石興東 程鵬 張宇飛,2?

(1.沈陽航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院,沈陽 110136)

(2.廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院,南寧 530004)

引言

金屬泡沫材料由于內(nèi)部孔隙的存在,具有輕質(zhì)、隔熱、減震的特性,通過定制內(nèi)部孔隙的密度和尺度,可以獲得所需的材料力學(xué)性能,因此,金屬泡沫材料在能量吸收、輕質(zhì)結(jié)構(gòu)和熱控制[1]等方面得到了廣泛的應(yīng)用.然而,多孔材料的內(nèi)部孔隙降低了結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度,這限制了其在某些工程領(lǐng)域的應(yīng)用.相關(guān)研究[2]表明,多孔材料可以填充低體積分?jǐn)?shù)的碳材料,如石墨烯薄片(GPL)和碳納米管,以彌補(bǔ)其強(qiáng)度和剛度的降低,特別是GPL增強(qiáng)復(fù)合材料[3,4]具有輕質(zhì)、良好的導(dǎo)電和導(dǎo)熱性能,因此,關(guān)于GPL增強(qiáng)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的研究受到了廣泛的關(guān)注.

Kitipornchai等[5]研究了GPL增強(qiáng)多孔梁的自由振動(dòng)特性.Ye和Wang[6]研究了FG-GPLRMF薄壁圓柱殼的非線性強(qiáng)迫振動(dòng)特性.Yang等[7]基于切比雪夫-里茲方法分析了GPL增強(qiáng)多孔納米復(fù)合板的屈曲和自由振動(dòng).Dong等[8,9]研究了GPL增強(qiáng)多孔納米復(fù)合圓柱殼的屈曲和線性振動(dòng)行為.Wang等[10]分析了GPLRMF圓柱殼的非線性自由振動(dòng)特性.Yang和Chen[11]分析了裂紋對不同邊界條件下功能梯度材料Euler-Bernoulli梁振動(dòng)和屈曲的影響.劉濤等[12]分析了軸向運(yùn)動(dòng)功能梯度梁的橫向振動(dòng)頻率特性.周磊[13]以含裂紋石墨烯增強(qiáng)功能梯度層合梁為研究對象,進(jìn)行了動(dòng)力穩(wěn)定性行為分析.劉金建等[14]基于歐拉梁理論,研究了軸向運(yùn)動(dòng)功能梯度粘彈性梁橫向振動(dòng)的穩(wěn)定性問題.

雖然一些學(xué)者已經(jīng)對石墨烯增強(qiáng)多孔結(jié)構(gòu)開展了研究,但關(guān)于帶裂紋石墨烯增強(qiáng)金屬泡沫梁振動(dòng)問題的研究尚未開展.本論文基于Timoshenko梁理論,研究帶裂紋功能梯度石墨烯增強(qiáng)金屬泡沫梁(FG-GPLRMF)的自由振動(dòng)問題,包括控制方程推導(dǎo)和微分變換法的應(yīng)用,研究了裂紋深度、裂紋位置、GPL幾何尺寸、孔隙類型、GPL分布和長細(xì)比對帶裂紋FG-GPLRMF梁自由振動(dòng)特性的影響.

1 材料特性與旋轉(zhuǎn)彈簧模型

1.1 材料特性

圖1(a)是長度為L、厚度為h的兩端固定的Timoshenko梁模型,在距左端L1處包含一個(gè)深度為a的邊緣裂紋.

圖1 裂紋梁結(jié)構(gòu)Fig.1 Configuration of cracked beam

沿梁高度方向考慮了三種孔隙分布類型[10],即孔隙-a、孔隙-b和孔隙-c.孔隙-a和孔隙-b在梁高方向上呈對稱分布.孔隙-a和孔隙-b的差異在于前者的中平面孔隙最大,后者的中平面孔隙最小.孔隙-c的孔隙大小均勻分布.

考慮了三種不同GPL分布方式[10],對于GPL-Ⅰ和GPL-Ⅱ,GPL相對梁中平面對稱分布.對于GPL-I,最大的體積分?jǐn)?shù)發(fā)生在梁的上表面和下表面;對于GPL-Ⅱ,最大體積分?jǐn)?shù)發(fā)生在中面.對于GPL-Ⅲ,GPL均勻分布.

FG-GPLRMF梁的楊氏模量EGM(z)和質(zhì)量密度ρGM(z)分別為[7,15]

(1)

(2)

其中Eg和ρg表示無孔GPL增強(qiáng)金屬的楊氏模量和質(zhì)量密度;P1、P2和P3表示孔隙系數(shù);Pm1、Pm2和Pm3表示質(zhì)量密度系數(shù).

