摘" 要：對于數(shù)學疑難內(nèi)容的教學，教師的講既重要又必要。數(shù)學教學需做到“五講”：講準確、講簡單、講直觀、講創(chuàng)新、講優(yōu)美。它們分別是體現(xiàn)數(shù)學邏輯性的應(yīng)然要求，消解數(shù)學復(fù)雜性的必然要求，降低數(shù)學抽象性的基本原則，貼近數(shù)學探究性的崇高目標，以及凸顯數(shù)學審美性以實現(xiàn)快樂學習的常用方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學教學；講授法；學科特征

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本文系四川省卓越教師培養(yǎng)計劃項目（編號：ZY16001）、四川省教育科研資助金項目重點課題“差錯診斷與差錯控制，從而數(shù)學教與學解困新路探究”（編號：SCJG20A049）、內(nèi)江師范學院橫向科研項目“高中數(shù)學原創(chuàng)性命題研究與推廣”（編號：HXL21111）的階段性研究成果。通訊作者：趙思林。

對于數(shù)學疑難內(nèi)容的教學，教師的講既重要又必要。關(guān)鍵是如何講，才能講得好，從而幫助學生學得好。對此，我們提出數(shù)學教學需做到“五講”。

一、 講準確：體現(xiàn)數(shù)學的邏輯性

講準確，是體現(xiàn)數(shù)學邏輯性的應(yīng)然要求。青年數(shù)學家惲之瑋在一次報告中講到：“只要能夠給一個確切定義，有一套邏輯規(guī)則，在這個邏輯框架下面進行推演，就是數(shù)學。”這里的推演可以理解為演繹推理，包括數(shù)學運算。由此可知，定義、邏輯規(guī)則、演繹推理是建構(gòu)數(shù)學知識體系的三大要素。在大數(shù)據(jù)和人工智能時代，基于定義、邏輯規(guī)則、演繹推理而產(chǎn)生的“算法”顯然是不容忽視的。數(shù)學中的概念、命題、推理、算法是邏輯思維的基本形式。命題與推理之間的一個重要關(guān)系是對數(shù)學命題的證明。講準確，是指把數(shù)學概念（特別是核心概念）的本質(zhì)講到位，把數(shù)學命題及其證明過程的邏輯講嚴謹，把數(shù)學運算的算理講透徹、算法講清楚。

要把經(jīng)過長期歷史文化積淀形成的數(shù)學概念的本質(zhì)講到位是不容易的。例如，調(diào)研發(fā)現(xiàn)，很多學生對函數(shù)概念本質(zhì)的認識（理解）有偏差甚至錯誤；一些教師認為“單值對應(yīng)”不是函數(shù)的本質(zhì)，“對應(yīng)”才是函數(shù)的本質(zhì)。這些教師的觀點雖然正確，但是不準確。事實上，布爾巴基學派用“兩個集合之間的單值對應(yīng)關(guān)系”來定義函數(shù)［1］，即認為函數(shù)是一種單值對應(yīng)。美國SAT（學術(shù)能力測試）數(shù)學學科考試用書中的函數(shù)定義是：關(guān)系是指有序數(shù)對組成的集合，函數(shù)是滿足一切有序數(shù)對的第一個元素（數(shù)）有且僅有唯一的第二元素（數(shù)）的關(guān)系。［2］該定義比較簡明，其中的“有且僅有唯一的”與“單值對應(yīng)”在本質(zhì)上是相同的。我國大學的數(shù)學分析教材通常也把函數(shù)的本質(zhì)規(guī)定為“單值對應(yīng)”。因此，“單值對應(yīng)”是函數(shù)的本質(zhì)。

要把數(shù)學命題及其證明過程的邏輯講嚴謹也是不容易的。對此，要小心合情推理或幾何直觀代替演繹推理的情況（當然，有意利用合情推理或幾何直觀解決過分強調(diào)演繹推理帶來的學習困難的情況除外），還要注意不能循環(huán)論證（如用余弦定理證明勾股定理）。

