張?jiān)藕?，鐘哲?qiáng)，張 彬

四川大學(xué)電子信息學(xué)院，四川 成都 610065

1 引言

空間引力波探測通過三星之間激光傳輸并對(duì)其進(jìn)行干涉測量來探測引力波大小，而激光傳輸涉及星載望遠(yuǎn)鏡的發(fā)射和接收[1-3]。在此過程中，視場內(nèi)雜散光主要來源于引力波探測系統(tǒng)中超光滑光學(xué)元件(表面粗糙度小于1 nm[4])表面的粗糙度、表面疵病、表面污染等帶來的殘余反射、散射和衍射，以及結(jié)構(gòu)件的表面散射。雜散光在引力波探測系統(tǒng)內(nèi)部以非正常路徑傳輸形成光噪聲[5-8]，可以通過降低反射鏡粗糙度來降低表面散射率，進(jìn)而減弱后向散射雜光對(duì)引力波探測性能造成影響。模擬分析表明要滿足設(shè)計(jì)要求，望遠(yuǎn)鏡后向散射需達(dá)到10-10以下[2]。因此，對(duì)引力波探測系統(tǒng)中超光滑光學(xué)元件表面散射特性進(jìn)行準(zhǔn)確、快速分析和預(yù)測，可為空間引力波探測系統(tǒng)雜散光分析及抑制，進(jìn)而為星載望遠(yuǎn)鏡的優(yōu)化提供參考。

經(jīng)典Rayleigh-Rice (RR)表面散射理論為超光滑光學(xué)元件的散射特性分析提供了嚴(yán)格的矢量模型，適用于大入射角和散射角，已廣泛用于清潔、光滑和超光滑表面[9-12]。然而，該理論涉及復(fù)雜的矢量計(jì)算，不利于超光滑光學(xué)元件散射特性的準(zhǔn)確、快速分析和預(yù)測。1963 年，Beckmann 等人發(fā)展了經(jīng)典Beckmann-Kirchhoff (BK)表面標(biāo)量散射理論，可避免復(fù)雜的矢量模型計(jì)算問題，但僅適用于較粗糙的光學(xué)元件，且采用了近軸或小角度近似[13]。Harvey 在BK表面標(biāo)量散射理論基礎(chǔ)上，發(fā)展并提出了Modified Beckmann-Kirchhoff (MBK)標(biāo)量散射理論，但MBK理論僅適用于高斯統(tǒng)計(jì)分布的表面散射[14-15]。1976 年，Harvey 和Shack 提出了Harvey-Shack (HS)標(biāo)量散射理論，即描述表面散射特性的線性系統(tǒng)公式，但同樣僅對(duì)近軸或小角度近似成立[16-17]。1999 年，Krywonos和Harvey 進(jìn)一步將衍射輻射描述為定向余弦空間中具有平移不變特性的基本量，進(jìn)而基于非傍軸標(biāo)量衍射理論的線性系統(tǒng)公式，發(fā)展了一套既適用于光滑表面又適用于粗糙表面的非傍軸標(biāo)量散射理論[18-19]。然而，在利用該理論進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，針對(duì)每個(gè)散射角都需要運(yùn)用不同的傅里葉變換，不可避免地會(huì)花費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間，也不利于空間引力波探測系統(tǒng)中超光滑光學(xué)元件散射特性的準(zhǔn)確、快速分析。

為實(shí)現(xiàn)對(duì)超光滑光學(xué)元件表面散射特性的快速、準(zhǔn)確分析與預(yù)測，本文發(fā)展了一種非傍軸標(biāo)量散射模型Generalized Beckmann-Kirchhoff (GBK)。通過將MBK 模型與HS 模型進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)MBK 模型在表面光滑條件下的封閉解中隱含著表面統(tǒng)計(jì)參量表面功率譜密度(PSD)函數(shù)，進(jìn)而從MBK 模型中提取出相應(yīng)的PSD 函數(shù)，并以RR 矢量散射模型的數(shù)值計(jì)算結(jié)果為參考，通過數(shù)值擬合給出了適用于超光滑表面的GBK 非傍軸標(biāo)量散射公式。在此基礎(chǔ)上，計(jì)算分析了P 偏振光和S 偏振光入射條件下，角分辨散射(ARS)分布隨入射角度、散射角度及散射方位角的變化規(guī)律，并針對(duì)常見加工工藝導(dǎo)致的不同表面統(tǒng)計(jì)分布情況，討論了不同入射角度、散射方位角、自相關(guān)長度、斜率、截止頻率和表面粗糙度等因素對(duì)ARS分布的影響。

