陸麗萍

史寧中教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育的關(guān)鍵在于發(fā)展思維，尤其是高層次的思維，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的思維思考世界的素養(yǎng).高階思維不是教師“教”出來(lái)的，而是學(xué)生自己“學(xué)”出來(lái)的.只有把“灌輸”“填鴨”式的教學(xué)轉(zhuǎn)化為學(xué)生自己的“學(xué)”，通過(guò)自我建構(gòu)，深度學(xué)習(xí)才會(huì)發(fā)生，高階思維才能形成.

以課堂教學(xué)為主線，以學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程為核心，注重學(xué)習(xí)建構(gòu)理論的精煉，建立一個(gè)完整的單元式教學(xué)架構(gòu)，并探索如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)思考，讓學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)去理解知識(shí)，發(fā)展高階思維.注重?cái)?shù)學(xué)教學(xué)中的問(wèn)題意識(shí)，構(gòu)建互動(dòng)生成的學(xué)本課堂，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生，讓師生、生生的互動(dòng)貫穿課堂.伴隨著這種“互動(dòng)”，學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)會(huì)愈來(lái)愈強(qiáng)烈，創(chuàng)新意識(shí)也會(huì)得到進(jìn)一步培養(yǎng)，進(jìn)而核心素養(yǎng)也會(huì)得到發(fā)展.

筆者在蘇科版數(shù)學(xué)教材“函數(shù)”單元起始課的教學(xué)中，對(duì)學(xué)程重構(gòu)有一些收獲與思考，在此總結(jié)出來(lái)，希望對(duì)初中數(shù)學(xué)同行能夠起到拋磚引玉的作用.

1 以“問(wèn)”為先，發(fā)展高階思維的深度

1.1 創(chuàng)設(shè)情境

教師到學(xué)校之前，先到加油站加油.

情境1：在加油站拍攝的畫(huà)面如圖1，

在加油機(jī)給汽車加油的過(guò)程中，涉及幾個(gè)量？哪些量保持不變？哪些量是變化的？

情境2：加完油，在汽車行駛的過(guò)程中，哪些量保持不變？哪些量是變化的？

情境3：汽車油箱中原有油40 L，行駛過(guò)程中每小時(shí)耗油5 L，若行駛的時(shí)間為x h，油箱中剩余的油量為Q L.行駛過(guò)程中哪些量是變化的？哪些量沒(méi)有變化？

在以上三個(gè)情境中出現(xiàn)的量，有些量保持不變，有些量發(fā)生變化，為了區(qū)別這兩種量，我們把它們分別叫做常量和變量.

在某一變化過(guò)程中，數(shù)值保持不變的量叫做常量.

在某一變化過(guò)程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量.

找一找：

（1）在圓的周長(zhǎng)公式C=πd中，常量是，變量是.

（2）若彈性測(cè)力儀原來(lái)的長(zhǎng)度為10 cm，每1 kg的重物使彈簧伸長(zhǎng)0.5 cm，則含重物質(zhì)量m（單位：kg）的彈簧測(cè)力儀的長(zhǎng)度為l（單位：cm），常量是，變量是.

師：判斷一個(gè)量是常量還是變量，需要看兩個(gè)方面.①看它是否存在于一個(gè)變化過(guò)程中；②看它在這個(gè)過(guò)程中的取值情況.

說(shuō)一說(shuō)：你能舉出生活中某些變化的例子嗎？并指出其中的常量和變量.

1.2 探索活動(dòng)一：感受新知

探究1：生活中存在許多常量和變量，例如，水庫(kù)蓄水的問(wèn)題.

已知水庫(kù)（如圖2）的水位與蓄水量情況如表1所示：

表1中有哪些量？它們是常量還是變量？水位高低與水庫(kù)的蓄水量有什么關(guān)系？

這些數(shù)據(jù)已讓我們更清楚地感受到這兩個(gè)量的變化.根據(jù)這些數(shù)據(jù)可以判斷當(dāng)水位高度一定時(shí)蓄水量確定嗎？

對(duì)于給定的每一個(gè)水位，蓄水量都有幾個(gè)值與它對(duì)應(yīng)？

對(duì)于給定的每一個(gè)水位，蓄水量都有唯一的值與它對(duì)應(yīng).

因此，工作人員可以根據(jù)測(cè)得的水位，及時(shí)報(bào)告水庫(kù)蓄水量.

探究2：老師看到水庫(kù)里小魚(yú)游來(lái)游去，想到一個(gè)搭小魚(yú)的游戲.

如圖3，搭一條小魚(yú)需要幾根火柴棒？搭兩條呢？搭三條呢？你有什么發(fā)現(xiàn)？

你能說(shuō)出我們搭小魚(yú)過(guò)程中的常量和變量嗎？

火柴的根數(shù)s與小魚(yú)的條數(shù)n這兩個(gè)變量間有什么關(guān)系？

這兩個(gè)變量有怎樣的內(nèi)在聯(lián)系呢？

請(qǐng)同學(xué)們用剛才分析問(wèn)題的方法思考一下！

按這樣的方式，如果想搭4條小魚(yú)，需要多少根火柴棒？你有什么發(fā)現(xiàn)？

在搭小魚(yú)的過(guò)程中，當(dāng)小魚(yú)條數(shù)確定時(shí)，所需火柴的根數(shù)確定嗎？

設(shè)小魚(yú)條數(shù)為n，火柴根數(shù)為s.

n=1時(shí)，s=8；n=2時(shí)，s=14；n=3時(shí)，s=20；小魚(yú)條數(shù)為n時(shí)，s=8+6（n-1）.

給定小魚(yú)的條數(shù)，所需火柴根數(shù)對(duì)應(yīng)幾個(gè)值？小魚(yú)條數(shù)每取一個(gè)值時(shí)，所需火柴的根數(shù)就有唯一的值與它對(duì)應(yīng).