此外，特別要注意作圖過程中的準確。例如，用五點法作函數(shù)y=sin x在一個周期內(nèi)的圖像。畫一個草圖不需要太準確，而作函數(shù)的圖像則需要一定的準確性。作三角函數(shù)的圖像，不管是人工作圖，還是計算機作圖，都會產(chǎn)生誤差。顯然，誤差越小，作圖的質(zhì)量越高。觀摩大量的課堂發(fā)現(xiàn)，教師常常采用以下幾種畫法：（1） 隨手畫出圖像，既不標注單位長度，又不注意誤差控制。對此展現(xiàn)了畫圖的隨意性，忽視了數(shù)學的邏輯性。（2） 只在x軸上標注單位長度，不在y軸上標注單位長度。這樣做仍然展現(xiàn)了畫圖的隨意性，忽視了數(shù)學的邏輯性。（3） 在x軸和y軸上都標注單位長度。這樣做又可以細分為兩種具體的做法：① 先在x軸上標注π個單位長度，再計算，并在y軸上標注1個單位長度；② 先在y軸上標注1個單位長度，再計算，并在x軸上標注π個單位長度。前一種畫法雖然符合習慣，但是運算量大，而且誤差較大。事實上，若先在x軸上取5厘米作為π個單位長，那么y軸上的1個單位長可通過5π近似計算得到，約為1.6厘米——這里的1.6是由5π通過2次近似計算得到的：第1次近似計算是取π的近似值，如取π≈3.14；第2次近似計算是取結(jié)果的近似值，即53.14≈1.6。后一種畫法雖然不符合習慣，但是運算量小，而且誤差較小。若先在y軸上取2厘米作為1個單位長，那么x軸上的π個單位長可通過2π近似計算得到，約為6.3厘米。這兩種作圖方法都是正確的，但是后一種方法比前一種方法更準確（也更簡單）。綜上，作三角函數(shù)的圖像時，“先在y軸上標注1個單位長度，再計算，并在x軸上標注π個單位長度”是人工作圖最精準的方法。

二、 講簡單：消解數(shù)學的復(fù)雜性

講簡單，是消解數(shù)學復(fù)雜性的必然要求。菲爾茲獎得主、法國數(shù)學家馬克西姆·孔采維奇在談及“面對越來越復(fù)雜的數(shù)學，數(shù)學教育該如何做”時說：“我們要學會不斷地簡單化。”［3］張景中院士提出的“教育數(shù)學”理念也有“把數(shù)學講簡單”的核心意蘊?！鞍褦?shù)學講簡單”是數(shù)學教師的核心素養(yǎng)。［4］很多學生覺得數(shù)學難學，這可能與教師把數(shù)學講得比較復(fù)雜有直接的關(guān)系。只有把數(shù)學講簡單，才能讓學生易學、易記、易懂、易會。講簡單，是指抓住數(shù)學本質(zhì)，并把它講清楚、講透徹。數(shù)學本質(zhì)通常包括數(shù)學概念的屬性本質(zhì)、數(shù)學命題的邏輯本質(zhì)、數(shù)學整體的結(jié)構(gòu)本質(zhì)、數(shù)學內(nèi)核的思想本質(zhì)等。［5］

