范子超，談 昊，莫 言，王海博，趙璐佳，冀慧茹，姜治渝，彭如意，付利平，馬冬林

1 華中科技大學 物理學院，湖北 武漢 430000；

2 華中科技大學 光學與電子信息學院和武漢光電國家實驗室，湖北 武漢 430000；

3 深圳華中科技大學研究院，廣東 深圳 518057；

4 中國科學院國家空間科學中心，北京 100190

1 引言

2015 年，地基引力波觀測站LIGO (Laser interferometer gravitational-wave observatory) 觀測到兩個黑洞合并時產(chǎn)生的引力波信號GW1501914，直接證明了引力波的存在[1]。地基的干涉引力波探測是臂長在千米尺度的邁克爾遜干涉儀，其靈敏度可以探測到雙中子星、中子星-黑洞以及雙黑洞等雙星系統(tǒng)產(chǎn)生的引力波，但是同時也能感知到地面上如地震和海洋涌動等的背景噪聲[2]。這類背景噪聲和地球引力場變化產(chǎn)生的重力梯度噪聲在1 Hz 以下的頻段占主導地位，導致了地基的引力波觀測站難以探測到1 Hz以下的低頻引力波信號，這是建造空間引力波觀測站的主要原因[3]。由于在宇宙空間中難以維持地面上的臂長穩(wěn)定性，目前正在進行的空間引力波探測項目，如LISA、DECIGO、天琴計劃、太極計劃，普遍采用外差干涉的方式進行探測[4-8]。這些正在計劃建設的空間引力波天文臺，都由三個獨立的航天器組成的等邊三角形編隊組成，其中天琴與其他計劃的不同之處在于采用地心而非日心軌道。激光干涉的長路徑測量發(fā)生在不同的航天器的光學平臺之間，每個航天器鏈路都需要一對望遠鏡來進行激光束的傳輸。

用于空間引力波探測的望遠鏡必須給另一個遙遠的航天器上的探測器提供有效的光功率，并且保證傳輸鏈路的光程穩(wěn)定，以滿足引力波探測科學項目對精密干涉測量的需求。與傳統(tǒng)的望遠鏡相比，另一個顯著的不同在于用于空間引力波探測的望遠鏡雙向工作，既發(fā)射本地光束向遠處的航天器，同時也接收來自遠處航天器的信號光。因此，這類望遠鏡的設計要求可以分為兩類。首先，應保證望遠鏡光程的穩(wěn)定性。望遠鏡系統(tǒng)應具有遠超衍射極限的波前畸變，以避免測量時引入額外的相位噪聲。此外，由于空間環(huán)境存在不可避免的視場抖動，抖動帶來的角度失調(diào)會引起測量相位的誤差，這種噪聲通常被稱為抖動光程耦合(TTL)噪聲[9-10]。在光學設計中，應盡量保證波前誤差的相位分布在捕獲視場內(nèi)平坦，以消除或者最小化視場抖動造成的光程長度讀數(shù)誤差[11]。其次，設計方案應盡量抑制望遠鏡系統(tǒng)內(nèi)部的雜散光。由于望遠鏡同時接收和發(fā)射光束，本地發(fā)射的激光光束在鏡面上反射時引起的背向雜散光會耦合到測量光束中，造成測量相位的誤差[12]。預期可容許的雜散光噪聲水平大致和遠處航天器上光電探測器接收到的信號光功率一致。盡管研究表明，光學鏡面上的一些特殊的鍍膜圖案可以在一定程度上抑制共軸方案中望遠鏡副鏡造成的背向雜散光，但現(xiàn)在望遠鏡設計仍然普遍采用工程化風險更小的離軸反射式結(jié)構(gòu)來避免背向雜散光[13-15]。

