李博宏，羅 健，丘敏艷，陳文多，趙宏超

1 “天琴計(jì)劃”教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天琴中心 &物理與天文學(xué)院，天琴前沿科學(xué)中心，國(guó)家航天局引力波研究中心，中山大學(xué)(珠海校區(qū))，廣東 珠海 519082；

2 中山大學(xué)深圳材料學(xué)院，廣東 深圳 518107；

3 中山大學(xué)深圳先進(jìn)制造學(xué)院，廣東 深圳 518107

1 引言

天琴計(jì)劃空間引力波天文臺(tái)由三顆完全相同的衛(wèi)星組成，星座的任意兩條臂均可構(gòu)成一個(gè)邁克爾遜干涉儀，并通過星間激光干涉測(cè)量技術(shù)監(jiān)控相距十幾萬公里的兩個(gè)檢驗(yàn)質(zhì)量之間的距離變化實(shí)現(xiàn)對(duì)引力波的探測(cè)[1]。作為干涉測(cè)量系統(tǒng)的一部分，望遠(yuǎn)鏡在系統(tǒng)中的作用主要有兩個(gè)：本地激光的擴(kuò)束發(fā)射和遠(yuǎn)端激光的匯聚接收[2]。

雜散光與尺寸穩(wěn)定性是引力波探測(cè)望遠(yuǎn)鏡設(shè)計(jì)中的兩個(gè)核心問題[3-4]。受限于傳統(tǒng)同軸望遠(yuǎn)鏡中心遮攔引起的高雜散光問題，目前引力波探測(cè)望遠(yuǎn)鏡方案均以離軸望遠(yuǎn)鏡設(shè)計(jì)為主。但離軸望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)總體穩(wěn)定性較低，擾動(dòng)后的任意微小變化均可引起結(jié)構(gòu)變形，從而增加光程噪聲。

環(huán)境溫度變化是導(dǎo)致望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)變形的主要原因。望遠(yuǎn)鏡內(nèi)部占據(jù)空間最大的組件為主次鏡間連接結(jié)構(gòu)。該結(jié)構(gòu)作為提供零件支撐固定的平臺(tái)，可以很大程度上反映望遠(yuǎn)鏡整體的熱變形行為。因此必須通過對(duì)望遠(yuǎn)鏡主次鏡連接結(jié)構(gòu)的選材與構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計(jì)，改善望遠(yuǎn)鏡整體尺寸穩(wěn)定性，從而降低光程噪聲，提升引力波探測(cè)信噪比。

消熱化設(shè)計(jì)又稱無熱化設(shè)計(jì)，早在上世紀(jì)50 年代就被廣泛應(yīng)用于光機(jī)設(shè)計(jì)之中。在早期，消熱化設(shè)計(jì)主要采用一些簡(jiǎn)單的手工計(jì)算方法，估算結(jié)構(gòu)的溫度分布和熱應(yīng)力分布，以改進(jìn)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案[5-6]。該方法雖然簡(jiǎn)單易行，但是準(zhǔn)確度不高，只適用于簡(jiǎn)單的光學(xué)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。經(jīng)過多年的發(fā)展，當(dāng)下消熱化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)已經(jīng)比較成熟。典型的消熱化設(shè)計(jì)手段有：

1)低膨脹計(jì)量桿與高膨脹板的反向組合設(shè)計(jì)技術(shù)[7]；

2)利用柔性連接補(bǔ)償軸向熱變形技術(shù)[8-9]；

3)整機(jī)使用同種材料以消除熱應(yīng)力[10-11]；

4)結(jié)構(gòu)消熱化設(shè)計(jì)技術(shù)[12]；

5)應(yīng)用超低膨脹材料以減少熱變形[13-16]。

針對(duì)引力波探測(cè)望遠(yuǎn)鏡而言，常規(guī)消熱化手段不足以滿足熱變形要求，必須考慮使用更綜合有效的消熱化手段降低結(jié)構(gòu)熱變形，其中結(jié)構(gòu)優(yōu)化[17]和選擇低熱膨脹系數(shù)的材料[18]尤為重要。

