潘星熠 陳提

(南京航空航天大學(xué) 航空航天結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制全國重點(diǎn)實驗室,南京 210016)

引言

太陽帆、大型空間望遠(yuǎn)鏡和大口徑天線等大型空間結(jié)構(gòu)將在深空探測、高精度觀測和高容量通信等未來空間項目中發(fā)揮重要作用.由于火箭運(yùn)載能力和整流罩的包絡(luò)原因,此類超大型空間結(jié)構(gòu)一般不能采用折疊收攏發(fā)射入軌、在軌展開的方式搭建,在軌組裝可以有效解決這個問題.在軌組裝是把一個大型空間結(jié)構(gòu)拆分為一組或幾組容易構(gòu)建的模塊,互相獨(dú)立從地面發(fā)射后再在太空中進(jìn)行組裝從而搭建成完整結(jié)構(gòu)的技術(shù)[1].

微小衛(wèi)星編隊飛行和模塊化航天器的研究讓標(biāo)準(zhǔn)衛(wèi)星的功能被一組更小的模塊所替代,模塊化航天器在太空中的復(fù)雜編隊激發(fā)了學(xué)者們利用分形幾何結(jié)構(gòu)的興趣[2],并且研究發(fā)現(xiàn)Vicsek分形幾何結(jié)構(gòu)也可以用于部署天線陣列[3-5].分形結(jié)構(gòu)具有無限迭代、自相似的、具有分形維數(shù)點(diǎn)等特點(diǎn),這種本身的特性使分形天線具有易于小型化和具有多頻特性的特點(diǎn)[6],Vicsek分形天線陣列的自相似性有利于實現(xiàn)多波段特性,同時可增加方向性和控制天線主波束的可能,這給空間通信提供許多好處.此外,分布式望遠(yuǎn)鏡也被認(rèn)為是解決超大口徑望遠(yuǎn)鏡技術(shù)限制的有效方法,分布式空間光學(xué)干涉技術(shù)可以實現(xiàn)等效數(shù)十至數(shù)百米光學(xué)合成孔徑[7].美國宇航局和歐洲航天器分別提出了類地行星發(fā)現(xiàn)者干涉儀(TPF-I)和達(dá)爾文計劃,中國也提出了“覓音計劃”,均是通過小型望遠(yuǎn)鏡陣列來實現(xiàn)高分辨率成像[8-10].

近些年,學(xué)者們提出了多種自主組裝概念和方法.美國國家航空航天局蘭利研究中心的Rhodes等使用102根四面體桁架和12個六邊形面板演示了一種大孔徑天線的自動裝配過程[11].加州理工學(xué)院的Lee等設(shè)計了一種基于在軌展開、空間機(jī)器人和編隊飛行技術(shù)的100m模塊化空間望遠(yuǎn)鏡架構(gòu)[12].在美國國防高級研究計劃局資助下,勞拉空間系統(tǒng)公司試圖使用空間機(jī)械臂系統(tǒng)在軌組裝一個大型天線反射器[13].雖然我國在軌組裝技術(shù)研究起步較晚,但是近十幾年也提出了一系列任務(wù)概念和在軌組裝規(guī)劃.例如,哈爾濱工業(yè)大學(xué)崔乃剛、郭繼峰團(tuán)隊[14]采用了兩級遞階智能規(guī)劃算法設(shè)計大型空間桁架結(jié)構(gòu)的在軌裝配任務(wù)序列.錢學(xué)森空間技術(shù)實驗室和哈爾濱工業(yè)大學(xué)聯(lián)合提出了利用空間機(jī)器人實現(xiàn)一種模塊化巨型空間太陽能電站(SSPS)搭建概念[15].

