宋元鳳，丁寶霞，于曉銳，李秀英

張景中院士在二十世紀(jì)八十年代提出了教育數(shù)學(xué)的概念.經(jīng)過(guò)40 多年的發(fā)展，教育數(shù)學(xué)的理念已經(jīng)得到了廣泛推廣，學(xué)者們編著了很多教育數(shù)學(xué)方面的書籍和教材，例如張景中［1-3］院士編著的《幫你學(xué)數(shù)學(xué)》《新概念幾何》《從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)》，張景中等［4］編著的《新思路數(shù)學(xué)》，張奠宙等［5-6］編著的《中學(xué)代數(shù)研究》《中學(xué)幾何研究》.一些高校和中小學(xué)的數(shù)學(xué)教師進(jìn)行了基于教育數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和內(nèi)驅(qū)力，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教育數(shù)學(xué)就是教育的數(shù)學(xué)，改造數(shù)學(xué)使之更適宜于教學(xué)與學(xué)習(xí)，教育數(shù)學(xué)就是要把數(shù)學(xué)變得容易，要把數(shù)學(xué)教學(xué)變得更容易［3］.如何才能使數(shù)學(xué)變得更容易，將數(shù)學(xué)知識(shí)融匯串聯(lián)起來(lái)，用更簡(jiǎn)單、直觀的表述方法表述數(shù)學(xué)概念和結(jié)論，用更簡(jiǎn)單、通用的求解方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，把抽象知識(shí)變得具體都能使數(shù)學(xué)變得更容易.

課題組致力于研究教育數(shù)學(xué)理念下高校數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)改革與實(shí)踐，并取得了一些成果［7-8］.本文基于教育數(shù)學(xué)理念研究了平面二次曲線方程的化簡(jiǎn)，柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的方程求解，向量的共線、共面位置關(guān)系的判定，子空間直和的定義和判定.

1 關(guān)于平面二次曲線方程化簡(jiǎn)的知識(shí)模塊的思考

高校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的解析幾何課程中平面二次曲線方程化簡(jiǎn)這部分知識(shí)一般先講解二次曲線的直徑、二次曲線的主直徑和主方向，通過(guò)轉(zhuǎn)軸、移軸的方法化簡(jiǎn)平面二次曲線的方程，應(yīng)用不變量化簡(jiǎn)平面二次曲線的方程［9］.這樣講解平面二次曲線方程的優(yōu)點(diǎn)是比較全面，缺點(diǎn)是比較抽象，而且用時(shí)比較多，學(xué)生學(xué)起來(lái)不感興趣，覺(jué)得難度太大.與此同時(shí)，通過(guò)轉(zhuǎn)軸與移軸化簡(jiǎn)二次曲線方程時(shí)，針對(duì)一個(gè)具體的二次曲線方程的化簡(jiǎn)，如果沒(méi)有給出新的坐標(biāo)原點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)方向則無(wú)法用這個(gè)辦法進(jìn)行平面二次曲線方程的化簡(jiǎn).應(yīng)用不變量化簡(jiǎn)平面二次曲線的方程時(shí)理論介紹和邏輯推理過(guò)多，學(xué)生也會(huì)覺(jué)得枯燥乏味提不起學(xué)習(xí)興趣.

所謂平面二次曲線方程的化簡(jiǎn)就是把方程（1）通過(guò)坐標(biāo)變換化成一個(gè)只含有平方項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)的方程.針對(duì)平面二次曲線方程的化簡(jiǎn)給出一種直接的方法即配方法.

設(shè)平面二次曲線方程為：

如果a12= 0，對(duì)方程（1）直接進(jìn)行如下配方，有

即

即

通過(guò)平面二次曲線方程（2）可以判斷出平面二次曲線的大致圖形包括圓、橢圓、雙曲線等.

如果a12≠0，對(duì)方程（1）進(jìn)行如下配方，有

整理得

令坐標(biāo)變換為：

方程（3）可化為

這樣就把平面二次曲線方程（1）化成了不含交叉項(xiàng)的方程，按照前面介紹的方法就可以把平面二次曲線方程化簡(jiǎn)成類似于（2）的方程，便于學(xué)生理解和接受.

2 關(guān)于求解柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面方程的知識(shí)模塊的思考

在求解柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的方程問(wèn)題時(shí)，一些解析幾何教材不是按照求解圖形方程的三個(gè)步驟即建立坐標(biāo)系、設(shè)圖形上任意點(diǎn)的坐標(biāo)、建立關(guān)于任意點(diǎn)坐標(biāo)的方程去求解的.

例1［9］柱面準(zhǔn)線方程是

母線方向是-1：0：1，求這個(gè)柱面的方程.

解法一 設(shè)M1(x1,y1,z1)為準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，則過(guò)M1(x1,y1,z1)的母線方程是

并且有

令

于是有

將式（6）代入式（5）消去參數(shù)t，得到所求柱面方程為：

這道題開(kāi)始時(shí)是在柱面準(zhǔn)線上任取一點(diǎn)，然后把這個(gè)點(diǎn)作為已知點(diǎn)，求過(guò)這個(gè)點(diǎn)的母線方程.這樣表述沒(méi)有錯(cuò)誤，但是會(huì)給學(xué)生造成一點(diǎn)理解上的困難，和中學(xué)階段的求圖形方程的敘述略有區(qū)別.這道題還可以這樣求解.