望遠鏡設計可以參考經(jīng)典的卡塞格林式的TMA(three-mirror anastigmat)結(jié)構(gòu)，其離軸性能好并且便于加工制造[16-20]。在設計引力波探測星載望遠鏡時，設計動機不同可能導致一些不同的選擇，大多數(shù)指標與常規(guī)的成像望遠鏡類似。LISA 項目從上個世紀90年代提出空間引力波探測的概念起，就開始了對星載望遠鏡系統(tǒng)的研究[21]，已經(jīng)公開了多代望遠鏡系統(tǒng)的設計方案，其中以TMA 為基礎的離軸四反方案為研究重點。類LISA 的空間引力波探測項目中望遠鏡的規(guī)格大多參考了其方案，各自根據(jù)項目需求提出了高性能的星載望遠鏡設計。除了離軸化的結(jié)構(gòu)，望遠鏡的光學設計中也逐漸探索出了抑制背向雜散光的方案。在望遠鏡的副鏡和三鏡之間通常設有中繼的像面，在像平面處設置視場光闌可以有效屏蔽視場外的部分雜散光。出于類似的考慮，望遠鏡系統(tǒng)設有實出瞳作為光學平臺上的接口，在出瞳位置上設置遮光光闌可以遮擋大部分科學視場外的雜散光。望遠鏡的發(fā)展與工藝水平相關[22]，研究顯示，目前工藝上可加工的鏡面表面質(zhì)量，可以保證背向雜散光水平滿足子系統(tǒng)的噪聲預算[23]。

盡管如此，望遠鏡系統(tǒng)的光學設計仍然具有改進的潛力，尤其是考慮到TTL 耦合噪聲的性能。在大口徑的望遠鏡設計中，抑制擾動在各個系統(tǒng)中都會涉及[24]，而LISA 項目組和太極團隊對光學設計中關于TTL 耦合噪聲的機理以及相關仿真平臺的建立進行了深入的研究。Schuster 等人基于等光程原理，在數(shù)值仿真的基礎上通過實驗證明了在光電探測器前設計光學成像系統(tǒng)可以抑制TTL 噪聲[11]。中國科學院長春光機所的王智團隊研究了望遠鏡不完美成像引起的波前退化對TTL 噪聲的影響，對不同RMS 值的波前誤差以及不同類型的像差進行了仿真測試[25-26]。Livas 等人提出，由于望遠鏡是一個無焦的光學系統(tǒng)，光瞳像差提供了關于有限遠的入瞳和出瞳之間光程穩(wěn)定性的更直接的描述。LISA 團隊發(fā)現(xiàn)未校正光瞳像差的系統(tǒng)中，追跡主光線得到的出瞳面上的足跡顯示出明顯的坐標偏移，導致實際測試中TTL 噪聲超過了預期值。LISA 望遠鏡的設計通過光瞳像差的校正進行了升級，減少了光線在出瞳面的坐標偏移，包括TTL耦合噪聲在內(nèi)的指標均達到了設計要求[27]。由此可見，以TTL 耦合噪聲或者光程穩(wěn)定性為主導的望遠鏡設計已經(jīng)成為系統(tǒng)升級的重要研究方向。

本文介紹了天琴計劃任務中關于望遠鏡光學系統(tǒng)設計方面的最新進展，重點討論了望遠鏡像差控制和TTL 耦合噪聲方面的重大挑戰(zhàn)。首先依次對望遠鏡設計指標進行了簡要回顧，對精密測量涉及到的波前質(zhì)量和光程穩(wěn)定性進行了重點分析。然后以澤尼克多項式擬合出瞳處不同相位分布，建立了望遠鏡像差與TTL 耦合噪聲的模型，并且強調(diào)了光瞳成像在此模型中的重要性。在幾何光學的框架下分析了光瞳像差的行為，結(jié)合初級像差理論以及光瞳像差理論完成了傍軸結(jié)構(gòu)的設計。在系統(tǒng)離軸化過程中，提出了主光線RMS 半徑的概念，用以在優(yōu)化過程中量化地評價高階光瞳像差的平衡。同時結(jié)合主光線散點圖，在光學設計軟件Zemax 中建立了較完整的光瞳像差優(yōu)化和可視化評價的工具。最后，通過數(shù)值仿真的方式分析了望遠鏡的設計殘余像差對光程穩(wěn)定性的影響，驗證了提出的設計方案的可行性。

2 望遠鏡設計規(guī)范與需求分析

天琴望遠鏡的設計規(guī)范如表1 所示，其中大多數(shù)指標與類LISA 項目相似，軌道的不同導致一些不同的設計選擇。天琴計劃的航天器計劃繞地球軌道運行，航天器組成邊長為17 萬千米的正三角形編隊。對于星載望遠鏡設計來說，溫度梯度引起的非旋轉(zhuǎn)對稱的離軸像差在以地球為中心的軌道上更受關注。波前質(zhì)量和穩(wěn)定性(光程穩(wěn)定性和雜散光穩(wěn)定性)與繞日軌道相比，必須進一步提高來應對熱穩(wěn)定性的退化。此外，望遠鏡之間的距離減小，意味著允許望遠鏡適當減小口徑，在保證收集到足夠的信號光功率的同時減輕望遠鏡的質(zhì)量。

