郭碧垚 周艷,2? 張偉 劉宇

(1. 內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 呼和浩特 010022)

(2. 內(nèi)蒙古師范大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)中心, 呼和浩特 010022)

(3. 廣西大學(xué) 土木工程建筑學(xué)院, 南寧 530000)

引言

在微分方程定性理論中,關(guān)于極限環(huán)的研究是一個既有趣又困難的部分. 研究極限環(huán)與解決微分方程積分曲線族的全局結(jié)構(gòu)問題之間有密切的聯(lián)系[1,2],為了確定一個確定的系統(tǒng)是否存在極限環(huán),龐卡萊首先提出了后繼函數(shù)法[3]、小參數(shù)法和環(huán)域定理等重要理論. 其中,后繼函數(shù)法在研究一些非線性動力系統(tǒng)的極限環(huán)的存在性、穩(wěn)定性以及重次等性質(zhì)時具有重要的作用,這一理論也進(jìn)一步推動了非線性系統(tǒng)分叉問題的深入研究[4],如閉軌分叉,龐卡萊分叉等[5,6]. 近些年來,閉軌分叉問題是動力系統(tǒng)的分叉現(xiàn)象研究的一個熱點問題[7-9],它既是一種局部分叉,又是動態(tài)分叉[10].當(dāng)前,已有研究者對各類不同的動力系統(tǒng)進(jìn)行極限環(huán)及閉軌分叉分析,得到了相關(guān)的結(jié)論[11-14].

由于大多數(shù)系統(tǒng)是無法具體求解的,使用后繼函數(shù)法研究其閉軌分叉問題并不容易[15-19]. 對于一個確定的非線性系統(tǒng)而言,如何確定后繼函數(shù)的具體表達(dá)式是非常困難的,另一方面,即使已經(jīng)獲得系統(tǒng)后繼函數(shù)的表達(dá)形式,而具體計算其零點的個數(shù)也是很難做到的. 但是后繼函數(shù)法依然是分叉理論研究的不可或缺的重要方法.本文通過給出一個非線性動力系統(tǒng),借助于后繼函數(shù)法對其閉軌分叉問題進(jìn)行了有效的理論分析.

1 非線性系統(tǒng)的平衡點分析

自治非線性系統(tǒng)為

(1)

其中P,Q是x-y平面上的連續(xù)函數(shù),且滿足解的存在唯一性條件.

定義2無切線段上的點與其后繼點(如果存在)的坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系稱為后繼函數(shù). 有時也把h(u)=g(u)-u稱為后繼函數(shù).

由于后繼函數(shù)在系統(tǒng)不動點附近的性態(tài)決定了非線性系統(tǒng)的軌線在極限環(huán)附近的性態(tài). 由此,后繼函數(shù)不僅可以用來研究極限環(huán)的存在性,還可以用來研究極限環(huán)的穩(wěn)定性[20-25],為進(jìn)一步揭示后繼函數(shù)與極限環(huán)穩(wěn)定性的關(guān)系,給出如下定理:

定理1如果后繼函數(shù)h(u)滿足

h(u0)=h′(u0)=…=h(k-1)(u0)=0,h(k)(u0)≠0,其中k∈Z+.則Γ0稱為k重極限環(huán).若k為奇數(shù),h(k)(u0)<0(或>0),則Γ0是穩(wěn)定(或不穩(wěn)定)極限環(huán); 若k為偶數(shù),h(k)(u0)<0(或>0),則Γ0是外側(cè)穩(wěn)定而內(nèi)側(cè)不穩(wěn)定(或外側(cè)不穩(wěn)定而內(nèi)側(cè)穩(wěn)定)極限環(huán).

任意u≠u0,且|u-u0|<ε,ε充分小,那么

h(u)=h(u0)+h′(u0)(u-u0)+…+

2 分叉周期解的方向和穩(wěn)定性

在這節(jié)中,我們考慮如下系統(tǒng):

(2)

其中,λ為擾動小參數(shù).

系統(tǒng)(2)的未擾系統(tǒng),即λ=0時的系統(tǒng)為

(3)

通過后繼函數(shù)法可以判斷出系統(tǒng)(3)有一個二重極限環(huán)Υ:x2+y2-1=0.

