葛紅琴

［摘? 要］ 揭示知識的形成過程，引導學生自主建構完整的認知體系是數(shù)學教學的核心任務. 為了達成這個任務，筆者開展了基于“自主建構”的數(shù)學教學研究. 文章以“相似三角形的性質”教學設計為例，從“創(chuàng)設游戲情境，導入新課；素材直觀呈現(xiàn)，引發(fā)猜想；借助幾何畫板，驗證猜想；完成實際問題，應用推廣”四方面展開研究，并提出相應的思考與評價.

［關鍵詞］ 猜想；自主建構；相似三角形

立足知識的邏輯關系，促進學生的自主建構，主要是指在以問題為載體的背景下，教師結合學情與教學內容的特點，建立探索發(fā)現(xiàn)和意義建構相統(tǒng)一的邏輯關系，讓學生在自主思考、質疑與反思中完成真正意義上的知識建構. 弗賴登塔爾認為：再創(chuàng)造是數(shù)學教學的重要方法，即教師通過一定的手段，帶領學生去發(fā)現(xiàn)要學習的知識，讓學生親自探索、體會、感悟知識的形成與發(fā)展過程［1］. 因此，知識的“再創(chuàng)造”是幫助學生厘清知識邏輯關系，實現(xiàn)新知建構的關鍵.

教學設計分析

本節(jié)課基于《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（簡稱新課標）的背景而設計，注重以“四基與四能”“三會”“核心素養(yǎng)”等理念為指導，力圖讓學生通過本節(jié)課的學習，不僅弄清知識間的邏輯關系，理解相似三角形的性質，還能在數(shù)學能力上獲得不同程度的發(fā)展.

數(shù)學學習的過程本就是不斷積累經驗的過程，學生在此過程中經歷數(shù)學抽象、表達、思考等，獲得能力的沉淀與核心素養(yǎng)的提升［2］. 如何在本節(jié)課教學實施的過程中，將學生原有的認知結構與生活經驗轉化成新的數(shù)學抽象呢？這是筆者在授課前一直在思考的問題. 為了讓本節(jié)課達到預期的教學效果，讓學生的思維經歷“直觀—具體—抽象”的過程，筆者將本節(jié)課做了如下設計.

教學簡錄

1. 創(chuàng)設游戲情境，導入新課

課堂伊始，筆者利用電子白板中的知識配對功能，結合學生的興趣設計了一個“連連看”的游戲，在激發(fā)學生學習興趣的同時，完成新課的導入. 如圖1，左側為相似三角形的判定定理（文字語言），右側為圖形（圖形語言），要求學生將左右兩邊的內容進行連線配對.

設計意圖？搖 利用學生感興趣的游戲情境復習舊知，調動課堂氣氛，為本節(jié)課教學奠定良好的情感基礎. 豐富的情境作為新舊知識溝通的紐帶，可讓新知的導入更加自然、流暢，也讓學生對新知的探究充滿渴望.

師：根據(jù)我們之前研究圖形的經驗，一旦對某種圖形的定義與判定有了明確認識之后，接下來就到了研究圖形的什么內容的環(huán)節(jié).

生（齊）：性質.

師：非常好！今天我們將要研究的主題為“相似三角形的性質”（板書），著重研究在一個三角形中，該三角形的高、中線以及角平分線（簡稱三線）在明確三角形相似之后，具備怎樣的性質.？搖

設計意圖？搖 簡單的游戲情境，順利地完成了舊知的回顧，也成功地激起了學生的探究熱情；教師簡單的幾句話語，自然地切入本節(jié)課的教學主題——相似三角形的性質. 此導入過程，凸顯了學生的主體地位，彰顯了教師的引導作用，為整節(jié)課的教學明確了方向.

2. 素材直觀呈現(xiàn)，引發(fā)猜想

問題1 ？搖通過我們之前的學習，大家都知道相似三角形可理解為一個三角形的放大或縮小，那么三角形中的三線會不會隨著三角形大小的變化而改變呢？

為了讓學生能直觀理解這個問題，教師提供了兩個素材：①借助錄屏軟件的錄制功能，設計了三角形放大與縮小的演示畫面；②借助電子白板中的放大鏡功能，讓學生直接通過“放大鏡”觀察三線是否會隨著三角形大小的變化而改變.

生1：既然是相似三角形，那么圖形的形狀必然不會發(fā)生改變，三角形的角度也不會發(fā)生變化，三角形的邊與三線的長度會隨著三角形大小的變化而變長或縮短.

師：若一個三角形放大成原來的兩倍，那么三角形的三線也是原來的兩倍嗎？

生2：如果放大后的三角形與原三角形的相似比為2，那么其三線與原三線的比應該也是2.

