張國策 聶磊 陳云

(海南大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院,?？?570228)

引言

振動在土木建筑、國防軍工、道路橋梁、防震減災(zāi)等工程領(lǐng)域相當(dāng)重要.根據(jù)激勵性質(zhì)不同,機(jī)械振動可分為固有振動[1,2]、自由振動[3,4]、受迫振動[5,6]、自激振動[7,8]和參數(shù)振動[9,10].簡諧運(yùn)動是最常見的振動形式.振幅、頻率和相位是簡諧振動的三要素.眾多參考書介紹振動響應(yīng)時,初相位常常需要被修正[11-27].

對于線性振動微分方程,一般可以精確求解.求解過程中,先構(gòu)造振動響應(yīng)的形式解;然后結(jié)合初始條件,分別求得振幅、頻率和初相位.在求相位角時,通常先求出初相位的正弦值與余弦值,進(jìn)而將初相位表示成已知參數(shù)組合的反三角函數(shù).但是,反三角函數(shù)的值域與初相位的取值范圍往往不一致.如果不注意值域,對于特定的系統(tǒng)參數(shù)組合,將可能導(dǎo)致與實際情況完全不符的振動響應(yīng).此類問題層出不窮,需要重視.

下面以單自由度振動系統(tǒng)為例,分別研究自由振動和受迫振動,在半開半閉區(qū)間(-π,π]內(nèi)就初相位唯一性作簡要論述.

1 自由振動

單自由度無阻尼系統(tǒng)自由振動是最基本的振動現(xiàn)象.以單自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)構(gòu)成的簡諧振子為研究對象,質(zhì)量塊偏離平衡位置的距離x隨時間t變化的規(guī)律滿足如下微分方程:

(1)

式中,m表征質(zhì)量塊的質(zhì)量,k表征彈簧剛度,兩者取值均為正數(shù).

胡海巖[16]等指出,自由振動控制方程(1)的形式解可寫作:

x(t)=Asin(ω0t+α)

(2)

式中,固有圓頻率:

(3)

考慮如下初始條件:

(4)

將式(2)代入式(4)可得:

(5)

解之得振幅:

(6)

若初始速度非零,則可得初相位[11-25]:

(7)

事實上,式(7)限制了相位角的值域,其余弦值始終為正,這就要求初始速度的代數(shù)值大于零.只有當(dāng)初始速度方向與位移x正方向一致時,式(7)才是正確的.因此,該相位角(7)不一定是原系統(tǒng)(1)的解.如果v0<0,那么初始速度方向與x正方向相反,相位角(7)將給出錯誤的結(jié)果.修正如下:

(8)

式中,f為分段函數(shù):

(9)

顯然,自由振動響應(yīng)的初相位與初始條件密切相關(guān).綜上所述,自由振動系統(tǒng)(1)的響應(yīng)為:

(10)

2 受迫振動

考慮黏性阻尼力,單自由度振動系統(tǒng)受簡諧激勵作用時的微分方程為:

(11)

式中,c表征黏性阻尼系數(shù),h表征簡諧激振力的幅值,ω表征簡諧激振力的頻率,三者取值均為正數(shù).

聞邦椿等[17,19]指出,受迫振動穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與初始條件無關(guān),其形式解可寫作:

x(t)=Bsin(ωt+β)

(12)

將式(12)代入式(11)可得:

(13)

解之得振幅:

(14)

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時的初相位為[16-27]

(15)

事實上,式(15)限制了相位角的值域,其余弦值始終為正,這就要求外激勵頻率必須足夠小.只有當(dāng)激勵頻率ω小于派生無阻尼系統(tǒng)(1)的固有頻率時,式(15)才是正確的.這與實際振動條件不符.因此,該相位角(15)不一定是原系統(tǒng)(11)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時的初相位.如果外激勵振動過快,激勵頻率較大,那么相位角(15)將給出錯誤的結(jié)果.

