章海亮 胡陽鳴 羅偉峰,? 戴宏亮 鄧勤 朱振濤 鄧劭廷 胡飛

(1. 湖南云箭集團(tuán)有限公司,長沙 410100)

(2. 湖南大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院,長沙 410082)

(3. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所,北京 100076)

引言

隨著航空技術(shù)朝著“高精尖”方向發(fā)展,航空裝備需在艙體內(nèi)搭載各種不同用途的科學(xué)儀器設(shè)備,使航空裝備艙體結(jié)構(gòu)逐漸趨向于大型化、復(fù)雜化與多功能化.作為航空裝備重大核心精密科學(xué)儀器設(shè)備的承載體,艙體結(jié)構(gòu)強(qiáng)度設(shè)計問題尤為關(guān)鍵,目標(biāo)對象定位意義重大.圓錐殼-折板結(jié)構(gòu)在艙體結(jié)構(gòu)中十分常見,其動力學(xué)特性研究十分重要.高空飛行器懸掛物艙體結(jié)構(gòu)在工作過程中結(jié)構(gòu)極易發(fā)生振動,長此以往便容易使其產(chǎn)生疲勞損傷,甚至發(fā)生斷裂,這將導(dǎo)致極大的安全隱患.隨著航空裝備的設(shè)計要求提高,各種因素對艙體動強(qiáng)度的影響越來越受到重視.因此,有必要研究雜彈體結(jié)構(gòu)動強(qiáng)度影響因素,并且探究其影響規(guī)律.

不同結(jié)構(gòu)之間存在能量的傳遞和流動,導(dǎo)致組合結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)復(fù)雜.因此,不少學(xué)者對這種組合結(jié)構(gòu)的振動特性進(jìn)行了研究.基于變分原理,Cheng等[1]研究了末端耦合圓板的有限長圓柱殼的自由振動.采用瑞利-里茲方法,Chen等[2]建立了圓柱殼板耦合結(jié)構(gòu)的數(shù)值模型,計算了耦合結(jié)構(gòu)的能量流和振動行為.鄒明松等[3]半解析地求解了兩端具有端板的圓柱殼結(jié)構(gòu)的自由振動問題.基于板-殼耦合結(jié)構(gòu)處的連續(xù)性條件,李鴻秋[4]建立了一般連接形式下板-殼耦合結(jié)構(gòu)分析模型,并且驗證了該模型耦合結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性的正確性.基于譜幾何法,石先杰等[5]構(gòu)建了熱環(huán)境下FGM圓錐殼振動的半解析分析模型,并研究了不同因素的影響規(guī)律.在改進(jìn)的傅立葉-里茲方法的理論框架內(nèi),Ma等[6]求解了具有一般邊界條件的圓柱殼-環(huán)形板耦合結(jié)構(gòu)的振動行為.Xie等[7]在波基法的基礎(chǔ)上,研究了彈性邊界條件下含彈性耦合環(huán)形薄板圓柱殼的自由穩(wěn)態(tài)振動行為.基于一種改進(jìn)的傅立葉級數(shù)方法,Cao等[8]求解了不同邊界條件下圓柱殼-圓板耦合結(jié)構(gòu)的振動行為.Chen等[9]結(jié)合了Flügge薄殼理論和波的方法,分析了具有內(nèi)部結(jié)構(gòu)有限長圓柱殼的振動行為.Qin等[10]利用Mindlin板理論和Sanders殼理論,得到了平板和殼的能量方程,研究了旋轉(zhuǎn)圓柱殼-環(huán)形板耦合結(jié)構(gòu)的振動特性.采用最小二乘復(fù)頻域法,李旭龍等[11]對對接圓柱殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行了計算模態(tài)分析和實驗?zāi)B(tài)分析.基于Donnell薄殼理論,韓勤鍇等[12]采用多尺度方法研究了變速旋轉(zhuǎn)圓柱薄殼動力穩(wěn)定性.迄今為止,國內(nèi)外相關(guān)研究絕大多數(shù)都是對針對圓柱殼及其耦合結(jié)構(gòu)展開的,圓錐殼耦合結(jié)構(gòu)的相關(guān)研究較少.