表1 天琴望遠鏡的光學指標Table 1 Specifications of the TianQin telescope

望遠鏡的工作波長由干涉測量系統(tǒng)中使用的激光器決定，其中激光器的頻率穩(wěn)定性是一個重要的考慮因素。Nd: YAG 激光器為系統(tǒng)提供f0=c0/λ的初始頻率，再通過聲光調(diào)制獲得穩(wěn)定的外差頻率，其中c0為真空中的光速[28]。斯特列爾比是衡量能量傳遞效率的重要指標，通常以斯特列爾比大于0.8 作為光學系統(tǒng)滿足衍射極限的判據(jù)。單個測量鏈路的斯特列爾比大于0.9，那么在收發(fā)系統(tǒng)同時工作時則有S=0.92=0.81，滿足衍射極限的需求，此時對應的波前質(zhì)量為λ/20[29]。考慮到給光學平臺上的其他光學元件留有余量，望遠鏡子系統(tǒng)預分配的RMS 波像差大約為λ/40。設計殘余的RMS 波像差預算為λ/300，在1064 nm 的工作波長下大約為3.55 nm。捕獲視場是根據(jù)建立激光鏈路接收信標信號以獲取初始指向來設定的，和選擇的軌道以及捕獲時間有關。由于光速相對于航天器間十幾萬千米的臂長有限，因此工作時發(fā)射望遠鏡需要提前指向接收望遠鏡的位置?？茖W視場是指完成正?？茖W操作的角度，它必須能容忍提前指向角度在選擇軌道下的靜態(tài)偏移和動態(tài)變化的范圍[30]。入瞳直徑?jīng)Q定了望遠鏡遠場可接收區(qū)域的大小，因此必須保證接收望遠鏡收集到的激光功率能滿足探測靈敏度的要求。無焦的望遠鏡本質(zhì)上是一個大型的準直器，無焦放大倍率數(shù)值上等于系統(tǒng)入瞳和出瞳的比值，實際上主要受光學平臺接口處的尺寸影響。天琴系統(tǒng)中望遠鏡的背向雜散光預算與信號光功率有關，需要雜散光功率小于激光光源功率的10-10。望遠鏡的光程穩(wěn)定性與光程噪聲和指向精度有關，皮米量級的光程穩(wěn)定性需要大約0.025 nm/μrad 的TTL 噪聲水平[31]。

3 望遠鏡像差和TTL 耦合噪聲模型

3.1 望遠鏡的遠場相位

如圖1 所示，本地激光器發(fā)出的高斯光束經(jīng)過望遠鏡擴束后從本地的望遠鏡主鏡出射，傳播17 萬千米后被另一個望遠鏡主鏡接收，其中主鏡的半徑R為110 mm，激光器的波長為1064 nm[25]。

圖1 發(fā)射高斯光束的夫瑯禾費衍射模型Fig.1 Fraunhofer's diffraction model for transmitting Gaussian beam

高斯光束在主鏡出射時發(fā)生衍射，且滿足s?kR2/2的夫瑯禾費遠場近似條件，接收望遠鏡主鏡上的光場為

其中，E(ξ,η)為孔徑面Σ 處的光場，可以表示為

其中：k=2π/λ為波數(shù)，w0表示高斯 束腰半徑，表示高斯光束傳播到z處的光斑半徑為高斯光束的準直距離，高斯光束復參數(shù)q=(z-z0)+izr，E0為高斯光束振幅的常數(shù)因子。在束腰位置處基模高斯光束的相位為平面，其強度分布為

總功率P可以表示為

天琴任務中激光器發(fā)射的高斯光束的功率為1 W，因此對高斯光束的能量進行歸一化，利用式(3)和式(4)可以計算1 W 的高斯光束對應的常數(shù)因子En。能量歸一化后在Matlab 軟件中通過數(shù)值積分的方式得到遠場的波前分布。

