閆澤昊，周子夜，李 楊，周 虹，黃林海，顧乃庭*，饒長輝

1 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；

2 中國科學(xué)院光電技術(shù)研究所，四川 成都 610209；

3 中國科學(xué)院自適應(yīng)光學(xué)重點實驗室，四川 成都 610209

1 引言

LIGO (Laser interferometer gravitational-wave observatory) 于2015 年觀測到兩個黑洞合并時產(chǎn)生的引力波信號，直接證明了廣義相對論對引力波的預(yù)言[1]，同時也打開了一扇天文觀測的新窗口。相比于地基引力波觀測臺，空間引力波探測能夠避開地表附近低頻噪聲、實現(xiàn)更長的臂長，從而能夠探測1 Hz甚至更低頻率的引力波[2]。目前，正在開展的空間引力波探測計劃主要包括歐洲航空局的LISA[3]、我國“天琴計劃”[4]以及“太極計劃”[5]，他們均通過在空間搭建激光干涉儀探測自由運動驗證質(zhì)量塊(proof mass)之間距離的變化，進而獲得引力波信息[6]?？臻g引力波探測一般需要三組星載望遠(yuǎn)鏡組成三角形星座，為了實現(xiàn)微弱引力波信號探測，三個星座間組成干涉儀的臂長一般長達數(shù)十甚至數(shù)百萬公里，而距離的絕對測量精度需要達到皮米量級[7]。超遠(yuǎn)距離帶來的不僅是距離測量困難，由于激光光束指向偏差會帶來等效的相位誤差，對于達到數(shù)萬公里的干涉長度，要求實現(xiàn)nrad 級的超高精度指向控制，同時給三組星載望遠(yuǎn)鏡之間的高精度跟瞄也帶來了極大挑戰(zhàn)。超前瞄準(zhǔn)機構(gòu) (the point ahead angle mechanism，PAAM)[8]應(yīng)運而生，其被放置于星載望遠(yuǎn)鏡光學(xué)平臺上，提供各組望遠(yuǎn)鏡超前角度修正，校正“呼吸角”等引起的跟瞄誤差。超前瞄準(zhǔn)機構(gòu)本質(zhì)上是一種高精度激光光束指向機構(gòu)，國內(nèi)外不同空間引力波探測研究團隊對其進行了深入研究：2009 年Henein[8]等基于兩套壓電陶瓷致動器為LISA 引力波探測任務(wù)設(shè)設(shè)計了一高冗余驅(qū)動、高穩(wěn)定性的高精度指向校正機構(gòu)，指向范圍達到±1000 μrad、指向精度達到0.14 μrad；2010 年Rijnveld[9]等為 LISA 設(shè)計了另一種超前瞄準(zhǔn)機構(gòu)，設(shè)計了一種壓電陶瓷致動器驅(qū)動、以Haberland 鉸鏈為柔性支撐機構(gòu)的高精度反射鏡，指向范圍達到±421 μrad、指向穩(wěn)定性達到8 nrad/Hz1/2；2023 年朱偉舟[7]等人為我國空間引力波探測任務(wù)設(shè)計了一套超前瞄準(zhǔn)機構(gòu)，其采用柔性鉸鏈與杠桿相結(jié)合的結(jié)構(gòu)，并在壓電陶瓷致動器的驅(qū)動下實現(xiàn)709 μrad 偏轉(zhuǎn)范圍、0.44 μrad 指向精度。在上述典型的PAAM 機構(gòu)中，壓電陶瓷致動器是其核心組成部分，其性能好壞直接決定了超前瞄準(zhǔn)機構(gòu)的偏轉(zhuǎn)范圍、指向精度、指向穩(wěn)定性等各項關(guān)鍵性能。壓電陶瓷致動器(piezoelectric actuators,PZA)一般由多個壓電陶瓷晶圓堆疊而成，利用其逆壓電效應(yīng)在外部電壓的激勵下產(chǎn)生位移響應(yīng)[10]，帶動超前瞄準(zhǔn)機構(gòu)內(nèi)部結(jié)構(gòu)產(chǎn)生形變并最終使反射鏡偏擺，實現(xiàn)對空間引力波探測望遠(yuǎn)鏡的高精度指向跟瞄。相比于機電式致動器，壓電陶瓷致動器具有分辨率高、頻帶寬、效率高、驅(qū)動力大、結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點，在高精度位移等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[11]。

