馬 霖，譚雙龍，閆 磊，馬思宇，吳洪波，張 新

（1.中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長春 130033；2.應(yīng)用光學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，中國科學(xué)院光學(xué)系統(tǒng)先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林 長春 130033）

引言

紅外成像具有全天候工作、穿透力強(qiáng)、抗干擾能力強(qiáng)、受天氣影響小、制導(dǎo)精度高等優(yōu)點(diǎn)，在偵察探測、導(dǎo)引等領(lǐng)域發(fā)揮了重要作用[1-2]。反射鏡作為紅外光學(xué)系統(tǒng)中的重要部件，面形穩(wěn)定性、輕量化率是衡量其性能的關(guān)鍵指標(biāo)。通過拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)可以在保證剛度最大化的同時(shí)，提高反射鏡的輕量化率，國內(nèi)外學(xué)者也對(duì)此做出了諸多研究。在較早的時(shí)候，國外Park 等以自重、拋光壓力作為載荷條件，獲得高輕量化的鏡體為目標(biāo)，利用拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)優(yōu)化單面反射鏡背部的材料分布形式，并加工制造反射鏡體進(jìn)行驗(yàn)證[3]。David K 通過尺寸優(yōu)化的方式以最大剛度為目標(biāo)，優(yōu)化鏡面厚度、筋板厚度等參數(shù)，得到了一種背板開放的高輕量化鈹反射鏡[4]。韓國LEE 等人通過尺寸優(yōu)化的方式，對(duì)某大口徑鏡體背部肋的厚度和安裝位置進(jìn)行優(yōu)化，使其應(yīng)力應(yīng)變分布更加均勻[5]。如圖1 所示，從左到右分別為Park，David，LEE 優(yōu)化所獲的單面反射鏡。

圖1 國外反射鏡優(yōu)化示例Fig.1 Examples of mirror optimization overseas

國內(nèi)方面，大連理工大學(xué)Liu Shutian 等人通過拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)，以最大剛度為目標(biāo)，對(duì)大型空間反射鏡背部的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行尺寸參數(shù)優(yōu)化和形狀優(yōu)化，完成高剛度高輕量化反射鏡的優(yōu)化設(shè)計(jì)[6]。長春光機(jī)所Liu Guang 等人將拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)合尺寸優(yōu)化，利用連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)獲得了材料的最優(yōu)分布，根據(jù)拓?fù)浣Y(jié)果對(duì)輕質(zhì)肋分組進(jìn)行尺寸優(yōu)化，得到最優(yōu)解[7]。如圖2 所示，從左到右依次為Liu Shutian，Liu Guang 優(yōu)化的單面反射鏡。

圖2 國內(nèi)反射鏡優(yōu)化示例Fig.2 Examples of mirror optimization in domestic

此外，西安光機(jī)所、安徽光機(jī)所的研究人員也基于拓?fù)鋬?yōu)化方法對(duì)反射鏡展開很多研究[8-10]。但上述研究均為針對(duì)單面反射鏡的優(yōu)化工作。隨著光學(xué)系統(tǒng)產(chǎn)品高集成化、輕量化的發(fā)展，多鏡面共體化、集成化方案的緊湊優(yōu)勢逐漸凸顯出來，受到了越來越多研究人員的關(guān)注[11-13]。相比于單面反射鏡，雙面共體反射鏡集成度更高，更適合應(yīng)用在對(duì)重量要求苛刻的輕巧紅外光學(xué)系統(tǒng)中。但雙鏡面對(duì)支撐剛度要求更高，如果剛度不足，2 個(gè)反射鏡面變形相互耦合，對(duì)整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的像質(zhì)影響會(huì)疊加放大，故設(shè)計(jì)難度更高。需確保2 個(gè)反射鏡面自身剛度足夠大且相互之間影響最小，同時(shí)為了滿足使用需求，還需要有足夠的輕量化率，這就極大地增加了設(shè)計(jì)難度。基于上文所述國內(nèi)外研究人員對(duì)單面反射鏡的優(yōu)化方法，將其應(yīng)用在雙面共體反射鏡的設(shè)計(jì)中是否可行，目前此方面的研究甚少。在此基礎(chǔ)上，本文結(jié)合拓?fù)鋬?yōu)化和尺寸優(yōu)化方法，對(duì)某同軸四反紅外光學(xué)系統(tǒng)中主四鏡共體結(jié)構(gòu)展開優(yōu)化設(shè)計(jì)，并對(duì)最終設(shè)計(jì)方案進(jìn)行分析和測試，驗(yàn)證優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性。