本文以圓錐殼-折板結(jié)構(gòu)為對象,對其動力學(xué)特性展開分析.通過仿真計算,得到圓錐殼-折板結(jié)構(gòu)在隨機(jī)振動下的響應(yīng)結(jié)果.經(jīng)過計算得到不同結(jié)構(gòu)下多個樣本值,并且利用其建立材料參數(shù)與動力學(xué)響應(yīng)之間的響應(yīng)面函數(shù).基于上一步得到的響應(yīng)面函數(shù)模型,進(jìn)一步利用Spearman秩相關(guān)系數(shù),進(jìn)行靈敏度分析,篩選出圓錐殼-折板結(jié)構(gòu)中影響艙體結(jié)構(gòu)動強(qiáng)度的主要因素.最后,利用參數(shù)化模型開展參數(shù)影響規(guī)律研究,得到各個主要因素對于響應(yīng)面動力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律曲線.

1 理論模型的建立

1.1 動力學(xué)方程

典型艙體結(jié)構(gòu)主要分為兩個部分:尾艙以及安裝座.尾艙幾何外形為厚圓錐殼,安裝座幾何外形為對稱四折板結(jié)構(gòu),艙體幾何結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 圓錐殼-折板耦合艙體結(jié)構(gòu)Fig.1 Cylindrical-conical shell coupled with folded plate

動載荷下艙體結(jié)構(gòu)的整體動力學(xué)方程為

(1)

其中:M為質(zhì)量矩陣,D為阻尼矩陣,K為剛度矩陣,F(t)為激勵振動載荷向量,X為廣義位移向量.

由動力學(xué)方程可得結(jié)構(gòu)的頻域運(yùn)動方程,表示為

(K-ω2M)X=F(t)

(2)

其中:ω為激振頻率.

用于求解結(jié)構(gòu)模態(tài)振型的特征方程可表達(dá)為

(3)

其中:ωi為第i階固有頻率,Ai為第i階實模態(tài)振型.

結(jié)構(gòu)復(fù)頻響函數(shù)矩陣為

(4)

結(jié)構(gòu)模型可認(rèn)為是小阻尼系統(tǒng),可認(rèn)為引入的阻尼并不影響系統(tǒng)的特征向量,因而可用實模態(tài)理論分析系統(tǒng)振動行為.

利用求得的模態(tài)振型矩陣A,對上述方程做正交變換有

=A[K-ω2M]-1AT

(5)

式中ηi為由阻尼部分產(chǎn)生的第i階模態(tài)損耗因子.

節(jié)點響應(yīng)為

S(ω)=|H(ω)|Sx(ω)

(6)

其中:Sx(ω)為激勵載荷功率譜密度函數(shù),S(ω)為響應(yīng)功率密度譜.

1.2 靈敏度分析理論

建立材料參數(shù)與響應(yīng)參數(shù)之間的響應(yīng)面函數(shù):

(7)

式中:xi為自變量,數(shù)量為N;y為動力學(xué)響應(yīng);a、ai與aij(i=1,2,…,N;j=i,i+1,…,N)均為待定系數(shù).

對L個樣本點進(jìn)行數(shù)值模擬,得到L個響應(yīng)結(jié)果(z1,z2,…,zL).結(jié)合二階響應(yīng)面函數(shù)進(jìn)行回歸分析得

(8)

令

(9)

對其進(jìn)行求解,從而確定待定系數(shù)a、ai與aij(i=1,2,…,N;j=i,i+1,…,N)的值.

確定響應(yīng)面函數(shù)后,以材料參數(shù)q為自變量輸入,結(jié)構(gòu)響應(yīng)p為輸出,計算n個樣本,得到n個數(shù)據(jù)對:

(10)

將一組數(shù)據(jù)對轉(zhuǎn)化成等級數(shù)據(jù)

(11)

式中R(qi)和R(pi)分別是qi和pi的位次.