數(shù)學內(nèi)容包括數(shù)學概念（含義）與符號（表征）、數(shù)學命題（陳述）與問題（疑問）、數(shù)學方法與思維等。把數(shù)學概念講簡單，可采用闡明概念的內(nèi)涵，揭示概念的本質(zhì)；指出概念的外延，教授簡單的案例等方法。如講對數(shù)的定義時，可以講“對數(shù)的本質(zhì)是指數(shù)”，更具體地，在“at=p（a＞0，a≠1）”中，t（在指數(shù)位置）叫作對數(shù)。把數(shù)學符號講簡單，可采用把符號的主要意義講清楚、講直觀等方法。如講函數(shù)符號f時，可以把f理解為對x（輸入數(shù)據(jù)）進行運算的一個“機器”，即x→f→f（x）。舉一個例子，取f（x）=x3-2x+7，這時f可理解為對x施行的一個“算法”，即f（" ）=（" ）3-2×（" ）+7。把抽象問題（如抽象函數(shù)問題、多字母代數(shù)問題等）講簡單，可采用特殊化、數(shù)量圖形化、符號情境化等方法；把結(jié)構(gòu)復(fù)雜的問題講簡單，可采用換元、減元、降次等方法。把數(shù)學方法講簡單，可重點講通性通法（普適方法）；把數(shù)學思維講簡單，可采用借助直覺思維、正難則反、原型啟發(fā)、經(jīng)驗重組、“退”到特殊（極端）等策略。

例1" 證明：Cmn+1=Cmn+Cm-1n。

因為組合數(shù)的定義（意義）反映了某類組合計數(shù)問題的本質(zhì)屬性，簡單易懂，還可減少運算，所以對于本題，可先創(chuàng)設(shè)能體現(xiàn)組合數(shù)Cmn+1意義的真實情境，即構(gòu)造有n+1個不同元素的集合{x，a1，a2，…，an}，計算從該集合中取出m個元素的所有組合的總個數(shù)。根據(jù)取出的m個元素中是否含x分為兩類：其一，含x，則還需在{a1，a2，…，an}中取m-1個元素，故有Cm-1n個；其二，不含x，則需在{a1，a2，…，an}中取m個元素，故有Cmn個。因此，Cmn+1=Cmn+Cm-1n。

三、 講直觀：降低數(shù)學的抽象性

講直觀，是降低數(shù)學抽象性的基本原則。具體是指，充分利用幾何直觀、圖表直觀、模型直觀、經(jīng)驗直觀等，激發(fā)學生的直覺思維，幫助學生理解知識、發(fā)現(xiàn)結(jié)論、解決問題。為此，教師尤其要學會運用幾何畫板、matlab等數(shù)學軟件，引導(dǎo)學生開展數(shù)學實驗探究。例如，利用函數(shù)圖像切線的斜率，理解導(dǎo)數(shù)的意義；利用曲邊梯形的面積，理解定積分；觀察函數(shù)的圖像及其變換，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性、對稱性和周期性等；利用“墻角模型”“補體模型”等，解決空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問題。特別是一些代數(shù)問題的直觀解法，常常先把問題中的代數(shù)元素賦予幾何意義，然后構(gòu)造幾何圖形（圖像），從而利用幾何知識和方法巧妙、簡潔地解答問題。

例2" 若x+y+z=6（x＞0，y＞0，z＞0），求x2+2+y2+8+z2+18的最小值。

對于本題，可將代數(shù)元素賦予幾何意義：如圖1，設(shè)AB=x，DE=y，F(xiàn)G=z，AC=2，BD=22，EF=32，則BC=x2+2，BE=y2+8，EG=z2+18。通過圖形直觀，可得OG=AB+DE+FG=6，OC=AC+BD+EF=62，得到CG=OG2+OC2=63。因為BC+BE+EG≥CG，當且僅當B、C、E、G四點共線，即x2=y22=z32時，等號成立，所以，x2+2+y2+8+z2+18的最小值為63。

四、 講創(chuàng)新：貼近數(shù)學的探究性

講創(chuàng)新，是貼近數(shù)學探究性的數(shù)學教學的崇高目標。具體是指，以促進學生創(chuàng)新思維發(fā)展為目標，創(chuàng)設(shè)問題情境，營造開放、包容的學習氛圍，引導(dǎo)學生運用探究與發(fā)現(xiàn)的學習策略，運用類比歸納、直覺猜想、合情推理、經(jīng)驗重組、實驗觀察、創(chuàng)造想象、審美頓悟法等方法［6］，進行自主探究、合作研究以及成果提煉、成果分享等活動。數(shù)學的探究、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新往往是從特殊情形或類似情形開始，經(jīng)過試算觀察、歸納概括、類比遷移、提出猜想并嚴格證明等過程而實現(xiàn)的。