圖2(a)和2(b)分別展示了無像差的理想狀態(tài)時接收面上的強度分布和相位分布，相位對應的光程誤差小于皮米量級。實際光學系統(tǒng)不完美成像會導致波前退化，此時的額外相位誤差可以表示exp(i2πΔW)。除了望遠鏡設計的殘余波前誤差，加工制造以及裝調(diào)的誤差水平預計大約為λ/40。通過隨機生成37 階澤尼克多項式系數(shù)，可以生成λ/40 水平下波前的波前分布，以及估計此波前誤差對遠場相位的影響。圖2(c)中給出了在孔徑面上利用澤尼克多項式生成的波前相位分布，圖2(d)展示了帶有波前誤差的遠場相位分布，結(jié)果顯示RMS 誤差減小到大約λ/182 的水平。遠場的相位誤差相比發(fā)射時變的平坦，更詳細的全系統(tǒng)的分析會在以后的工作中討論，在本文下面對光學系統(tǒng)的設計討論中，接收到的波前近似為平面波處理。

圖2 遠場波前。(a)衍射強度分布 ；(b)衍射相位分布；(c)生成的λ/40 波前誤差；(d)帶有λ/40 波前誤差的遠場相位分布Fig.2 Far-field wavefront.(a) The diffraction intensity distribution;(b) The diffraction phase distribution;(c) The generated phase with wavefront error of λ/40;(d) The diffraction phase distribution of the far field with wavefront error

3.2 望遠鏡像差與TTL 耦合噪聲

如圖3 所示，望遠鏡對接收到的遠場波前進行壓縮，并且以出瞳為接口出射到光學平臺上，與本地的參考光束進行干涉測量。由于在探測時只關心相位誤差導致的光程信號的變化，下面進行討論時假設忽略了振幅。望遠鏡接收到的測量光束的相位分布近似為平面波，假設測量光束沿著z軸方向傳播，其光場可以表示為

圖3 望遠鏡像差和TTL 耦合噪聲模型Fig.3 Modeling of wavefront aberration and TTL coupling noise

其中：w為頻率，?為初始相位。假設望遠鏡系統(tǒng)的波像差可以表示為ΔW，并且忽略光學平臺上其他光學元件的像差，平面波經(jīng)過望遠鏡系統(tǒng)后的場可以表示為

航天器的抖動使得對準時的角度出現(xiàn)失調(diào)，導致平面波的波前發(fā)生傾斜，測量光束在XOZ平面內(nèi)繞出瞳中心P點旋轉(zhuǎn)角度θ。如圖3 所示，z=0 的位置設置在光電二極管的平面，旋轉(zhuǎn)點P的位置矢量為

旋轉(zhuǎn)前任意位置的坐標點為：

經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，rplane在新的坐標系中位置矢量可以寫成：

其中，Mrot為繞y軸旋轉(zhuǎn)的矩陣：

傾斜傳播平面波的光場表達式可以通過坐標變換得到：

參考光束用基模高斯光束來描述更加合適，其電場表達式為

參考光束和測量光束之間的光程差信息包含在兩束光場的疊加項的復振幅中，通過對探測區(qū)域上的強度積分可以得到相位信息[9]：

復相位可以通過波數(shù)k轉(zhuǎn)化為光程信息：

望遠鏡的像差ΔW對TTL 耦合噪聲的影響可以通過光程信號對角度的靈敏度來評價，在仿真計算中通過光程對角度的微分來計算：

3.3 光瞳像差理論

天琴望遠鏡是一個無焦系統(tǒng)，相比像平面像差的無窮遠共軛成像，光瞳像差描述的共軛關系更適合此光學模型中的消除TTL 噪聲的設計目標。光瞳像差在這里更多地描述了不同光學系統(tǒng)間的共軛關系，保證整個系統(tǒng)精確的坐標對準。LISA 團隊認為光瞳像差造成的主光線在光瞳上的坐標偏移，導致了實際測試中TTL 噪聲超出了預期可控制的水平，因此提出了光瞳像差校正的概念，實際的仿真結(jié)果也表明，光瞳像差的平衡導致了TTL 噪聲的快速收斂。

