□文/黃麗燕

（廣州大學經(jīng)濟與統(tǒng)計學院 廣東·廣州）

［提要］ 本文使用日內高頻數(shù)據(jù)對PGARCH 模型進行估計：根據(jù)日內高頻數(shù)據(jù)構造的波動率代表，探究PGARCH 波動率模型的擬極大似然估計（QMLE）及其漸近分布。模擬研究和實證分析表明：基于高頻數(shù)據(jù)的QMLE 可以減小參數(shù)估計的方差，有效地提高估計效率。

引言

波動率作為衡量標的資產價格波動程度的指標，是金融學中的重要概念。準確衡量和預測波動率的大小一直是金融市場的一個熱點問題。在傳統(tǒng)經(jīng)濟學中，期權定價理論假設了波動率是一個常數(shù)，Engle（1982）提出的自回歸條件異方差（ARCH）模型則打破了該假設。在此基礎上，為了解決ARCH 模型參數(shù)限制多和估計困難的問題，Bollerslev（1986）提出了廣義自回歸條件方差（GARCH）模型。此后，越來越多的GARCH 族模型廣泛應用于風險管理、資產配置和投資策略等方面。例如，毛春元和余家華（2013）基于TGARCH 模型對中國石油天然氣集團公司股票收益率進行了風險度量。Coenraad 和Sven（2017）將GJR-GARCH 模型和EGARCH 模型應用于南非TOP40 指數(shù)的期權定價。Nugroho（2019）應用GARCH-M 模型對道瓊工業(yè)指數(shù)的時變波動率進行了建模。本文中討論的PGARCH 模型，既是對GARCH 模型在冪次項上的變形，也是由Hwang（2004）提出的PTGARCH（1，1）模型的一種特殊情況。PGARCH 模型增加了波動率的冪次項是一個待估參數(shù)的設定，具體模型如下：

其中，待估參數(shù)δ＞0，ω＞0，α＞0，β＞0。 rn表示某標的資產第n 天的日收益率。σn表示第n 天的波動率，用于衡量資產波動大小，是一個非負的不可觀測的變量。｛zn｝是一組期望為0、方差為1 的獨立同分布的隨機序列，且zn獨立于σs（s＜n）。

隨著互聯(lián)網(wǎng)技術的快速發(fā)展，高頻數(shù)據(jù)在金融業(yè)和其他領域有著廣泛的應用。為了提高參數(shù)估計精度，Visser（2011）利用高頻數(shù)據(jù)來研究基于波動率代表的GARCH 模型的擬極大似然估計（QMLE），這為如何使用日內高頻數(shù)據(jù)對波動率建模提供了新途徑。Fan（2017）將日內數(shù)據(jù)植入周期GARCH 模型用于季節(jié)性波動研究和建模。Podobnik（2004）使用一分鐘頻率的高頻數(shù)據(jù)來對ARCH-GARCH 模型建模?；谏鲜鲅芯浚疚膶⑦\用高頻數(shù)據(jù)來構造波動率代表從而對PGARCH 模型進行QMLE 估計，同時探究參數(shù)估計的精度是否有所提升。

一、PGARCH 模型分析

（一）尺度模型。日頻的PGARCH 模型是一個離散的隨機模型，記錄了每日的波動率和收益率數(shù)據(jù)。為了植入高頻數(shù)據(jù)，需要建立一個連續(xù)的日內收益過程，參考Visser（2011）構建尺度模型：首先將交易日的交易時間單位化到區(qū)間［0，1］上，u 記為交易時間，u∈［0，1］；接著把模型（1）中的離散日收益過程拓展為連續(xù)的日內收益過程Rn（u），記錄每天的日內收益率；從模型（1）、模型（2），得到以下尺度模型：

可以看出，整合了高頻信息的尺度模型（3）～（4）保留了日頻PGARCH 模型（1）～（2）相似的結構形式，并且當u=1，Rn（1）=rn，Zn（1）=zn，尺度模型即轉化為了日頻模型（1）～（2）。Zn（u）依然是期望為0 的、方差為1 的獨立同分布的隨機變量，并獨立于σs（s＜n）。

