劉園園

［摘? 要］ 邏輯推理素養(yǎng)是數(shù)學核心素養(yǎng)的六大素養(yǎng)之一，合情推理作為邏輯推理的一個分支，在數(shù)學教學中占有重要地位. 文章從兩個實際案例出發(fā)，具體談?wù)労锨橥评肀尘跋聠栴}串的優(yōu)勢與設(shè)計措施，并從“問題需圍繞合情推理內(nèi)容而展開”“問題串應(yīng)立足于學生認知的起點”“應(yīng)處理好預設(shè)與生成之間的關(guān)系”三方面談一些思考.

［關(guān)鍵詞］ 類比推理；歸納推理；問題串

隨著新課改的推進，教育工作者越來越關(guān)注學生的全面發(fā)展，“立德樹人”已然成為當下最熱門的話題. 然而，當前仍有部分教師的教育教學理念沒有跟上時代發(fā)展的步伐，尤其是課堂中呈現(xiàn)出來的問題串質(zhì)量不高，無法達到發(fā)展學生合情推理能力的目的. 為此，筆者特別針對基于合情推理能力發(fā)展的問題串設(shè)計進行了大量的研究.

問題串在課堂教學中的優(yōu)勢

1. 循序漸進，層次分明

以發(fā)展合情推理為目標所設(shè)計的問題串具有從簡單到復雜、由淺入深的規(guī)律. 一個個問題串猶如層層階梯，讓學生能夠在低起點、小步子、多臺階中進行分析與思考，形成自己獨特的見解與猜想，并以推理、總結(jié)、驗證等方式總結(jié)經(jīng)驗［1］. 層次分明的問題串能夠夯實學生的知識基礎(chǔ)，讓學生明晰知識的發(fā)展過程.

2. 活躍氛圍，引發(fā)思考

問題串的介入常能成功地激活課堂氣氛，調(diào)動學生的學習興趣，驅(qū)動學生產(chǎn)生探索行為. 實踐證明，學生的探索欲往往由好奇心所決定. 章建躍認為，問題具有激發(fā)學生去思考、實踐、觀察與學習的作用. 以合情推理發(fā)展為目的的問題串，能從較大程度上激發(fā)學生的好奇心，提高學生的課堂參與度，引發(fā)思考.

3. 環(huán)環(huán)相扣，建構(gòu)聯(lián)系

問題串與單個問題有著質(zhì)的區(qū)別，單個問題一般以解決一個問題為主，而問題串則由多個環(huán)環(huán)相扣的問題組成，每個問題之間存在著一定的聯(lián)系，學生通過對問題串的思考，可對知識間的聯(lián)系產(chǎn)生明確的認識，為建構(gòu)完整的知識結(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ). 在問題串的引領(lǐng)下，課堂具有一定的節(jié)奏感，每個問題的提出都具有一定的基礎(chǔ)性，同時問題間的關(guān)聯(lián)性可完善學生的知識體系.

發(fā)展合情推理能力的問題串

設(shè)計

合情推理是指從事實出發(fā)，根據(jù)學生自身的認知經(jīng)驗與直覺推斷出結(jié)論的過程. 類比推理與歸納推理屬于合情推理的兩種類型，兩者都是通過觀察、類比、歸納、聯(lián)想、猜想等方法驅(qū)動學生的探索欲，讓學生從問題串中提升思維能力［2］.

1. 發(fā)展類比推理能力的問題串設(shè)計

類比推理是指對兩個或兩個以上對象的對比，分析它們之間具備怎樣的異同點，并根據(jù)事物的部分屬性推導出其他屬性的過程. 美國著名的數(shù)學家波利亞認為，提出新的問題、獲得新的發(fā)現(xiàn)都源自類比. 教師在教學中，應(yīng)從多渠道引發(fā)學生的類比，讓學生在問題串的啟發(fā)下進行推理分析，以促進數(shù)學思維的發(fā)展.

案例1? “分式”的教學

分式是初中階段教學重點之一，學生在初始接觸時，常常存在思維障礙. 為了有效發(fā)展學生的數(shù)學思維，讓學生掌握分式的本質(zhì)，筆者設(shè)計了如下問題串以促進學生類比推理能力的發(fā)展.

設(shè)計意圖？搖 這三個由淺入深的問題串，意在引導學生通過類比思想的應(yīng)用，自主獲得分式的概念，讓學生的思維自然而然地從分數(shù)過渡到分式，同時對整式到分式的變化過程有一個明確的認識. 此過程不僅滲透了代數(shù)思想，還借助問題引發(fā)了學生的深度思考，讓學生通過類比思想的應(yīng)用，自主發(fā)現(xiàn)并建構(gòu)分式的概念，從一定程度上發(fā)展了學生的創(chuàng)新意識.