本文為降低望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)熱變形，從CFRP (carbon fiber reinforced polymer)材料鋪層優(yōu)化和結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)優(yōu)化兩個(gè)角度出發(fā)，建立了CFRP 鋪層方式與熱膨脹系數(shù)的數(shù)學(xué)模型，并構(gòu)建了結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)與間隔、偏心兩自由度方向熱變形之間的函數(shù)關(guān)系。同時(shí)，考慮到實(shí)際加工裝調(diào)等問題，提出了三段式組裝型望遠(yuǎn)鏡設(shè)計(jì)方案，提高了望遠(yuǎn)鏡裝調(diào)的可操作性，可有效避免工藝誤差帶來的整機(jī)失效風(fēng)險(xiǎn)。分析結(jié)果表明，CFRP 鋪層方式與熱膨脹系數(shù)之間的數(shù)學(xué)模型可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)材料的熱膨脹系數(shù)，將其中經(jīng)過設(shè)計(jì)的CFRP材料應(yīng)用于桁架支撐結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，在滿足力學(xué)性能的前提下，可明顯降低望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)熱變形。

2 建立結(jié)構(gòu)熱變形數(shù)學(xué)模型

引力波探測(cè)單鏈路等效位置不確定性表示為振幅譜密度，其功率譜密度是干涉測(cè)量系統(tǒng)(interferometric measurement system,IMS)的位移噪聲和干擾減少系統(tǒng)(disturbance reduction system,DRS)的加速度噪聲這兩項(xiàng)的總和：

本文不涉及加速度(DRS)噪聲。就干涉測(cè)量系統(tǒng)(IMS)而言，其位移噪聲為

結(jié)構(gòu)熱變形與很多因素有關(guān)，如材料選擇、構(gòu)型設(shè)計(jì)、組件間熱補(bǔ)償設(shè)計(jì)等，其中材料選擇非常關(guān)鍵，材料的熱脹系數(shù)做到1 ×10-7/K是結(jié)構(gòu)達(dá)標(biāo)的必要條件。目前航天望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)常見選材如下：

LISA 團(tuán)隊(duì)早在2008 年前后就選用了Zerodur 以及CFRP 兩種作為望遠(yuǎn)鏡主體支撐結(jié)構(gòu)的選材。兩種材料均可以做到材料熱膨脹αCFRP＜1×10-7/K，基本滿足引力波探測(cè)望遠(yuǎn)鏡的選材要求。LISA 基于其中CFRP 材料制成的望遠(yuǎn)鏡支架結(jié)構(gòu)已經(jīng)于2014 年完成實(shí)驗(yàn)測(cè)試。測(cè)試結(jié)果表明LISA 樣機(jī)主次鏡中心點(diǎn)相對(duì)熱變形滿足要求，但間隔、偏心等方向熱變形不滿足設(shè)計(jì)要求，仍有很大的優(yōu)化空間，針對(duì)結(jié)構(gòu)和材料優(yōu)化需要做更深入的研究。另一方面，以Zerodur材料為基礎(chǔ)的望遠(yuǎn)鏡方案相比于CFRP 材料望遠(yuǎn)鏡而言，其加工裝調(diào)難度較大，實(shí)物產(chǎn)出較難，至今仍無整機(jī)實(shí)驗(yàn)。該方案對(duì)于現(xiàn)階段引力波探測(cè)望遠(yuǎn)鏡裝調(diào)實(shí)驗(yàn)需求而言并不適用，因此作為備選方案研究，本文不做深入討論。

2.1 基于鋪層設(shè)計(jì)的CFRP 熱物性數(shù)學(xué)模型

針對(duì)引力波探測(cè)望遠(yuǎn)鏡超穩(wěn)定性的需求，本文選擇參數(shù)可設(shè)計(jì)的CFRP 材料作為研究對(duì)象，通過對(duì)纖維鋪層角度的設(shè)計(jì)，調(diào)整CFRP 材料的熱膨脹系數(shù)[19-20]，將敏感方向的熱膨脹系數(shù)降低至α ＜1×10-7/K。

熱膨脹系數(shù)即“單位溫度變化所導(dǎo)致材料的應(yīng)變量”：

其中：α 表示熱膨脹系數(shù)，下標(biāo)為熱膨脹的方向，單位為 K-1；ΔT表示材料溫度變化量，單位為 K ；ε0表示由溫度變化引起的應(yīng)變量，為變化量的絕對(duì)值與材料原長(zhǎng)度之比，可表示為Δl/l，屬無量綱物理量。