光瞳像差概念一種便于理解的解釋為，光瞳成像是成像過程中交換了像差公式中邊緣射線和主射線的作用，即在光瞳成像的過程中，物平面和像平面為系統(tǒng)的“入瞳”和 “出瞳”，而原本的光瞳被認為是物和像[27]。圖4 顯示了光瞳成像的過程，光瞳像差可以理解為假設物放置在入瞳處時在出瞳處觀察到的像差。對于天琴望遠鏡這個典型的無焦系統(tǒng)來說，光瞳像差指導了光線在光瞳平面的坐標對準以及與光學平臺上其他子系統(tǒng)之間的耦合，在評價函數(shù)中加入對光瞳像差的限制顯然可以更準確地反映出用于精密測量的設計需求。此外，交換了特征光線的角色后，主光線決定成像位置，而邊緣光線決定成像高度。這種轉(zhuǎn)換關系表明只需要從熟知的像平面像差理論入手，再進行簡單的代數(shù)變換就可以得到光瞳像差的表達式。

圖4 光瞳成像過程中主光線和邊緣光線的作用Fig.4 Function of the chief ray and marginal ray in pupil imaging

賽德爾像差只和光學系統(tǒng)的近軸量有關，一般通過下面列出的公式計算[32]：

其中：帶橫杠表示與主光線相關的量，不帶橫杠表示與邊緣光線相關，y表示光線在表面上的高度，c表示當前表面的曲率，u為光線的孔徑角，n為介質(zhì)的折射率。Δ 符號表示在介質(zhì)表面折射(反射)前后的變化量，以Δ(u/n)為例，它可以表示為Δ(u/n)=u'/n'-u/n。A和分別定義為邊緣光線的折射不變量和主光線的折射不變量，可以寫成下面的方程：

L定義為光學系統(tǒng)的Lagrange 不變量，它的值可以通過下面的方程得到：

式(16)中，關于主光線和邊緣光線的量進行互換，便可以得到初級光瞳像差的描述：

顯然，光瞳像差的波前也可以寫成類似Hopkins關于像平面像差的波前級數(shù)展開式：

4 望遠鏡光學系統(tǒng)設計

4.1 望遠鏡初始結(jié)構(gòu)設計

光學設計的基本系統(tǒng)參數(shù)參照表1，此外為了保證制造和測試的便利性，望遠鏡(不包括機械支撐結(jié)構(gòu))的光學長度限制在400 mm 以內(nèi)。近軸的光學布局如圖5 所示。望遠鏡四鏡承擔的光焦度比較小，因此啟動的初始結(jié)構(gòu)可以認為是包含中繼像面的TMA設計，隨后在優(yōu)化過程中再逐漸將三鏡的光焦度分配到四鏡中。對于初始結(jié)構(gòu)建立詳細的描述，參考我們團隊之前TMA 設計的工作[18]，涉及到的初級像差計算公式在上一節(jié)中已經(jīng)給出。初始值設置為y1=110 mm，y′1=5 mm，t1=-500 mm，t3=350 mm。在此階段處理像差平衡問題時，除了式(16)～(18)中描述的像平面賽德爾像差，初級光瞳像差部分也作為評價函數(shù)在光學設計軟件Zemax 中進行優(yōu)化。José Sasián推導了基于近軸光線追跡的高階像差系數(shù)的代數(shù)表達式，并且公開了Zemax 中的宏擴展的代碼，可以分別輸出三階以及五階的光瞳像差系數(shù)[33]。使用ZPLM操作數(shù)將ZPL 宏返回的光瞳像差系數(shù)加入評價函數(shù)中，可以得到天琴望遠鏡的初始設計，如表2。

圖5 初始結(jié)構(gòu)的近軸光線追跡示意圖Fig.5 Schematic diagram of paraxial ray tracing of the initial design

表2 天琴望遠鏡的同軸初始結(jié)構(gòu)設計參數(shù)Table 2 Coaxial initial structure parameters of the TianQin telescope

4.2 光瞳像差評價

為了研究光瞳像差的行為，我們先回顧像平面像差的點列圖。不同的場(Hx,Hy)和光瞳坐標(Px,Py)下定義的光線，穿過假定的平面時的(x,y)坐標組成的光斑圖。一般選取與物共軛的像平面來進行觀察，橫向射線像差顯示為與參考點的偏差(εx,εy)[32]。這種關系可以擴展到光瞳像差的評價中，根據(jù)光瞳的定義，在理想的光學系統(tǒng)中主光線必然經(jīng)過光瞳中心。由此LISA 項目組的Livas 等人提出了主光線點列圖的概念，在全視場下追跡(Hx,Hy,Px=0,Py=0)的光線，得到主光線與出瞳平面相交的坐標，在二維平面上繪出的點列圖可以反應光瞳像差的水平。完美成像的系統(tǒng)不存在像差，所有的主光線匯聚成一點，而在非理想狀態(tài)下，光瞳像差帶來的坐標偏移會使得點列圖成為一個光斑。主光線點列圖的提出為研究光瞳像差的行為提供了有力的研究工具[27]。