然而，目前空間引力波探測PAAM 中的壓電致動器均采用電壓放大器作為激勵信號源，壓電陶瓷在電壓驅(qū)動下的遲滯特性使壓電致動器產(chǎn)生非線性響應(yīng)[12]，這會引起PAAM 對激光光束指向控制過程中出現(xiàn)指向誤差與指向抖動問題，從而大大降低PAAM 性能。在PAAM 中，一般在電壓驅(qū)動的基礎(chǔ)上采用高分辨力位移傳感器做閉環(huán)控制[13]，但PAAM亞納弧度的角位移對傳感器性能要求極高，同時引入位移傳感器會使系統(tǒng)過于復(fù)雜。為提升PAAM 性能，需對壓電致動器位移響應(yīng)行為建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)建模[14]，Bruno[15]針對干涉儀的開環(huán)控制提出一種基于Prandtl-Ishlinskii 遲滯算子的模型，在1.8 μm 的行程內(nèi)，模型的最大誤差不超過15 nm。高源蓬[16]建立的 Duhem非對稱逆遲滯模型能有效描述壓電執(zhí)行器非對稱逆遲滯曲線，模型輸出與位移響應(yīng)之間擬合相對誤差為 0.79% (0.5 Hz)；Iyer[17]利用Preisach 模型對位移響應(yīng)進行建模，使用自適應(yīng)算法來有效地近似求解 Preisach 模型，對于1 Hz 正弦信號跟蹤，在60 μm 的行程下存在±0.5 μm 的誤差。但是，以上方法都是在電壓驅(qū)動的基礎(chǔ)上進行的，由于壓電陶瓷位移響應(yīng)的復(fù)雜性，還需要進一步深入研究。電荷驅(qū)動法從壓電陶瓷位移響應(yīng)與激勵電荷成線性關(guān)系這一特性出發(fā)實現(xiàn)壓電致動器的高線性度驅(qū)動，是一種值得嘗試的方法，該方法最早由Main[18]提出，用于NASA NAOMI 項目中提升反射鏡在數(shù)個致動器驅(qū)動下的響應(yīng)線性度。如果能對電荷驅(qū)動下的位移響應(yīng)行為做出定量分析，對于實現(xiàn)空間引力波探測望遠(yuǎn)鏡超前瞄準(zhǔn)機構(gòu)的高精度指向控制具有重要意義。

基于以上背景，本論文提出基于等效電容計算方法來定量分析壓電致動器在電荷驅(qū)動下的位移響應(yīng)特性，并通過數(shù)值模擬仿真和實驗驗證等方式驗證了計算方法的準(zhǔn)確性和可行性。結(jié)果表明：在使用幅值5 V、頻率0.05 Hz～5 Hz 正弦波信號控制的電荷放大器驅(qū)動某型號壓電致動器時，采用本文方法分析結(jié)果與實驗結(jié)果相比，二者位移響應(yīng)最大偏差小于1.35%，為空間引力波探測望遠(yuǎn)鏡超前瞄準(zhǔn)機構(gòu)的高精度指向控制提供了可能的分析方法和實現(xiàn)途徑。本文第二節(jié)對空間引力波探測星載望遠(yuǎn)鏡中超前瞄準(zhǔn)機構(gòu)基本原理進行詳細(xì)闡述，并對致動器在電荷驅(qū)動與電壓驅(qū)動下位移響應(yīng)線性度等特性進行了深入對比分析；第三節(jié)深入分析了電荷驅(qū)動壓電致動器的位移響應(yīng)特性，并基于對壓電致動器等效電容分析結(jié)果建立致動器位移響應(yīng)模型；第四節(jié)闡述了實驗驗證方案，并給出了實驗結(jié)果，驗證方法正確性；論文第五節(jié)對全文進行了總結(jié)。