在空間引力波探測的星載望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)中，科學(xué)視場分“面內(nèi)”和“面外”科學(xué)視場?！懊鎯?nèi)”是指平行于衛(wèi)星組成的三角形的平面，相對(duì)于黃道平面傾斜60°；“面外”指垂直于三角形的平面。為了能夠適應(yīng)正常科學(xué)操作中可能遇到的角度的變化范圍，引力波望遠(yuǎn)鏡在科學(xué)模式下“面內(nèi)”的視場角為±4.2 μrad，“面外”的視場角為±7 μrad。該視場角的大小近乎0°視場角，GBK 散射模型必然是適用的。

2 GBK 表面散射模型

Beckmann 以Helmholtz-Kirchhoff 衍射積分為基礎(chǔ)，發(fā)展了Beckmann-Kirchhoff 標(biāo)量散射理論[13]。它所含的假設(shè)有：1)表面粗糙度均方根偏差σs遠(yuǎn)小于入射光波長λ；2)表面粗糙度的斜率遠(yuǎn)小于1，自相關(guān)長度遠(yuǎn)大于入射波長。

圖1 描述了Nicodemus 將BRDF 定義為被入射輻照度歸一化的散射輻射時(shí)所涉及的散射幾何關(guān)系[20]。假定表面S的輪廓由隨機(jī)函數(shù)h(x,y)描述，其均值為0，dPi為入射光，dPs為出射光，θi為入射角，θs為散射角，φi為入射方位角，φs為散射方位角。

圖1 隨機(jī)超光滑表面散射示意圖Fig.1 Scattering diagram of the random ultra-smooth surface

假設(shè)表面微觀形貌統(tǒng)計(jì)符合高斯分布，Beckmann 給出了散射光強(qiáng)分布表達(dá)式[21]：

式中：lc定義為自相關(guān)函數(shù)(ACV)在1/e 高度處的半寬度，即表面自相關(guān)長度；Ai為散射表面的照射面積；F是幾何因子，定義為入射角和散射角的函數(shù)[22]；ρ為貝克曼定義的一個(gè)無因次量，稱之為散射系數(shù)；函數(shù)g是表面粗糙度引入的相位變化的度量，表達(dá)式如下：

若g＜＜ 1，則該表面表示為光滑表面，僅需使用式(1)中級(jí)數(shù)的第一項(xiàng)，若粗糙度為1 nm，波長為1064 nm，入射角和散射均為0°，則g為1.395×10-4，此條件代表超光滑表面。如果g＞＞ 1，則該表面表示為非常粗糙表面，式(1)中的級(jí)數(shù)收斂速度很慢，vxy描述粗糙表面xy平面內(nèi)的位置向量。

由于BK 模型不適用于大入射角和散射角的表面散射特性分析[21]，Harvey 在BK 模型的基礎(chǔ)上發(fā)展了MBK 標(biāo)量散射模型，并提出了以下修正[22]：1)忽略幾何因子F2；2)D{ρ}不再表示平均散射能量，而表示衍射輻射亮度L；3)引入歸一化因子KMBK，其定義為：

式中：α=sinθscosφs，β=sinθssinφs。

經(jīng)過繁雜的推導(dǎo)和變換運(yùn)算，可得到散射面的雙向反射分布函數(shù)(BRDF)[21]：

式中，λ為光波長；無量綱量Q是與偏振相關(guān)的表面反射率。

由于常規(guī)加工工藝可能存在多種不同的表面微觀形貌統(tǒng)計(jì)分布情況，而MBK 標(biāo)量散射模型僅適用于高斯統(tǒng)計(jì)分布，因而需進(jìn)一步修正MBK 標(biāo)量散射模型。通過將MBK 模型與HS 模型進(jìn)行比較，我們發(fā)現(xiàn)MBK 模型在光滑表面條件下的封閉解中隱含著表面統(tǒng)計(jì)參量PSD 函數(shù)(PSD 函數(shù)是一個(gè)具有綜合分析意義的概率統(tǒng)計(jì)函數(shù)，定義為表面輪廓函數(shù)傅里葉變換的平方)，進(jìn)而從MBK 模型中提取出相應(yīng)的PSD函數(shù)，并將其修正為