進一步地，為了定量地分析光瞳像差的水平，我們提出了主光線RMS 半徑的概念。類似于像平面的RMS 半徑，主光線RMS 半徑定義為

其中：N代表采樣點個數(shù)，xi表示第i個采樣點在光瞳平面上的x坐標，yi為第i個采樣點在光瞳平面上的y坐標，帶橫杠的量表示為相應的算術(shù)平均值。盡管本質(zhì)上與主光線點列圖類似，但是RCRMS的提出為光學設計的優(yōu)化提供了一個合適的度量。采用ZPL宏或者是ZOS-API 的接口，可以通過編程將RCRMS加入到光學評價函數(shù)中，進而實現(xiàn)在設計中同時校正像平面像差以及光瞳像差。

4.3 離軸四反設計

為了滿足本設計中同時校正瞳孔和像面像差的要求，在設計過程中采用漸進式策略，非球面的數(shù)量以及采用的偶次非球面的階數(shù)逐漸增加?？烧{(diào)節(jié)的透鏡參數(shù)，包括表面曲率半徑、三鏡和四鏡的非球面系數(shù)、y方向的偏心量和x軸的傾斜角度作為優(yōu)化的變量。應盡可能保持波前的矢高分布均勻或者對稱，并在采樣視場的各個方向上穩(wěn)定，這可以有效地抑制由幾何波前誤差產(chǎn)生的TTL 耦合噪聲。在優(yōu)化過程中，通過RMS 波前誤差和光瞳像差來評價天琴望遠鏡的成像質(zhì)量，其中評價函數(shù)主要包括Zemax 生成的默認波前誤差、光學距離等邊界條件以及上節(jié)中描述的RCRMS。

經(jīng)過反復的優(yōu)化，可以得到最終的設計結(jié)果。圖6 顯示了最終的離軸設計的布局，其中包括三個視場下(-200 μrad、0、+200 μrad)的光線。主鏡是一個大口徑拋物面反射鏡，其他三個反射鏡的面型為偶數(shù)次非球面。在望遠鏡系統(tǒng)內(nèi)部的副鏡和三鏡之間，設置有一個中間像平面，使得視場外的雜散光可以被放置在焦平面上的光闌屏蔽。三鏡和四鏡將聚焦的激光束重新準直，并通過出瞳進入光學平臺，進入光學平臺的光束的寬度約為1.5 mm。基本結(jié)構(gòu)參數(shù)和偶階非球面系數(shù)詳見表3 和表4。

圖6 天琴望遠鏡設計的光學布局Fig.6 Optical layout of the TianQin telescope design

表3 離軸結(jié)構(gòu)設計參數(shù)Table 3 Fundamental parameters of final off-axial structures

表4 離軸結(jié)構(gòu)中的偶次非球面系數(shù)Table 4 Even-order aspheric coefficients of final off-axial structures

5 性能評價與分析

以捕獲視場作為參照，重點優(yōu)化的對象為科學視場內(nèi)的主光線。不同視場的波前誤差如圖7 所示，其顯示了在科學視場內(nèi)望遠鏡具有均勻的波前分布，并且RMS 波前誤差均小于λ/300，滿足分配的設計殘余像差的噪聲預算。圖8 中給出了一組不同視場的主光線與出瞳平面相交的位置，藍色圓圈表示科學視場中的主光線，紅色星號表示捕獲視場中的主射線。以質(zhì)心為參考，兩個視場下的RCRMS在圖中進行了展示。經(jīng)過計算，結(jié)果顯示RCRMS-S=0.4710 mm,RCRMS-A=0.0341 mm，其中下標S 和A 分別表示科學視場和捕獲視場。我們之前提出的天琴的初步設計中[34]，光瞳像差沒有被特別地考慮，捕獲視場下RCRMS=0.729 mm。對比可以看出，光瞳像差得到了很好的校正，提出的光瞳像差的優(yōu)化設計方法的有效性得到了驗證，同時維持了像平面的高質(zhì)量成像。

