黃永慧

摘要：函數(shù)思想是用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、解決問題的思維策略，它是初中數(shù)學(xué)的重要思想之一.在解答幾何問題時(shí)，常常會(huì)遇到根據(jù)已知條件很難直接通過演繹推理求解或證明的情況，但如果能建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合函數(shù)解析式來解決，往往能出奇制勝，事半功倍.本文中就利用一次函數(shù)、三角函數(shù)及二次函數(shù)來妙解平面幾何問題展開論述.

關(guān)鍵詞：函數(shù)思想；妙解；平面幾何問題；函數(shù)解析式；最值；動(dòng)態(tài)問題

函數(shù)思想（Theory and thought of function）是解決“數(shù)學(xué)型”問題中的一種思維策略.自人們運(yùn)用函數(shù)以來，經(jīng)過長(zhǎng)期的研究和摸索，科學(xué)界普遍有了一種意識(shí)，那就是函數(shù)思想，在運(yùn)用這種思維策略去解決問題時(shí)，科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)它們都有著共同的屬性，那就是定量和變量之間的聯(lián)系.

回顧數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，早在幾百年之前法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家笛卡兒就曾提出過所謂的“萬能方法”，這種方法就是把函數(shù)思想應(yīng)用到幾何中去，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，再把代數(shù)問題歸結(jié)為函數(shù)問題來解決.

解決此類問題的過程中，要善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵.對(duì)所給問題的觀察、分析與判斷比較深入和充分時(shí)，會(huì)產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型.另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其有關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題.

1 巧建平面直角坐標(biāo)系利用函數(shù)妙解線段問題

在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，凡是可以運(yùn)用函數(shù)解析法來解決的一些問題，它們的條件大都有鮮明的特征，即具備建立平面直角坐標(biāo)系的條件.如在通常情況下，可以根據(jù)相對(duì)應(yīng)的條件，選取合適的點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，互相垂直的線段所在的直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系來解答問題，會(huì)起到事半功倍的效果^［1］.

例1 如圖1，四邊形ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN，AM，CM.

（1）求證：△EBN≌△ABM.

（2）當(dāng)點(diǎn)M在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最??？請(qǐng)說明理由.

（3）在（2）的條件下，若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，求BM的長(zhǎng)度.

分析：（1）顯然，根據(jù)△ABE是等邊三角形和菱形ABCD的性質(zhì)可證明△EBN≌△ABM.

（2）連接CE，當(dāng)點(diǎn)M位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，求出EC的值即可.

（3）根據(jù)題意可以發(fā)現(xiàn)BN⊥BC，M又是BD和EC的交點(diǎn)，故可以考慮根據(jù)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)來解決點(diǎn)M的坐標(biāo)問題，從而很容易的得到BM的長(zhǎng)度.

根據(jù)題意建立以B為原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，以BN所在直線為y軸的平面直角坐標(biāo)系，再結(jié)合菱形的性質(zhì)可求出直線BD和直線CE的解析式，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求解.

2 巧用一次函數(shù)解答動(dòng)態(tài)三角形面積問題

動(dòng)態(tài)面積類問題一直是學(xué)生害怕的難點(diǎn)問題，由于動(dòng)點(diǎn)變化引起其他圖形變化，因此在圖形變化過程中很難確定具體的數(shù)量關(guān)系.這種情況下可以考慮采用函數(shù)關(guān)系來分析，即用含自變量的代數(shù)式表示因變量，根據(jù)獲得的解析式進(jìn)行求解會(huì)讓問題變得簡(jiǎn)單容易^［2］.

例2 如圖2，在△ABC中，AB＝1，CD⊥AB于點(diǎn)D，E是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在直線AB的下方，∠ACB＝∠FEB＝90°，∠A＝∠EFB＝30°，試探求CE的長(zhǎng)與△BDF的面積關(guān)系.

分析：由于點(diǎn)E是線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，因此CE的長(zhǎng)度是一個(gè)變量，我們可以考慮它是否和△BDF的面積存在一定的函數(shù)關(guān)系.