1 優(yōu)化方法

1.1 拓?fù)鋬?yōu)化

由于結(jié)構(gòu)的多樣性，傳統(tǒng)設(shè)計(jì)優(yōu)化時(shí)需要大量的迭代，而拓?fù)鋬?yōu)化可以設(shè)定載荷和約束條件，給出既定目標(biāo)和優(yōu)化變量，通過算法計(jì)算出設(shè)計(jì)域中相對(duì)最優(yōu)布局，給設(shè)計(jì)提供參考和支撐，極大地提高了設(shè)計(jì)效率。拓?fù)鋬?yōu)化流程如圖3 所示。

圖3 拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)流程Fig.3 Flow chart of topology optimization design

拓?fù)鋬?yōu)化中常用變密度法，它源于微觀結(jié)構(gòu)等效的思路，以元素的相對(duì)密度為設(shè)計(jì)變量，通過密度從0 到1 的空間配置變化來實(shí)現(xiàn)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。0 表示該區(qū)域無密度，存在的必要性低，應(yīng)盡量優(yōu)化掉該部分；1 表示該區(qū)域存在的必要性大，需要保留[14]。反射鏡結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化過程中，通常關(guān)注反射鏡的面形精度變化RMS 最小，而現(xiàn)有的拓?fù)鋬?yōu)化商業(yè)軟件不能直接使用RMS 作為優(yōu)化目標(biāo)[15]。為了最小化RMS，需要保證整個(gè)反射鏡鏡體具有足夠大的結(jié)構(gòu)剛度來抵抗變形，避免外載荷影響下面形精度變化過大，故本文以剛度最大即柔度最小作為目標(biāo)函數(shù)，約束整體鏡體體積分?jǐn)?shù)，保證輕量化設(shè)計(jì)條件下，設(shè)計(jì)剛度最大的雙面共體反射鏡鏡體。數(shù)學(xué)模型如下：

式中：ρi為相對(duì)密度；U為全局位移矢量；K為全局剛度矩陣；F為全局負(fù)載向量；V為結(jié)構(gòu)的總體積；υi為單位體積；N為變量數(shù)[16]。

1.2 尺寸優(yōu)化

通過拓?fù)鋬?yōu)化可以確定材料的合理分布形式，但最優(yōu)分布形勢下的最佳尺寸還需要進(jìn)一步確認(rèn)，這就用到尺寸優(yōu)化[17]。尺寸優(yōu)化是在形狀不變的基礎(chǔ)上，對(duì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，其設(shè)計(jì)變量可以定義為殼單元厚度、梁單元截面積等。本文以最小柔度為目標(biāo)，一階頻率和筋板質(zhì)量為約束條件，尋找最佳尺寸參數(shù)。數(shù)學(xué)模型如下：

式中：ti為筋板厚度；f1為一階頻率；為設(shè)定的約束頻率；Mass為求解域質(zhì)量；為設(shè)定的約束質(zhì)量。

2 優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 光學(xué)系統(tǒng)參數(shù)

傳統(tǒng)同軸四反光學(xué)系統(tǒng)設(shè)有四塊反射鏡，本文采用主、四共體的思路，使布局更加緊湊，但對(duì)主、四共體反射鏡鏡體的設(shè)計(jì)提出了更高的要求。系統(tǒng)光路如圖4 所示。紅外系統(tǒng)方案中，反射鏡口徑為186 mm，工作波段8 μm～12 μm，設(shè)計(jì)要求總質(zhì)量低于1 kg，主、四鏡面形RMS 要求低于λ/5（λ=632.8 nm），自重對(duì)主、四鏡面形RMS 影響要求低于λ/20，一階頻率要求大于400 Hz。