圖7 望遠鏡科學視場的波前誤差Fig.7 Wavefront error over the scientific field of view

圖8 出瞳位置的主光線點列圖Fig.8 Chief ray spot diagram in the exit pupil

此外，我們使用前37 階澤尼克多項式擬合了出瞳處波前的相位分布，用來對望遠鏡的TTL 噪聲進行數(shù)值仿真。表5 中給出了Zernike Fringe 多項式的形式以及對應的多項式的系數(shù)，系數(shù)包括了設計的殘余誤差以及系統(tǒng)公差分配的結(jié)果[35]。式(6)中的波前誤差ΔW可以用下面的多項式表示：

表5 波前誤差Zernike Fringe 展開式Table 5 Wavefront error in the form of Zernike Fringe series expansion

利用式(6)～(15)和式(22)，在半徑為5 mm 的圓形探測區(qū)域進行數(shù)值積分，得到光程信號隨傾斜角度的變化曲線(圖9)，對光程信號進行微分可以得到此信號對抖動角度的敏感度，結(jié)果顯示在±300 μrad 的范圍內(nèi)最大的TTL 噪聲約為0.0144 nm/μrad，滿足對光程穩(wěn)定性的要求。盡管結(jié)果只研究了幾何像差的影響，仍然可以看出系統(tǒng)的性能得到提升，對于全鏈路系統(tǒng)層級的物理光學性能仿真將會在未來的工作中進行探究。

圖9 光程信號斜率隨傾斜角度的變化曲線Fig.9 Curve of slope of pathlength signal with tilt angle

6 結(jié)論

在本文中，我們介紹了天琴計劃近期在空間引力波探測望遠鏡設計方面取得的最新進展，重點包括在望遠鏡的波前誤差控制、光瞳成像行為以及光程穩(wěn)定性等方面的研究。在望遠鏡設計時除了考慮到干涉測量超低波前畸變的需求，還對光瞳像差概念進行了討論，進而對像差和TTL 耦合噪聲的關系得到更深入的理解。在研究光瞳像差時，我們從像平面像差入手通過坐標變換推導了初級光瞳像差的表達式，并且通過宏編程開發(fā)了在光學設計軟件中校正光瞳像差的工具，成功地實現(xiàn)了望遠鏡的設計。結(jié)果顯示，望遠鏡的波前誤差遠遠超過衍射極限，光瞳像差和TTL 噪聲的性能相比原有設計均得到了有效的提升。無論是在天琴計劃還是其他類LISA 的空間引力波探測項目中，這種同時校正像平面像差和光瞳像差的自動化工具，未來在其他領域也具有一定的指導意義。

盡管目前的參考望遠鏡設計在概念性的分析和仿真實驗上初步表明了諸多需求已經(jīng)得到了滿足，但后續(xù)仍然有許多問題需要探索。望遠鏡的性能有進一步提升的可能，迅速發(fā)展自由曲面的制造和加工給望遠鏡設計提供了更多選擇。自由曲面提供的自由度很可能提升現(xiàn)有望遠鏡的成像質(zhì)量，無論是接收模式還是發(fā)射模式中信號光波前的退化和畸變也會降低，這必然會使得在外差干涉測量中的光程信號讀數(shù)更準確。隨著加工制造以及自由曲面公差分析理論的成熟，未來包含自由曲面的天琴望遠鏡設計會成為具有潛力的方向。除了望遠鏡本體，子系統(tǒng)中望遠鏡的機械支撐結(jié)構(gòu)設計、望遠鏡雜散光遮光設計、望遠鏡材料以及熱分析等方面均面臨選擇和挑戰(zhàn)。望遠鏡作為精密干涉測量的組成部分，未來的工作中需要對望遠鏡系統(tǒng)與干涉儀之間的耦合效應進行探索，以干涉測量為目標指導望遠鏡的設計。更深入的研究可能需要對部分甚至整個干涉測量鏈路進行系統(tǒng)層級的物理仿真平臺的搭建，用來精準地反映望遠鏡在仿真測試中的性能，降低工程化的風險，保證實際制造的望遠鏡以預期的性能工作。更進一步地，我們希望未來制造以及安裝一個基本滿足任務需求的原型望遠鏡，以驗證設計的可工程化性能并且進行地面上的基本性能的測試。

致 謝

感謝華中科技大學光學與電子信息學院魏詩力博士在本工作中給與的幫助。