式中：PSDm是自相關(guān)長度為=lc/m1/2的表面相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，m為收斂級(jí)數(shù)，選取與粗糙度的大小有關(guān)(隨粗糙度的增大，收斂級(jí)數(shù)的選取越多)。grel可以表示為

式中：n1和n2分別為入射介質(zhì)和出射介質(zhì)的折射率；σrel定義為對(duì)應(yīng)的表面粗糙度，取表面相關(guān)部分PSD下體積的平方根即可得到其表達(dá)式 ：

式中：fc為截止頻率，fx和fy分別代表x和y方向的樣本空間頻率，表示為

由于式(5)中的歸一化因子KGBK的表達(dá)與計(jì)算較為復(fù)雜，不利于超光滑光學(xué)元件表面散射特性的快速分析，因而以RR 矢量散射模型的數(shù)值計(jì)算結(jié)果為參考(保證準(zhǔn)確性)，通過數(shù)值擬合的方式對(duì)其進(jìn)行簡化(提高計(jì)算效率)。經(jīng)過大量的模擬計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)在入射角度、自相關(guān)長度、表面粗糙度以及入射光波長等眾多散射影響因素中，表面粗糙度和入射光波長是影響ARS 分布的主要因素。利用數(shù)值擬合方法可將歸一化因子KGBK修正為擬合因子，KGBK表示為

進(jìn)一步將式 (9)代入式(5)，即可得到我們提出的GBK 標(biāo)量散射模型表達(dá)式：

值得指出的是，與MBK 散射模型相比，GBK 散射模型中進(jìn)一步采用了表面統(tǒng)計(jì)參量PSD 函數(shù)，不再依賴于特定的表面統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)類型。因此，可運(yùn)用GBK 散射模型，對(duì)具有高斯、分形和柯西-洛倫茲統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)等多種典型表面微觀形貌的超光滑光學(xué)元件表面散射特性進(jìn)行定量分析。

在高斯統(tǒng)計(jì)分布情況下，分析了GBK 散射模型和RR 散射模型的ARS 分布情況。對(duì)于具有高斯統(tǒng)計(jì)分布的隨機(jī)超光滑表面，PSD 函數(shù)可以表示為

由式(11)可知，具有高斯分布的超光滑表面可以用表面粗糙度和自相關(guān)長度來表征。如果波長λ=1.064 μm 的光以θi的入射角從空氣入射到折射率為ns=1.5 的樣品表面，散射光分布主要受表面粗糙度σs、自相關(guān)長度lc和入射角θi的影響，如圖2 所示。

圖2 不同條件下角分辨散射分布。(a)不同表面粗糙度；(b)不同入射角度；(c)不同自相關(guān)長度Fig.2 Distributions of angle resolved scattering under different conditions.(a) Different surface roughness;(b) Different incidence angles;(c) Different autocorrelation lengths

圖2(a)表示不同表面粗糙度下RR 模型和GBK散射模型的ARS 分布對(duì)比；圖2(b)表示不同入射角度下RR 模型和GBK 散射模型的ARS 分布對(duì)比；圖2(c)表示不同自相關(guān)長度下RR 模型和GBK 散射模型的ARS 分布對(duì)比。對(duì)比分析可知，GBK 模型和RR 模型的ARS 分布情況高度一致，從而驗(yàn)證了GBK 模型的準(zhǔn)確性。

此外，為進(jìn)一步分析P 偏振光和S 偏振光入射條件下超光滑光學(xué)元件的表面散射特性，對(duì)于不同偏振光源和接收不同偏振光的傳感器，Qss代表S 偏振光與S 偏振傳感器條件下的表面反射率，Qsp代表S 偏振光與P 偏振傳感器條件下的表面反射率，Qps代表P 偏振光與S 偏振傳感器條件下的表面反射率，Qpp代表P 偏振光與P 偏振傳感器條件下的表面反射率，分別為[23-24]：