2 基于電荷驅(qū)動壓電致動器的超前瞄準(zhǔn)機構(gòu)基本原理

2.1 星載引力波探測望遠(yuǎn)鏡中超前瞄準(zhǔn)機構(gòu)工作原理

用于空間引力波探測的星載望遠(yuǎn)鏡由激光干涉儀與望遠(yuǎn)鏡兩部分組成，其中激光干涉儀來探測兩個自由懸浮的驗證質(zhì)量塊之間距離的變化，望遠(yuǎn)鏡的功能是將激光光束從一個航天器傳送到另一個航天器[19]。如圖1(a)所示，為了調(diào)節(jié)激光干涉儀發(fā)射光光束的角度，可變形的超前瞄準(zhǔn)機構(gòu)PAAM 被放置在激光干涉儀內(nèi)部的激光發(fā)射路徑的瞳孔平面[20-21]，PAAM 通過反射鏡產(chǎn)生一個超高精度的偏擺角，使得遠(yuǎn)端望遠(yuǎn)鏡能夠準(zhǔn)確接收到光束以完成星間激光干涉。盡管不同團隊設(shè)計的PAAM 不同，但是所設(shè)計的結(jié)構(gòu)都是為了實現(xiàn)壓電致動器的位移形變 Δδ與 鏡面傾斜角 α的線性轉(zhuǎn)換[22]，圖1(b)為壓電陶瓷致動器驅(qū)動下的PAAM 基本工作原理，放大器對兩個壓電致動器施加大小相同、正負(fù)相反的激勵信號，兩個致動器產(chǎn)生位移± Δδ，鏡面產(chǎn)生傾角 α，致動器位移與鏡面傾角存在如下關(guān)系：

圖1 星載望遠(yuǎn)鏡中超前瞄準(zhǔn)機構(gòu)基本原理。(a) 星載望遠(yuǎn)鏡基本原理；(b) 超前瞄準(zhǔn)機構(gòu)基本原理Fig.1 The principle of PAAM in spaceborne telescopes.(a) Basic principle of spaceborne telescope;(b) Basic principle of PAAM

式中：L是兩壓電致動器固定間距，因此鏡面傾角α和位移響應(yīng)± Δδ呈線性關(guān)系。目前空間引力波探測PAAM 中的壓電致動器均采用電壓放大器驅(qū)動，由于電壓驅(qū)動下壓電致動器存在遲滯效應(yīng)，其遲滯效應(yīng)所帶來的位移響應(yīng) Δδ的 非線性將直接傳遞給指向角 α，壓電致動器的位移響應(yīng)非線性會嚴(yán)重影響引力波探測望遠(yuǎn)鏡中PAAM 的指向精度。電荷驅(qū)動能有效避免壓電致動器的遲滯特性帶來的非線性響應(yīng)，因此研究電荷驅(qū)動下壓電致動器的位移響應(yīng)行為，對于實現(xiàn)空間引力波探測望遠(yuǎn)鏡超前瞄準(zhǔn)機構(gòu)的高精度指向控制具有重要意義。

2.2 壓電致動器的電壓驅(qū)動和電荷驅(qū)動方式

由于壓電陶瓷致動器在電壓電荷兩種類型的放大器驅(qū)動下位移響應(yīng)線性度不同，這里對兩種放大器與壓電致動器構(gòu)成的驅(qū)動系統(tǒng)進行分析。由于壓電陶瓷致動器本質(zhì)上是由極板與電介質(zhì)組成的器件，在對其進行電學(xué)分析時，普遍的做法是將其等效為一個電容Cp，但根據(jù)電介質(zhì)物理，壓電陶瓷的介電常數(shù) ε0εr并不是一個定值，其等效電容Cp被稱為非理想鐵電電容(nonideal ferroelectric capacitors)[23]。圖2 給出了兩種驅(qū)動方式下驅(qū)動回路示意圖，電壓放大器的基本電路結(jié)構(gòu)如圖2(a)所示，在這種驅(qū)動方式下，運放直接對控制信號Vin進行線性放大，得到成比例放大的電壓信號Vo。假設(shè)致動器的位移與電荷量存在恒定比例系數(shù)K，顯然非理想電容Cp的存在使放大器始終無法通過Vin輸 出成比例電荷量Qp，壓電致動器也就無法產(chǎn)生與Vin成線性關(guān)系的位移響應(yīng)。放大器輸入信號Vin與位移響應(yīng)L的關(guān)系如式(2)所示：