具有自主機(jī)動能力的組裝模塊在近距離操作過程中,必須要考慮避免碰撞.目前看來,針對無人機(jī)和機(jī)器人系統(tǒng)的避撞成果較為豐富,但是在針對航天器在軌組裝的避撞規(guī)劃研究相對較少.使用超二次曲面描述組裝模塊與障礙物,然后利用人工勢函數(shù)方法設(shè)計相應(yīng)控制器是航天器避撞的常用方法[16,17].Morgan等使用分布式模型預(yù)測控制解決了帶有時變避撞約束的航天器集群最優(yōu)導(dǎo)航和構(gòu)建問題[18].劉建彪等根據(jù)MROT理論,規(guī)劃組員航天器的安全轉(zhuǎn)移路徑以規(guī)避碰撞危險[19].

本文以在軌組裝超大型空間結(jié)構(gòu)為目標(biāo),受Vicsek分形圖形啟發(fā)設(shè)計了適用于搭建星載天線以及分布式空間望遠(yuǎn)鏡的超大型空間結(jié)構(gòu),以125個剛性航天器為例研究了智能航天器集群在軌組裝動力學(xué)與控制問題.考慮中心引力場,分別建立了追蹤航天器和目標(biāo)航天器的位置和姿態(tài)動力學(xué)方程組.以Vicsek分形為基礎(chǔ)結(jié)構(gòu),設(shè)計了125個航天器在軌組裝的構(gòu)型,并且將組裝過程分為三階段完成,其中每個階段均由預(yù)組裝環(huán)節(jié)和完全組裝環(huán)節(jié)構(gòu)成,在預(yù)組裝環(huán)節(jié)引入了避撞力,設(shè)計了避撞復(fù)合控制器,在完全組裝環(huán)節(jié)采用了純PD控制,最后通過數(shù)值仿真驗證了控制策略的有效性.

1 剛性航天器動力學(xué)模型與控制

1.1 相關(guān)坐標(biāo)系以及向量描述

如圖1所示,Fi?{Oxiyizi}為地心慣性坐標(biāo)系,Fc?{Cxyz}和Ft?{Txtytzt}分別是與追蹤航天器和目標(biāo)航天器固連的本體坐標(biāo)系.{r,re}和{rt}分別是表示在Fc和Ft坐標(biāo)系中的相對位置向量.本文中,控制器是作用在追蹤航天器上,因此追蹤航天器逐漸靠近追蹤目標(biāo)航天器,并與其對接.

圖1 坐標(biāo)系以及相關(guān)向量描述Fig.1 Description of the coordinate frames and defined vectors

1.2 航天器相對慣性系的位置和姿態(tài)運(yùn)動方程

追蹤航天器質(zhì)心C的位置和本體坐標(biāo)系Fc相對于慣性坐標(biāo)系Fi的姿態(tài)可以通過以下運(yùn)動學(xué)方程來描述[20]:

(1)

(2)

其中r為從地球中心指向追蹤航天器的位置矢量,σ為描述追蹤航天器姿態(tài)的修正羅德里格斯參數(shù)(Modified Rodrigues Parameters, MRP);v和ω分別為追蹤航天器線速度和角速度.這些量均在追蹤航天器本體坐標(biāo)系Fc中表示.

追蹤航天器動力學(xué)方程可以描述為:

(3)

(4)

其中fc和τc分別為作用在追蹤航天器上控制力和控制力矩,m和J分別為追蹤航天器的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量矩陣,μ定義為μ=μg/‖r‖3,其中μg為地球的引力常數(shù).對于任意向量x=[x1,x2,x3]T,S(x)定義為

(5)

同樣,無外力和外力矩作用下自由翻滾的目標(biāo)航天器的位置和姿態(tài)運(yùn)動方程為:

(6)

(7)

(8)

(9)

其中rt,σt,vt和ωt分別為目標(biāo)航天器的位置矢量、基于MRP的姿態(tài)描述、線速度和角速度;mt和Jt分別為目標(biāo)航天器的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量矩陣.這些量均在目標(biāo)航天器本體坐標(biāo)系Ft中表示.其中μt定義為μt=μg/‖rt‖3.

