顧京君 童彤 黃迪山

(1.南通振康機(jī)械有限公司,南通 226153)

(2.上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院,上海 200444)

引言

諧波減速器廣泛應(yīng)用于各種機(jī)器人關(guān)節(jié),它由柔輪、剛輪、波發(fā)生器三大基本構(gòu)件組成.波發(fā)生器鑲套在柔輪內(nèi)圈,柔輪齒與剛輪齒進(jìn)行內(nèi)嚙合,柔輪齒數(shù)比剛輪齒數(shù)少,因此,它是一個(gè)少齒差傳動(dòng)機(jī)構(gòu).其中,波發(fā)生器由橢圓凸輪外套柔性滾動(dòng)軸承組成,基本結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 單剛輪諧波減速器基本結(jié)構(gòu)Fig.1 Basic structure of single rigid wheel harmonic reducer

在制造過(guò)程中,如果柔輪齒與剛輪齒引入了周節(jié)累積誤差,則諧波減速器在動(dòng)力傳遞中將出現(xiàn)雙周期時(shí)變扭剛度波動(dòng),形成雙周期參數(shù)振動(dòng)問(wèn)題.

關(guān)于單自由度參數(shù)系統(tǒng)振動(dòng),學(xué)者王建軍等[1,2]利用Sylvester理論和Fourier 級(jí)數(shù)給出了自由和受迫振動(dòng)響應(yīng)的級(jí)數(shù)解;Sinha[3]基于雪比多夫多項(xiàng)式,推出逼近級(jí)數(shù)解;Ivana Kovacic[4]回顧了幾種典型參數(shù)激勵(lì)下的穩(wěn)定性區(qū)域求解.近幾年,利用組合頻率三角級(jí)數(shù)法[5,6]應(yīng)用于多自由度參數(shù)振動(dòng)分析,確定了自由與受迫振動(dòng)響應(yīng)的解析逼近.而大多數(shù)文獻(xiàn)研究?jī)?nèi)容在基于Floquet理論上討論參數(shù)振動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題[7-11].但是,對(duì)于雙周期參數(shù)振動(dòng)的響應(yīng)預(yù)測(cè)問(wèn)題,仍然需深入探討.

本文針對(duì)電機(jī)、諧波減速器和慣量負(fù)載傳動(dòng)問(wèn)題,建立雙周期參數(shù)振動(dòng)方程,引入基于組合頻率的二重三角級(jí)數(shù),對(duì)其響應(yīng)進(jìn)行級(jí)數(shù)逼近解研究.

1 動(dòng)力學(xué)建模與二重三角級(jí)數(shù)逼近

在電機(jī)、諧波減速器和慣量負(fù)載傳動(dòng)中,考慮雙周期時(shí)變扭剛度波動(dòng),建立雙周期參數(shù)振動(dòng)方程;對(duì)于受迫振動(dòng)求解,由等效動(dòng)力學(xué)模型,提出基于組合頻率的二重三角級(jí)數(shù)逼近.

1.1 雙周期參數(shù)振動(dòng)方程

如圖2所示的是一個(gè)諧波減速器的剛度曲線K0(t),它可以認(rèn)為在基礎(chǔ)剛度Km上疊加了兩個(gè)頻率不同的剛度波動(dòng),其數(shù)學(xué)表達(dá)為

圖2 雙周期時(shí)變扭剛度曲線K0(t)Fig.2 Dual period time-varying torsional stiffness curve K0(t)

K0(t)=Km(1+β1cosω1t+β2cosω2t)

(1)

式中,ω1和ω2均為剛度波動(dòng)頻率,又稱(chēng)參數(shù)頻率;β1和β2為調(diào)制指數(shù).

由于兩個(gè)扭剛度波動(dòng)的周期不同,但它們相互接近,導(dǎo)致扭剛度波動(dòng)曲線呈拍頻狀(圖2).

在諧波減速器傳動(dòng)中,電機(jī)、諧波減速器和慣量負(fù)載構(gòu)成雙慣量彈性負(fù)載系統(tǒng),如圖3所示.