式中，ε=n2/n1是界面的相對(duì)介電常數(shù)。

對(duì)于非偏振入射光，且傳感器無偏振判別的情況，Q參數(shù)可表示為

3 超光滑光學(xué)元件散射特性分析

3.1 偏振特性分析

空間引力波探測系統(tǒng)中的干涉儀常采用平衡的正交四象限檢測方案來檢測相位信號(hào)，在發(fā)射光路中，由頻率穩(wěn)定激光器發(fā)出的光束通過偏振分束器分成兩束，其中一束用作本地參考光束(偏振狀態(tài)為S 偏振)，另一束形成出射光束(偏振狀態(tài)為P 偏振)[25]。因此，有必要分析超光滑光學(xué)元件表面的偏振散射特性(包含偏振和位相變化等)。采用Stokes[26]參量-Mueller[27]矩陣可將ARS 分布函數(shù)推導(dǎo)變換為偏振ARS 分布函數(shù)，根據(jù)推導(dǎo)的偏振角分辨散射分布函數(shù)可以獲取不同偏振狀態(tài)下的散射特性。

3.1.1 各向同性表面偏振散射特性

對(duì)于各向同性的光學(xué)元件表面，其散射方位角為0°。因此，對(duì)于各向同性偏振反射率而言，Qsp和Qps的值為0，即散射分布中不存在交叉偏振光。若入射光為S 偏振光，散射光同樣為S 偏振光；若入射光為P 偏振光，散射光同樣為P 偏振光。在利用GBK 散射模型進(jìn)行模擬仿真時(shí)，超光滑元件表面初始參數(shù)為：入射波長λ=1064 nm，表面統(tǒng)計(jì)分布服從高斯分布，折射率n=1.5，表面粗糙度σs=0.1 nm，自相關(guān)長度lc=2000 nm。圖3 給出了在不同的入射角度下，各向同性超光滑光學(xué)元件表面的偏振散射特性。

圖3 各向同性光學(xué)元件偏振ARS 與散射角之間的關(guān)系。(a) S 光的偏振散射特性；(b) P 光的偏振散射特性Fig.3 Relationships between polarization ARS and scattering angles of isotropic optical elements.(a) Scattering characteristics of S-polarization light;(b) Scattering characteristics of P-polarization light

從圖3(a)可以看出，隨著入射角度的增大，S 偏振的ARS 峰值減少，但是散射角分布寬度變寬；其中，散射峰值(在適用范圍內(nèi))是在散射角等于入射角處獲得。從圖3(b)可知，隨著入射角度的增大，P 偏振的ARS 峰值先減小后增大，但其散射角分布寬度基本不變。特別地，當(dāng)入射角度為56.3°時(shí)，ARS 值為0，這是由于布儒斯特角入射條件下P 光反射系數(shù)為0。當(dāng)入射角較大時(shí)，S 光散射峰值位置并不在反射角位置處，這是由于自相關(guān)長度和波長比值大小的影響(比值越大，峰值偏離越小)。

3.1.2 散射方位角對(duì)偏振散射特性的影響

對(duì)于各向同性的光學(xué)元件表面，其交叉偏振反射率為0，散射方位角度對(duì)散射特性沒有影響。然而，對(duì)于各向異性的光學(xué)元件表面而言，其散射方位角對(duì)偏振的影響特性較大。為分析在不同的散射方位角下，各向異性超光滑光學(xué)元件表面的偏振散射特性，超光滑元表面初始參數(shù)為：n=1.5，σs=0.1 nm，lc=600 nm，θi=θs=40°，散射方位角的變化范圍為0°～180°，如圖4 所示。

圖4 四種偏振狀態(tài)下，偏振ARS 與散射方位角之間的關(guān)系。(a) 平行偏振；(b) 交叉偏振Fig.4 Relationships between polarization ARS and scattering azimuth angles in four polarization states.(a) Parallel polarization;(b) Cross polarization