師：如果放大的比例是k，那么在此變化過程中，有哪些線段的比也變成了k？

生3：放大后三角形相應的三線與原三線的比應該也是k.

師：現(xiàn)在，我們將這個放大與縮小問題轉化為一個數(shù)學問題：若兩個相似三角形的相似比為k，則對應的三線比與k之間存在怎樣的聯(lián)系呢？

生4：放大或縮小后的三角形的三線比應該也與相似比的值一樣為k.

設計意圖？搖 教師利用現(xiàn)代化的教學手段，為學生提供直觀的可視化素材，讓學生在相似三角形大小的變化中感受三線的變化情況，以更快捷、準確地獲得三線比的規(guī)律. 這種直觀展示的過程，是促進學生進行數(shù)學抽象，對知識的認識從直觀感知提升到理性認識的過程，符合學生的認知發(fā)展規(guī)律，能助推學生思維的發(fā)展.

3. 借助幾何畫板，驗證猜想

問題2？搖 以上所呈現(xiàn)出的結論均為猜想，有沒有辦法來驗證這些猜想是否正確呢？

學生自主畫圖、測算、比較（過程略），結論為：大家一致認為這種猜想是正確的，或近似于正確.

教師對學生自主探索得到的結論不置可否，而是帶領學生觀察幾何畫板更加精準的演示（見圖2）.

設計意圖？搖 在學生自主探究的基礎上，利用幾何畫板的精準功能進行演示，讓學生親身體驗自己的作圖、測算過程是否準確. 隨著數(shù)據(jù)的動態(tài)變化，讓學生進一步直觀感受到相似中的“變”與“不變”，從而對相似與全等的區(qū)別有了更加明確的認識，對變化與守恒、特殊與一般的關系也有了更加直觀、深刻的理解.

幾何畫板的介入，讓學生從感官上確認了自己的猜想是正確的. 但這些都是直觀感受，想要證明猜想的準確性，離不開嚴謹?shù)淖C明過程. 接下來，進入師生共同證明猜想的過程.

教師要求學生以小組合作學習的模式進行交流、探討，并借助學案上的參考圖（見圖3），規(guī)范書寫證明過程，各組向全班展示結論. 最后由師生共同客觀、公正地評論各組的證明過程是否規(guī)范.

設計意圖？搖 想讓學生一下子準確并規(guī)范地書寫出已知、求證、證明的過程，確實存在一定的難度. 通過小組合作學習，可以讓學生在集思廣益中獲得啟發(fā)，使得不同層次認知水平的學生都能在此過程中弄清知識間的邏輯關系，形成科學、嚴謹?shù)耐评砟芰?

在學生規(guī)范證明過程后，為了進一步深化學生對相似三角形性質的理解，讓每一個學生都能厘清相似三角形三線比的本質，教師要求所有學生一起回顧本節(jié)課經歷了哪幾個環(huán)節(jié)才獲得了這個定理.？搖

設計意圖？搖 ？搖“放大鏡”的演示讓學生對知識形成了感性認識，學生自主探索與幾何畫板的應用，順利地幫助他們實現(xiàn)了從感性認識上升到理性認識的階層. 此處的教學回顧，意在引導學生對以上學習過程進行一個回顧與提煉，進一步鞏固研究問題的方法與經驗，為后續(xù)研究其他問題奠定基礎.

4.？搖完成實際問題，應用推廣

問題3？搖 如圖4，一條河流的兩岸有一段為平行的關系，小明站在南岸離河邊15米處的點P向北岸望去，發(fā)現(xiàn)位于河北岸的兩根相鄰的電線桿A，B正好被南岸的兩顆松樹C，D遮擋. 若AB=50 m，CD=20 m，求河寬.

師：請大家先獨立思考，盡可能自主完成本題. 若在解題過程中存在疑惑，可與同桌交流.

大部分學生都能自主完成本題，也有小部分學生需要交流后完成. 教師將學生的解題過程投影，并要求學生說一說解題思路.

設計意圖？搖 知識源自生活，而又應用于生活. 相似三角形的性質從理論上來看，難度并不大，但要用來解決生活實際問題，卻有一定的難度. 此問意在培養(yǎng)學生的知識應用能力，讓學生在解題中夯實知識基礎，感知知識與生活有著密不可分的聯(lián)系.

問題4？搖 是不是相似三角形中的所有對應線段的比都與相似比相等？若是，請找出對應線段，并證明.

生5：可以先構造一對相似三角形.

生6：相似三角形的構造，可以從邊或角來著手.