1.3 航天器相對慣性系的位置和姿態(tài)運(yùn)動方程

由于兩航天器的位置和姿態(tài)等向量分別定義在兩個不同的坐標(biāo)系下,在計算相對參數(shù)時需要把向量轉(zhuǎn)換到同一坐標(biāo)系下.從目標(biāo)航天器本體坐標(biāo)系Ft到追蹤航天器本體坐標(biāo)系Fc的旋轉(zhuǎn)矩陣為:

(10)

其中用MRP表示的追蹤航天器與目標(biāo)航天器的相對姿態(tài)σe定義為:

(11)

根據(jù)圖1所示,在追蹤航天器本體坐標(biāo)系中,兩航天器之間的相對角速度,相對距離和相對速度可以分別表示為:

ωe=ω-Rωt,re=r-Rrt,ve=v-Rvt

(12)

2 控制器設(shè)計與任務(wù)規(guī)劃

2.1 Vicsek分形結(jié)構(gòu)

分形幾何圖形是通過在簡單的起始拓?fù)渖蠄?zhí)行的迭代過程生成的.分形圖形具有無限迭代、自相似等特點(diǎn),在航天器在軌組裝領(lǐng)域充分發(fā)揮其優(yōu)點(diǎn),有利于提高空間的利用率同時可以提高組裝的效率.匈牙利生物物理學(xué)家Tamás Vicsek描述了在原始拓?fù)湔叫紊线M(jìn)行的迭代過程,這種分形稱為Vicsek分形或盒分形.參考圖2,這種分形以一個簡單的正方形開始,此時其迭代順序為零.接下來,將正方形分成九個相等的小正方形,保留拐角的四個正方形和中間正方形或者在拐角處移除四個正方形.重復(fù)上述過程進(jìn)行迭代,如果迭代過程進(jìn)行無限次,則Vicsek分形圖形的周長無限長,但其面積有限.

圖2 Vicsek分形的兩種形式Fig.2 Tow forms of Vicsek fractal

2.2 任務(wù)規(guī)劃

根據(jù)分形理論,以Vicsek分形為基礎(chǔ)結(jié)構(gòu),考慮每個微型航天器都容納有效載荷(如天線,望遠(yuǎn)鏡鏡面),這樣問題就轉(zhuǎn)化為航天器集群組裝完成分形結(jié)構(gòu).本研究以125個同構(gòu)微型航天器為例,將組裝過程分為三個階段,如圖3所示.

圖3 基于Vicsek分形的航天器在軌組裝各階段構(gòu)型Fig.3 Configuration of spacecraft in-orbit assembly based on Vicsek fractal: (a)Initial state(125 quantity);(b)First stage(25 groups);(c)Second stage(5 groups);(d)Third stage(final configuration)

對于Vicsek分形天線,理論上天線的周長可以是無限長的(忽略每一小節(jié)的天線所占面積),但是在本文提出的航天器組裝構(gòu)型中,航天器的尺寸是無法忽略的,因此有限面積內(nèi)無限周長的特性并不適用,然而盡管增加航天器的數(shù)量后構(gòu)型占用的面積變大,但是比起天線周長的大幅增加,面積的增加可以說是比較小的.對于Vicsek分形分布式望遠(yuǎn)鏡,每個航天器均為一個小型望遠(yuǎn)鏡,可以利用分布式空間光學(xué)干涉技術(shù)用多個小型望遠(yuǎn)鏡對同個目標(biāo)實現(xiàn)高分辨率成像觀測,同時由于具有足夠多數(shù)量的小型望遠(yuǎn)鏡可以對多個目標(biāo)進(jìn)行觀測,以提高觀測效率.如圖3(d)所示在構(gòu)型包絡(luò)的正方形內(nèi),沒有被航天器填充的空白區(qū)域占比較小,并且航天器設(shè)計的尺寸越小同樣面積內(nèi)的填充率就越高,天線周長也越長,所以這種分形構(gòu)型可以提高空間的利用率.

