)上升，總體呈先下降，再上升的趨勢(shì)，在激勵(lì)頻率為11.76 Hz時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變?yōu)樽畲蠓逯?，位移最大幅值?.008 427 m。對(duì)于X方向，當(dāng)激勵(lì)頻率為10.64 Hz時(shí)，位移幅度達(dá)到最大值，為0.018 840 m，此時(shí)的應(yīng)力較小；當(dāng)激勵(lì)頻率在11.76 Hz時(shí)，應(yīng)力幅值最大。對(duì)于Z方向，當(dāng)激勵(lì)頻率為10.64 Hz時(shí)，位移幅度達(dá)到最大值，為0.001 661 m，此時(shí)應(yīng)力較大但還沒(méi)有達(dá)到最大值。當(dāng)激勵(lì)頻率在11.76 Hz時(shí)，應(yīng)力幅值最大。

當(dāng)激勵(lì)頻率在0～14 Hz之間時(shí)，對(duì)主梁進(jìn)行諧響應(yīng)分析，主梁上表面位移變化峰值以及應(yīng)力變化峰值主要在激勵(lì)頻率為10.64 Hz和11.76 Hz時(shí)取得，且在各方向上存在幅值波動(dòng)，容易引起共振，其他激勵(lì)頻率下的位移和應(yīng)力較小，不會(huì)引起主梁共振［12］。因此，在設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)當(dāng)盡量避免激勵(lì)頻率為10.64 Hz和11.76 Hz。

4 主梁的響應(yīng)面優(yōu)化分析

構(gòu)建響應(yīng)面模型［13］來(lái)代替主梁有限元模型開(kāi)展分析和優(yōu)化，調(diào)用之前在指定工況下已完成的主梁模態(tài)分析。首先將材料的密度、泊松比、彈性模量、主梁的腹板厚度、上蓋板長(zhǎng)度和上下蓋板厚度作為設(shè)計(jì)變量，再將主梁的前三階振型固有頻率作為輸出變量。

靈敏度分析獲取的設(shè)計(jì)變量會(huì)更有針對(duì)性，可以提高優(yōu)化效率。以密度P1、泊松比P2、彈性模量P3、主梁的腹板厚度P4、上蓋板長(zhǎng)度P5和上下蓋板厚度P6、P7為設(shè)計(jì)變量，計(jì)算主梁在諧響應(yīng)分析下Y軸的最大位移P8及X軸的最大位移P9，關(guān)于主梁參數(shù)的靈敏度結(jié)果如圖9所示。

4.1 設(shè)計(jì)變量

由圖9可知，選取對(duì)輸出變量影響較大的參數(shù)作為最后的設(shè)計(jì)變量，并且考慮到主梁所使用的材料屬性與常用金屬材料的參數(shù)范圍，主梁的材料參數(shù)設(shè)計(jì)變量見(jiàn)表3。

在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中選用中央復(fù)合設(shè)計(jì)的取點(diǎn)方式［14］，這里采用面心復(fù)合設(shè)計(jì)的方法獲得樣本點(diǎn)。共求得15組樣本點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)的各輸出變量，部分結(jié)果如表4所示。

4.2 基于Kriging響應(yīng)面模型建立

Kriging響應(yīng)面技術(shù)是一種多維插值技術(shù)，同時(shí)考慮全局和局部的共同影響因素［15］。Kriging模型是空間插值模型，由多項(xiàng)式響應(yīng)面近似模型和局部偏差結(jié)合而成，其表達(dá)式為

yx=Fβ，x+zx=fTxβ+zxCovZx，Zu=σ2Rx，u，θ（6）

式中：β為基函數(shù)回歸系數(shù)；fx為設(shè)計(jì)空間的全局模型；z（x）為均差，為0；方差為σ2的高斯隨機(jī)函數(shù)；協(xié)方差EZX=0；θ為相關(guān)函數(shù)的參數(shù)。

如圖10所示，其中，X軸表示設(shè)計(jì)點(diǎn)的計(jì)算值，Y軸表示響應(yīng)面的預(yù)測(cè)值，其關(guān)系曲線接近45°。可以看出，Kriging響應(yīng)面模型預(yù)測(cè)較為準(zhǔn)確且擬合精度較高。

將上述分析結(jié)果圖示化，根據(jù)圖9選取了對(duì)輸出參數(shù)影響較大的設(shè)計(jì)變量建立響應(yīng)面模型，響應(yīng)面分析結(jié)果見(jiàn)圖11至圖14。

由圖11可知，當(dāng)設(shè)計(jì)變量泊松比大于0.3時(shí)，密度越小，Y方向的最大位移越大，且存在最大值。由圖12可知，隨著設(shè)計(jì)變量彈性模量與泊松比的增大，X方向的最大位移逐漸增大，且存在最大值。

由圖13可知，當(dāng)尺寸參數(shù)P5不變時(shí)，隨著尺寸參數(shù)P6的減小，Y方向的最大位移越大，且存在最大值。由圖14可知，當(dāng)尺寸參數(shù)P6不變時(shí)，隨著尺寸參數(shù)P5的增大，X方向的最大位移先增后減，且存在最大值。