圖2 壓電陶瓷致動器的(a)電壓驅(qū)動方式和(b)電荷驅(qū)動方式基本電路結(jié)構(gòu)Fig.2 Basic circuit structures of (a) voltage driving mode and (b)charge driving mode of PZA

電荷放大器的基本電路結(jié)構(gòu)如圖2(b)所示。對電路分析得出壓電致動器位移響應(yīng)L與輸入信號Vin間的函數(shù)關(guān)系，為了方便后續(xù)計算，這里寫成s域表達式，如式(3)所示：

不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)電路滿足RpCp=RsCs時輸入信號Vin與位移響應(yīng)L呈線性關(guān)系，但非理想電容Cp的存在使等式無法成立，變化的Cp使壓電致動器的位移響應(yīng)L在信號頻率較低(s趨于0)時仍無法保持與輸入信號Vin的線性關(guān)系。但相較于任何信號下都無法保持線性響應(yīng)的電壓驅(qū)動方式，電荷驅(qū)動方式仍具有明顯優(yōu)勢。

2.3 電壓驅(qū)動與電荷驅(qū)動位移響應(yīng)對比分析

為了驗證壓電陶瓷致動器在兩種放大器驅(qū)動下產(chǎn)生位移響應(yīng)的差異，這里對同一壓電致動器分別用兩種類型放大器驅(qū)動，實驗使用激光測距儀對致動器位移數(shù)據(jù)進行采集，用采樣電阻對放大器輸出電流精確采集，以此計算放大器輸出電荷量。這里對兩種放大器分別輸入5 Hz、1 Hz、0.5 Hz 正弦信號，對比此時輸入信號與壓電致動器位移響應(yīng)間的關(guān)系。圖3 為電壓驅(qū)動下的位移響應(yīng)及線性度，圖4 為電荷驅(qū)動下壓電致動器的位移響應(yīng)及線性度。

圖3 電壓驅(qū)動下壓電致動器位移響應(yīng)及線性度Fig.3 Displacement response and linearity of PZA under voltage drive

圖4 電荷驅(qū)動下壓電致動器位移響應(yīng)及線性度Fig.4 Displacement response and linearity of PZA under charge drive

結(jié)果顯示，壓電陶瓷致動器在5 Hz、1 Hz、0.5 Hz 頻率的電壓激勵信號驅(qū)動下位移響應(yīng)線性度始終較差，其線性度分別為13.27%、12.53%、12.66%，在同樣頻率的電荷激勵信號驅(qū)動下的位移線性度分別為1.75%、1.80%、2.55%，在信號頻率較低時出現(xiàn)線性度變差的趨勢。此外，在整個過程中兩種放大器輸出電荷量始終與PZA 位移成正比例關(guān)系，二者存在恒定比例系數(shù)K=0.014 m/C，這也證明了電荷與位移間的線性關(guān)系?？傊?，基于電荷驅(qū)動的壓電致動器的位移響線性度要優(yōu)于電壓驅(qū)動。