對(duì)于復(fù)合材料而言，層合板性能取決于單層板性能以及其鋪層方式，根據(jù)廣義胡克定律，單層板復(fù)合材料有本構(gòu)關(guān)系：

其中：σ1、σ2代表面內(nèi)施加的正應(yīng)力，下標(biāo)1 代表纖維增強(qiáng)方向，簡(jiǎn)稱縱向；下標(biāo)2 代表面內(nèi)垂直纖維方向，簡(jiǎn)稱橫向；τ12表示面內(nèi)剪切應(yīng)力；Q為材料剛度矩陣，其中元素Qij為 材料在各方向的剛度系數(shù)；ε1、ε2、γ12分別為對(duì)應(yīng)方向的面內(nèi)縱向、橫向正應(yīng)變和面內(nèi)剪應(yīng)變。

將其纖維方向一般化，如圖1 所示，得到任意角度單層板本構(gòu)關(guān)系：

圖1 單層CFRP 示意圖。方向1 為面內(nèi)纖維方向，簡(jiǎn)稱縱向；方向2 與方向1 面內(nèi)垂直，簡(jiǎn)稱橫向Fig.1 Single-layer CFRP schematic diagram.Direction 1 corresponds to the in-plane fiber direction referred to as the longitudinal direction；Direction 2 is perpendicular to direction 1 within the plane referred to as the transverse direction

其中，t為坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣：

其中，m=cosθ,n=sinθ，即該式將單層板本構(gòu)關(guān)系與其纖維角聯(lián)系了起來。式(6)反映出復(fù)合材料單層板在任意纖維角度下的本構(gòu)關(guān)系，該函數(shù)關(guān)系是層合板熱膨脹系數(shù)的模型基礎(chǔ)。將該纖維角度下的轉(zhuǎn)換矩陣與單層板面內(nèi)熱膨脹系數(shù)關(guān)系相結(jié)合，單層板在任意角度下的熱膨脹系數(shù) α表示為

其中：α1為 單層板縱向熱膨脹系數(shù)，α2為單層板縱向熱膨脹系數(shù)。

單層板結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)是固定的，若想調(diào)整材料性能，需將單層板在垂直于面的z方向上層疊起來，制成層壓板復(fù)合材料，如圖2 所示。

圖2 層壓板復(fù)合材料示意圖Fig.2 Laminate composite material schematic diagram

考慮到層合板中有經(jīng)典層合板理論解釋層合板基礎(chǔ)本構(gòu)關(guān)系：

其中：N、M分別是層合板在面內(nèi)x、y正向和剪切方向受到的單位長(zhǎng)度上的合力與合力矩。ABD矩陣為層合板的剛度矩陣：矩陣塊A為拉伸剛度矩陣，元素Aij為各方向拉伸剛度；矩陣塊B為耦合剛度矩陣，元素Bij表示面內(nèi)合力N和曲率K以及彎矩M和層合板中面應(yīng)變 ε0之間的耦合關(guān)系；矩陣D為彎曲剛度矩陣，元素Dij為各方向彎曲剛度。ε、K為層合板中面應(yīng)變和層合板彎曲曲率。

熱膨脹過程不涉及彎曲應(yīng)力，且鋪層必須保證對(duì)稱性，否則存在拉-彎耦合。因此式(9)中B矩陣為零矩陣，且不涉及D矩陣運(yùn)算?？蓪⑵浜?jiǎn)化并求逆：

式中：A'帶有上標(biāo)，表示該元素為原ABD矩陣中拉壓矩陣A的 逆矩陣的元素；NT表示層合板受到的單位寬度熱應(yīng)力。

若層壓板共有n層，則NT與每層單層板的剛度矩陣、溫度變化量 ΔT、一般坐標(biāo)系下的熱膨脹系數(shù) αk及 該層厚度(zk-zk-1)之間的關(guān)系為

同時(shí)，拉伸剛度矩陣A中元素與每層單層板的剛度矩陣、溫度變化量、一般坐標(biāo)系下的熱膨脹系數(shù)及該層厚度之間的關(guān)系為

將式(11)和(12)帶入到式(10)中，得到ε；再將ε帶 入式α=ε/ΔT，約去其中的溫度差 ΔT，即可得到層合板熱膨脹系數(shù)αl與每層單層板的性質(zhì)、鋪層角度和厚度的關(guān)系：

由(13)可知，單層板確定后，材料的剛度矩陣和厚度隨之確定，唯一變量即單層板角度轉(zhuǎn)換矩陣t，說明層合板熱膨脹系數(shù)αl可通過層合板中的每層纖維鋪層角度進(jìn)行調(diào)節(jié)。