例如，教學“圓錐曲線”時，可引導(dǎo)學生從橢圓的第一定義中發(fā)現(xiàn)第二定義，進而發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，而不是像通常情況那樣，在學完“拋物線”后，從拋物線的定義（與橢圓、雙曲線的不統(tǒng)一）出發(fā)，探究到定點和定直線的距離比是不等于1的常數(shù)的點的軌跡，從而得到圓錐曲線的統(tǒng)一定義。設(shè)點P（x，y）、F1（-c，0）、F2（c，0），

由橢圓的第一定義知｜PF1｜+｜PF2｜=（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a（2a＞｜F1F2｜）。從而，a是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中項，可設(shè)公差為d，則有｜PF1｜=（x+c）2+y2=a+d，｜PF2｜=（x-c）2+y2=a-d。觀察兩式結(jié)構(gòu)上的對稱性，將它們平方后相減，可解得d=cax，

即｜PF1｜=a+cax=ca·x--a2c。此式的幾何意義是：平面內(nèi)的動點P（x，y）到定點F1（-c，0）的距離和到定直線x=-a2c的距離（記為｜PM｜）之比為常數(shù)e=ca（a＞c＞0），即｜PF1｜｜PM｜=e。這正是橢圓的第二定義，也即圓錐曲線的統(tǒng)一定義。類似地，可再引導(dǎo)學生通過動點P到定點F2的距離和動點P到定直線x=a2c的距離進行探究，發(fā)現(xiàn)比值｜PF2｜｜PN｜仍然是常數(shù)e。

例3" 化簡：（1） C1010+C1011+C1012+C1013；（2） C1010+C1011+C1012+…+C10100。

觀察所給組合式的結(jié)構(gòu)特征，不難發(fā)現(xiàn)：通過逆用恒等式Cmn+1=Cmn+Cm-1n，反復(fù)“合并”，即可化簡。具體過程如下：

（1） C1010+C1011+C1012+C1013

=（C1111+C1011）+C1012+C1013

=（C1112+C1012）+C1013

=C1113+C1013

=C1114。

（2） C1010+C1011+C1012+…+C10100

=（C1111+C1011）+C1012+…+C10100

=（C1112+C1012）+C1013+…+C10100

=（C1113+C1013）+C1014+…+C10100

=…

=C11101。

解決完此題后，可進一步引導(dǎo)學生把所得結(jié)論由特殊推向一般。依據(jù)恒等式Cmn+1=Cmn+Cm-1n，經(jīng)過反復(fù)遞推可以得到