4.3 多目標(biāo)優(yōu)化分析

在進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化時(shí)，要先確定優(yōu)化的目標(biāo)與約束函數(shù)，根據(jù)實(shí)際的工況，以主梁諧響應(yīng)分析下Y軸的最大位移與X軸的最大位移最小化為目標(biāo)優(yōu)化，以主梁的材料屬性范圍和尺寸范圍為約束。其優(yōu)化的具體定義為

minδXx，δYxx∈xL，xU（7）

式中：δX、δY分別為諧響應(yīng)分析下X軸、Y軸的最大位移；x為設(shè)計(jì)變量，其中，xL和xU分別為設(shè)計(jì)變量的下限值與上限值。優(yōu)化模型建立如下：

s.t.δXx≤δX0δYx≤δY0x=P1，P2，P3，P5，P6T（8）

式中：δX、δY分別為諧響應(yīng)分析下X軸、Y軸的初始最大位移，分別為0.018 84和0.008 43 m；x為設(shè)計(jì)變量矩陣。然后采用MOGA方法對(duì)響應(yīng)面進(jìn)行優(yōu)化，經(jīng)過(guò)迭代計(jì)算，最終得到了3種優(yōu)化方案。

由表5和表6可以看出，3種優(yōu)化方案中方案二的優(yōu)化效果最好。因此，方案二為目前最優(yōu)方案。將得到的最優(yōu)方案與優(yōu)化前進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果見(jiàn)表7。

由表7可知，3種優(yōu)化方案中最好的是第二種方案，優(yōu)化方案二相比優(yōu)化前主梁結(jié)構(gòu)的諧響應(yīng)分析下Y方向、X方向的最大位移分別降低了23.1%和25.5%，并且質(zhì)量也相比于優(yōu)化前降低了1.8%，優(yōu)化達(dá)到預(yù)期目標(biāo)，使結(jié)構(gòu)輕量化并降低共振發(fā)生的概率，達(dá)到了提升主梁結(jié)構(gòu)性能的目的。

5 結(jié)論

1）對(duì)主梁在較危險(xiǎn)的工況下進(jìn)行靜態(tài)分析，得出主梁在危險(xiǎn)工況下的應(yīng)力和位移云圖，驗(yàn)證了有限元模型的合理性。

2）模態(tài)分析得到了主梁在指定工況下的前六階模態(tài)振型圖和固有頻率以及相應(yīng)振型下的位移最大值。諧響應(yīng)分析得出主梁承受最大載荷產(chǎn)生激勵(lì)時(shí)，主梁結(jié)構(gòu)共振主要是頻率為10.64 Hz和11.76 Hz時(shí)引起的。

3）設(shè)計(jì)了主梁基于Kriging響應(yīng)面技術(shù)的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。設(shè)置了設(shè)計(jì)變量與優(yōu)化目標(biāo)，得出了各項(xiàng)參數(shù)間的靈敏度關(guān)系和相應(yīng)的響應(yīng)面模型。

4）優(yōu)化后的主梁結(jié)構(gòu)相對(duì)于優(yōu)化前，諧響應(yīng)分析下的Y方向、X方向的最大位移分別降低了23.1%和25.5%，并且質(zhì)量也相比于優(yōu)化前降低了1.8%。

參考文獻(xiàn)：

［1］王志斌， 張陽(yáng)， 周國(guó)鵬， 等. 筋板及約束條件對(duì)雙梁橋式起重機(jī)主梁撓度的影響研究［J］. 機(jī)械制造與自動(dòng)化， 2022， 51（3）： 27-30， 43.

［2］王存. 雙梁橋式起重機(jī)鋼結(jié)構(gòu)優(yōu)化及交互式設(shè)計(jì)［D］. 鄭州： 鄭州大學(xué)， 2014.

［3］陳守伯. 20/5t雙梁橋式起重機(jī)主梁裝配焊接質(zhì)量的控制［J］. 起重運(yùn)輸機(jī)械， 2007（5）： 65-68.

［4］蘇文利. 雙梁橋式起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性分析及輕量化研究［D］. 西安： 西安建筑科技大學(xué)， 2021.

［5］王志斌， 張陽(yáng)， 周國(guó)鵬， 等. 雙梁橋式起重機(jī)主梁有限元分析及結(jié)構(gòu)優(yōu)化［J］. 機(jī)械設(shè)計(jì)與制造工程， 2022， 51（7）： 19-23.

［6］劉昊， 周成， 于存貴. 隨車起重機(jī)伸縮臂截面多目標(biāo)優(yōu)化［J］. 機(jī)械設(shè)計(jì)與研究， 2020， 36（1）： 173-176.

［7］張慧鵬. 16t-9m雙梁橋式起重機(jī)關(guān)鍵部位靜動(dòng)態(tài)特性分析及其多目標(biāo)優(yōu)化［D］. 鄭州： 華北水利水電大學(xué)， 2022.

［8］徐福衛(wèi)， 符蓉. 材料力學(xué)［M］. 南京： 東南大學(xué)出版社， 2017.

［9］田科. 某乘用車前副車架振動(dòng)性能分析［J］. 機(jī)械設(shè)計(jì)與研究， 2020， 36（5）： 180-183， 188.

［10］李艷. QD400t雙梁橋式起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)［D］. 哈爾濱： 哈爾濱工業(yè)大學(xué)， 2018.

［11］王瑤. C型鋼管道支架力學(xué)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析［D］. 綿陽(yáng)： 西南科技大學(xué)， 2022.

［12］鄒龍慶. 石油鉆機(jī)井架動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析［D］. 哈爾濱： 哈爾濱工程大學(xué)， 2006.

［13］洪成鋮， 王越. 基于ANSYS Workbench的不同截面梁板結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)譜分析［J］. 建筑安全， 2019， 34（7）： 18-23.

［14］王國(guó)明， 李興瑞， 章斌. 基于多目標(biāo)優(yōu)化NSGA-Ⅱ算法的電動(dòng)汽車復(fù)合制動(dòng)模糊控制研究［J］. 機(jī)械設(shè)計(jì)與研究， 2022， 38（4）： 149-152.

［15］LI T Z， YANG X L. An efficient uniform design for Kriging-based response surface method and its application［J］. Computers and Geotechnics， 2019， 109： 12-22.