2.2 結(jié)構(gòu)分段式設(shè)計(jì)與熱變形模型

對(duì)于引力波探測(cè)望遠(yuǎn)鏡而言，Zerodur 材料熱膨脹系數(shù)極低，因此基于該材料的一體化設(shè)計(jì)方案更容易實(shí)現(xiàn)熱變形穩(wěn)定性的目標(biāo)，但該方案生產(chǎn)加工難度大，裝調(diào)粘接工藝要求較高。本文提出的可裝配分段式結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)相比于Zerodur 一體化的設(shè)計(jì)方案而言更加易于設(shè)計(jì)、安裝和調(diào)整，且不會(huì)因局部加工誤差過大導(dǎo)致全局失效，只需對(duì)局部組件進(jìn)行重新生產(chǎn)加工即可，熱變形穩(wěn)定性的問題可以通過CFRP 材料優(yōu)化、結(jié)構(gòu)幾何優(yōu)化等方式解決。望遠(yuǎn)鏡主體支撐結(jié)構(gòu)分為三個(gè)部分，即主鏡支撐承力板、桁架結(jié)構(gòu)和副鏡支撐結(jié)構(gòu)，如圖3。

圖3 天琴望遠(yuǎn)鏡三段式設(shè)計(jì)：1)主承力板；2)主支撐三桿；3)副鏡支撐裝調(diào)背板Fig.3 Three-stage design of the TianQin telescope:1) Main load-bearing plate;2) Three main support rods;3) Sub-mirror support adjustment backplate

各個(gè)組件之間由可更換式CFRP 連接管進(jìn)行組裝連接，圖4 即可更換支撐管示意圖。

圖4 可更換式望遠(yuǎn)鏡CFRP 支撐桿接頭Fig.4 Replaceable telescope CFRP support tube joint

為探究結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)與熱變形之間的關(guān)系，可以將望遠(yuǎn)鏡簡(jiǎn)化為桁架桿模型。如圖5，可認(rèn)為QP、MP 和OP 分別代表結(jié)構(gòu)中的兩側(cè)支撐管和底部主支撐管，通過對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)LA、LB、LC進(jìn)行優(yōu)化，對(duì)副鏡所在位置的P點(diǎn)在偏心dy和離焦dz兩個(gè)方向上進(jìn)行熱變形分析。

圖5 桁架支撐結(jié)構(gòu)的幾何模型Fig.5 Geometric model of the support structure

基于結(jié)構(gòu)力學(xué)理論，三桿均認(rèn)為是桁架模型，僅在軸向受力，且由于三桿選用材料相同，理想狀態(tài)下無內(nèi)部熱應(yīng)力。將以上特點(diǎn)結(jié)合具體三桿結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)方程，得到

根據(jù)式(14)及幾何關(guān)系，得到P點(diǎn)沿Z軸方向熱變形dz：

以及P點(diǎn)沿Y軸方向熱變形dy：

選擇以結(jié)構(gòu)參數(shù)LA、LB、LC為優(yōu)化參數(shù)，約束條件為望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)尺寸包絡(luò)限制，分別為L(zhǎng)A∈[250,275],LB∈[225,235],LC∈[825,855]。由式(15)、(16)可知，當(dāng)支桿選材確定后，一定溫變條件下，結(jié)構(gòu)熱變形只與結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)LA、LB、LC相關(guān)。

3 模型驗(yàn)證與參數(shù)優(yōu)化

3.1 鋪層-熱膨脹系數(shù)的模型驗(yàn)證與仿真優(yōu)化

本文選擇M40J/wp-s3000 單層板作為基本鋪層單元，每層厚度均為0.15 mm，總層數(shù)為20 層，基本性能如表1 所示。

表1 常見望遠(yuǎn)鏡樣機(jī)主支撐結(jié)構(gòu)備選材料Table 1 Candidate materials for truss support structure of telescope prototype

考慮到優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)是減少材料熱變形系數(shù)αx-CFRP和 αy-CFRP，變量空間為20 層CFRP 的纖維角，因此屬于多目標(biāo)、多變量求最小值的問題。針對(duì)這類問題，目前較為成熟的優(yōu)化算法有很多，如粒子群算法、遺傳算法等。本文選用NSGA-Ⅱ，即非支配排序遺傳算法。