如圖3(a)所示,初始時刻航天器之間相互分離,第一個階段,每5個航天器為一組,一共分為25組,組內(nèi)航天器組裝為一個形如圖3(b)的十字航天器,組裝完成的航天器面積為初始微型航天器的5倍,組內(nèi)以及組和組之間所有航天器的形狀保持一致.第二階段,每5個十字航天器同樣按照十字形組裝,一共有5組,組裝完成形如圖3(c)的航天器是由25個初始微型航天器組成的復(fù)雜航天器,其面積為上一階段十字形的5倍,為初始微型航天器的25倍.最后一個階段,將第二階段組裝完成的5個十字航天器完全組裝,此時組裝完成形如圖3(d)的航天器由起始的125個同構(gòu)航天器組成,面積仍舊為上一階段的5倍.因此在航天器組裝過程中,每一階段組裝完成的航天器均是十字形,航天器不僅與同一階段的不同組之間的航天器幾何形狀相同,同時與不同階段航天器的幾何形狀相似,從而可以認(rèn)為具有分形的自相似性.如果需要增加航天器的數(shù)量或增加組裝結(jié)構(gòu)面積,可按照這種組裝方式無限迭代下去直至完成所有航天器的組裝.

2.3 控制力與控制力矩設(shè)計

將每一階段的組裝過程分為兩個環(huán)節(jié),第一個環(huán)節(jié)為控制追蹤航天器使其和目標(biāo)航天器達(dá)到一個較為接近的相對距離并且保持相對靜止,稱為預(yù)組裝環(huán)節(jié);第二個環(huán)節(jié)為控制追蹤航天器緩慢逼近目標(biāo)航天器,最后使得兩航天器完全對接.以組裝的第一階段為例,組裝過程如圖4所示.每個組內(nèi)都有一個航天器認(rèn)為是目標(biāo)航天器(紅色標(biāo)出),其余四個航天器為追蹤航天器(藍(lán)色標(biāo)出),追蹤航天器均追蹤組內(nèi)的目標(biāo)航天器.

圖4 在軌組裝過程示意圖Fig.4 Schematic diagram of in-orbit assembly:(a)Initial state;(b)Pre-assembly;(c)Assembly

在實際情形下,追蹤航天器在逼近期望位置過程中可能會發(fā)生與其他航天器等物體的碰撞,因此需要在預(yù)組裝環(huán)節(jié)加入避撞力,避免碰撞的發(fā)生.fp為基于以下排斥勢場負(fù)梯度產(chǎn)生的避撞力.

(13)

其中N是針對當(dāng)前航天器需要將其他航天器考慮為障礙的數(shù)量,ri是當(dāng)前航天器與第i個障礙物的相對距離,d0,i和δ0,i分別代表危險和避撞區(qū)域的半徑.ki定義為

(14)

因此,基于以上避撞勢力場,fp可以設(shè)計為

(15)

選用傳統(tǒng)的PD控制律加上避撞力的方法對追蹤航天器和目標(biāo)航天器之間的相對位置以及相對姿態(tài)進(jìn)行調(diào)節(jié),在本文中將作用在追蹤航天器上的主動控制力表示為

(16)

其中對于任意向量x=[x1,x2,x3]T,Tanh(x)=[tanh(x1),tanh(x2),tanh(x3)]T.由式(15)可知,當(dāng)不添加任何飽和函數(shù)時,避撞力在接近到危險區(qū)域半徑時,趨向于無窮,但是考慮到作用在航天器上的控制力不能過大,所以為了避免進(jìn)一步避免碰撞的發(fā)生,將預(yù)組裝環(huán)節(jié)的固定期望位置用關(guān)于時間的一次函數(shù)來替代,即

(17)

因此,修正后的PD控制器表示為

(18)

(19)

從上式可以發(fā)現(xiàn)一旦‖rei‖小于2m且兩個航天器幾乎相對靜止時,避撞將停止工作,即當(dāng)‖re1‖<2.5(m)且‖ve1‖<0.005(m/s)時,可以認(rèn)為兩航天器之間已經(jīng)完成預(yù)組裝環(huán)節(jié),滿足進(jìn)行下一步對接的條件.