探究3：波紋問(wèn)題.如圖4，在平靜的水面上擲一枚石子，會(huì)形成波紋.

變化中的波紋可看作是一個(gè)不斷向外擴(kuò)展的圓.

這個(gè)過(guò)程中，變量有哪些？請(qǐng)你嘗試描述變化中圓的面積與其半徑大小之間的關(guān)系.

如果圓的半徑是10 cm，那么圓的面積確定嗎？唯一確定嗎？圓的面積隨半徑的變化而變化，當(dāng)半徑確定時(shí)，圓的面積也隨之確定.當(dāng)半徑每取一個(gè)值時(shí)，圓的面積就有唯一的值與它對(duì)應(yīng).

2 以“學(xué)”為本，重構(gòu)高階思維的學(xué)程體系

2.1 歸納變化過(guò)程中的共同特征，抽象出函數(shù)概念

小組交流：

回顧上述幾個(gè)生活實(shí)例，盡管它們反映的實(shí)際問(wèn)題不一樣，但是具有一些共同點(diǎn)，你能找出來(lái)嗎？這些變化過(guò)程有哪些共同之處？（和小組同伴交流，共同完成.）

上述三個(gè)實(shí)際問(wèn)題的共同點(diǎn)：

都有兩個(gè)變量，可用x，y來(lái)表示；

其中一個(gè)變量隨另一個(gè)的變化而變化；當(dāng)x取定一個(gè)值時(shí)，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng).

當(dāng)一個(gè)變化過(guò)程中兩個(gè)變量具有上述基本特征時(shí)，我們就說(shuō)它們之間具有函數(shù)關(guān)系.

抽象得到函數(shù)的概念：

一般地，如果在一個(gè)變化的過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于變量x的每一個(gè)值，變量y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么我們稱x是自變量，y是x的函數(shù).

回頭看前面的實(shí)例，現(xiàn)在可以用函數(shù)的思想來(lái)理解其中兩個(gè)變量間的關(guān)系了嗎？

在水庫(kù)蓄水過(guò)程中，蓄水量是水位的函數(shù)；

在搭小魚(yú)的過(guò)程中，所用火柴根數(shù)是小魚(yú)條數(shù)的函數(shù)；

在波紋逐漸變化的過(guò)程中，圓的面積是半徑的函數(shù).

2.2 探索活動(dòng)

活動(dòng)二：鞏固新知

同學(xué)們的思維真活躍，說(shuō)明大家對(duì)函數(shù)已有了一定的認(rèn)識(shí)，讓我們?cè)谑煜さ膯?wèn)題中進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)的理解.

探究4：觀察圖5中的程序，當(dāng)x=1時(shí)，對(duì)應(yīng)y的值是？當(dāng)x=2時(shí)，y的值是？當(dāng)x=-1時(shí)，y的值是？這個(gè)變化過(guò)程中，有幾個(gè)變量？是哪幾個(gè)變量？

輸入一個(gè)實(shí)數(shù)x，便可輸出一個(gè)相應(yīng)的實(shí)數(shù)y，請(qǐng)問(wèn)y是x的函數(shù)嗎？

如何判斷呢？要看是不是兩個(gè)變量，一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化而變化，當(dāng)一個(gè)變量確定時(shí)，另一個(gè)變量也隨之確定.

看來(lái)同學(xué)們都在認(rèn)真地思考，努力地學(xué)習(xí).相信下面的問(wèn)題也難不倒你們.

探究5：既然同學(xué)們這么深刻地理解了函數(shù)，讓我們從函數(shù)的角度去看看中國(guó)古代的一種計(jì)時(shí)工具——“沙漏”（如圖6）.（教者展示實(shí)物.）

“沙漏”是我國(guó)古代一種計(jì)時(shí)工具，它根據(jù)一個(gè)容器里的細(xì)沙漏到另一個(gè)容器中的數(shù)量來(lái)計(jì)算時(shí)間.在變化過(guò)程中，有哪幾個(gè)變量？請(qǐng)說(shuō)出這個(gè)變化過(guò)程中的自變量.

該變化過(guò)程中有兩個(gè)變量：漏到另一容器中細(xì)沙的數(shù)量和經(jīng)過(guò)的時(shí)間.

其中自變量是漏到另一容器中細(xì)沙的數(shù)量.

設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)化變量和函數(shù)的概念，讓學(xué)生體會(huì)許多問(wèn)題中的變量之間都存在著函數(shù)關(guān)系.

3 以“創(chuàng)”為準(zhǔn)，實(shí)施高階思維的育人策略

小組活動(dòng)：如圖6，用10 m長(zhǎng)的繩子圍成長(zhǎng)方形.在這個(gè)背景下，你能設(shè)計(jì)出存在函數(shù)關(guān)系的問(wèn)題嗎？

上述每個(gè)問(wèn)題中的兩個(gè)變量都是互相聯(lián)系的，當(dāng)其中一個(gè)變量取定一個(gè)值時(shí)，另外一個(gè)變量都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng).

小結(jié)提升：學(xué)習(xí)了本節(jié)課，你對(duì)函數(shù)有怎樣的認(rèn)識(shí)？你還有哪些疑惑？

我們生活在變化的世界里，函數(shù)揭示了變量之間的關(guān)系.

希望同學(xué)們進(jìn)一步學(xué)好函數(shù)的知識(shí)，進(jìn)而用函數(shù)的思想認(rèn)識(shí)事物運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程.世間萬(wàn)物皆相通，事件前后皆因果.希望同學(xué)們能用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界.學(xué)好函數(shù)，用好函數(shù).將使我們一生受益.