圖4 同軸四反光路圖Fig.4 Optical path diagram of coaxial four-mirror system

2.2 材料選擇

隨著超精密加工技術(shù)的突飛猛進(jìn)[18]，鋁合金材料因重量較輕、加工性能優(yōu)良，廣泛應(yīng)用在光學(xué)領(lǐng)域。鋁合金既可以做結(jié)構(gòu)件，也可以做光學(xué)件，可以設(shè)計(jì)成光、機(jī)同種材料，更好地實(shí)現(xiàn)整機(jī)被動(dòng)無熱化，且制造成本相對(duì)玻璃陶瓷更低[19-21]。本文主四鏡材料選擇鋁合金6061-T6，材料屬性見表1 所示。

表1 鋁合金6061-T6 屬性Table 1 Properties of aluminum alloy 6061-T6

2.3 初始模型設(shè)計(jì)

首先需要確定支撐形式，反射鏡支撐種類一般包括中心支撐、背部支撐、側(cè)面支撐、周邊支撐四種方式。根據(jù)平板理論[22]，反射鏡的支撐點(diǎn)數(shù)目可由下式計(jì)算：

式中：R為 反射鏡半口徑，單位為in；E為材料的彈性模量，單位為lb/in2；δ為允許的PV 值，單位為in，為保證裕度充足取δ=λ/20（λ=632.8 nm）；t為反射鏡厚度，單位為in；ρ為材料密度，單位kg/m2。主鏡口徑大于四鏡，將表2 所示主鏡各參數(shù)代入公式（1）進(jìn)行計(jì)算。

表2 反射鏡結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 2 Structural parameters of mirror mm

計(jì)算得到N=1.54，表明采用3 點(diǎn)支撐形式已足夠保證鏡體的面形不受支撐點(diǎn)數(shù)量多少的影響。為了避免過約束帶來的非必要的鏡面變形，不再引入過多支撐，最終采用3 點(diǎn)支撐的形式。

本文拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的雙面共體反射鏡有限元模型如圖5 所示。其中藍(lán)色部分為非設(shè)計(jì)區(qū)域，分別包括3 個(gè)支撐耳，主鏡面和四鏡面；黃色區(qū)域代表設(shè)計(jì)區(qū)域，F(xiàn)1、F4 分別代表主、四鏡上模擬加工拋光壓力設(shè)置的負(fù)載。優(yōu)化目標(biāo)時(shí)，選擇主、四鏡面柔度最小為優(yōu)化目標(biāo)。柔度是變形與負(fù)載的比值，反射鏡柔度最小可以等效負(fù)載條件下的面形變化最小[23]。約束設(shè)計(jì)區(qū)域時(shí)優(yōu)化體積分?jǐn)?shù)在0.3 以內(nèi)，確保足夠的輕量化率。固定安裝耳的圓孔，按水平放置的自重載荷和加工拋光壓力設(shè)置負(fù)載。本文雙面共體反射鏡無表面改性及鍍膜工序，可以被動(dòng)消熱且無需考慮雙金屬效應(yīng)等影響，設(shè)置去除材料的方向關(guān)于光軸對(duì)稱。

圖5 拓?fù)鋬?yōu)化有限元初始模型Fig.5 Initial finite element model of topology optimization

2.4 拓?fù)鋬?yōu)化

經(jīng)過51 輪迭代，計(jì)算結(jié)果逐漸收斂到一個(gè)較穩(wěn)定的狀態(tài)。拓?fù)鋬?yōu)化后隱去主鏡面非設(shè)計(jì)區(qū)域及隱去四鏡面非設(shè)計(jì)區(qū)域的材料密度分布圖如圖6 所示。圖6 中紅色表示材料密度為1，即對(duì)剛度貢獻(xiàn)最大的地方（主、四鏡鏡面區(qū)域?yàn)榉窃O(shè)計(jì)區(qū)域，也顯示為紅色）；藍(lán)色表示材料密度為0，為可以去除的材料。