Spearman相關(guān)系數(shù)ρ為

(12)

Spearman相關(guān)系數(shù)ρ反映了結(jié)構(gòu)響應(yīng)p與材料參數(shù)q之間的相關(guān)性:相關(guān)系數(shù)ρ為正,說明結(jié)構(gòu)響應(yīng)p隨材料參數(shù)q的增加而增加,兩者呈正相關(guān)關(guān)系;反之相反.而|ρ|的大小反映了結(jié)構(gòu)響應(yīng)p與材料參數(shù)q之間相關(guān)的顯著程度.|ρ|越大,表示材料參數(shù)q的變化對于結(jié)構(gòu)響應(yīng)p的影響越顯著,即結(jié)構(gòu)響應(yīng)p對于材料參數(shù)q越敏感.本文以Spearman相關(guān)系數(shù)ρ作為靈敏度判斷指標(biāo),文章中后續(xù)出現(xiàn)的相關(guān)系數(shù)均代指Spearman相關(guān)系數(shù).

2 靈敏度分析算例

為了研究圓錐殼-折板結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性,結(jié)構(gòu)尺寸如下:尾艙幾何外形為厚圓錐殼,頂端外徑為315mm,底端外徑為410mm,高705mm.安裝座幾何外形為對稱四折板結(jié)構(gòu),板厚2mm且厚度均勻,頂面為180mm×120mm的方形,肋板高70mm,兩側(cè)座腳均為120mm×13mm的方形.載荷輸入位置與響應(yīng)輸出位置如圖1所示.

靈敏度分析時各參數(shù)變化范圍為±10%,具體數(shù)值如表1所示.

表1 靈敏度分析材料參數(shù)變化范圍

輸入載荷的激勵類型為隨機(jī)振動,隨機(jī)振動是由無數(shù)正弦波構(gòu)成,用通過在中心頻率設(shè)置的窄幅過濾器的加速度信號平方的平均值的單位頻率值表示,即功率譜密度.載荷輸入位置如圖1所示,輸入載荷功率譜密度如圖2所示.

圖2 載荷功率譜Fig.2 Spectral density of load

由圖3可知,尾艙材料密度與變形響應(yīng)和應(yīng)力響應(yīng)均呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系,且相關(guān)系數(shù)較大,分別為0.29與0.36.尾艙材料楊氏模量與變形響應(yīng)和應(yīng)力響應(yīng)均呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系,且相關(guān)系數(shù)較大,分別為-0.33和-0.37.安裝座材料密度與變形響應(yīng)呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系,且相關(guān)系數(shù)較大,為-0.18.安裝座材料楊氏模量與應(yīng)力響應(yīng)呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系,且相關(guān)系數(shù)較大,為0.59.

圖3 不同響應(yīng)對各參數(shù)靈敏度對比Fig.3 Comparison of the sensitivity of different responses to each parameter

3 主要參數(shù)的影響規(guī)律研究

各參數(shù)與位移變形響應(yīng)的相關(guān)曲線如圖4所示.

圖4 各參數(shù)與位移響應(yīng)間相關(guān)曲線Fig.4 The correlated curves between each parameter and the displacement response

由圖4(a)可知,尾艙材料密度與位移變形響應(yīng)整體呈現(xiàn)出正相關(guān)關(guān)系,隨著密度的增大變形響應(yīng)逐漸增大,同時曲線斜率逐漸增大,位移變形增大的趨勢逐漸加強(qiáng).在尾艙材料密度低于2500kg/m3后,位移變形響應(yīng)變化不再明顯.尾艙材料密度越低,楊氏模量變化帶來的位移變形響應(yīng)變化越小.

由圖4(b)可知,尾艙材料楊氏模量與位移變形響應(yīng)整體呈現(xiàn)出負(fù)相關(guān)關(guān)系,隨著材料楊氏模量的增大變形響應(yīng)逐漸減小,同時曲線斜率逐漸變小,位移變形減小的趨勢逐漸減緩.在尾艙材料楊氏模量超過75GPa后,位移變形響應(yīng)變化不再明顯.尾艙材料楊氏模量越高,密度變化帶來的位移變形響應(yīng)變化越小.