NSGA-Ⅱ (Non-dominated sorting genetic algorithms-Ⅱ)是一種基于Pareto 最優(yōu)概念的遺傳算法，早在1995 年就被Srinivas 和Deb 提出，并于2000 年改良成為第二代高效成熟的優(yōu)化算法，是最流行的多目標(biāo)遺傳算法之一，它降低了非劣排序遺傳算法的復(fù)雜性，具有運(yùn)行速度快，解集的收斂性好的優(yōu)點(diǎn)，成為其他多目標(biāo)優(yōu)化算法性能的基準(zhǔn)。該算法基本思路是通過尋找Pareto 前沿以及非支配優(yōu)化方案來進(jìn)行精英篩選，然后再將后續(xù)Pareto 前沿若干種群進(jìn)行遺傳算法優(yōu)化，得到新的種群；保留優(yōu)勢(shì)種群后再重新排序迭代優(yōu)化，最后收斂得到穩(wěn)定的Pareto 前沿優(yōu)化結(jié)果。

目前常見的CFRP 材料以各向同性鋪層方式為主，但為了對(duì)比常規(guī)CFRP 鋪層和特定鋪層方式，這里選取6 種不同的鋪層方式作為對(duì)比，其中鋪層1 是準(zhǔn)各向同性鋪層方式，2～4 為常見消熱化鋪層設(shè)計(jì)，5～6為針對(duì)x方向熱膨脹優(yōu)化設(shè)計(jì)后的鋪層方式。將以上CFRP 鋪層參數(shù)帶入到計(jì)算程序中，得到相應(yīng)熱膨脹系數(shù)計(jì)算結(jié)果，見表2。

表2 備選CFRP 鋪層方式Table 2 Alternative CFRP layup methods

將該結(jié)果與ABAQUS 仿真軟件中的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，這里以鋪層方式6 為例，分別給出了經(jīng)過設(shè)計(jì)后的CFRP 在X和Y兩個(gè)方向的熱膨脹系數(shù)，如圖6所示。

圖6 CFRP 材料熱膨脹有限元仿真：以最優(yōu)設(shè)計(jì)—鋪層方式6 為例Fig.6 Finite element simulation of thermal expansion of CFRP material — taking laying method 6 as an example

將6 種鋪層方式的有限元仿真結(jié)果與理論計(jì)算仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。其中，在理論計(jì)算過程中，每層纖維角的精度不設(shè)限制，仿真中每層纖維角精度保留至小數(shù)點(diǎn)后兩位(即仿真纖維角設(shè)置精度為0.01°)，優(yōu)化對(duì)象以CFRP 中x方向熱膨脹系數(shù)為主。將仿真結(jié)果與前文理論模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證理論模型正確性和誤差估計(jì)。對(duì)比結(jié)果見表3。

表3 理論模型計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果對(duì)比Table 3 Comparison of theoretical model calculation results with simulation results

對(duì)比結(jié)果表明：

1)在一定誤差范圍內(nèi)，式(13)對(duì)CFRP 熱膨脹系數(shù)的預(yù)測(cè)值與仿真結(jié)果一致；

2)針對(duì)性鋪層設(shè)計(jì)在設(shè)計(jì)方向上的熱膨脹系數(shù)小于常規(guī)準(zhǔn)各向同性鋪層設(shè)計(jì)；

3)由于經(jīng)過優(yōu)化設(shè)計(jì)后仿真計(jì)算取小數(shù)點(diǎn)后兩位，仿真設(shè)置精度小于理想?yún)?shù)設(shè)置，因此與理想結(jié)果之間有偏差。同時(shí)可經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，熱脹系數(shù)設(shè)計(jì)值越低，同等精度下的偏差值越大，這也為后續(xù)CFRP 實(shí)物樣件的加工提供了纖維鋪層加工精度參考。

3.2 支撐結(jié)構(gòu)-熱變形模型驗(yàn)證與仿真優(yōu)化

對(duì)于望遠(yuǎn)鏡主支撐結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)必須保證：1)系統(tǒng)強(qiáng)度大，結(jié)構(gòu)不受破壞；2)結(jié)構(gòu)剛度大，在重力卸載后鏡面之間不會(huì)產(chǎn)生較大的相對(duì)位置偏移而失效；3)能夠抵抗一定的沖擊，避免鏡體位置變形過大而失效。

根據(jù)當(dāng)前的調(diào)研結(jié)果給出望遠(yuǎn)鏡主支撐結(jié)構(gòu)的主要設(shè)計(jì)指標(biāo)，見表4。

表4 望遠(yuǎn)鏡樣機(jī)主支撐結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)要求Table 4 Design requirements for main support structure of telescope prototype