從圖4(a)可以看出，隨著散射方位角的增大，各向異性超光滑光學(xué)元件表面的ARSpp和ARSss均先減小后增大，最后趨于穩(wěn)定。當(dāng)散射方位角增大到與入射角相等的時(shí)候，ARSpp取得最小值；當(dāng)散射方位角為90°時(shí)，ARSss取得最小值。圖4(b)則表明，對(duì)于S 偏振光產(chǎn)生的P 偏振散射光，以及P 偏振光產(chǎn)生S 偏振散射光而言，ARSsp和ARSps分布幾乎相同。這是由于對(duì)于同一超光滑光學(xué)元件，其表面粗糙度和自相關(guān)長度相同，致使偏振反射率Qsp、Qps也相同。隨著散射方位角的增大，交叉偏振ARSsp、ARSps均先增大后減小，且當(dāng)散射方位角等于入射角度時(shí)為極大值。

3.1.3 入射角度對(duì)偏振散射特性的影響

為分析在不同的入射角下，各向異性超光滑光學(xué)元件表面的偏振散射特性，超光滑元件表面初始參數(shù)為[29]：θs=45°，λ=1064 nm，n=1.5，σs=0.1 nm，lc=600 nm，如圖5 所示。

圖5 不同入射角度下，偏振ARS 與散射方位角的關(guān)系。(a) θi=15°；(b) θi=30°；(c) θi=45°；(d) θi=60°Fig.5 Relationships between polarization ARS and scattering azimuth angles at different incident angles.(a) θi=15°;(b) θi=30°;(c) θi=45°;(d) θi=60°

由圖5(a-d)可知，在不同的入射角度下，隨著散射方位角的增大，ARSsp和ARSps的變化趨勢是一的。當(dāng)散射方位角等于散射角時(shí)，ARSsp和ARSps都達(dá)到峰值，這是因?yàn)榻徊嫫裆⑸浞瓷渎时磉_(dá)式相同。然而，ARSpp和 ARSss在不同入射角下分布差異明顯，存在特定的散射散方位角使得ARSpp和ARSss的值低于1×10-12。當(dāng)散射方位角增大到與入射角相等的時(shí)候，ARSpp均取得最小值；而當(dāng)散射方位角為90°時(shí)，ARSss均取得最小值。

總的來說，P 偏振光的偏振散射變化遠(yuǎn)大于S 偏振光的偏振散射，因而在引力波探測系統(tǒng)中，若采用P 偏振光，則應(yīng)特別關(guān)注P 偏振光的偏振散射特性。

3.2 表面粗糙度統(tǒng)計(jì)特征對(duì)散射特性的影響

針對(duì)常見加工工藝導(dǎo)致的不同表面統(tǒng)計(jì)分布情況，討論了不同入射角度、散射方位角、自相關(guān)長度、斜率、截止頻率和表面粗糙度等因素對(duì)超光滑光學(xué)元件ARS 分布的影響。

3.2.1 高斯統(tǒng)計(jì)分布

超光滑光學(xué)元件的表面經(jīng)過精細(xì)磨削、拋光、電解拋光等工藝后，其表面高度分布往往會(huì)趨于高斯統(tǒng)計(jì)分布，相應(yīng)的PSD 函數(shù)表達(dá)式為[30]

式中：PSDGS是高斯統(tǒng)計(jì)分布條件下的二維表面功率譜密度函數(shù)，fx和fy表示超光滑光學(xué)元件表面的空間頻率。

分析式(14)可知，影響PSDGS的主要參數(shù)有入射角度、散射方位角、自相關(guān)長度和表面粗糙度等。在利用GBK 散射模型分析高斯統(tǒng)計(jì)分布參數(shù)對(duì)ARS影響時(shí)，超光滑元件表面初始參數(shù)為[22-30]：n=1.5，λ=1064 nm，θi=20°，φs=0°，lc=2000 nm，σs=0.1 nm，如圖6 所示。

圖6 在高斯統(tǒng)計(jì)分布下，ARS 與四種不同參數(shù)的關(guān)系。(a) 入射角度；(b) 散射方位角；(c) 自相關(guān)長度；(d) 表面粗糙度Fig.6 Relationships between ARS and four different parameters under the Gaussian statistical distribution.(a) Incidence angle;(b) Scattering azimuth angle;(c) Autocorrelation length;(d) Surface roughness