1.2 旋轉(zhuǎn)彈簧模型

假定裂紋垂直于梁表面,且始終保持開放狀態(tài).Timoshenko梁的邊緣裂紋造成了彎曲斜率的不連續(xù)以及開裂截面的橫向位移.已有研究[16,17]表明,與彎曲斜率中的不連續(xù)性(I型斷裂)相比,橫向位移中的不連續(xù)性(Ⅱ型斷裂)對系統(tǒng)總應(yīng)變能的貢獻(xiàn)要小得多,因此本分析中忽略Ⅱ型斷裂的影響.將裂紋截面建模為如圖1b所示的無質(zhì)量彈性彈簧,可將開裂梁視為在開裂截面上由轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧連接的兩個(gè)子梁,其彎曲剛度為:

KT=1/G

(3)

其中G是裂紋引起的柔度,并且[18]

(4)

其中M為裂紋截面彎矩,K1為I型彎曲荷載作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子,E(a)為裂紋尖端的楊氏模量,ν為泊松比.

通過拉格朗日插值技術(shù),可以從Erdogan和Wu[19]給出的數(shù)據(jù)中得到應(yīng)力強(qiáng)度因子的大小,即

(5)

其中ζ≤0.7意味著僅考慮0至0.7的裂紋深度比.根據(jù)式(3)～式(5),可以確定裂紋部分的彎曲剛度.

2 運(yùn)動(dòng)方程與微分變換法

2.1 運(yùn)動(dòng)方程

(6)

其中U(x,t)和V(x,t)是中平面(z=0)上的位移分量,Θ是梁截面的轉(zhuǎn)動(dòng)角位移,t是時(shí)間.von Kármán型非線性應(yīng)變-位移關(guān)系由下式給出[20]:

(7)

正應(yīng)力和剪切應(yīng)力分別為

(8)

這里

(9)

裂紋FG-GPLRMF梁的動(dòng)能T和勢能W為[20]

(10)

(11)

其中ΔΘ為Θ2(L1)-Θ1(L1);Ui、Θi、Vi中的下標(biāo)i等于1,2,表示被裂紋分割的左子梁和右子梁.最后一項(xiàng)表示旋轉(zhuǎn)彈簧產(chǎn)生的勢能.

將式(10)、式(11)中含Q11、Q55和ρGM(z)項(xiàng)定義為:

(12)

其中κ=5/6是剪切修正系數(shù).

哈密頓原理由下式給出

(13)

其中t1和t2分別表示初始時(shí)間和最終時(shí)間.

引入如下無量綱變量

(14)

其中A110和I10是無孔梁的A11和I1的值.

梁連續(xù)性條件

(15)

梁的位移函數(shù)設(shè)為[21]:

(16)

這里λ是徑向固有頻率,γ是弦向固有頻率.

將式(10)～式(12),式(14)～式(16)代入式(13),即可得到簡化后的運(yùn)動(dòng)方程:

(17)

2.2 微分變換法

本文將變換函數(shù)用大寫字母表示,將原函數(shù)用小寫字母表示.在定義域D中定義一個(gè)解析函數(shù)g(x),設(shè)x=x0表示D中的任意點(diǎn).函數(shù)g(x)的微分變換定義為[15]

(18)

其中,m是截?cái)鄶?shù).

將Xu[15]中的表1和表2公式代入方程(17)以及兩端固定邊界條件,可以得到變換函數(shù)和對應(yīng)邊界條件.

表1 FG-GPLRMF梁參數(shù)[20]

表2 FG-GPLRMF梁彎曲振動(dòng)固有頻率(rad/s)的收斂性

相容方程:

(19)

(20)

(21)

設(shè)U1(0) =C1,V1(0) =C2,Θ1(0) =C3,代入變換函數(shù)方程和對應(yīng)邊界條件,可以計(jì)算Ui(k),Vi(k)和Θi(k)的值.

將Ui(k),Vi(k)和Θi(k)代入對應(yīng)邊界條件方程,可以解出λ.

3 結(jié)果和討論

下面對圖1中所示的FG-GPLRMF梁進(jìn)行研究,參數(shù)如表1所示.

FG-GPLRMF梁彎曲振動(dòng)的固有頻率收斂結(jié)果見表2,其中以P1=0.5、WGPL=1.0%、GPL-I和孔隙-a為例.結(jié)果表明,在m=16時(shí),固有頻率趨于收斂,但考慮到精確性,在下面的計(jì)算中采用了m= 60.