表中前3 項(xiàng)均為一般性要求，其中重力卸載需針對(duì)間隔 Δz、偏心 Δy，以及主次鏡間角度變化ΔTx。重力形變主要受主副鏡部分組件重量及支撐形式影響。第4 項(xiàng)則表示航天器在任務(wù)周期內(nèi)，望遠(yuǎn)鏡環(huán)境溫度會(huì)產(chǎn)生較大溫變，該情況下在間隔、偏心方向上允許熱變形的最大值。第5 項(xiàng)表示為溫控可以達(dá)到理想狀態(tài)下的且IMS 噪聲中除望遠(yuǎn)鏡外其他噪聲為0。該條件下望遠(yuǎn)鏡設(shè)計(jì)要求較低，因此作為階段性基本設(shè)計(jì)目標(biāo)。同時(shí)考慮到實(shí)際情況非極限狀態(tài)給出表格種第6 項(xiàng)，即表示環(huán)境熱噪聲在頻段內(nèi)為條件下，IMS 噪聲中40%的影響由望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)熱變形產(chǎn)生。與前項(xiàng)相比，該條件下望遠(yuǎn)鏡設(shè)計(jì)要求更高。

結(jié)構(gòu)模型如圖7 所示，總體結(jié)構(gòu)以主鏡組件固定背板底部中心為原點(diǎn)，以主次鏡軸向方向?yàn)閆軸，以主鏡背板所在面為X-Y平面。望遠(yuǎn)鏡樣機(jī)的主支撐結(jié)構(gòu)可分為三個(gè)組成部分：1)主承力固定背板；2)主支撐方管和側(cè)翼支撐圓管；3)副鏡支撐組件。

圖7 主支撐結(jié)構(gòu)模型與坐標(biāo)系Fig.7 Main support structure model and coordinate system

望遠(yuǎn)鏡為三桿支撐結(jié)構(gòu)，可以其抽象為空間桁架模型，并對(duì)該模型進(jìn)行有限元仿真驗(yàn)證。給出理論模型計(jì)算結(jié)果、桁架單元仿真結(jié)果和實(shí)體單元仿真結(jié)果三者對(duì)比。輸入條件為整體升溫10 K，輸出為副鏡處Z、Y兩自由度熱變形。三桿支撐材料選擇常規(guī)各向同性CFRP 鋪層方式，即前文中鋪層1，結(jié)構(gòu)模型如圖8、圖9。

圖8 實(shí)體單元模型(左)；桁架桿單元模型(中)；理論模型(右)Fig.8 Solid model (left);truss structure model (middle);theoretical model (right)

圖9 實(shí)體仿真結(jié)果和桁架桿仿真結(jié)果—以間隔dz 方向熱變形為例Fig.9 Solid simulation and truss simulation result — example of thermal deformation in the dz direction

仿真結(jié)果如表5。

表5 三種模型之間對(duì)比驗(yàn)證Table 5 Comparison and verification among the three models

仿真結(jié)果表明：

1)桁架單元仿真結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果完全一致，即針對(duì)“結(jié)構(gòu)參數(shù)-熱變形”的數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確，由桁架理論推導(dǎo)出的函數(shù)關(guān)系式(15)、式(16)有效；

2)實(shí)體單元與理論模型的相對(duì)誤差在z方向是5.13%，y方向?yàn)?.68%。原因在于理論模型與桁架模型均為一維拉壓桿模型，而實(shí)體模型計(jì)算過程中會(huì)引入另外兩個(gè)方向的應(yīng)力應(yīng)變，因此計(jì)算結(jié)果一定會(huì)出現(xiàn)差別。但在誤差允許范圍內(nèi)，理論模型可作為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的重要參考。

以各向同性CFRP 鋪層方式1 為三桿選材，將材料與結(jié)構(gòu)幾何約束帶入到參數(shù)優(yōu)化程序中。目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)為結(jié)構(gòu)在z、y兩個(gè)方向的熱變形dz和dy，面向LA、LB、LC三個(gè)參數(shù)做優(yōu)化，屬于多目標(biāo)多參數(shù)優(yōu)化問題，如圖10 所示。

圖10 對(duì)結(jié)構(gòu)熱變形的參數(shù)優(yōu)化結(jié)果Fig.10 Optimization results for structural thermal deformations