問題4？搖 回顧學習分數(shù)時我們研究了哪些內(nèi)容？（學分數(shù)時，研究了分數(shù)的概念、性質(zhì)、運算與應(yīng)用等）

問題5？搖 與分數(shù)類比，你覺得分式應(yīng)該怎樣學？需要學習哪些內(nèi)容？

設(shè)計意圖？搖 這兩個問題旨在引導學生通過與分數(shù)學習過程的類比，自主發(fā)現(xiàn)分式知識的學習思路與研究方法，鼓勵學生通過套路，自主發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)新知，這是提高學生自主學習能力的關(guān)鍵.

問題6？搖 已知一艘輪船位于靜水中的最大航速為20 km/h，該船以最大航速順流行駛100 km所耗費的時間和以最大航速逆流行駛60 km所耗費的時間一樣，求水流速度是多少.

和分數(shù)類比，分式與分數(shù)的分母不一樣，分數(shù)的分母均為整數(shù)，但分式的分母是含有字母的整式，因此可以看出分數(shù)是分式的一種特殊情況，分式是分數(shù)的一般形式.

問題7？搖 以上分式中的字母是否可以隨意取實數(shù)？（想要分式有意義，分母不可為0，因此不可以隨意取數(shù)）

設(shè)計意圖？搖 從生活情境著手引入分式，讓學生結(jié)合情境來觀察分式，通過與分數(shù)的類比獲取分式的實際意義. 此情境創(chuàng)設(shè)的主要目的在于引發(fā)學生自主分析分數(shù)和分式具有怎樣的關(guān)系，并從“是否有意義”的角度來辨別分式應(yīng)具備的條件.

隨著師生探索的深入，分式的概念與本質(zhì)也隨之揭曉. 從這個教學過程來看，問題串的應(yīng)用成功地激發(fā)了學生的類比推理能力，讓學生通過與分數(shù)的對比，在獨立思考與合作交流中獲得了分式的概念. 這種學習方式，不僅讓學生獲得了一定的研究套路，還使得學生在合作交流中進一步掌握了知識本質(zhì)，為建構(gòu)完整的知識結(jié)構(gòu)奠定了基礎(chǔ).

2. 發(fā)展歸納推理能力的問題串設(shè)計

歸納是指數(shù)學教學中從特殊到一般的過程，歸納推理則是從特殊到一般的推理. 教師應(yīng)關(guān)注學生的實際認識水平與生活經(jīng)驗，帶領(lǐng)學生從他們所熟悉的事物著手進行研究、總結(jié)、概括，以發(fā)現(xiàn)一般性的結(jié)論. 基于歸納推理的問題串設(shè)計，應(yīng)遵循由淺入深的過程.

案例2? “多邊形的內(nèi)角和”的教學

學習多邊形內(nèi)角和難度并不大，學生只要發(fā)現(xiàn)并掌握其中存在的規(guī)律即可獲得結(jié)論. 但其探索過程卻屬于比較困難的環(huán)節(jié)，若引導不好，學生則難以打開思維，最終只能對公式進行機械性記憶，到后續(xù)應(yīng)用時則漏洞百出. 想要讓學生從根本上掌握多邊形內(nèi)角和的規(guī)律，就要讓學生通過對特殊情況的探索推導出一般性的規(guī)律.

設(shè)計意圖？搖 三角形、長方形、正方形、梯形等都是學生所熟悉的圖形，由此作為思維的起點，讓學生思考問題2“是否所有四邊形的內(nèi)角和均為360°”，這是從特殊到一般的研究過程，學生的思維自然而然地隨之發(fā)展，這兩個問題的提出為后續(xù)探索多邊形的內(nèi)角和奠定了基礎(chǔ).

設(shè)計意圖？搖 在問題2的基礎(chǔ)上提出問題3，可成功引發(fā)學生的認知沖突，讓學生進入四邊形內(nèi)角和的探索中去，尤其是方法2的應(yīng)用，為后續(xù)解決多邊形的內(nèi)角和問題奠定了方法基礎(chǔ).

方法1中，學生通過量角器的應(yīng)用，切身體驗了任意四邊形的內(nèi)角和，這種方法有效提升了學生的動手操作與思考能力. 方法2的應(yīng)用，有效滲透了化歸思想，成功激發(fā)了學生的潛能. 同時，一題多解對發(fā)散學生的思維、提煉思想方法以及優(yōu)化解題技巧具有重要意義.