考慮到阻尼系數(shù)和激勵頻率的代數(shù)值均為正數(shù),由式(13)可知,初相位的正弦值小于零.因此,修正相位角如下所示:

(16)

考慮初始條件(4),根據(jù)常微分方程理論,小阻尼情形時受迫振動系統(tǒng)(11)的響應(yīng)為:

人參皂苷Rc還具有增強(qiáng)精子活力[43]、抑制固定應(yīng)激引起的血漿皮質(zhì)酮水平的增加[44]、劑量依賴性的鎮(zhèn)痛[45]、預(yù)防骨質(zhì)疏松[46]、抑制活化的腎成纖維細(xì)胞增殖、防治腎纖維化[47]、抑制非人參病原菌和人參銹腐病菌菌絲生長[48]、誘導(dǎo)CYP1A1 mRNA與蛋白表達(dá)[49]等作用，且其沒有胚胎毒性[50]。

(17)

3 數(shù)值驗證

為了使用龍格-庫塔法進(jìn)行數(shù)值計算,引入速度變量v(t),將振動方程(11)改寫為如下微分方程組:

(18)

考慮如下參數(shù)組合:

c=h=0,m=1.0kg,k=1.0N/m

(19)

此時,系統(tǒng)(18)代表了單自由度無阻尼振動系統(tǒng)(1).特選取初始條件如下:

(20)

數(shù)值仿真過程中令時間步長為0.0001s,采樣點(diǎn)為0.5s,計算結(jié)果如圖1中藍(lán)色實心圓點(diǎn)所示.

圖1 自由振動周期響應(yīng)Fig.1 The periodic response of free vibration

基于文獻(xiàn)[11]～文獻(xiàn)[25],由式(2,3,6,7)可得解析結(jié)果:

x1(t)≈0.5sin(t-53.1301°)m

(21)

因所選初始速度為負(fù)數(shù),故需修正相位角.由式(2,3,6,8)可得改進(jìn)結(jié)果:

(22)

再計算受迫振動系統(tǒng),不妨考慮如下參數(shù)組合:

c=0.5N·s/m,m=1.0kg,k=1.0N/m

(23)

初始條件仍為式(20),特選取激勵參數(shù)為:

h=0.4m,ω=1.2rad/s

(24)

仿真過程中令時間步長為0.0001s,采樣點(diǎn)為0.5s,根據(jù)式(18)數(shù)值計算暫態(tài)響應(yīng)如圖2中紅色實心圓點(diǎn)所示.圖中實線代表小阻尼受迫振動系統(tǒng)的響應(yīng)(17).兩者完全重合.數(shù)值驗證結(jié)果支持式(17)是有阻尼系統(tǒng)(11)的一個解析解.

圖2 受迫振動暫態(tài)響應(yīng)Fig.2 The transient response of forced vibration

隨著計算時長變大,系統(tǒng)逐漸進(jìn)入穩(wěn)態(tài).基于文獻(xiàn)[16]～文獻(xiàn)[27],由式(12,14,15)可得近似解析結(jié)果:

x2(t)≈0.5376sin(1.2t+53.7462°)m

(25)

因所選激勵頻率大于固有頻率,故上式將給出錯誤的結(jié)果.修正相位角后,由式(12,14,16)可得改進(jìn)結(jié)果.穩(wěn)態(tài)響應(yīng)近似為:

(26)

從圖3示出了受迫振動穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(25)與(26)的對比結(jié)果.圖中虛線代表文獻(xiàn)[16]～文獻(xiàn)[27]中的響應(yīng)解(25).實線代表改進(jìn)結(jié)果(26),與數(shù)值仿真結(jié)果吻合.圖例表明,相位角不同,將導(dǎo)致多數(shù)時刻振動響應(yīng)計算結(jié)果偏離真實值.

圖3 受迫振動穩(wěn)態(tài)響應(yīng)Fig.3 The steady-state response of forced vibration

4 結(jié)束語

相位角是簡諧振動的三要素之一.分別考慮自由振動和受迫振動,給出了任意初始條件下系統(tǒng)響應(yīng)的解析解.理論求解過程中,如果不注意反三角函數(shù)的值域,將可能導(dǎo)致與實際情況完全不符的振動響應(yīng).日?？蒲兄袘?yīng)受到重視.

(1)無阻尼線性系統(tǒng)自由振動時,初相位與初始條件、固有頻率均相關(guān),且在區(qū)間(-π,π]內(nèi)具有唯一性.

(2)線性阻尼系統(tǒng)受簡諧激勵時,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與初始條件無關(guān),但相位角與激勵頻率、固有頻率密切相關(guān),且初相位在區(qū)間(-π,π]內(nèi)具有唯一性.