從圖6(a) 可以看出，隨著入射角的增大，ARS峰值減小，其分布寬度變寬；當(dāng)入射角等于散射角時(shí)，ARS 取得峰值。從圖6(b)可知，隨著散射方位角的增大，ARS 峰值和分布寬度均減小，且其峰值向更小的散射角偏離(與ARSpp和ARSss的變化規(guī)律類似)。由圖6(c)可知，隨著自相關(guān)長度的增大，ARS 峰值增大，且ARS 分布寬度變窄。圖6(d)表明，隨著表面粗糙度的減小，ARS 的峰值快速降低，ARS 分布的寬度相應(yīng)變窄。

3.2.2 分形統(tǒng)計(jì)分布

分形統(tǒng)計(jì)分布通常描述具有復(fù)雜粗糙度結(jié)構(gòu)的表面，這些表面在不同尺度下均呈現(xiàn)出相似的形態(tài)，即局部特征與整體結(jié)構(gòu)之間存在相似性。呈分形統(tǒng)計(jì)分布的超光滑表面可采用abc 模型描述，其二維功率譜密度函數(shù)可表示為[30]

式中：a、b和c是無量綱常數(shù)，在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中，a為低頻時(shí)光譜功率密度的大小，1/b為發(fā)生“滾降”的空間頻率，它與表面形貌的表面空間波長(也稱為自相關(guān)長度)成正比，c為空間頻率大于1/b時(shí)光譜功率密度的斜率。具有分形統(tǒng)計(jì)分布表面的自相關(guān)函數(shù)表達(dá)式為：

式中：B 表示第二類修正Bessel 函數(shù)，Γ為Gamma函數(shù)。

分析式(15)可知，分形統(tǒng)計(jì)分布可由參量a、b和c來描述，影響PSDFD函數(shù)的主要參數(shù)包括入射角、散射方位角、斜率、表面粗糙度。在利用GBK 散射模型分析分形統(tǒng)計(jì)分布參數(shù)對(duì)ARS 影響時(shí)，超光滑元件表面初始參數(shù)為：n=1.5，λ=1064 nm，θi=20°，φs=0°，σs=0.1 nm，b=10，c=2.8，a參數(shù)可用b、c以及表面粗糙度來確定，如圖7 所示。

圖7 在分形統(tǒng)計(jì)分布下ARS 與四種不同參數(shù)的關(guān)系。(a) 入射角度；(b) 散射方位角；(c) 斜率；(d) 表面粗糙度Fig.7 Relationships between ARS and four different parameters under the fractal statistical distribution.(a) Incidence angle;(b) Scattering azimuth angle;(c) Slope;(d) Surface roughness

從圖7(a) 可以看出，隨著入射角的增大，ARS峰值減小，ARS 分布寬度變寬；當(dāng)入射角等于散射角時(shí)，ARS 取得峰值。從圖7(b)可知，隨著散射方位角的增大，ARS 峰值和分布寬度均減小，且其峰值向更小的散射角偏離(與ARSpp和ARSss的變化規(guī)律類似)。由圖7(c)可知，隨著斜率的增大，ARS 峰值增大，且ARS 分布寬度變窄。圖7(d)表明，隨著表面粗糙度的減小，ARS 的峰值快速降低，且ARS分布的寬度相應(yīng)變窄。

3.2.3 柯西-洛倫茲統(tǒng)計(jì)分布

柯西-洛倫茲統(tǒng)計(jì)分布通常與一些特殊的加工工藝和技術(shù)相關(guān)[28]，尤其是光學(xué)薄膜制備。柯西-洛倫茲統(tǒng)計(jì)分布是一個(gè)重尾分布，其特點(diǎn)是在分布的尾部出現(xiàn)較慢的衰減，與高斯分布的快速衰減相比，柯西-洛倫茲統(tǒng)計(jì)分布的尾部擴(kuò)展得更遠(yuǎn)?？挛?洛倫茲統(tǒng)計(jì)分布對(duì)應(yīng)的二維功率譜密度表達(dá)式為

式中：a為無量綱常數(shù)，在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中，a為低頻時(shí)光譜功率密度的大小，與分形統(tǒng)計(jì)分布一致，參數(shù)a可采用b、c和表面粗糙度表示；fc是截止頻率。