引入極坐標(biāo)表示,系統(tǒng)(3)可以轉(zhuǎn)化為

(4)

x=cosθ+ncosθ,y=sinθ+nsinθ.

(5)

在曲線坐標(biāo)系中,坐標(biāo)曲線θ=c是過點cosθ,sinθ)的法線,顯然法線θ=0和θ=2π重合,坐標(biāo)曲線n=c是閉曲線(也就是以原點為圓心的圓),由此可得以上閉軌Υ就是閉軌n=0,而對應(yīng)的n>0的閉軌分布在Υ外側(cè),n<0的閉軌分布在Υ內(nèi)側(cè).坐標(biāo)變換式(5)的雅可比(Jacobian)式為

顯然,對任何θ都有D=-n-1.因此, 存在足夠小的δ>0, 使得當(dāng) |n|<δ時有D<0.這表明, 在閉曲線n=-δ和n=δ之間的環(huán)形鄰域內(nèi). 若θ∈[0,2π),則兩種坐標(biāo)是一一對應(yīng)的.

在環(huán)域|n|<δ內(nèi),將變換(5)式代入系統(tǒng)(3),我們有

(6)

易知

(7)

由式(6)和式(7),可得一個關(guān)于θ與n的微分方程

(8)

由于函數(shù)F(θ,n)在以上鄰域內(nèi)連續(xù)可微,故此鄰域內(nèi)的每一點,方程(8)都有唯一解.特別的有θ=0,n=0的解為閉軌Υ.

記方程(8)的滿足初始條件θ=0,n=n0(|n0|充分小)的解為

n=Φ(θ,n0)

(9)

(10)

由于閉軌Υ對應(yīng)于n=Φ(θ,0)≡0,因此,我們有g(shù)(0)=h(0)=0.

為了進(jìn)一步確定閉軌的穩(wěn)定性,下面考慮式(8)右端函數(shù)F(θ,n)滿足

F(θ,0)=0

(11)

(12)

令θ=2π,得到系統(tǒng)的后繼函數(shù)為

(13)

滿足h′(0)=0,h″(0)=-16π<0.由定理1可知Υ是外側(cè)穩(wěn)定、內(nèi)側(cè)不穩(wěn)定的二重極限環(huán).

下面考慮原非線性系統(tǒng)(2)的閉軌分叉問題.當(dāng)λ<0時,O(0,0)為系統(tǒng)(2)唯一的穩(wěn)定平衡點;而當(dāng)0<λ<1時,系統(tǒng)(2)有兩個極限環(huán): 它們的軌線方程為

x2+y2=1±λ

(14)

并且,當(dāng)λ→0時,軌線(14)以λ=0時的二重環(huán)Υ為極限位置.

3 數(shù)值模擬

在這一節(jié),我們將根據(jù)參數(shù)的不同取值來觀察非線性系統(tǒng)的閉軌分叉發(fā)生的過程. 利用MATLAB軟件繪圖可得系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng),對于不同取值的λ,分別給出了系統(tǒng)(2)在x2+y2=1鄰近位置的相圖.

通過上面的數(shù)值模擬結(jié)果,我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)λ<0時,O(0,0)為系統(tǒng)(2)唯一的穩(wěn)定平衡點,如圖1所示;當(dāng)λ=0時,系統(tǒng)(2)具有二重環(huán)Υ,系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)如圖2所示;當(dāng)0<λ<1時,系統(tǒng)(2)有如圖3所示的兩個極限環(huán).

圖1 當(dāng)λ=-1時,系統(tǒng)(2)的相圖Fig.1 Phase portrait of system (2) when λ=-1

圖2 當(dāng)λ=0時,系統(tǒng)(2)的相圖Fig.2 Phase portrait of system (2) when λ=0

圖3 當(dāng)λ=0.49時,系統(tǒng)(2)的相圖Fig.3 Phase portrait of system (2) when λ=0.49

4 總結(jié)

本文分析了一類非線性系統(tǒng)的閉軌分叉問題,通過選擇合適的坐標(biāo)變換,獲得系統(tǒng)的后繼函數(shù)顯式表達(dá)式,討論了系統(tǒng)存在的極限環(huán)及其穩(wěn)定性. 最后,通過MATLAB進(jìn)行數(shù)值模擬,得到系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)特性.