3 仿真算例

初始航天器的尺寸均為邊長為0.5m的立方體,每一階段航天器的質(zhì)量與轉(zhuǎn)動慣量見表1所示.設(shè)置系統(tǒng)的初始條件,所有的航天器初始姿態(tài)均為[0;0;0],其他初始條件以第一組航天器為例,初始位置、初始速度和角速度見表2所示,其中目標(biāo)航天器初始位置采用文獻(xiàn)[20]中的數(shù)據(jù).每往后一組,組內(nèi)的航天器除了初始位置的x軸+50m以外,其余都保持與上一組相對應(yīng)的航天器一致,即初始狀態(tài)下所有航天器等距在x軸上一列排開,每五個航天器為一組并且每個航天器質(zhì)心與相鄰航天器質(zhì)心的距離均為10m.設(shè)計各階段航天器預(yù)組裝和完全組裝的相對期望位置見表3所示.此外,每一階段的航天器避撞半徑以及控制器增益分別如表4、表5所示.由表1可得三個階段的航天器的質(zhì)量以及轉(zhuǎn)動慣量逐階段增大,且不同階段避撞力中的危險和避撞半徑不一致導(dǎo)致避撞力的變化情況也不一致,因此為了得到比較好的控制效果,比如減少振蕩,更平滑地從預(yù)組裝環(huán)節(jié)向完全組裝環(huán)節(jié)過渡等,需要調(diào)節(jié)各階段追蹤航天器的控制器增益.

表1 航天器質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量

表2 組內(nèi)航天器的初始運(yùn)動狀態(tài)(第一組)

表3 航天器預(yù)組裝相對位置和完全組裝相對位置

表4 追蹤航天器的控制增益

表5 避撞半徑

基于選定的初始狀態(tài)和組裝策略,可以得到同一階段組與組之間的航天器初始相對運(yùn)動狀態(tài)以及期望相對運(yùn)動狀態(tài)均一致,可以認(rèn)為各組的組裝過程是一個重復(fù)任務(wù).

在此初始條件以及控制器參數(shù)下的仿真結(jié)果如圖5～圖14所示.其中如圖5～圖7所示,藍(lán)色實線表示當(dāng)前階段下所有追蹤航天器與位于中間的航天器的相對位置,紅色實線表示當(dāng)前階段所有目標(biāo)航天器與位于中間的航天器的相對位置,由于第一階段將所有航天器分為25組,因此如圖5所示,時間為0s～2000s時一共有25條紅線.圖7為z軸上航天器之間的相對距離,結(jié)合表2可知各組的4號航天器與組內(nèi)目標(biāo)航天器在z軸的方向上有初始相對速度,因此在0s附近有一個數(shù)值變化.航天器分別在0s,1000s,4500s開啟第一階段,第二階段和第三階段,并且分別在200s,1400s,5535s左右在各自的階段開始從預(yù)組裝環(huán)節(jié)向完全組裝過渡,即追蹤航天器均緩慢地向各自的目標(biāo)航天器逼近,并且在此過程中無振蕩發(fā)生.航天器在400s左右完成第一階段的組裝,即125個微型航天器組裝成為25個形如圖3(b)的十字航天器,約在3200s左右完成第二階段組裝,此時組裝結(jié)果為5個形如圖3(c)的較為復(fù)雜的十字航天器,最后在7500s左右組裝成為形如圖3(d)的航天器,此時認(rèn)為125個航天器完成所有組裝任務(wù).各階段之間的時間以及第三階段穩(wěn)定后的時間也表明了設(shè)計的控制器是可以保證航天器到達(dá)相對期望位置和姿態(tài)后仍能保持收斂.在200s左右,所有航天器的相對姿態(tài)以及作用在追蹤航天器上的控制力矩均達(dá)到了一個很接近0的數(shù)并且保持在0附近,因此認(rèn)為在200s以后所有航天器均保持姿態(tài)同步.由于避撞力的加入以及期望相對位置的修正,所有航天器在預(yù)組裝環(huán)節(jié)均不會發(fā)生碰撞,并且可以較為平滑地向完全組裝過渡.