分析式(17)可知，影響PSDKX函數(shù)的參數(shù)主要有入射角、散射方位角、截止頻率、表面粗糙度等。在利用GBK 散射模型分析柯西-洛倫茲統(tǒng)計(jì)分布參數(shù)對(duì)ARS 影響時(shí)，超光滑元件表面初始參數(shù)為：n=1.5，λ=1064 nm，θi=20°，φs=0°，fc=10-3μm-1，σs=1 nm，b=10，c=2.8，如圖8 所示。

圖8 在柯西-洛倫茲統(tǒng)計(jì)分布下，ARS 與四種不同參數(shù)的關(guān)系。(a) 入射角度；(b) 散射方位角；(c) 截止頻率；(d) 表面粗糙度Fig.8 Relationships between ARS and four different parameters under the Cauchy-Lorenz statistical distribution.(a) Incidence angle;(b) Scattering azimuth angle;(c) Cut-off frequency;(d) Surface roughness

從圖8(a)可以看出，隨著入射角的增大，ARS峰值存在明顯的漲落，ARS 分布寬度不變；當(dāng)入射角等于散射角時(shí)，ARS 取得峰值。分析圖8(b)可知，隨著散射方位角的增大，ARS 峰值減小，但ARS 分布寬度變寬，且其峰值向更小的散射角偏離(與ARSpp和ARSss的變化規(guī)律類似)。由圖8(c)可知，隨著截止頻率的減小，ARS 峰值減小，ARS 分布寬度變窄。圖8(d)表明，隨著表面粗糙度的減小，ARS的峰值減小，且ARS 分布的寬度相應(yīng)變窄。

在引力波探測系統(tǒng)中，超光滑光學(xué)元件的表面微觀形貌統(tǒng)計(jì)分布特性與其加工使用的高精度工具、材料選擇、拋光參數(shù)的優(yōu)化以及表面處理工藝等密切相關(guān)，而具有不同微觀表面統(tǒng)計(jì)分布的超光滑光學(xué)元件，其表面散射特性規(guī)律有所不同?？傮w來說，隨著入射角度、散射方位角和斜率的增加，ARS 峰值逐漸減小，其分布寬度變寬；隨著自相關(guān)長度、截止頻率和表面粗糙度的增加，ARS 峰值逐漸增大，其分布寬度變窄。

4 結(jié)論

針對(duì)空間引力波探測系統(tǒng)中超光滑元件表面散射特性分析，發(fā)展了一種能對(duì)超光滑光學(xué)元件表面散射特性進(jìn)行快速、準(zhǔn)確分析和預(yù)測的非傍軸標(biāo)量散射模型，即GBK 模型。該模型具有偏振散射特性，且適用于超光滑光學(xué)元件表面微觀形貌的不同統(tǒng)計(jì)分布類型。利用GBK 模型，分析了P 偏振光和S 偏振光入射條件下，角分辨散射(ARS)分布隨入射角度、散射角度及散射方位角的變化規(guī)律，并針對(duì)常見加工工藝導(dǎo)致的不同表面統(tǒng)計(jì)分布情況，討論了不同入射角度、散射方位角、自相關(guān)長度、斜率、截止頻率和表面粗糙度等因素對(duì)ARS 分布的影響。結(jié)果表明，P 偏振光的偏振散射變化遠(yuǎn)大于S 偏振光的偏振散射，因而在引力波探測系統(tǒng)中，若采用P 偏振光，則應(yīng)特別關(guān)注P 偏振光的偏振散射特性。在不同的表面微觀形貌統(tǒng)計(jì)分布下，ARS 分布始終在鏡向反射處取得峰值，并隨著入射角度、散射方位角和斜率的增加，其值逐漸減小，分布寬度變寬。此外，隨著自相關(guān)長度、截止頻率和表面粗糙度的增加，其值逐漸增大，分布寬度變窄。在空間引力波探測系統(tǒng)中，應(yīng)特別關(guān)注ARS 峰值大小以及分布寬度，并通過合理的設(shè)計(jì)和優(yōu)化，有效抑制雜散光對(duì)引力波探測精度的影響。相關(guān)結(jié)果不僅深化了對(duì)超光滑表面散射特性的理解，還可為超光滑元件的加工提供參考。