田文珊

［摘要］ 向量作為數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重要知識點，具有豐富的理論內(nèi)涵和應(yīng)用價值。旨在探討高中數(shù)學(xué)中向量的概念及其在跨學(xué)科教學(xué)中的設(shè)計，將重點關(guān)注如何利用跨學(xué)科教學(xué)設(shè)計，將向量概念與其他學(xué)科知識進(jìn)行有機(jī)融合，更多元、全面地理解向量的概念，培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)，提升向量概念的教學(xué)價值。

［關(guān)鍵詞］ 高中數(shù)學(xué)；向量的概念；跨學(xué)科教學(xué)設(shè)計

高中數(shù)學(xué)與很多學(xué)科知識存在著緊密的內(nèi)在聯(lián)系。在課堂中實施跨學(xué)科教學(xué)，可以讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)是有用的，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的驅(qū)動力，讓學(xué)生從多元視角分析問題，有利于數(shù)學(xué)知識應(yīng)用意識的培養(yǎng)，更有利于學(xué)生整體素質(zhì)的提高。

向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、豐富的物理背景。向量既是代數(shù)研究的對象，也是幾何研究的工具，向量是溝通幾何與代數(shù)的橋梁?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：在開展向量教學(xué)時，要充分利用學(xué)生已有的生活經(jīng)驗，以及物理學(xué)科的基礎(chǔ)知識，創(chuàng)設(shè)豐富的教學(xué)情境，比如力、速度、位移等有物理背景的量，通過這些量的分析為學(xué)生建立起向量的最初直覺，并用“既有大小又有方向的量”給出向量的描述性定義。關(guān)于“向量概念”的教學(xué)設(shè)計已有很多優(yōu)秀的案例，筆者學(xué)習(xí)并尋找了一些跨學(xué)科融合的優(yōu)秀案例，也整理出了一些典型案例來研討如何針對“向量的概念”進(jìn)行跨學(xué)科融合教學(xué)。

一、 跨學(xué)科概念界定

早在四百年前，著名數(shù)學(xué)家笛卡兒將“代數(shù)學(xué)”與“幾何學(xué)”進(jìn)行交叉從而形成了“解析幾何”，這為以后的“微積分”的發(fā)明奠定了基礎(chǔ)，這可以看作是“跨學(xué)科”的雛形。結(jié)合有關(guān)跨學(xué)科的文獻(xiàn)，可以得出跨學(xué)科是對兩個或兩個以上學(xué)科或?qū)I(yè)知識體系的信息、數(shù)據(jù)、技術(shù)、基礎(chǔ)、視角、概念和理論進(jìn)行整合，以促進(jìn)基本認(rèn)識或解決單一學(xué)科或領(lǐng)域難以解決的問題。［1］跨學(xué)科教學(xué)，有利于拓展學(xué)生思維，提升學(xué)習(xí)空間，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力以及解決問題的綜合能力，促使學(xué)生的思維得以發(fā)散，創(chuàng)造力得以激發(fā)。

二、 “向量的概念”跨學(xué)科教學(xué)設(shè)計

跨學(xué)科教學(xué)是對傳統(tǒng)教學(xué)進(jìn)行的有效補充，使學(xué)科知識更加整體化、牽連化、互補化。在向量概念的教學(xué)中，教師可以與物理、語文、體育等學(xué)科進(jìn)行跨學(xué)科設(shè)計，降低了向量概念的抽象度，同時提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過學(xué)科之間的“化學(xué)反應(yīng)”，形成向量概念的知識整合。

（1） “向量的概念”與物理學(xué)科的跨學(xué)科設(shè)計

案例1：下圖展示了國產(chǎn)大飛機(jī)C919在藍(lán)天翱翔的雄姿，飛機(jī)從點A向西北方向飛行200 km到達(dá)點B，再從點B向東飛行100km到達(dá)點C，最后從點C向南偏東方向飛行了50km到達(dá)點D，求飛機(jī)從點A飛到點D的位移的大小和方向。

案例2：物體受到的重力是豎直向下的，物體的質(zhì)量越大，它受到的重力越大；同樣的，物體在水面中受到的浮力是豎直向上的，它浸在水中的體積越大，受到的浮力越大。像力、位移、速度、加速度等有各自的特性，“既有大小，又有方向”是它們的共同屬性。

案例3：教師：如果有一個放置在水平桌面上的物體，受到10 N的重力，請作出該物體的受力圖。

學(xué)生：我們可以用具有方向的線段來表示力。

教師：什么是有方向的線段？

學(xué)生：明確了起點、方向、長度的線段。

【評析】 以上三個案例都是將物理知識與向量的概念進(jìn)行了融合，通過物理學(xué)科中已講授過的基礎(chǔ)知識，幫助學(xué)生準(zhǔn)確辨別向量和數(shù)量的概念，把向量轉(zhuǎn)化為學(xué)生比較熟悉的物理對象。