圖5 全過程所有目標(biāo)航天器與追蹤航天器的相對位置(x軸)Fig.5 Relative position of all target and chaser spacecraft in the whole mission (x-axis)

圖6 全過程所有目標(biāo)航天器與追蹤航天器的相對位置(y軸)Fig.6 Relative position of all target and chaser spacecraft in the whole mission (y-axis)

圖8 全過程所有目標(biāo)航天器與追蹤航天器的相對姿態(tài)Fig.8 Relative attitude of all target and chaser spacecraft in the whole mission

圖9 所有追蹤航天器上的控制力Fig.9 Control force acting on all chaser spacecraft

圖10 所有追蹤航天器上的控制力矩Fig.10 Control torque acting on all chaser spacecraft

圖11 航天器相對位置局部放大圖(x軸)Fig.11 Local enlarged drawing of relative position of spacecraft(x-axis)

圖12～圖14為各過程任意一組組內(nèi)航天器的相對運(yùn)動軌跡圖,圖中的圓圈代表目標(biāo)航天器,因此其坐標(biāo)為[0;0;0],值得注意的是,圓圈的尺寸和形狀不代表航天器的真實尺寸和形狀,只是起到展示航天器相對位置的作用.針對圖14即第三階段航天器相對運(yùn)動軌跡圖,在初始相對位置上追蹤航天器與目標(biāo)航天器在y軸的方向上有大約2m的位移,原因是組與組之間的航天器初始在x軸的方向上有一定的相對距離,即不在同一軌道上,因此在不加外力的目標(biāo)航天器之間會產(chǎn)生一定的相對漂移量,同樣漂移量也在圖6中4500s(第三階段開始)左右存在.

圖12 第一階段任意一組組內(nèi)航天器相對運(yùn)動軌跡圖Fig.12 The relative motion path of any group of spacecraft in the first stage

圖13 第二階段任意一組組內(nèi)航天器相對運(yùn)動軌跡圖Fig.13 The relative motion path of any group of spacecraft in the second stage

圖14 第三階段航天器相對運(yùn)動軌跡圖Fig.14 The relative motion path of spacecraft in the third stage

4 結(jié)論

針對剛性航天器在軌組裝的構(gòu)型以及動力學(xué)與控制問題,本文基于Vicsek分形結(jié)構(gòu)設(shè)計了一種航天器的組裝構(gòu)型以提高組裝效率,同時發(fā)揮分形結(jié)構(gòu)可無限迭代的特點(diǎn)來提高空間的利用率,將125個同構(gòu)航天器組裝過程分為三個階段,每個階段的構(gòu)型均滿足分形的自相似性.建立了剛性航天器的位置和姿態(tài)動力學(xué)方程并導(dǎo)出追蹤航天器與目標(biāo)航天器的相對參數(shù),為了完成航天器的組裝并且在組裝過程中避免碰撞,每個階段均分為預(yù)組裝環(huán)節(jié)和完全組裝環(huán)節(jié),其中預(yù)組裝環(huán)節(jié)選用避撞復(fù)合PD控制器,在完全組裝環(huán)節(jié)僅采用PD控制.仿真結(jié)果表明:本文對航天器在軌組裝的任務(wù)規(guī)劃是合理的,以及針對組裝任務(wù)設(shè)計的控制器可以有效避免碰撞的發(fā)生,并且能保證所有航天器姿態(tài)同步,最后完成125個航天器的組裝.