楊建霞

摘要：如何通過問題訓(xùn)練，幫助學(xué)生快速分析問題，抓住問題突破口或切入點，提升學(xué)生解題的能力？本文中從日常訓(xùn)練過程中所涉及到的含有“45°”角的幾個問題展開論述，深挖問題特點，尋求解題突破線索，從而彰顯問題的價值.在讓學(xué)生靈活掌握解題技巧或解題思路的過程中體會問題的本質(zhì)所在，激發(fā)學(xué)生解題聯(lián)想與問題遷移，提升綜合素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：45°角；拓展利用；促進遷移；聯(lián)想

數(shù)學(xué)問題是啟發(fā)學(xué)生思維的源泉.教師在講解問題的過程中，只有抓住問題突破的方向，找到恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ拍苷_啟發(fā)學(xué)生探究準(zhǔn)確的思維路徑，在此基礎(chǔ)上引領(lǐng)學(xué)生及時總結(jié)相關(guān)解題方法與思路，將數(shù)學(xué)方法轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)思想，再將數(shù)學(xué)思想沉淀為數(shù)學(xué)能力，從而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，至此，所訓(xùn)練的問題才能真正凸顯其價值^［1］.

波利亞在《怎樣解題》一書中說過這樣的話：“教師最重要的任務(wù)之一是幫助學(xué)生分析問題，挖掘問題本質(zhì)，尋求解題線索，辨析解題方法，有效地幫助學(xué)生提升分析和解決問題的能力.”

本文中以一道含有45°角的幾何問題為例展開研究分析，彰顯問題價值.

1 問題呈現(xiàn)

如圖1所示，已知D是△ABC所在平面內(nèi)一點，BD⊥AD，AD交BC于點E.∠ABC＝45°，點F為AE上一點，BC平分∠FBD，若AE＝2BD，求證：AF＝2BD.

2 問題思考

分析題干，我們知道的已知條件為四個：BD⊥AD，∠ABC＝45°，BC平分∠FBD，AE＝2BD.顯然，比較明顯的條件就是∠ABC＝45°，如何突破這一條件是破解本題的關(guān)鍵.問題的結(jié)論是判斷AF與BD的大小關(guān)系，且滿足AF=2BD，觀察到此時，可以初步得到這些條件都與等腰直角三角形相關(guān)，故可以考慮構(gòu)造等腰直角三角形找到解題切入點.

如圖2，過點A作AH⊥BC于點H，取AE的中點J，連接HJ，DH，則有HJ＝AJ＝JE，容易證得△AHJ≌△HBD（SAS），從而可以推出BD＝DH＝AJ＝JH，∠DBH＝∠DHB＝∠AHJ，再從推出的結(jié)論∠JHD＝∠AHB＝90°中判斷得到∠EBF＝∠EBD＝22.5°，再證明△ABF∽△HBD，推出AFDH=ABBH=2，可得結(jié)論，問題得證.

初步結(jié)論：從上述問題的解析過程來分析，遇到45°的條件時往往可以構(gòu)造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的三線合一或者基本性質(zhì)等展開進一步推理，再結(jié)合相關(guān)的條件構(gòu)造全等三角形或者相似三角形，進而解決邊之間的關(guān)系或角度相等等問題.

3 拓展利用

如圖3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，且滿足AC＞BC，BD平分∠ABC，點E在BC上，∠EDB＝45°，若BE＝5CE，CD＝3，試求AB的長.

分析：本題條件中顯然凸顯的是∠EDB＝45°，根據(jù)已知經(jīng)驗，怎么構(gòu)造等腰直角三角形呢？有幾種可能性，其一過點E作BD的垂線，其二是過點B作DE的垂線.通過分析可以發(fā)現(xiàn)，前者在推理過程中與已知條件聯(lián)系不上，故可考慮后者.如圖4，作BF⊥DE，交DE的延長線于點F，F(xiàn)N⊥BC于點N，F(xiàn)M⊥AC于點M，DH⊥AB于點H，連接CF.由△DMF≌△BNF，推理得到四邊形MCNF是正方形.設(shè)CE＝a，則BE＝5a.根據(jù)邊之間的關(guān)系可進行突破、解答^［2］.