優(yōu)化采用多目標(biāo)遺傳算法優(yōu)化手段，尋找設(shè)計(jì)Pareto 前沿。圖中橫縱坐標(biāo)分別表示P點(diǎn)在優(yōu)化結(jié)構(gòu)LA、LB、LC參數(shù)后的熱變形dy和dz。每一點(diǎn)均對(duì)應(yīng)一種LA、LB、LC參數(shù)設(shè)計(jì)方案，不同的參數(shù)組合可以求解出不同的熱變形結(jié)果，但均為相對(duì)最優(yōu)解。需針對(duì)具體的加工精度、公差要求、尺寸約束等進(jìn)行選擇。

因此，設(shè)計(jì)方案基于其中的一種結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行討論，即A=260.0、B=230.3、C=837.8，桁架材料鋪層為前文(表2)中鋪層1，該鋪層方式為準(zhǔn)各向同性CFRP 鋪層，屬于非優(yōu)化的常規(guī)鋪層方案，可作為對(duì)照組。該設(shè)計(jì)在間隔z、偏心y和結(jié)構(gòu)總體熱變形方向上，結(jié)構(gòu)熱變形系數(shù)分別為：αz=9.817×10-7/K、αy=16.986×10-7/K、αl=10.751×10-7/K。后續(xù)以該設(shè)計(jì)作為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)方案，分析桁架支撐結(jié)構(gòu)的機(jī)械性能，并對(duì)比常規(guī)材料、優(yōu)化后鋪層的熱變形性能。

4 數(shù)據(jù)分析

4.1 機(jī)械性能分析

目前桁架支撐結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)重量為6.7 kg，滿足設(shè)計(jì)要求。在模態(tài)分析方面，仿真分析給出了前15 階的模態(tài)分析結(jié)果，這里以前兩階振型為例，如圖11、圖12。前兩階模態(tài)的頻率分別為122.61 Hz 和128.47 Hz，均滿足初始設(shè)計(jì)要求。

圖11 第一階振型：沿Y 方向擺動(dòng)，122.61 HzFig.11 First mode: oscillation along the Y direction,122.61 Hz

圖12 第二階振型：沿X 方向擺動(dòng)，128.47 HzFig.12 Second mode: oscillation along the X direction,128.47 Hz

除模態(tài)外，對(duì)桁架支撐結(jié)構(gòu)做兩敏感自由度方向的重力卸載分析。整體模型基于ABAQUS 實(shí)體模型單元進(jìn)行分析，三桁架桿選材為鋪層方式1 的CFRP材料。以主支撐背板端面為邊界條件，分三次對(duì)整體結(jié)構(gòu)加載沿X、Y、Z三方向的重力載荷。最后針對(duì)主副兩鏡面中心點(diǎn)的相對(duì)位移做數(shù)據(jù)后處理，結(jié)果見表6。

表6 重力卸載變形分析Table 6 Gravity unloading deformation analysis

要注意的是，由于整個(gè)望遠(yuǎn)鏡樣機(jī)的設(shè)計(jì)是相對(duì)于YOZ面對(duì)稱的，即當(dāng)重力卸載方向沿Y和Z時(shí)，X方向上的變形在計(jì)算過程中可以忽略不計(jì)。但如果重力卸載方向沿X方向時(shí)，就必須考慮主次鏡間在X方向的相對(duì)變形。因此表格中重力沿X方向卸載時(shí)，增加一項(xiàng)主次鏡之間在X方向的相對(duì)變形ΔxM1-M2。

根據(jù)重力卸載后的分析結(jié)果可知，由于使用CFRP 材料，整體結(jié)構(gòu)較輕的同時(shí)結(jié)構(gòu)剛度也很大，靜力學(xué)與動(dòng)力學(xué)性能均較好，滿足望遠(yuǎn)鏡動(dòng)力學(xué)要求和在空間任意方向下重力卸載后的變形要求。

4.2 桁架支撐結(jié)構(gòu)熱變形穩(wěn)定性分析

使用CFRP 材料的一個(gè)重要目標(biāo)就是利用其可設(shè)計(jì)性降低材料熱膨脹系數(shù)，達(dá)到降低結(jié)構(gòu)熱變形穩(wěn)定性的目標(biāo)。因此需要將前文中經(jīng)過分析后的CFRP 應(yīng)用于主支撐結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案中，并分析結(jié)構(gòu)熱變形。以鋪層方式1 為例，有限元仿真如圖13。

圖13 熱變形有限元分析-以鋪層1 為例Fig.13 Element analysis of thermal deformation of truss support structure -example with layer 1