（二）波動率代表。為了更好地估計參數(shù)，需要進一步加工日內高頻數(shù)據(jù)。一種可行的方法是引入波動率代表。波動率代表是關于日內高頻數(shù)據(jù)的一元函數(shù)，常見的波動率代表有已實現(xiàn)波動率和日內價格極差。一般來說，波動率代表是非負的且滿足正齊性，即存在非零常數(shù)α 和日內收益率Rn（u）滿足：

考慮到每個交易日的波動率是唯一確定的，可以視為常數(shù)，則由波動率代表的正齊性及尺度模型（3）和模型（4）得：

那么，整合了高頻信息的波動率代表模型可以寫為：

其中，μ＞0，Z*n是經(jīng)過標準化的獨立同分布的隨機序列，E（Z*2n）=1。比較模型（1）～（2）和模型（8）～（9），二者有著相似的結構形式。前者恰好是后者的一個特例，當Hn=|rn|時，模型（8）～（9）可以寫成模型（1）～（2）的形式。前者的待估參數(shù)為θ=（δ，ω，α，β）′，后者的待估參數(shù)為θ*=（δ*，ω*，α*，β*）′ ，二者之間有以下數(shù)量關系：

二、參數(shù)估計

（一）擬極大似然估計。在進行模型（8）～（9）的估計前，記其參數(shù)真值為θ*0=（δ*0，ω*0，α*0，β*0）′ 。參考Pan（2008）和Visser（2011），對模型（8）～（9）采用擬極大似然估計，得到的擬條件對數(shù)似然函數(shù)及估計量（QLME）分別如下：

根據(jù)Pan（2008），為了證明QMLE 估計具有一致性和漸近正態(tài)性，需要做出以下基本假設：

1、Z*n服從非退化的對稱分布，且存在某些△＞0 使得E|Zn|△＜+∞和對于任何的μ＞0 有

2、參數(shù)空間Θ 是R4上的緊湊子集，θ*是Θ 的內點。對于所有的θ*∈Θ，都有李雅普諾夫指數(shù)γ（θ*）＜0。

3、E（Z*2n）=1，且EZ*4n＜∞。

由此可得θ^*的漸近分布：

進一步計算似然函數(shù)對待估參數(shù)的一階偏導和二階偏導：

由于Z*n與σ*n獨立，E（Z*2n）=1，結合式（8），矩陣A0和B0內的元素為：

從而，漸近方差陣∑*=A-10B0A-10=Var（Z*2n）G（θ*0）-1。計算矩陣G-1中需要的參數(shù)偏導：

記參數(shù)θ^*=（δ^*，ω^*，α^*，β^*）′的漸近方差為（σ*2δ，σ*2ω，σ*2α，σ*2β，）′，那么模型（3）～（4）的參數(shù)θ^=（δ^，ω^，α^，β^）′的漸近分布分別為：

（二）日頻參數(shù)θ＝（δ，ω，α，β）′的估計。由QMLE 方法估計得到PGARCH 模型參數(shù)的估計值θ^*=（δ^*，ω^*，α^*，β^*）′，結合公式（10），即可得到θ的估計。此時，需要計算μ。由等式σ*n=σnμ 可得μ 的一個估計量：

使用不同的波動率代表，估計得到的參數(shù)精度是有所差異的。針對這種情況，Visser（2011）提供了一個估計效率的判別策略：估計方法的好壞由模型的殘差項Z*2n決定，當殘差項方差越小，參數(shù)估計的方差也越小，估計越有效。而Z*2n方差大小與MH 值的大小成正比關系。

考慮到σ*n和Z*n的獨立性，則有：

顯然，c=E（σ4n）/［E（σ2n）］2是一個常數(shù)，當我們通過乘以常數(shù)c 并省略1 來變換方差方程（24）時，我們可以如下導出MH統(tǒng)計量：

由于式（24）和式（26）成正比關系，尋找參數(shù)的漸近方差最小的問題就就轉換為最小的統(tǒng)計量MH 問題。此時，MH 值越小，估計精度越高，估計越有效。