問題4 ？搖請嘗試應(yīng)用以上方法分別探索五邊形、六邊形的內(nèi)角和.

如圖2，從五邊形中的某個頂點出發(fā)，分別與其他頂點相連，共有2條對角線，此時原圖形就被分割成3個小三角形，那么五邊形的內(nèi)角和為3×180°=540°.

如圖3，從六邊形中的某個頂點出發(fā)，分別與其他頂點相連，呈現(xiàn)3條對角線，此時原圖形被分割為4個小三角形，由此可以確定六邊形的內(nèi)角和是4×180°=720°.

設(shè)計意圖？搖 循序漸進的問題串讓學生通過對三角形、四邊形、五邊形、六邊形這些特殊圖形的探究，獲得一般性的n邊形內(nèi)角和的結(jié)論：（n－2）·180°. 這種從具體到抽象、從特殊到一般、從簡單到復雜的過程，對發(fā)展學生的歸納推理能力具有重要促進作用.

幾點思考

這兩個案例對于培養(yǎng)學生的合情推理能力具有重要意義，不論是類比推理還是歸納推理的發(fā)展都離不開問題串的輔助. 如今，問題串在課堂中的應(yīng)用已經(jīng)相當普遍，實踐告訴我們，以發(fā)展合情推理能力為目的的問題串設(shè)計需要注意如下幾點：

1. 問題需圍繞合情推理內(nèi)容而展開

問題串應(yīng)用的目的在于引發(fā)學生合情推理能力的發(fā)展，因此每一個問題的設(shè)計都要緊緊圍繞合情推理的內(nèi)容，將此作為問題的起點與終點. 如案例2中的每一個問題，從表面上看是逐個突破幾邊形內(nèi)角和，而從本質(zhì)上來觀察，每個問題都為引發(fā)學生發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和規(guī)律而準備. 大膽猜想、嚴謹驗證、提煉數(shù)學思想方法、歸納公式等都在一個個問題的逐個突破中完成，學生的合情推理能力也在此過程中得以有效發(fā)展.

2. 問題串應(yīng)立足于學生認知的起點

合情推理是有根據(jù)的推理過程，絕非毫無根據(jù)的胡思亂想. 因此，每一個問題的設(shè)計都要有明確的依據(jù)，可以學生已有的認知作為問題的起點. 比如案例1中的每一個問題都是在學生原有認知基礎(chǔ)上而設(shè)計的，學生的思維隨著問題的深入而發(fā)展. 學生從熟悉的分數(shù)出發(fā)，在問題串的作用下，通過類比推理的方式獲得分式的概念、性質(zhì)等. 整個過程自然、流暢.

3. 應(yīng)處理好預設(shè)與生成之間的關(guān)系

每一節(jié)課都是動態(tài)發(fā)展的，不論多么精心的預設(shè)都不能保證課堂能夠根據(jù)預設(shè)前進. 即使教師根據(jù)學生的認知起點來設(shè)計問題串，也不能保證每個學生的思維朝一個方向發(fā)展［3］. 這就要求教師需擁有隨機應(yīng)變的能力，根據(jù)課堂的實際情況及時調(diào)整教學策略.

如案例2中對于四邊形內(nèi)角和的探索，教師預設(shè)了兩種方法，但實際教學中極有可能會出現(xiàn)更多的方法. 此時，教師應(yīng)啟動應(yīng)急能力，快速辨別學生所提出的新方法是否適用于多邊形內(nèi)角和的推導. 若可以，則順應(yīng)學生的思維，接著往下推導；若不可以，則需做好引導工作，讓學生心悅誠服.

總之，新課標背景下的數(shù)學教學以發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)為宗旨，以“立德樹人”為核心. 這就要求教師能夠與時俱進地更新教學理念，讓課堂在合情推理中充滿內(nèi)涵與靈氣. 實踐證明，有問題的課堂是靈動的課堂，有高質(zhì)量問題的課堂是充滿智慧的課堂，問題串的應(yīng)用常能讓課堂在“通情達理”中動態(tài)生成.

參考文獻：

［1］邵長松. 精心設(shè)計數(shù)學問題 培養(yǎng)合情推理能力——例談考查合情推理能力的主要方式［J］. 中學數(shù)學雜志，2018（04）：20-22.

［2］史寧中. 試論數(shù)學推理過程的邏輯性——兼論什么是有邏輯的推理［J］. 數(shù)學教育學報，2016，25（04）：1-16，46.

［3］宋運明. 論數(shù)學問題提出和數(shù)學活動經(jīng)驗的關(guān)系［J］. 數(shù)學教育學報，2010，19（06）：34-36，49.