圖3 雙慣量彈性負(fù)載系統(tǒng)Fig.3 Elastic loading system with dual inertia

雙慣量彈性負(fù)載系統(tǒng)的扭振動(dòng)方程為

(2a)

(2b)

在方程(2)中,形成的剛度矩陣將為半正定,因此,雙慣量彈性負(fù)載系統(tǒng)存在一個(gè)零固有頻率.

對(duì)等式(2a)乘以J2/J1減去(2b)的代數(shù)運(yùn)算,得到不含剛體位移的振動(dòng)方程.

(3)

=T(t)

(4)

式中,θ為兩個(gè)慣量之間的扭轉(zhuǎn)角,力矩T(t) =T0+Tcosωpt來(lái)自于電機(jī)驅(qū)動(dòng).其中,T0是電機(jī)恒力矩;Tcosωpt是電機(jī)力矩波動(dòng),ωp為力矩波動(dòng)頻率,一般它與電機(jī)軸轉(zhuǎn)頻相同.

1.2 雙周期參數(shù)振動(dòng)響應(yīng)解形式

改寫(xiě)參數(shù)振動(dòng)方程(4)為以下形式

=T(t)-K(β1cosω1t+β2cosω2t)θ

(5)

根據(jù)等式(5)表達(dá),雙周期參數(shù)系統(tǒng)的等效動(dòng)力學(xué)模型是一個(gè)雙調(diào)制反饋控制系統(tǒng),如圖4所示.

圖4 雙周期參數(shù)系統(tǒng)的等效動(dòng)力學(xué)模型Fig.4 Equivalent dynamic model of double periodic parameter system

在雙調(diào)制反饋控制系統(tǒng)中,振動(dòng)響應(yīng)θ(t) 同時(shí)被頻率ω1和ω2所調(diào)制,其頻率被裂解,在疊加以后,反饋至系統(tǒng)的輸入端.通過(guò)連續(xù)交錯(cuò)地頻率裂解和組合過(guò)程,在振動(dòng)響應(yīng)θ(t)中,存在一系列組合頻率ω+mω1+nω2諧波分量(m=-∞,…,-1,0,1,…,∞,n=-∞,…,-1,0,1,……,∞).因此,雙周期參數(shù)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)θ(t) 可以用基于組合頻率ω+mω1+nω2的二重三角級(jí)數(shù)加以逼近,即響應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式(6).

Fm,ne-j(ω+mω1+nω2)t]

(6)

當(dāng)外激勵(lì)力T(t)=0時(shí),對(duì)應(yīng)著雙周期參數(shù)系統(tǒng)的自由響應(yīng),式(6)中的ω為主振蕩頻率,即ω=ωs;當(dāng)力矩T(t)≠0,θ(t)對(duì)應(yīng)著雙周期參數(shù)系統(tǒng)的受迫振動(dòng).如果外激勵(lì)力T(t) =Tcosωpt時(shí),則ω=ωp.

在圖4的系統(tǒng)輸出中,由于振動(dòng)響應(yīng)能量的有限性,能量主要分布在頻率ω附近,隨著三角級(jí)數(shù)項(xiàng)m→∞或n→∞,則諧波系數(shù)Em,n→0和Fm,n→0.因此,對(duì)于振動(dòng)響應(yīng)逼近,可以采用有限項(xiàng)二重三角級(jí)數(shù)計(jì)算替代無(wú)限項(xiàng)級(jí)數(shù)的逼近.

2 受迫振動(dòng)響應(yīng)求解與計(jì)算

在雙周期參數(shù)系統(tǒng)受迫振動(dòng)的二重三角級(jí)數(shù)逼近中,采用矩陣降維法,實(shí)現(xiàn)對(duì)受迫振動(dòng)的諧波系數(shù)Em,n的求解,得到受迫振動(dòng)響應(yīng)解.