3 巧用三角函數(shù)解答直角三角形問題

三角函數(shù)知識(shí)不僅僅可以直接用來解直角三角形，在幾何問題中也可以進(jìn)行綜合應(yīng)用，有些問題利用三角函數(shù)來解答能使問題更加明朗.如，利用三角函數(shù)的定義把握三角形邊與角之間的關(guān)系，利用等角的關(guān)系可以將不同三角形的邊之間的關(guān)系聯(lián)系在一起，進(jìn)一步優(yōu)化解題思路，讓平面幾何問題的解答過程變得更加簡(jiǎn)捷、巧妙.

例3 如圖4，Rt△ABC中有正方形DEFG，點(diǎn)D，G分別在AB，AC上，點(diǎn)E，F(xiàn)在斜邊BC上，求證：EF²=BE·FC.

證明：因?yàn)椤螦=90°，且∠CGF+∠C=∠B+∠C，所以∠CGF=∠B.在Rt△BDE中，tan B=DEBE;在Rt△CFG中，tan? ∠CGF=CFFG.又根據(jù)已知條件可得DE=FG=EF，故EF²=BE·FC.

4 巧用二次函數(shù)解答四邊形最值問題

二次函數(shù)最重要的作用之一就是利用函數(shù)解析式求解最值問題，因此在最值求解過程中，可以利用所給條件，列出二次函數(shù)的解析式，借助解析式分析最大值或最小值，也可以借助二次函數(shù)圖象判斷最值問題.

例5 某市進(jìn)行河灘治理，優(yōu)化美化人居生態(tài)環(huán)境.如圖5所示，在河畔的一處灘地上規(guī)劃一個(gè)五邊形河畔公園ABCDE.按設(shè)計(jì)要求，要在五邊形河畔公園ABCDE內(nèi)挖一個(gè)四邊形人工湖OPMN，使點(diǎn)O，P，M，N分別在邊BC，CD，AE，AB上，且滿足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC.已知五邊形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800 m，BC＝1 200 m，CD＝600 m，AE＝900 m.為滿足人工湖周邊各功能場(chǎng)所及綠化用地需要，想讓人工湖面積盡可能小.請(qǐng)問，是否存在符合設(shè)計(jì)要求的面積最小的四邊形人工湖OPMN？若存在，求四邊形OPMN面積的最小值及這時(shí)點(diǎn)N到點(diǎn)A的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解析：根據(jù)圖形特點(diǎn)，將圖形補(bǔ)齊，如圖6，分別延長(zhǎng)AE與CD，交于點(diǎn)K，則四邊形ABCK是矩形.設(shè)AN＝x，則PC＝x，BO＝2x，BN＝800-x，AM＝OC＝1 200-2x，MK＝2x，PK＝800-x，進(jìn)而得出S四邊形OPMN＝4（x-350）²+470 000，故當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A的距離為350 m時(shí)，四邊形OPMN面積的最小值為470 000 m².

當(dāng)然，運(yùn)用二次函數(shù)可以解決很多貼近生活實(shí)際的幾何圖形問題，取得最值的情況需要具體分析.一是在二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)處取最值；二是要對(duì)多個(gè)函數(shù)分別求得最值后再通過比較獲取最值；三是在不包括二次函數(shù)對(duì)稱軸的一側(cè)取得最值；四是在對(duì)稱軸附近的整點(diǎn)處獲取最值.特別是在解決具體實(shí)際應(yīng)用題時(shí)，要注意根據(jù)題意靈活把握函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，并與函數(shù)圖象結(jié)合起來進(jìn)行求解.

函數(shù)思想在應(yīng)用過程中具有廣泛性、多樣性和靈活性，在教學(xué)中要重視函數(shù)思想的滲透，引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘平面幾何問題中的函數(shù)思想，能夠巧用函數(shù)定義、性質(zhì)、圖象來分析問題，轉(zhuǎn)化問題，解答問題，從而不斷提升思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］薛朝暉.平面直角坐標(biāo)系中數(shù)形結(jié)合思想之巧用［J］.初中生世界，2015（6）：22-23.

［2］武芳.談?wù)労瘮?shù)思想在解題中的應(yīng)用［J］.語數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版下旬），2022（3）：56.