3 電荷驅(qū)動壓電致動器位移響應(yīng)行為研究

3.1 壓電致動器等效電容變化特性分析

根據(jù)式(3)對電荷驅(qū)動回路的描述，為了準(zhǔn)確得出電荷驅(qū)動下壓電致動器的位移響應(yīng)，需首先得知其等效電容Cp在激勵信號下的變化情況。根據(jù)電容的動態(tài)特性，壓電致動器等效電容的容值可用電荷的變化率與電壓的變化率之比來計算，這就需要獲得壓電致動器在激勵信號下的電壓變化曲線與電荷變化曲線。對于壓電致動器組成的非線性電容，其電壓與電荷間存在復(fù)雜的映射關(guān)系，這給不同信號下電壓變化曲線與電荷變化曲線的獲取及后續(xù)電容的計算帶來困難。但二者的映射關(guān)系仍有規(guī)律可循：根據(jù)上文介紹，壓電致動器的位移與其電荷量具有直接線性關(guān)系，因此可以用壓電致動器在不同信號下所表現(xiàn)出的電壓-位移遲滯特性直接推導(dǎo)出對應(yīng)的電壓-電荷映射關(guān)系，從而便能方便得出對應(yīng)信號下電壓變化曲線與電荷變化曲線及等效電容的變化曲線Cp(t)。

對于壓電致動器的遲滯非線性特性，目前已經(jīng)有大量研究做出分析，這里對激勵信號的幅值、頻率、波形對致動器電壓-位移遲滯特性的影響展開介紹。對于不同幅值的激勵信號，壓電致動器遲滯曲線會隨激勵信號幅值改變，這意味著其電荷-電壓映射關(guān)系也會隨著信號幅值改變。圖5(a)給出了不同幅值的正弦波電壓激勵信號下的電荷-電壓映射關(guān)系，顯然其等效電容在不同幅值的信號下的變化情況是不同的。對于不同頻率的激勵信號，壓電致動器的遲滯曲線在頻率較低的一定頻段范圍內(nèi)相同，即表現(xiàn)出頻率無關(guān)性。這意味著低頻時在同樣波形信號的驅(qū)動下，壓電致動器的電荷-電壓映射關(guān)系不會隨頻率發(fā)生改變，如圖5(b)所示。此外，對于不同波形的激勵信號，在相同的輸入信號極值范圍內(nèi)壓電致動器的遲滯曲線是一致全等的，遲滯曲線與信號的具體波形無關(guān)，即一致性。圖5(c)給出了電壓驅(qū)動、電荷驅(qū)動下的相同幅值范圍的三角波、正弦波激勵信號時的電荷-電壓映射關(guān)系。

圖5 壓電致動器的Q-U 映射關(guān)系與激勵信號的關(guān)系。(a) 信號幅值；(b) 信號頻率；(c) 信號波形Fig.5 The relationship between Q-U mapping and excitation signal of PZA.(a) Signal amplitude;(b) Signal frequency;(c) Signal waveform

經(jīng)過以上對壓電致動器電壓-電荷映射關(guān)系的分析不難得出，盡管其映射關(guān)系在不同激勵信號下復(fù)雜多變，但電壓-電荷映射關(guān)系在某些情況下是相同的：低頻信號下同樣振幅信號的頻率、波形變化不會引起映射關(guān)系再次變化。因此，在實際使用時，在測得某激勵信號下壓電致動器電壓變化曲線與電荷變化曲線，并計算出二者映射關(guān)系與電容變化曲線Cp(t)后，能夠得到與該激勵信號相同極值范圍、不同頻率的激勵信號下的映射關(guān)系與電容變化曲線。

以正弦電荷激勵信號為例，當(dāng)給予壓電致動器5 Hz 的信號時，測得此時壓電致動器電壓變化曲線與電荷變化曲線，可得出二者映射關(guān)系與電容變化曲線Cp(t)，如圖6 所示。根據(jù)上述推論，在對5 Hz 信號下的等效電容進行擬合后，能夠直接推導(dǎo)出2 Hz、1 Hz 等頻率的同樣幅值的正弦激勵信號下的等效電容的擬合公式。而不再需要對這些信號過程中的電壓電荷變化進行實時測量，這大大簡化了等效電容的計算，對于推斷不同信號下的等效電容變化具有重要意義。

圖6 壓電致動器在正弦信號激勵下的(a)電壓-電荷映射關(guān)系及(b)等效電容變化情況Fig.6 (a) Voltage-charge mapping relationship and (b) equivalent capacitance variation of PZA under sinusoidal excitation