2.1 諧波力矩作用下受迫振動(dòng)

若雙周期參數(shù)系統(tǒng)受迫振動(dòng)方程(4)為

=Tcosωpt

(7)

對(duì)于系統(tǒng)的受迫振動(dòng),其響應(yīng)解形式為

Fm,ne-j(ωp+mω1+nω2)t]

(8)

將響應(yīng)解形式(8)和歐拉公式代入方程(7),對(duì)方程兩邊作諧波平衡,從正復(fù)指數(shù)ej(mω1+nω2)t部分,得到關(guān)于不含時(shí)間變量的諧波系數(shù)Em,n的遞推式.

當(dāng)m=0 和n=0時(shí)

(9)

一般情況下,諧波系數(shù)Em,n的遞推式為

J(ωp+mω1+nω2)2+jC(ωp+mω1+

(10)

其中m=-k,…,-1,0,1,…,k和n=-k,…,-1,0,1,…,k.

這樣,(2k+1)×(2k+1) 個(gè)Em,n的遞推式構(gòu)成了代數(shù)方程(11).

ZE=P

(11)

式中,Z為2k+1階三維系數(shù)矩陣,E為待求的2k+1階二維諧波系數(shù)矩陣,P為 2k+1階二維力矩陣.在公式(11)中,考慮了三維系數(shù)矩陣Z的階數(shù)m足夠大時(shí),即m→∞,諧波系數(shù)Em+1,n→0,Em,n+1→0,E(m+1),-n→0和E-m,-(n+1)→0.

為了矩陣Z、E和P降維,對(duì)于式(10)中的常數(shù)項(xiàng),記

?m,n=K-J(ωp+mω1+nω2)2+

jC(ωp+mω1+nω2)

(12)

引入子矩陣

(13)

(14)

諧波系數(shù)子向量Eh

Ek=[E-kh…E-1hE0hE1h…Ekh]T

(15)

力矩子向量P0

P0=[0 … 0T0 … 0]T

(16)

將式(12)代入諧波系數(shù)Em,n遞推式(9)和(10);取h=-k,…,-1,0,1,…,k,將子矩陣和子向量式(13)至(14)按下標(biāo)從-k至k依次在平面上排列,由此,把三維代數(shù)方程(11)展成為二維代數(shù)方程(17).

(17)

記為

(18)

同理,從負(fù)復(fù)指數(shù)e-j(mω1+nω2)t部分,可以得到另一組諧波系數(shù)Fm,n.其中,諧波系數(shù)Em,n與Fm,n互為共軛.

2.2 振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算

在雙慣量彈性系統(tǒng)中,外界激勵(lì)力矩分兩部分,一是恒定力矩T0,這時(shí)ωp=0;另一個(gè)是力矩波動(dòng),力矩波動(dòng)頻率ωp=ω1(一般電機(jī)力矩波動(dòng)為恒定力矩的5%).在不考慮負(fù)載力矩情況下,對(duì)于雙慣量彈性負(fù)載系統(tǒng)的受迫振動(dòng)響應(yīng),將按諧波力矩和恒力矩兩種情況進(jìn)行討論.

在雙慣量彈性負(fù)載系統(tǒng)(7)中,設(shè)慣量J=1,阻尼系數(shù)C=2.64,平均剛度K=17410,總扭剛度K(t) 曲線如圖2所示; 參數(shù)頻率一ω1=2πf1,f1=10.125Hz,調(diào)制指數(shù)一β1=0.06;參數(shù)頻率二ω2=2πf2,f2=10Hz,調(diào)制指數(shù)二β2=0.07 .

算例1: 若驅(qū)動(dòng)諧波力矩(電機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩波動(dòng))波幅T=0.5,激勵(lì)頻率ωp=ω1,計(jì)算雙慣量彈性負(fù)載系統(tǒng)的受迫扭振動(dòng)響應(yīng).

取級(jí)數(shù)項(xiàng)m=-11,…,-1,0,1,…,11,n=-11,…,-1,0,1,…,11.根據(jù)所給的動(dòng)力學(xué)參數(shù),由公式(18)計(jì)算諧波系數(shù)矩陣中元素Em,n,在頻率ωp附近的部分諧波系數(shù)數(shù)據(jù)列于表1.

