西藏山南市第二高級中學(xué) 劉冬喜 周宗杰 (郵編:856000)

數(shù)學(xué)中,維是指一個問題中元素的自由度,即該元素的坐標數(shù),如數(shù)軸上點的維數(shù)是1,平面內(nèi)點和直線的維數(shù)是2,在空間中點和平面的維數(shù)是3等等.降維則是通過一些數(shù)學(xué)方法,將高維的數(shù)學(xué)問題降為低維的數(shù)學(xué)問題,從而使問題簡化,達到解決問題的目的.

降維,作為一種數(shù)學(xué)方法,意指如:一般問題的特殊值解法,多元減為少元,立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題等等.降維方法是處理數(shù)學(xué)問題的一種行之有效的方法,但在教學(xué)中還不僅要介紹降維方法,更要進一步對知識與知識結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系進行更深的提煉、概括和總結(jié),使學(xué)生獲得更深入的認識,從而上升到意識領(lǐng)域,形成一種解題思想——降維思想,即將一個維度較高的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為較低的數(shù)學(xué)問題,通過簡化問題結(jié)果,縮小問題視角,減少變化因素,探求解決問題的方法的思想.這對培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)能起積極的作用.

立體幾何中的四條判定定理從條件到結(jié)論體現(xiàn)了升維思想,而四條性質(zhì)定理從條件到結(jié)論體現(xiàn)為降維思想.降維思想是立體幾何的主體思想,通常通過射影法、平移法、旋轉(zhuǎn)法、對稱變換等方法將空間三維問題降為平面的二維問題.

例1空間中從同一點出發(fā)的三條射線,每兩條所成角的平分線與第三條射線確定一平面,如此所得三個平面必相交于同一直線.

分析假如我們能作一個適當(dāng)?shù)钠矫娣謩e交三條射線和三條角平分線于A、B、C、L、M、N,如圖1,三平面OLC、OBN、OAM都過O,要證它們相交于一直線,只需找另一公共點,為此我們降一維聯(lián)想到平面幾何中三角形三條中線交于一點,這樣只要在三射線上各取OA=OB=OC,則過A、B、C作平面ABC,L、M、N分別是AB、BC、AC的中點,便可證得所欲證的結(jié)論.

圖1

證明作OA=OB=OC.因為OL,OM,ON分別是角平分線,所以L、M、N分別是AB、BC、AC的中點,所以三角形的三條中線AM、BN、CL交于一點G.則OG就是面OLC、面OBN、面OAM的交線.

平面幾何研究的是平面圖形及其數(shù)量關(guān)系,立體幾何則是研究空間立體及其數(shù)量關(guān)系.由平面幾何到立體幾何是由二維空間進入到三維空間,它們之間有著緊密的聯(lián)系,注意研究它們之間的聯(lián)系,弄清它們之間的區(qū)別,在立體幾何問題中注意降一維聯(lián)想平面幾何問題的解法,從平面幾何問題中得到啟發(fā),再升一維探求立體幾何問題的解法,常常使復(fù)雜的立體幾何問題解題思路探求過程得到簡化.因此,在教學(xué)過程中,加強平面幾何和立體幾何之間的橫向聯(lián)想,對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力是有益處的;對拓展學(xué)生的知識境界,由二維到三維以至今后對n維空間的探索也是大有裨益的.

分析降一維聯(lián)想平面幾何問題(梅涅勞斯定理):空間四邊形→三角形截面→截線.

圖2

從上面的證明思路啟發(fā),平面中作平行線構(gòu)造比例線段,空間里可以作平行平面構(gòu)造比例線段.從而升維證明立體幾何問題.

證明如圖3,當(dāng)平面α∥BC時,顯然BC∥DE∥D′E′,

圖3

如圖4,當(dāng)平面α不平行BC時,不妨設(shè)點B到α的距離較近,則過點B作平面BFF′∥α,分別交AC、A′C于F、F′.