（2） “向量的概念”與語文學(xué)科的跨學(xué)科設(shè)計

案例4：請看一段文言文：“古者，秀才赴試入京，向路人問：何以京師？路人曰：京師去此三百里。”你覺得秀才聽完之后知道怎么去京城嗎？

學(xué)生：“不一定知道，路人只給出京城離此地的距離，但沒有告知京城所在的方向，所以秀才不一定能找到去京城的路?！保?］

案例5：“南轅北轍”的故事：戰(zhàn)國時，有個北方人要到南方的楚國去，他從太行山腳下出發(fā)，乘著馬車一直往北走去。有人提醒他：“到楚國應(yīng)該朝南走，你怎能往北呢？”他卻說：“不要緊，我有匹好馬！”

問題：他能如愿到達(dá)楚國嗎？

【評析】 以上兩個案例是將向量的概念與語文學(xué)科的內(nèi)容進(jìn)行了有機(jī)的結(jié)合，通過文言文語段或者成語故事，可以讓學(xué)生更直觀、清晰地理解向量的概念，提高學(xué)生的文學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)興趣，也有助于培養(yǎng)他們的綜合素養(yǎng)和跨學(xué)科思維能力。

（3） “向量的概念”與體育學(xué)科的跨學(xué)科設(shè)計

案例6：視頻介紹學(xué)校體育課中的場景：甲、乙兩個學(xué)生在操場上進(jìn)行隊列訓(xùn)練，當(dāng)體育老師向甲學(xué)生發(fā)出一個口令：“走三步！”甲同學(xué)的反應(yīng)是遲疑的，對于如何移動感到疑惑；但是當(dāng)體育老師向乙同學(xué)發(fā)出口令：“向前三步走！”乙同學(xué)會非常明確地移動到了一個新的位置。請同學(xué)們思考，為什么甲、乙兩個學(xué)生聽到口令以后的反應(yīng)不一樣呢？

學(xué)生：“向前三步走”這個口令包括了具體的方向和目標(biāo)，而“走三步”這個口令則過于模糊，沒有明確的行動方向和目標(biāo)，導(dǎo)致甲同學(xué)不知如何行動。

【評析】 案例6將向量的概念應(yīng)用到了體育學(xué)科的教學(xué)中，通過體育課中的場景幫助學(xué)生更好地理解了向量的概念，并提升了學(xué)生對向量知識學(xué)習(xí)的興趣，同時也起到了幫助學(xué)生理解體育項目的規(guī)則和口令要求。

（4） “向量的概念”與信息技術(shù)學(xué)科的跨學(xué)科設(shè)計

案例7：同學(xué)們，我們一起來看這款電腦編程游戲，它是一款桌球游戲，你需要將白球打入洞內(nèi)，請思考該如何操作？學(xué)生們興致很高，學(xué)生丙回答：“瞄準(zhǔn)打就可以了”。教師繼續(xù)提問，瞄準(zhǔn)好了就一定能把球打進(jìn)洞內(nèi)嗎？緊接著電腦演示，瞄準(zhǔn)后用力一擊，結(jié)果球打飛了。學(xué)生進(jìn)一步體會到不僅方向要對，力度大小控制好才行。

【評析】 案例7是向量的概念與信息技術(shù)學(xué)科相融合，借助信息科技學(xué)科中的電腦編程游戲，運用信息技術(shù)學(xué)科的平臺和工具將向量的概念聯(lián)系起來，從而更好地幫助學(xué)生理解向量的概念。

（5） “向量的概念”與歷史學(xué)科的跨學(xué)科設(shè)計

案例8：在數(shù)學(xué)史上，向量概念的產(chǎn)生不是一蹴而就的，它的出現(xiàn)經(jīng)歷了很多年。歷史上近2 000年的時間才出現(xiàn)向量這個名字，到了公元前35年，古希臘學(xué)者亞里士多德在他的著作《物理學(xué)》中提到了一些概念，如運動、力、速度等，都是向量的前身。在1806年，英國科學(xué)家牛頓在《數(shù)學(xué)原理》中，首次出現(xiàn)了向量的第一個明確表述。他擴(kuò)展了之前對速率、力等概念的解釋，引入了向量作為描述這些概念的數(shù)學(xué)工具。然而，牛頓并未使用“向量”這一術(shù)語。在19世紀(jì)和20世紀(jì)初，隨著復(fù)數(shù)幾何的發(fā)展，向量開始被系統(tǒng)地學(xué)習(xí)和使用，Caspar Wessel、Jean Robert Argand、Car Friedrich Gauss等人都為此做出了重要貢獻(xiàn)。他們將復(fù)數(shù)想象成二維平面中的點，也就是二維向量。