表1 算例1中部分諧波系數(shù)Em,n計(jì)算值

于是,該雙慣量彈性負(fù)載系統(tǒng)受迫扭振動(dòng)響應(yīng)θ1(t) 表達(dá)為:

設(shè)置時(shí)間起點(diǎn)為0,步長(zhǎng)0.001秒,時(shí)間歷程為100秒,根據(jù)上述雙慣量彈性負(fù)載系統(tǒng)受迫扭振動(dòng)的響應(yīng)表達(dá),計(jì)算該系統(tǒng)受迫振動(dòng)響應(yīng)時(shí)間歷程θ1(t)和頻譜Θ1(ω),結(jié)果如圖5所示,其中,振動(dòng)響應(yīng)有效值0.0318m·rad.

(a) 扭振動(dòng)響應(yīng)時(shí)間歷程θ1(t)

系統(tǒng)在外界激勵(lì)力矩作用下,從振動(dòng)響應(yīng)頻譜Θ1(ω)可以看到,在各主諧峰(基頻ωp的高階諧頻)的左右側(cè)和直流分量的右側(cè),存在著密集型的邊頻族分布.

算例2: 在恒力矩驅(qū)動(dòng)下,計(jì)算雙慣量彈性負(fù)載系統(tǒng)的受迫扭振動(dòng)響應(yīng).

設(shè)恒力矩力幅T0=10,這時(shí)驅(qū)動(dòng)頻率ωp=0,根據(jù)所給動(dòng)力學(xué)參數(shù),從式(18)計(jì)算諧波系數(shù)矩陣中元素Em,n,部分計(jì)算值見(jiàn)表2.

表2 算例2中部分諧波系數(shù)Em,n計(jì)算值

于是,受迫扭振動(dòng)響應(yīng)θ2(t)表達(dá)為

設(shè)置時(shí)間起點(diǎn)為0,步長(zhǎng)0.001秒,時(shí)間歷程為100秒,根據(jù)上述響應(yīng)表達(dá),計(jì)算該雙慣量彈性負(fù)載系統(tǒng)受迫扭振動(dòng)響應(yīng),其中振動(dòng)響應(yīng)時(shí)間歷程θ2(t)、響應(yīng)頻譜Θ2(ω)結(jié)果如圖6所示,振動(dòng)譜特征與例1中的類(lèi)同.其中,振動(dòng)響應(yīng)有效值0.0613m·rad.

(a) 扭振動(dòng)響應(yīng)時(shí)間歷程θ2(t)

與線性系統(tǒng)不同,雙周期參數(shù)系統(tǒng)在恒力矩驅(qū)動(dòng)下,仍然產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)的扭振動(dòng)響應(yīng),而且,恒力矩越大,扭振動(dòng)響應(yīng)越大.

3 雙周期參數(shù)振動(dòng)特征

無(wú)論在算例1還是在算例2,在受迫振動(dòng)響應(yīng)譜中,都存在著密集型的邊頻分布,形成雙周期參數(shù)振動(dòng)響應(yīng)特有的邊頻族特征.以算例2為例,對(duì)受迫振動(dòng)響應(yīng)譜圖作局部放大處理,如圖7所示.

圖7 恒力矩驅(qū)動(dòng)下的扭振動(dòng)頻譜局部放大圖Fig.7 Local enlarged figure of torsional vibration spectrum under a constant torque

在直流分量附近,存在5個(gè)數(shù)量級(jí)較大的邊頻分量,它們分別是0、ω1-ω2、2(ω1-ω2)、3(ω1-ω2) 和4(ω1-ω2);在第一個(gè)譜族附近,存在10個(gè)數(shù)量級(jí)較大的邊頻分量,它們分別是5ω1-4ω2、4ω1-3ω2、3ω1-2ω2、2ω1-ω2、ω1、ω2、2ω2-ω1、3ω2-2ω1、4ω2-3ω1、5ω2-4ω1;在第二、三、四個(gè)譜族附近,同樣存在這種密集型邊頻族現(xiàn)象.雙周期參數(shù)系統(tǒng)的受迫振動(dòng)響應(yīng)頻譜具有豐富的邊頻,形成組合頻率特征的邊頻族,諧波分量具體數(shù)值詳見(jiàn)表2,其中邊頻間隔 Δ=ω1-ω2為兩個(gè)參數(shù)頻率之差.