Cmn+1=Cmn+Cm-1n

=Cmn-1+Cm-1n-1+Cm-1n

=Cmn-2+Cm-1n-2+Cm-1n-1+Cm-1n

=…

=Cm-1m-1+Cm-1m+Cm-1m+1+…+Cm-1n-1+Cm-1n，

從而可以發(fā)現(xiàn)朱世杰恒等式∑ri=0Ckk+i=Ck+1k+r+1。

利用朱世杰恒等式，可引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)并解決下面的求和問題：

① 1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）；

② 1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）；

③ ∑nk=1k（k+1）（k+2）（k+3）；

④ 12+22+32+…+n2；

⑤ 13+23+33+…+n3。

五、 講優(yōu)美：凸顯數(shù)學的審美性

講優(yōu)美，是凸顯數(shù)學審美性以實現(xiàn)快樂學習的常用方法。倫敦大學神經(jīng)科學家塞米爾澤克的研究表明，數(shù)學美能激活腹側(cè)眶額葉皮層（位于人腦前部），并且美感越強，大腦相應(yīng)區(qū)域的活動水平越高。而腹側(cè)眶額葉皮層是快樂體驗和獎賞回路中非常重要的一部分，所以，數(shù)學美是大腦生成快樂體驗的重要來源。古希臘數(shù)學家普洛克拉斯指出：“哪里有數(shù)學，哪里就有美?！比A羅庚先生認為，不能只關(guān)注數(shù)學的嚴謹性，還要體會數(shù)學的內(nèi)在美；就數(shù)學本身而言，是壯麗多彩、千姿百態(tài)、引人入勝的。因此，教師可以且應(yīng)該把數(shù)學講優(yōu)美。一是講好數(shù)學中優(yōu)美的故事，這些故事既是激發(fā)學習動機、打開學生心智的有效方法，又是數(shù)學文化育人的重要抓手；二是通過典型的案例講好數(shù)學內(nèi)在之美，比如簡單美、統(tǒng)一美、對稱美、和諧美和奇異美等；三是做到語言美，包括數(shù)學語言的簡單美、嚴謹美、形象美、風趣美等；四是引導(dǎo)學生在數(shù)學知識概括、數(shù)學思想提煉的過程中欣賞美，在數(shù)學課外活動、實踐應(yīng)用的過程中感受美，在數(shù)學探究、發(fā)現(xiàn)的過程中創(chuàng)造美等；五是引導(dǎo)學生借助數(shù)學美的啟迪，把數(shù)學問題解決的過程變成感受美、創(chuàng)造美和應(yīng)用美的過程。

例4" 已知m、n、p＞0且m＞n+p，求u=m2+1mn+1mp+1m（m-n-p）的最小值。

顯然，待求式中的3個分母都不是最簡單的形式。因此，為使3個分母達到簡單美，可用換元法。令mn=x，mp=y，m（m-n-p）=z，則x、y、z＞0，且m2=x+y+z，故u=x+y+z+1x+1y+1z。此結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了對稱美，可以利用基本不等式，得到u≥2x·1x+2y·1y+2z·1z=6，當且僅當x=y=z=1時取等號。所以，umin=6。

例5" 已知a＞0，x＞1且滿足a（eax+1）≥2x+1xln x，求a的最小值。

易見，所給的不等式兩邊的形式（結(jié)構(gòu)）

不統(tǒng)一。在統(tǒng)一美的指引下，可將不等式兩邊化為統(tǒng)一的形式：ax·（eax+1）≥（eln x2+1）·ln x2。由此，可令函數(shù)f（t）=t·（et+1）（t＞0），則有f（ax）≥f（ln x2）。又由于f′（t）＞0，f（t）單調(diào)遞增，所以ax≥ln x2，解得a≥2ln xx（x＞1）。再由2ln xx≤2e（當且僅當x=e時取等號），可得amin=2e。

總之，數(shù)學教學做到“五講”，需要教師具有深厚的數(shù)學功底（包括數(shù)學文化功底）、飽滿的教育情懷、先進的教學理念、嫻熟的教學技能。數(shù)學教學的理想狀態(tài)是綜合和靈活地運用“五講”，使每堂課都能體現(xiàn)準確、簡單、直觀、創(chuàng)新和優(yōu)美。

參考文獻：

［1］ Bourbaki.Elements of mathematics：Theory of sets［M］.Paris：Hermann，1968：81.

［2］ 徐小琴.STM函數(shù)定義的特點及對高中函數(shù)定義教學的啟示［J］.中學數(shù)學月刊，2019（8）：2123.

［3］ 韓揚眉.頂尖科學家談基礎(chǔ)科學教育：試錯讓我接近正確方向［EB/OL］.（20230727）［20231027］.https：//news.sciencenet.cn/htmlnews/2023/7/505560.shtm.

［4］ 趙思林，潘超.中學數(shù)學教師核心素養(yǎng)及構(gòu)成要素［J］.數(shù)學教育學報，2021（2）：4854.

［5］ 崔靜靜，柴文斌，趙思林.突出數(shù)學本質(zhì)的教學策略［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2022（9）：6064.

［6］ 李紅霞，尤娜，趙思林.數(shù)學創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)策略［J］.數(shù)學通報，2022（9）：1720+26.