三、模擬研究

在本節(jié)中，通過模擬研究來檢驗該方法的實用性：首先對PGARCH 模型進行建模，接著對該模型采用QMLE 估計，最后將估計得到的參數(shù)結果分別從偏差（Bias）、標準差（SD）和MH統(tǒng)計量的均值（Mean.MH）的角度來評估QMLE 估計的效果。上述實驗重復1，000 次。為了達到模擬的效果，需要模擬日內的標準化隨機過程Zn（u），這里使用平穩(wěn)的Ornstein-Uhlenbeck過程建模：

其中，設置初值Rn（0）=0，日頻的PGARCH 模型則對應波動率代表Hn=|rn|。在模擬中，樣本量分別設置為500 天、1，000天和1，500 天。于是在一次模擬中MH 的估計值如下：

模擬結果展示在表1。從表1 可以看出，在同一樣本量下，與|rn|相比，通過高頻的波動率代表RV 估計得到的參數(shù)偏差和標準差明顯變小，但采用不同的高頻RV 估計得到的參數(shù)偏差和標準差差異不大，無明顯變化規(guī)律。比較不同的Mean.MH，通過RV 計算的Mean.MH 值也都比|rn|小。而隨著樣本量的增大，相同高頻的RV 估計的參數(shù)偏差和標準差也逐漸減小，這符合一致性和漸近正態(tài)性的性質，MH 均值的減小也說明隨著樣本量的增加估計精度提高。表1 中，樣本量N=500 時，Mean.MH 最小值出現(xiàn)在RV10 的情況下，這說明此時的估計最有效。表1 中樣本量N=1000 時，Mean.MH 最小值出現(xiàn)在RV5 的情況下，這說明此時的估計最有效。參數(shù)估計的標準差最小時，與之對應的Mean.MH 值也最小，說明上一節(jié)討論的最優(yōu)波動率代表評判標準是合理的。綜合來看，引入的高頻信息并不是越多估計效果越好，但引入了高頻信息的已實現(xiàn)波動率（RV）比日頻信息的|rn|的估計效果好，高頻數(shù)據(jù)的使用使得PGARCH模型的估計精度有所提高。（表1）

表1 參數(shù)估計的偏差、標準差及MH 均值一覽表

四、實證分析

在本節(jié)中，將上述方法應用到實例，數(shù)據(jù)源是2008 年4 月28 日到2013 年6 月23 日的滬深300 指數(shù)。數(shù)據(jù)包含1 分鐘間隔的收盤價格信息，每天共241 個觀測值，一共包含1，272個交易日。記價格序列｛Pn（u），u∈［0，1］，n=1，2，…，1272｝，定義第n 天u 時刻的日內對數(shù)收益率為：

應用QMLE 方法，采用不同頻率的已實現(xiàn)波動率對PGARCH 的估計結果如表2 所示。表2 展示了由不同頻率的RV 和|rn|估計得到的參數(shù)值和殘差項方差。由表2 可知，殘差項方差最小的結果是基于RV15 的結果。根據(jù)表2，對比基于|rn|和基于RV15 的擬合得到的PGARCH 模型。（表2）

表2 基于不同波動率代表的PGARCH 模型的參數(shù)估計一覽表

波動率代表為日收益率|rn|時，擬合的PGARCH 模型為：

波動率代表為15 分鐘收益率時，擬合的PGARCH 模型為：

圖1刻畫了基于|rn|估計的波動率和基于RV15 估算的波動率代表的時序圖?？梢钥闯觯叩淖邉菹嗤?，整體上15 分鐘的波動率比日頻的波動率更小，但在峰值二者相差不大。這說明涵蓋了高頻信息的波動率既能敏銳地捕捉波動率的急劇變化，也能穩(wěn)定地刻畫出波動率相對平緩時期的特征。（圖1）

圖1 基于|rn|的波動率代表與基于RV15 的波動率代表時序圖

結語

在本文中，我們通過波動率代表將高頻數(shù)據(jù)嵌入日頻的PGARCH 模型，并對模型進行QMLE 估計，給出估計參數(shù)的漸近分布。模擬研究和實證分析證明，引入高頻信息有助于提高PGARCH 模型的估計精度。