若向量為，則向量的模長(zhǎng)為l l.平面向量的模長(zhǎng)問(wèn)題主要考查向量的模的公式、向量的數(shù)量積、向量運(yùn)算法則的應(yīng)用.下面主要探討一道求解向量的模長(zhǎng)問(wèn)題的三種途徑.

題目：已知平面向量，≠，≠，=1，與-的夾角為120°，則l l的取值范圍是.

一、構(gòu)造幾何圖形

向量兼有“數(shù)”與“形”兩種身份.因此在解答向量的模長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，我們可以從“形”的角度入手，根據(jù)題意構(gòu)造出合適的幾何圖形，將向量的模長(zhǎng)看作幾何圖形中的一條線(xiàn)段長(zhǎng)，根據(jù)三角形、圓、矩形、平行四邊的性質(zhì)以及相關(guān)的定理來(lái)求線(xiàn)段的長(zhǎng).

解：

構(gòu)造ΔOAB及其外接圓，便可將向量、、-視為圖形中的線(xiàn)段，根據(jù)已知條件建立幾何關(guān)系，再根據(jù)圓的性質(zhì)：圓的弦中直徑最大，來(lái)求得l l的最值.將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題來(lái)研究、求解，比較直觀、便捷.

二、利用向量運(yùn)算法則

我們知道，l l2=2.那么在求向量的模長(zhǎng)時(shí)，我們可以將向量平方，利用向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算，利用向量的數(shù)量積、模的公式進(jìn)行運(yùn)算，即可順利求得向量的模長(zhǎng).

解：=（-）+，

將其兩邊平方可得（-）2+2?（-）+2=1，-|2+2||?-|×（-）+||2=1.設(shè)-|=t，||=x，

則t2-xt+x2-1=0（xgt;0，tgt;0），

把該方程看做是關(guān)于t的一元二次方程，則此方程有正實(shí)數(shù)解，

因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸為t=gt;0，

故只需要使Δ=x2-4（x2-1）≥0即可，

解得x∈（0，].

將=（-）+平方，便可根據(jù)向量的運(yùn)算法則，將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為向量的模與夾角的關(guān)系式t2-xt+x2-1=0.再通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，利用判別式法來(lái)求得向量的模長(zhǎng)的范圍.

三、運(yùn)用坐標(biāo)法

坐標(biāo)法是解答向量問(wèn)題的重要方法.運(yùn)用坐標(biāo)法求解向量的模長(zhǎng)問(wèn)題，需根據(jù)題意和圖形建立合適的平面直角坐標(biāo)系.給各個(gè)點(diǎn)賦予坐標(biāo)后，就可以直接通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)求得向量的模長(zhǎng).

解：設(shè)==，則=-，則在ΔOAB中，∠OBA=60°，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸來(lái)建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)B（x，y），則A（1，0），設(shè)∠AOB=θ，

則〈tanθ=，

tan（θ+60°）=，

所以點(diǎn)B的軌跡方程為（x-）2+（y-）=，且

點(diǎn)O，B在圓上，

所以||=||≤2×=，即||∈（0，].

建立坐標(biāo)系后，設(shè)出A、B的坐標(biāo)，就能快速建立關(guān)于x、y的關(guān)系式（x-）2+（y-）=.再將其看作圓的方程，根據(jù)圓的性質(zhì)即可求得l l的模長(zhǎng)的取值范圍.

總之，解答向量的模長(zhǎng)問(wèn)題，可利用幾何圖形的性質(zhì)、向量的運(yùn)算法則、坐標(biāo)運(yùn)算法則來(lái)建立關(guān)系，從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度來(lái)尋找解題的思路.

（作者單位：甘肅省臨夏回族自治州廣河縣廣河中學(xué)）