激發(fā)聯(lián)想：只考慮簡單的45°，可以直接構(gòu)造等腰直角三角形，從而找到問題的突破口，作出相關(guān)解答.若出現(xiàn)和為45°或者差為45°的情況，又該怎么處理呢？

例如，如圖5，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為平面內(nèi)的一點.當(dāng)點D在△ABC的外部，且滿足∠BDC-∠ADB＝45°，請你證明線段CD與AD的數(shù)量關(guān)系.

本題中給出的條件是∠BDC-∠ADB＝45°，這樣的條件顯然無法直接利用，根據(jù)上述問題給定的一種想法，可以在∠ADB外構(gòu)造新的45°，這樣就能滿足∠BDC=∠ADB+45°.如圖6，在邊AD外直接構(gòu)造等腰直角三角形，即過點A作AE⊥AD，且AE＝AD，連接DE，CE，證△BAD≌△CAE（SAS），得∠ABD＝∠ACE，再證△DOC≌△DOE，得CD＝ED，即可解決問題.

結(jié)論升華：結(jié)合上面幾個問題的具體分析，我們發(fā)現(xiàn)如果遇到幾個角的差為45°角的問題時，可以根據(jù)相應(yīng)兩個角的位置，重新構(gòu)造等腰直角三角形，變差為和，再結(jié)合相關(guān)條件構(gòu)造全等三角形或相似三角形進行分析研究^［3］.

4 促進遷移

如果在解題過程中遇到兩角和為45°時，往往與等腰直角三角形相聯(lián)系，或利用角之間和的關(guān)系進行等量代換，確定角與角之間的關(guān)系.

例如，如圖7，拋物線y＝13x²+bx-5交y軸于點C，交x軸于A，B兩點，且△AOC的面積為252.若點D的坐標(biāo)為（8，11），連接BD，P為第一象限拋物線上一點，過點P作BD的垂線交x軸于點F，垂足為R，連接RO，RA，E為x軸上一點，連接PE，G為FP的延長線上一點，連接OG，OG＝EP，∠FEP+∠G＝45°，EF＝15，點Q在拋物線上，連接BQ，∠RBQ＝2∠ORA，求點Q的坐標(biāo).

在這道試題中一個比較明顯的條件就是∠FEP+∠G＝45°，如何轉(zhuǎn)化這個條件，形成推理條件呢？如圖8，根據(jù)∠FEP+∠FGO＝45°和∠1＝∠FGO+∠GOM，可以得到∠GOM＝∠FEP;再根據(jù)∠GMO＝∠PNE＝90°，PE＝GO，判斷得到△GOM≌△PEN（AAS）;再得出G，R，P的坐標(biāo)分別為（-3，12），（3，6），（6，3）;

過點Q作QK垂直于x軸于點K，則QK＝BK;最后利用直線BQ的解析式得出結(jié)論.

從這幾道試題的研究過程可以發(fā)現(xiàn)，涉及到“45°”角的問題，通常構(gòu)造等腰直角三角形，或者和等腰三角形聯(lián)系起來，借助相關(guān)條件形成全等三角形或相似三角形.不管哪種形式，都要準(zhǔn)確判斷好構(gòu)造的方向，或者聯(lián)系內(nèi)在的隱形等腰三角形，這些都是解題的關(guān)鍵所在^［2］.

同樣地，遇到“60°”角的問題時，可以考慮構(gòu)造等邊三角形，借助等邊三角形的特殊性獲取更多的條件，以突破問題的疑難點.

綜上可以發(fā)現(xiàn)，找到一種問題的解決思路，就能通過問題所體現(xiàn)的特點，舉一反三，這也是真正把握問題本質(zhì)的要求所在.在教學(xué)中要充分挖掘這類問題的功效，加強問題聯(lián)想訓(xùn)練，誘發(fā)學(xué)生解題思維，積極拓寬解題模式訓(xùn)練，同時也要注意增強問題的潛在價值，在訓(xùn)練過程中引導(dǎo)學(xué)生不斷深入探究，找到問題的模型，為提升綜合素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

參考文獻：

［1］邵文鴻.研題 探解 變式 論法——以說題為載體的校本研修模式探索［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（32）：65-67.

［2］楊華，邵春成.一道中考壓軸題的解法探究、反思與推廣［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2022（13）：18-20，7.

［3］李發(fā)勇.45°角的魅力——一道中考題的解法探究［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2019（21）：22-27.