3.2 電荷驅(qū)動的壓電致動器位移響應(yīng)數(shù)學(xué)模型

式(3)給出了電荷驅(qū)動下壓電致動器的位移量L與輸入信號Vin間的傳遞函數(shù)，將其寫為時域表達式，如式(4)所示：

假設(shè)等效電容在某信號Vin(t)下的變化情況用多項式Cp(t)=at2+bt+c擬 合，將Cp的擬合函數(shù)代入式(4)，得到系統(tǒng)輸入信號Vin與壓電致動器位移響應(yīng)L間的一階微分方程數(shù)學(xué)模型，如式(5)所示：

圖2(b)中Qp是電荷放大器真正傳遞給壓電致動器的電荷量，是致動器存在失真現(xiàn)象的真實位移響應(yīng)的體現(xiàn)，而Qs是在輸入信號控制下期望通過反饋電容Cs傳遞給壓電致動器的電荷量，是致動器無失真理想位移響應(yīng)的體現(xiàn)，式(6)給出了系統(tǒng)輸入信號Vin與壓電致動器理想位移L′間的數(shù)學(xué)模型：

因此，在得知輸入信號Vin(t)及其等效電容變化曲線的擬合函數(shù)Cp(t)后，將其代入位移響應(yīng)模型式(5)與式(6)中，可解出對應(yīng)真實位移與理想位移響應(yīng)。對某壓電致動器在1 Hz 正弦信號激勵下得出的真實位移與理想位移響應(yīng)情況及二者線性度如圖7 所示。

圖7 (a) 壓電致動器的真實位移與理想位移響應(yīng)及(b)二者線性度Fig.7 (a) Real displacement and theoretical displacement response of PZA and (b) the linearity of both

4 實驗驗證

4.1 實驗系統(tǒng)

為了驗證以上關(guān)于壓電致動器等效電容變化理論推導(dǎo)的正確性，本節(jié)對電荷驅(qū)動下壓電致動器的位移響應(yīng)開展實驗，并與推導(dǎo)得出的位移響應(yīng)做對比。為此搭建圖8 所示實驗平臺，平臺可對放大器的輸入信號、壓電致動器位移響應(yīng)，以及放大器輸出電流精確采集，實驗平臺工作流程如下：位于上位機的信號發(fā)生平臺將控制信號經(jīng)數(shù)據(jù)采集卡1 發(fā)送給放大器，控制信號經(jīng)放大器放大后產(chǎn)生激勵信號給壓電致動器，再利用位移傳感器測得壓電致動器實時位移量，同時串聯(lián)電流采集電阻對放大器輸出電流進行超高速率采集，對電流數(shù)據(jù)在時間上積分得到對應(yīng)時間的電荷量。信號發(fā)生器的控制信號、電流采集電阻采集信號、位移傳感器的位移信號均由數(shù)據(jù)采集卡2 接收并將數(shù)據(jù)、波形存儲、顯示于上位機。

圖8 壓電致動器位移響應(yīng)實驗平臺框圖Fig.8 PZA displacement response experiment platform block diagram

實驗平臺實物圖如圖9 所示，平臺使用電壓放大器為PI E-508.00 放大器；電荷放大器為PI E-506.10模塊化電荷放大器，二者輸出電壓均可達100 V 以上，值得注意的是：E506.10 內(nèi)部的Rp=10Rs，一般每次在驅(qū)動不同的PZA 時都要替換與之小信號電容值成10 倍關(guān)系的反饋電容Cs；壓電致動器為PI P-840.6，可在0～100 V 的輸入電壓范圍內(nèi)輸出90 μm 最大行程；位移傳感器采用KEYENCE LK-H025&LK-HD500 激光式位移傳感器，精度可達0.001 μm；隔振平臺采用Minus K BM-8 被動隔振平臺，相較于傳統(tǒng)氣墊隔振性能提升10～100 倍；采集卡1 采用ART USB-2872A-D，采集卡2 采用KEYENCE NR-X100 采集模塊，二者最大采樣率均可達到1 MHz；電流采集電阻采用精度 1 Ω±0.01%、溫漂±5 PPM 的金屬箔電阻RJ711。