圖6 拓?fù)洳牧厦芏确植紙DFig.6 Density distribution diagram of materials by topology

為了便于觀察，隱掉材料密度小于0.6 kg/m2的部分，如圖7 所示。拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果表明，在上述設(shè)置條件下，主鏡面與四鏡面通過以光軸方向?yàn)橹行某瘦椛湫闻帕械慕畎骞潭〞r(shí)剛度最高。

圖7 材料密度大于0.6 kg/m2 分布結(jié)果Fig.7 Distribution results of density greater than 0.6 kg/m2

2.5 尺寸優(yōu)化

根據(jù)最佳材料分布密度，考慮實(shí)際加工情況，對(duì)筋板分布進(jìn)行微調(diào)，建立主、四鏡及筋板面網(wǎng)格模型，如圖8 所示，鏡面和筋板均賦予為殼單元屬性。尺寸優(yōu)化方式上，有尺寸參數(shù)化優(yōu)化和自由尺寸優(yōu)化供選擇。參數(shù)優(yōu)化結(jié)果為等厚結(jié)果，本文中需要對(duì)2 個(gè)鏡面厚度尺寸優(yōu)化，參數(shù)化優(yōu)化對(duì)鏡面尺寸限制較大，采用自由尺寸優(yōu)化可以獲得鏡面不同半徑位置處的厚度，故采用自由尺寸優(yōu)化，將筋板、主鏡面、四鏡面設(shè)為3 個(gè)獨(dú)立的設(shè)計(jì)域。在分析軟件中將主鏡面柔度變量和四鏡面柔度變量通過光學(xué)分配的權(quán)重系數(shù)整合成一個(gè)變量，以加權(quán)后的變量柔度最小為優(yōu)化目標(biāo)，負(fù)載設(shè)置同上述2.3 節(jié)，約束整體一階頻率及筋板的總質(zhì)量。

圖8 尺寸優(yōu)化網(wǎng)格模型Fig.8 Mesh model for size optimization

兩鏡面和筋板自由尺寸優(yōu)化后的結(jié)果如圖9所示。為確保足夠的剛度，在鏡面內(nèi)孔與筋板交界處，9 根筋板中，與安裝耳（綠色）連接的尺寸值較大，為4.5 mm，其余筋板為1.5 mm，2 個(gè)鏡面靠近內(nèi)徑部分厚度為7.5 mm，邊緣為4 mm。

圖9 自由尺寸優(yōu)化結(jié)果Fig.9 Results of free size optimization

參考優(yōu)化結(jié)果，綜合考慮鏡體剛度、輕量化率、安裝適應(yīng)性、傳統(tǒng)加工銑削進(jìn)給刀方向、拋光鍍膜等加工工藝制造過程，對(duì)部分結(jié)構(gòu)進(jìn)行細(xì)化，最終設(shè)計(jì)的主四鏡模型如圖10 所示。

圖10 最終設(shè)計(jì)的主四鏡模型Fig.10 Final design of primary-fourth mirror model

最終模型3 個(gè)支撐耳分別連接2 個(gè)筋板，每2 個(gè)支撐耳中間再設(shè)置1 個(gè)筋板，共9 個(gè)筋板。該模型原始鏡坯質(zhì)量為4.53 kg，輕量化后為0.8 kg，符合質(zhì)量低于1 kg 的要求，且雙面反射鏡的輕量化率達(dá)到82.4%。

3 設(shè)計(jì)結(jié)果分析

3.1 模態(tài)分析

對(duì)最終設(shè)計(jì)的主四鏡模態(tài)進(jìn)行分析，考量所設(shè)計(jì)反射鏡的剛度特性，模態(tài)分析結(jié)果如表3 所示，對(duì)應(yīng)的前三階振型如圖11～圖13 所示。X軸、Y軸、Z軸方向見圖11 所示。

表3 主四反射鏡前3 階模態(tài)Table 3 The first three modes of primary-fourth mirror

圖11 第一階振型Fig.11 The first-order vibration mode

圖12 第二階振型Fig.12 The second-order vibration mode

圖13 第三階振型Fig.13 The third-order vibration mode

模態(tài)分析結(jié)果表明，鏡體一階頻率已達(dá)到417 Hz，具有足夠高的剛度，符合大于400 Hz 的要求。振型主要以安裝耳的變形為主，主四鏡鏡面及筋板構(gòu)成的整體剛度更高，更加穩(wěn)定，可以更好地保證面形精度要求。