如圖5，教師引導學生利用幾何畫板的演示功能進行剖析. 實踐證明，相對應的線段存在無數(shù)條.

師：通過幾何畫板的演示，我們尋找此類線段的本質是什么？

生7：其本質就是找對應點，只要確定好對應點，那么它們的連線比與相似比一定相等.

教師充分肯定了學生的答案，高度贊揚了學生思維的靈活性.

設計意圖？搖 從尋找相似線段的問題轉化到尋找點的問題，學生的思維經歷了“質”的飛躍. 此設計意在將學生帶到一個更高的階層，使學生更清晰、完整地理解本節(jié)課所學知識，進而從真正意義上實現(xiàn)知識的應用、拓展與延伸.

課堂總結、作業(yè). （略）

教學思考

現(xiàn)實生活中存在著大量相似的圖形，相似三角形性質的探索，不僅能讓學生掌握相關的知識與技能，還能讓學生利用這些知識解決一些重要的生活實際問題，提高學生的應用能力. 教學中，教師應注重引導學生經歷“具體—抽象—具體”的過程，綜合應用各種圖形的性質解決一些實際問題，以發(fā)展學生的邏輯推理能力.

同時，教師還要注重引導學生觀察知識間的邏輯關系，帶領學生發(fā)現(xiàn)并利用圖形相似性中存在的共同規(guī)律來發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實問題，提出并解決相應的問題，以培養(yǎng)學生的“四能”. 當然，教師在整個教學過程中應有意識地引導學生經歷“直覺發(fā)現(xiàn)—自覺說理—推理論證”的過渡，從真正意義上提升學生的學習能力，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)［3］.

教學評價

1. 緊扣教學目標，確保完成教學任務

教學目標是整個教學活動的標桿，本節(jié)課的教學目標非常明確，即掌握相似三角形的性質定理以及應用等，體會定理的探索與推理過程，理解對應線段比的特征，感知相似三角形變化過程中哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有發(fā)生變化. 縱觀本節(jié)課，不論是課堂導入、引發(fā)猜想還是驗證猜想，每一步的指向性都非常明確，每一個環(huán)節(jié)都將教學目標作為問題探究的出發(fā)點與落腳點.

相似三角形的性質為本節(jié)課教學的重點，教師在處理每個問題的結論時，都以學生參與為主導，將學生引到知識重點上去. 課堂上，教師在教學難點的突破上采取了動畫演示、學生推演等方法，從多渠道突破了教學難點，確保教學目標的達成.

2. 借助多媒體，展示知識的形成

課堂主要從以下兩條線索著手進行教學：第一條，從知識背景出發(fā)，在知識的生長點處進行整合、拓展；第二條，從學生原有認知經驗出發(fā)，引導學生通過自身的體驗總結結論. 教師將這兩條線索借助電子白板、幾何畫板、實物投影等多媒體進行有機融合，建構了一個完整的教學體系.

整體來看，本節(jié)課的教學層次分明，每個環(huán)節(jié)的銜接自然，沒有出現(xiàn)斷層，且教學內容與學生的認知水平相匹配，逐層遞進的教學過程，充分展示了從特殊到一般的教學方法. 學生在問題的引領下，借助多媒體對問題進行觀察、比較、猜想、驗證等，深刻掌握了知識的本質.

3. 選擇教學方法，落實“四基與四能”

課程教學方法的選擇以教學目標為基準，采用游戲情境、動畫演示、觀察分析等方式進行，充分體現(xiàn)了現(xiàn)代信息技術對數(shù)學教學的輔助功能，同時信息技術的介入也讓課堂變得更加直觀、高效，符合學生的認知需求. 整個教學建立在尊重學生的基礎上，凸顯出學生的主體地位，從真正意義上落實了新課標所倡導的“四基與四能”要求，為促進“三會”的形成奠定基礎.

總之，數(shù)學教學應更多地關注學生在課堂中的表現(xiàn)，尊重學生的個體差異，盡可能利用豐富的教學手段引導每個學生都能積極主動地參與課堂探究活動，從不同程度上提高學生的思維水平，讓學生在豐富的教學互動中實現(xiàn)知識與能力的自主建構，促進數(shù)學核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

參考文獻：

［1］弗賴登塔爾. 作為教育任務的數(shù)學［M］. 陳昌平，唐瑞芬，譯. 上海：上海教育出版社，1995.

［2］拉爾夫·泰勒. 課程與教學的基本原理［M］. 施良芳，譯. 北京：人民教育出版社，1994.

［3］龐維國. 論學生的自主學習［J］. 華東師范大學學報（教育科學版），2001（02）：78-83.