圖9 壓電致動器位移響應(yīng)實驗平臺實物圖Fig.9 Physical diagram of PZA displacement response experiment platform

4.2 實驗結(jié)果及分析

在上述實驗平臺中，用電荷放大器E506.10 對靜態(tài)電容10 μF 的P-840.6 壓電致動器進行驅(qū)動。對電荷放大器分別輸入峰值為5 V，頻率為5 Hz、2 Hz、1 Hz、0.5 Hz、0.2 Hz、0.1 Hz、0.05 Hz 的正弦波控制信號，以此得出真實位移響應(yīng)。同時，根據(jù)上文提供的電容變化規(guī)律，在測得5 Hz 的Q-U 映射關(guān)系及電容變化曲線Cp(t)后，以此為標(biāo)準(zhǔn)可直接推導(dǎo)出其它頻率的電容變化曲線，并將其代入位移響應(yīng)模型得出仿真位移響應(yīng)，之后根據(jù)各頻率信號所對應(yīng)位移響應(yīng)不難計算出實測與仿真線性度的具體值以及二者誤差。圖10 給出了對這些信號作用下壓電致動器位移響應(yīng)的實測位移與仿真位移，結(jié)果表明，隨著信號頻率的降低，壓電致動器理想位移與真實位移間的失真程度逐漸增大、位移響應(yīng)線性度逐漸變差，此時信號Vin與位移響應(yīng)L的線性關(guān)系越差，這與上文式(3)的表述相一致。圖11 給出了實測與仿真的線性度的對比，結(jié)果表明，仿真結(jié)果與實際測試結(jié)果能夠較好地擬合，二者最大偏差小于1.35%。受實驗系統(tǒng)中設(shè)備性能限制，如非接觸式位移傳感器長時間使用時產(chǎn)生的位移漂移誤差、電流采集后附帶的噪聲給電荷計算帶來的累計誤差等，這些在實驗中存在的誤差使實驗結(jié)果與仿真結(jié)果無法完美擬合，同時也為更低頻率下的仿真與實驗帶來了一定的困難。此外，盡管本文僅給出了針對某具體型號的壓電致動器在特定正弦激勵信號下的仿真與實驗結(jié)果，但得益于本文提出的位移響應(yīng)數(shù)學(xué)模型可靈活調(diào)節(jié)參數(shù)，該方法對電荷驅(qū)動的不同型號壓電致動器以及不同幅值、頻率的激勵信號下具有通用性。

圖10 電荷驅(qū)動的壓電致動器位移響應(yīng)線性度仿真與實測對比Fig.10 Comparison between simulation and measurement of linearity of displacement response of charge-driven PZA

圖11 不同信號下電荷驅(qū)動的壓電致動器位移響應(yīng)線性度仿真與實測對比Fig.11 Comparison between simulation and measurement of displacement response linearity of charge-driven PZA under different signals

5 總結(jié)與討論

本文提出一種等效電容量計算方法來定量分析壓電致動器在電荷驅(qū)動下的位移響應(yīng)特性，并通過數(shù)值模擬仿真和實驗驗證兩種方式驗證了計算方法的準(zhǔn)確性和可行性。結(jié)果表明：在使用5 V、0.05 Hz～5 Hz頻率正弦波信號控制的電荷放大器驅(qū)動某型號壓電致動器時，采用本文方法分析結(jié)果與實驗結(jié)果相比二者位移響應(yīng)最大偏差小于1.35%。受限于目前實驗設(shè)備性能的限制，本文研究的信號頻段范圍相較于空間引力波探測領(lǐng)域的1 mHz～1 Hz 還有一定差距，后續(xù)通過采用更高性能的實驗設(shè)備或重新設(shè)計電荷驅(qū)動電路等方法繼續(xù)探索電荷驅(qū)動下壓電致動器在更低頻率下的響應(yīng)情況，為空間引力波探測望遠(yuǎn)鏡超前瞄準(zhǔn)機構(gòu)的高精度指向控制提供可能的分析方法和實現(xiàn)途徑。