為了驗(yàn)證組合頻率特征邊頻族的客觀存在性,搭建諧波減速器試驗(yàn)臺(tái),對(duì)一批雙剛輪諧波減速器試驗(yàn)樣件,在試驗(yàn)臺(tái)架上進(jìn)行扭振實(shí)測(cè).其中的一個(gè)試驗(yàn)樣件,柔輪齒與剛輪齒都有較大的周節(jié)累積加工誤差,扭振測(cè)試結(jié)果如圖8所示.在扭振動(dòng)頻譜局部放大圖中,組合特征邊頻譜現(xiàn)象明顯.其中,f1=34Hz,f2=33.58Hz,邊頻間隔約為Δ≈0.42Hz.

實(shí)驗(yàn)表明:對(duì)于周節(jié)累積加工誤差諧波減速器扭振,采用雙參數(shù)振動(dòng)建模,振動(dòng)理論譜與實(shí)測(cè)結(jié)果一致性好,反映了動(dòng)力學(xué)建模的有效性.

4 逼近計(jì)算誤差

為了評(píng)估三角級(jí)數(shù)逼近計(jì)算精度,根據(jù)公式(7),定義逼近誤差為:

(19)

力幅T大小影響逼近誤差,所以采用逼近計(jì)算誤差ε(t)考核計(jì)算精度

(20)

算例1的逼近計(jì)算誤差時(shí)間歷程ε(t),如圖9所示,逼近計(jì)算誤差ε小于5e-13 (參考Runge-Kutta法計(jì)算誤差小于1e-3).因此,用二重三角級(jí)數(shù)逼近雙參數(shù)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng),其逼近計(jì)算精度足高.

圖9 算例1中逼近計(jì)算誤差時(shí)間歷程ε(t)(k=11)Fig.9 Time history of approximation error in example1 ε(t)(k=11)

當(dāng)然,雙周期參數(shù)振動(dòng)響應(yīng)的逼近計(jì)算誤差與二重三角級(jí)數(shù)逼近的項(xiàng)數(shù)有關(guān),當(dāng)級(jí)數(shù)逼近項(xiàng)數(shù)越多,逼近計(jì)算誤差越小, 同時(shí),計(jì)算機(jī)耗時(shí)也越多.

5 小結(jié)

在諧波傳動(dòng)中,如果柔輪齒與剛輪齒同時(shí)引入了周節(jié)累積誤差,則諧波減速器在動(dòng)力傳遞中將出現(xiàn)雙周期參數(shù)振動(dòng)問(wèn)題.

基于組合頻率的二重三角級(jí)數(shù),可以對(duì)雙周期參數(shù)系統(tǒng)受迫振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行逼近,得到不含時(shí)間變量的諧波系數(shù)遞推式,形成三維矩陣代數(shù)方程.通過(guò)引入中間變量,矩陣重新排列,對(duì)三維矩陣方程進(jìn)行降維計(jì)算,實(shí)現(xiàn)對(duì)雙周期參數(shù)系統(tǒng)的受迫振動(dòng)響應(yīng)諧波系數(shù)的求解,算法行之有效,并且準(zhǔn)確性好.

通過(guò)計(jì)算分析可知,雙周期參數(shù)系統(tǒng)受迫振動(dòng)響應(yīng)具有密集型組合頻率邊頻族的特征,其中邊頻間隔Δ=ω1-ω2,為兩個(gè)參數(shù)頻率之差.