圖4

所以,DE∥BF,D′E′∥BF′,FF′∥EE′,

再如平面幾何中證含有線段平方的等式時常用勾股定理和射影定理.在立體幾何中類似問題則可以考慮在各種不同的直角三角形中構(gòu)思相應(yīng)的等式.

分析降維聯(lián)想平面幾何問題:三棱錐→三角形;錐高→形高.

圖5

由以上問題得到啟發(fā):在三棱錐P-ABC中,作Rt△PBC的弦高PD,則PH必為Rt△PAD的弦高,兩次使用射影定理獲解.

升維聯(lián)想立體幾何問題:

證明如圖6,過P作PD⊥BC,垂足為D,易證PH⊥△ABC.

圖6

平面幾何中,“等邊三角形中任一點到三邊的距離之和為定值”,立體幾何中,“正四面體中任一點到四個面的距離之和為定值”.證法上,前者用面積,后者用體積,類似的問題亦可仿證,如例四.

例4已知在正四面體ABCD的底面BCD的外側(cè)有一點P,點P到底面的距離是h,點P到三個側(cè)面的距離分別h1,h2,h3為.求證:h1+h2+h3-h為定值.

降維聯(lián)想平面幾何問題:正四面體→正三角形;錐高→形高.

平面幾何問題:在正三角形ABC的底邊BC外側(cè)有一點P,P到BC的距離為h,P到另兩邊的距離分別為h1+h2,求證:h1+h2-h為定值.

證明如圖7,設(shè)△ABC的邊長為a,高為H,連接PA、PB、PC.

圖7

所以S△PAB+S△PAC-S△PBC=S△ABC,

即h1+h2-h=H為定值.

由以上問題得到啟發(fā):有關(guān)距離(高)的問題,常常聯(lián)系三角形面積,立體幾何中聯(lián)想到三棱錐的體積.

升維聯(lián)想立體幾何問題:

證明如圖8,設(shè)正四面體每個面的面積為S,體高為H,連PA,PB,PC,PD.因為

圖8

VP-ABC+VP-ACD+VP-ABD-VP-BCD=VA-BCD,

即h1+h2+h3-h=H為定值.

平面幾何中,求三角形的面積用不同邊作底可導(dǎo)出新的等式,立體幾何中,用不同的面作底來求錐體體積也可導(dǎo)出新的等式,幫助解題,如例五.

例5已知長方體的三條棱AB=4,AA1=3,AD=6,求面對角線BB′與體對角線AC′的距離.

降維聯(lián)想平面幾何問題:長方體→長方形,異面直線間的距離→點到直線的距離.

平面幾何問題已知矩形兩鄰邊長分別是AB=3,AD=4,求點A到對角線BD的距離AE的長.

圖9

啟發(fā)求三角形的面積可用不同的邊作底邊,求三棱錐的體積可以用不同的面作底面.

升維聯(lián)想立體幾何問題:

解如圖10,將矩形AA′D′D向上延升一倍到NADM的位置,

圖10

因為B′C∥A′D∥AM,

所以B′C∥平面AC′M,

因此,C到平面AC′M的距離即BB′與AC′的距離.

所以,VM-ACC′=12.

以上僅僅從幾個側(cè)面陳列了對立體幾何題降維聯(lián)想平面幾何題,再升維尋找立體幾何題解法的模式,其實,類似的問題還很多,諸如"對稱問題在平面幾何中的應(yīng)用",是找關(guān)于直線的對稱點來解題,在立體幾何中則可找關(guān)于平面的對稱點來解題;平面幾何中關(guān)于圓的問題在立體幾何中有不少題目可在球的問題中找到蹤跡;平面幾何的作圖思路很多不乏為立體幾何作圖的先導(dǎo),只要我們認真聯(lián)想,反復(fù)對比,那么平面幾何與立體幾何的解題方法就可以相輔相成,相得益彰.