解法二 設(shè)M(x,y,z)為所求柱面上的任意一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)M的母線與準(zhǔn)線交于一點(diǎn)，設(shè)為M1(x1,y1,z1).過(guò)點(diǎn)M的母線方程為：

并且有

令

于是有

將式（8）代入式（7）消去參數(shù)t，得到所求柱面方程為：

通過(guò)這道例題的求解會(huì)發(fā)現(xiàn)，這道題的解法二沿用了中學(xué)的方法，這種方法學(xué)生們更加熟悉，也更容易接受.

3 關(guān)于向量位置關(guān)系的知識(shí)模塊的思考

向量位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題是位置關(guān)系的一類基本問(wèn)題，向量的位置關(guān)系包括兩向量共線、三向量共面等問(wèn)題.

3.1 兩向量共線

兩個(gè)向量有共線與不共線兩種位置關(guān)系，判定兩個(gè)向量是否共線有多種方法，在教授這部分知識(shí)時(shí)，也需要總結(jié)這些方法，從一個(gè)高維度上理解這些知識(shí)，清楚知識(shí)間的脈絡(luò)關(guān)系.

命題1 若向量a≠0，則向量b與向量a共線的充要條件是b=xa，系數(shù)x被a與b唯一確定.

命題2 兩向量共線的充要條件為這兩向量線性相關(guān).

命題3 兩非零向量a{X1,Y1,Z1}，b{X2,Y2,Z2}共線的充要條件為

例2［9］設(shè)a與b為兩個(gè)不共線的向量，試證明向量u=a1a+b1b，v=a2a+b2b共線的充要條件為

證明u與v兩向量共線的充要條件為向量u與v線性相關(guān)，即存在不全為零的數(shù)λ與μ，使得λu+μv= 0，于是有

因?yàn)閍與b為兩不共線的向量，所以a與b為兩線性無(wú)關(guān)向量，于是

由于λ與μ不全為零，于是向量u與v共線的充要條件是

3.2 三向量共面

三個(gè)向量有共面與不共面的位置關(guān)系，判斷三個(gè)向量是否共面有多種方法.

命題4 若向量a，b不共線，則向量r與a，b共面的充要條件為r=xa+yb，系數(shù)被r，a，b唯一確定.

命題5 三向量共面的充要條件為這三向量線性相關(guān).

命題6 三向量a，b，c共面的充要條件為（a，b，c）= 0.

命題7 三個(gè)非零向量a{X1,Y1,Z1}，b{X2,Y2,Z2}，c{X3,Y3,Z3}共面的充要條件為

例3 已知直角坐標(biāo)系內(nèi)向量a{3,4,5}，b{1,2,2}，c{9,14,16}，判別這些向量是否共面.

解法一 因?yàn)?/p>

所以a,b,c共面.

解法二 因?yàn)?a+ 3b-c= 0，所以向量a，b，c線性相關(guān)，于是a，b，c共面.

這類問(wèn)題一般可以針對(duì)一個(gè)問(wèn)題采用多個(gè)解法，從而達(dá)到知識(shí)的橫向總結(jié)與歸納，加深對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解，使數(shù)學(xué)知識(shí)被融匯串聯(lián)起來(lái)，這樣數(shù)學(xué)變得更容易，實(shí)現(xiàn)了教育數(shù)學(xué)理念.

4 關(guān)于子空間直和的知識(shí)模塊的思考

高等代數(shù)中子空間直和這部分內(nèi)容，講述子空間直和的定義和判定［10］，這部分知識(shí)比較抽象，沒(méi)有直觀性，不妨與幾何知識(shí)相結(jié)合進(jìn)行理解. 三維幾何空間可以表示成R3= {(x,y,z)|x,y,z∈R }，xoy坐標(biāo)面可以表示成P= {(x,y,0)|x,y∈R }，z軸可以表示成Q={(0,0,z)|z∈R }（圖1）.顯然，P，Q都是R3的子空間，并且R3=P+Q.易知，對(duì)于R3中任意向量(x,y,z) 可表示為(x,y,z) = (x,y,0) + (0,0,z)，其中(x,y,0) ∈P，(0,0,z) ∈Q，并且向量(x,y,z)的分解式是唯一的.因?yàn)閹缀慰臻gR3的維數(shù)是3，子空間P的維數(shù)是2，子空間Q的維數(shù)是1，可見(jiàn)維數(shù)(R3) = 維數(shù)(P) + 維數(shù)(Q)，并且P∩Q= {0}.R3=P+Q被稱為直和.

圖1 三維空間中向量的分解

通過(guò)三維幾何空間引入直和的定義與判定，從而從幾何直觀上更好地理解這部分知識(shí).

5 結(jié)語(yǔ)

本文從教育數(shù)學(xué)理念出發(fā)，利用配方法研究了平面二次曲線方程的化簡(jiǎn)，利用求解圖形方程的常規(guī)方法去求解柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的方程，總結(jié)了向量的共線、共面位置關(guān)系判定的三種方法，從幾何直觀角度引入了子空間直和的定義和判定，從而使數(shù)學(xué)學(xué)起來(lái)更加容易.