3.2 自重變形分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證反射鏡的剛度，分析徑向1g重力、軸向1g 重力做用下反射鏡的面形變化。在有限元分析結(jié)果中導(dǎo)出反射鏡面形變化前后的各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行面形擬合，主、四鏡面形云圖如圖14所示。

圖14 主、四鏡面形云圖Fig.14 Cloud atlas of surface shape for primary-fourth mirror

主、四鏡在X，Y，Z3 個(gè)方向1g 重力下的RMS值和PV 值結(jié)果如表4 所示。從表4 可以看出，面形RMS 變化最大發(fā)生在主鏡Z方向上，換算成波長約為λ/22（λ=632.8 nm），符合低于λ/20 的要求，其余方向自重對(duì)主、四鏡面形RMS 的影響均低于λ/37，說明其抵抗重力變形的能力出色，側(cè)面證明其剛度充足。

表4 主、四鏡1g 重力變形Table 4 Primary-fourth mirror deformation under 1 g gravity nm

4 面形測試

在完成優(yōu)化設(shè)計(jì)與分析驗(yàn)證后，采用最終設(shè)計(jì)方案對(duì)鏡體進(jìn)行加工，在粗加工、半精加工、精加工后對(duì)鏡體進(jìn)行時(shí)效處理，消除鏡面的殘余應(yīng)力，以確保面形的穩(wěn)定。采用干涉法中的零位檢測法測試主四鏡面形RMS 是否滿足要求。零位檢測法通過計(jì)算機(jī)生成的全息圖（computer-generated holograms，CGH），將干涉儀發(fā)出的球面波轉(zhuǎn)化為主四鏡面形所對(duì)應(yīng)的非球面波，從而消除非球面的法線像差，可將測試精度提高至nm 級(jí)[24]。面形測試過程如圖15 所示。

圖15 干涉儀檢測面形測試過程Fig.15 Testing process of surface shape by interferometer detection

測試結(jié)果如表5 和圖16 所示。這里需要指出，綜合考慮項(xiàng)目周期的需求和紅外光學(xué)系統(tǒng)對(duì)反射鏡的指標(biāo)要求，最終面形RMS 均控制在λ/7（λ=632.8 nm）以內(nèi)，符合低于λ/5 的要求，鏡體在紅外光學(xué)系統(tǒng)中工作正常，證明了本次拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的有效性。

表5 面形測試結(jié)果Table 5 Test results of surface shape

圖16 主、四鏡面形測試結(jié)果Fig.16 Test results of surface shape for primary-fourth mirror

5 結(jié)論

本文提出一種雙面共體反射鏡的設(shè)計(jì)優(yōu)化方法。通過拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)合尺寸優(yōu)化的方法，完成了雙面共體反射鏡的優(yōu)化設(shè)計(jì)，并對(duì)最終方案進(jìn)行了分析及測試，得到如下結(jié)論：

1）通過拓?fù)鋬?yōu)化的方法獲得材料在約束下的最佳分布形式，結(jié)果表明，以光軸為中心呈輻射型排列布置筋板支撐主、四鏡面體時(shí)剛度最高。

2）通過自由尺寸優(yōu)化，獲得主、四鏡面和筋板的最佳尺寸參數(shù)，參考優(yōu)化結(jié)果，設(shè)計(jì)的鏡體輕量化率達(dá)到82.4%。

3）分析了鏡體的模態(tài)及1g 重力對(duì)面形RMS的影響，求得一階頻率為417 Hz；1g 重力對(duì)面形RMS 的影響最大為λ/22（λ=632.8 nm），分析結(jié)果表明鏡體具有較高的剛度和較好的抵抗自重變形能力。

4）完成實(shí)物加工及測試，實(shí)測主、四鏡面形RMS 均約為λ/7，滿足紅外光學(xué)系統(tǒng)的性能要求。

綜上所述，本文優(yōu)化方法的有效性得到了驗(yàn)證，為雙面共體反射鏡的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了一定的借鑒作用。