各參數(shù)與應(yīng)力響應(yīng)的相關(guān)曲線如圖5所示.

圖5 各參數(shù)與應(yīng)力響應(yīng)間相關(guān)曲線Fig.5 The correlated curves between each parameter and the stress response

由圖5(a)可知,尾艙材料密度與應(yīng)力響應(yīng)整體呈現(xiàn)出正相關(guān)關(guān)系,隨著材料密度的增大應(yīng)力響應(yīng)逐漸增大,同時曲線斜率逐漸增大,應(yīng)力增大的趨勢逐漸提高.尾艙材料密度越低,楊氏模量變化帶來的應(yīng)力響應(yīng)變化越小.

由圖5(b)可知,尾艙材料楊氏模量與應(yīng)力響應(yīng)整體呈現(xiàn)出負(fù)相關(guān)關(guān)系,隨著材料楊氏模量的增大應(yīng)力響應(yīng)逐漸減小.尾艙材料楊氏模量越高,密度變化帶來的應(yīng)力響應(yīng)變化越小.

由圖5(c)可知,安裝座材料楊氏模量與應(yīng)力響應(yīng)整體呈現(xiàn)出正相關(guān)關(guān)系,隨著材料楊氏模量的增大應(yīng)力響應(yīng)逐漸增大,同時曲線斜率逐漸增大,應(yīng)力增大的趨勢逐漸提高.安裝座材料楊氏模量越低,密度變化帶來的平均應(yīng)力響應(yīng)變化越小.

各參數(shù)與加速度響應(yīng)的相關(guān)曲線如圖6所示.

圖6 各參數(shù)與加速度響應(yīng)間相關(guān)曲線Fig.6 The correlated curves between each parameter and the acceleration response

由圖6(a)可知,安裝座材料密度與加速度響應(yīng)整體呈現(xiàn)出負(fù)相關(guān)關(guān)系,隨著安裝座材料密度的增大加速度響應(yīng)逐漸減小,同時曲線斜率逐漸變小,加速度減小的趨勢逐漸減緩.在安裝座材料密度超過8300kg/m3后,加速度響應(yīng)變化不再明顯.尾艙材料密度越高,楊氏模量變化帶來的加速度響應(yīng)變化越小.

由圖6(b)可知,安裝座材料楊氏模量與加速度響應(yīng)整體呈現(xiàn)出正相關(guān)關(guān)系,隨著安裝座材料楊氏模量的增大加速度響應(yīng)逐漸增大,同時曲線斜率逐漸變大,加速度增大的趨勢逐漸減緩.在安裝座材料楊氏模量低于185GPa后,位移加速度響應(yīng)變化不再明顯.

4 結(jié)論

通過本文的研究可以得出了如下結(jié)論:

(1)以圓錐殼-折板結(jié)構(gòu)模型為基礎(chǔ),進(jìn)行了隨機(jī)振動下的結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析,得到了結(jié)構(gòu)的位移、應(yīng)力以及加速度響應(yīng).

(2)通過基于響應(yīng)面法和Spearman秩相關(guān)系數(shù)的靈敏度分析,分析影響圓錐殼-折板結(jié)構(gòu)動強(qiáng)度的主要因素.結(jié)果表明:對于圓錐殼-折板結(jié)構(gòu),位移變形響應(yīng)受圓錐殼密度與楊氏模量影響最為明顯,其靈敏度相關(guān)系數(shù)分別為0.29和-0.33;應(yīng)力響應(yīng)受圓錐殼材料密度與楊氏模量以及折板材料楊氏模量影響十分明顯,其中折板材料楊氏模量影響最為顯著,其靈敏度相關(guān)系數(shù)分別為0.36、-0.37和0.59;加速度響應(yīng)受折板材料密度與楊氏模量影響較為明顯,其靈敏度相關(guān)系數(shù)分別為-0.37和0.38.

(3)利用參數(shù)化模型開展參數(shù)影響規(guī)律研究,得到各個主要因素對于結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律曲線.