在圖2中,研究了孔隙系數(shù)P1對固有頻率的作用,其中考慮了不同的GPL分布方式和孔隙分布.隨著P1的增加,孔隙-b和孔隙-c梁的固有頻率減小.然而,對于孔隙-a梁,其固有頻率先減小后增加.造成這種現(xiàn)象的原因是,當(dāng)梁的幾何尺寸保持不變時(shí),固有頻率與彎曲剛度(EIy)呈正相關(guān),與單位長度的質(zhì)量(ρT)呈負(fù)相關(guān).進(jìn)一步計(jì)算表明,當(dāng)P1大于0.4時(shí),彎曲剛度的相對變化小于質(zhì)量的相對變化.此外,這三種孔隙分布的固有頻率中,GPL-Ⅰ分布的固有頻率最高,而GPL-Ⅱ分布的固有頻率最低.因此,GPL-Ⅰ分布是提高結(jié)構(gòu)剛度最有效的分布方式.以上結(jié)果表明,孔隙系數(shù)和GPL分布對FG-GPLRMF的自由振動(dòng)有顯著影響.

(a) 孔隙-a

圖3給出了GPL重量分?jǐn)?shù)WGPL對不同GPL分布方式和孔隙分布的FG-GPLRMF固有頻率的影響.對于不同的GPL分布方式,固有頻率隨WGPL的增加而增加,其原因就在于增加石墨烯含量可增強(qiáng)梁剛度.通過將極少量的GPL分散到基質(zhì)中,即可提高多孔梁的有效剛度.與其他分布模式相比,孔隙-a和GPL-Ⅰ分布方式的梁具有最大的固有頻率.

(a) 石墨烯-Ⅰ

圖4給出了不同GPL尺寸對FG-GPLRMF梁固有頻率的影響.圖4(a)為FG-GPLRMF梁的固有頻率隨GPL長厚比lGPL/tGPL的變化情況.隨著lGPL/tGPL的增加,固有頻率增加.結(jié)果表明,當(dāng)lGPL和wGPL保持固定時(shí),單個(gè)GPL越薄,其剛度強(qiáng)化效果越好.圖4(b)為固有頻率隨GPL長寬比lGPL/wGPL的變化規(guī)律.隨著lGPL/wGPL的增加,固有頻率減小.這表明,石墨烯的表面積越大,剛度增強(qiáng)效果越好.同時(shí),由圖4可以看出,當(dāng)lGPL/tGPL≥102或lGPL/wGPL≥10時(shí),強(qiáng)化效應(yīng)隨這些比值的變化不大.

(a) 長厚比(lGPL=2.5×10-6m,wGPL=1.5×10-6m)

圖5研究了裂紋位置對FG-GPLRMF梁的固有頻率的影響.結(jié)果表明,固有頻率對位于梁中心的裂紋最為敏感.當(dāng)裂紋靠近梁端時(shí),裂紋的影響較小,裂紋位置由梁中心向梁端變化時(shí),固有頻率逐漸增加.

圖5 裂紋位置對FG-GPLRMF梁固有頻率的影響(孔隙-a;WGPL=0.01;L/h=6;h=0.1;P1=0.5;L1/L=0.5)Fig.5 Effect of crack location on natural frequency of FG-GPLRMF beam (Porosity-a;WGPL=0.01;L/h=6;h=0.1;P1=0.5;L1/L=0.5)

圖6研究了裂紋深度對FG-GPLRMF梁固有頻率的影響.結(jié)果表明,隨著裂紋深度增加,梁的固有頻率降低,對于不同GPL分布方式,固有頻率降低的速度大致相同,不同孔隙下裂紋梁固有頻率都逐漸變小,這說明裂紋位置對頻率的影響遠(yuǎn)超其他因素.

(a) 孔隙-a

4 結(jié)論

本文研究了帶裂紋FG-GPLRMF梁的自由振動(dòng)特性.利用哈密頓原理,得到了帶裂紋FG-GPLRMF梁的運(yùn)動(dòng)方程,采用微分變換法分析了梁的固有頻率.研究了裂紋深度、裂紋位置、GPL幾何尺寸、孔隙類型、GPL分布和長細(xì)比對裂紋FG-GPLRMF梁自由振動(dòng)特性的影響.主要結(jié)論如下:

對于孔隙-b和孔隙-c梁,彎曲振動(dòng)的固有頻率隨孔隙系數(shù)P1的增加而減小,對于孔隙-a梁,其固有頻率先減小后增大.GPL-Ⅰ分布是提高結(jié)構(gòu)剛度的最有效的分散方法.GPL的增強(qiáng)效應(yīng)受到GPL分布和孔隙分布的影響.

彎曲振動(dòng)的固有頻率隨WGPL值的增加而增加,孔隙-a和GPL-Ⅰ分布方式的FG-GPLRMF梁具有最大固有頻率.裂紋位置對于梁固有頻率的影響是呈現(xiàn)對稱性的,距離梁中心位置越近,固有頻率受到影響越大.隨著裂紋深度的增加,FG-GPLRMF梁的固有頻率降低.