圖14 以50 μK 溫度噪聲為溫度輸入條件Fig.14 Taking 50 μK temperature noise as an example

圖15 主次鏡間隔相對(duì)熱變形為Fig.15 The relative thermal deformation in the M1-M2 separation direction is 12

結(jié)合本文鋪層設(shè)計(jì)，與其它常規(guī)望遠(yuǎn)鏡材料應(yīng)用于支桿作為對(duì)比，結(jié)果如表7 所示。

表7 不同選材之間結(jié)構(gòu)熱變形對(duì)比結(jié)果Table 7 Comparison results of structural thermal deformation between different materials

綜合以上分析結(jié)果表明：

1)以CFRP 作為望遠(yuǎn)鏡桁架支桿材料，相比于其他常規(guī)材料而言，可以明顯降低望遠(yuǎn)鏡支撐結(jié)構(gòu)熱變形。

2)鋪層方式4 的CFRP 材料熱膨脹系數(shù)為αx-CFRP=1.20×10-7/K，將其帶入到實(shí)體單元結(jié)構(gòu)中進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)桁架結(jié)構(gòu)的熱變形為αz=3.31×10-7/K?？芍獰嶙冃涡阅苓€受到具體方案影響，如主鏡支撐形式、連接結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、熱補(bǔ)償結(jié)構(gòu)方案等。

3)同時(shí)對(duì)比不同CFRP 鋪層方式，發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)熱變形也有很大的差別，說明經(jīng)過特定設(shè)計(jì)的CFRP 材料確實(shí)可以降低望遠(yuǎn)鏡的熱變形，且鋪層方式對(duì)熱變形影響較大，不可忽略。因此，在后續(xù)工作中既需要繼續(xù)優(yōu)化CFRP 鋪層方式，同時(shí)也需給出多種消熱化方案的綜合性設(shè)計(jì)。

5 結(jié)論

本文針對(duì)引力波探測(cè)望遠(yuǎn)鏡的超低熱變形要求，提出了從材料和結(jié)構(gòu)兩方面進(jìn)行優(yōu)化的解決方案。材料方面，建立了CFRP 鋪層方式與熱膨脹系數(shù)之間的數(shù)學(xué)模型，利用有限元仿真分析驗(yàn)證了模型的正確性，并給出了優(yōu)化纖維鋪層方案。結(jié)構(gòu)方面，建立了結(jié)構(gòu)參數(shù)與熱變形之間的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，為望遠(yuǎn)鏡的桁架支撐結(jié)構(gòu)超低熱變形設(shè)計(jì)建立了理論基礎(chǔ)。將上述針對(duì)材料與結(jié)構(gòu)的理論研究與實(shí)際結(jié)構(gòu)要求相結(jié)合，提出了裝配式分段設(shè)計(jì)方案，主支撐桿件、主承力板等組件均可分別更換裝調(diào)，降低了望遠(yuǎn)鏡的裝調(diào)難度。最后結(jié)合有限元仿真，對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行機(jī)械性能、熱變形性能分析，并給出了不同材料作為桁架支撐結(jié)構(gòu)的熱變形結(jié)果對(duì)比。綜合分析結(jié)果表明：

1)通過設(shè)計(jì)CFRP 鋪層方式可對(duì)材料熱膨脹系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，滿足材料熱變形要求。

2)常規(guī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)要求方面，桁架結(jié)構(gòu)重量為6.7 kg，結(jié)構(gòu)基頻為122.61 Hz；重力卸載偏差最大值在重力沿x方向卸載時(shí)的結(jié)構(gòu)變形5.91 μm；周期內(nèi)環(huán)境溫變?yōu)?0 K 條件下，結(jié)構(gòu)熱變形為dz=8.224 μm、dy=4.556 μm，說明結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)滿足基本性能要求。

4)目前的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)相比于常規(guī)設(shè)計(jì)而言，熱變形性能有明顯提升，但仍未滿足天琴需求。雖然目前的CFRP 鋪層優(yōu)化可將材料在桁架桿軸向方向保證10-7/K的熱膨脹水平，但由于結(jié)構(gòu)中組件間局部熱應(yīng)力、泊松比效應(yīng)等導(dǎo)致結(jié)構(gòu)總體熱變形性能仍不能滿足要求，因此后續(xù)工作應(yīng)在現(xiàn)有工作的基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論結(jié)構(gòu)消熱化的問題，對(duì)具體的支撐組件、連接組件、消熱化結(jié)構(gòu)等做綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)。