【評析】 案例8主要介紹了向量的歷史和發(fā)展，與歷史學(xué)科相融合。向量作為一個抽象概念，它的發(fā)展歷史展示了跨學(xué)科的魅力。同時也從歷史的角度上發(fā)現(xiàn)，向量的概念并非一蹴而就，而是經(jīng)過了數(shù)個世紀(jì)的演化和完善。從亞里士多德的研究到艾薩克 · 牛頓的《數(shù)學(xué)原理》，再到19世紀(jì)和20世紀(jì)初的系統(tǒng)性學(xué)習(xí)和使用，向量的發(fā)展歷程是跨越了多個學(xué)科領(lǐng)域。

（6） 向量的概念與藝術(shù)欣賞學(xué)科融合

案例9：學(xué)生先觀看動畫《貓和老鼠》的片段。

教師：若老鼠Jerry從點A出發(fā)，向東南方向逃竄，速度為4米/秒，貓Tom也從點A出發(fā)，朝正東方向奔跑，速度為6米/秒，大家覺得貓Tom會不會追上老鼠Jerry？

學(xué)生：不會！

教師：為什么？

學(xué)生：因為它們跑的方向完全不一樣，典型的南轅北轍。

教師：但是貓Tom的速度是大于老鼠Jerry的速度呀！

學(xué)生：雖然貓Tom的速度快，但是它們的距離是越來越遠(yuǎn)。

教師：所以如果貓Tom要抓到老鼠Jerry，必須思考哪幾個因素？

學(xué)生：兩個。

教師：哪兩個？

學(xué)生：方向和速度。

教師：所以我們可以判斷，速度的方向和大小對Tom能否追上Jerry起著決定性的作用。

【評析】 案例9以動畫片《貓和老鼠》的片段作為導(dǎo)入，提出貓和老鼠都從點A出發(fā)，但是奔跑方向不同的問題。從學(xué)生的課堂反應(yīng)來看，起到了積極有效的作用，從一開始就調(diào)動了學(xué)生的注意力，大大增強了學(xué)生繼續(xù)探究下去的興趣。

三、 啟示與建議

（1） 實施跨學(xué)科教學(xué)的主陣地是課堂，主體是教師，因此跨學(xué)科教學(xué)能否順利進(jìn)行往往取決于教師。只有具有開展跨學(xué)科教學(xué)意識并努力實踐的教師，才有可能培養(yǎng)出跨學(xué)科學(xué)習(xí)的學(xué)生。當(dāng)前教師不應(yīng)該僅僅局限于自己所教的學(xué)科，應(yīng)把視野拓寬，力求跨越自己所教的學(xué)科，從學(xué)生培養(yǎng)的角度，在自己所教的學(xué)科課堂中，有意識地開展跨學(xué)科教學(xué)活動，培養(yǎng)學(xué)生的多元思維。在教學(xué)空余時間，教師應(yīng)多思考，多鉆研教材，在教材中探尋哪些地方可以進(jìn)行跨學(xué)科教學(xué)，并嘗試在課堂實踐中融合進(jìn)去，對成效進(jìn)行跟蹤分析，逐步提升自己跨學(xué)科融合教學(xué)的能力。

（2） 跨學(xué)科教學(xué)是時代發(fā)展的趨勢，但跨學(xué)科教學(xué)內(nèi)容跨度較大，開放性強，因此教師之間的交流合作顯得尤為重要，不僅需要數(shù)學(xué)教研組內(nèi)開展研討，也需要和其他學(xué)科教師之間協(xié)作，打造跨學(xué)科教研共同體。教師不但要做到專而精，而且要做到博而雜?？鐚W(xué)科聽課，閱讀一些其他學(xué)科的材料，打破學(xué)科本位思想，站在促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的高度。［3］有鑒于此，教師要樹立開放的學(xué)科觀念，增強學(xué)科交叉融合意識?？鐚W(xué)科意識并不是要求教師“門門通”，而是要了解一些其他學(xué)科的內(nèi)容，各學(xué)科教師之間要互相學(xué)習(xí)借鑒交流。

（3） 跨學(xué)科教學(xué)雖然有很多優(yōu)點，能夠為我們的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂注入新鮮的血液，給課堂帶來活力，讓學(xué)生既能學(xué)到相應(yīng)學(xué)科的知識，又能拓寬視野，在輕松愉悅中學(xué)習(xí)。但是跨學(xué)科教學(xué)研究尚處于起步階段，相關(guān)課程研究資源匱乏，因此也不能強行地進(jìn)行跨學(xué)科教學(xué)，否則也可能會給學(xué)生帶來學(xué)習(xí)上的反作用力，影響本學(xué)科的學(xué)習(xí)，產(chǎn)生負(fù)向遷移。因此教師在進(jìn)行跨學(xué)科教學(xué)之前應(yīng)了解清楚學(xué)生的實際情況，考慮到學(xué)生的已有知識經(jīng)驗，再決定本節(jié)課進(jìn)行跨學(xué)科教學(xué)是否合適，根據(jù)實際情況進(jìn)行教學(xué)設(shè)計。

［參考文獻(xiàn)］

［1］ 黎殷涵.跨學(xué)科語文“大概念”教學(xué)的路徑研究［J］.漢字文化，2022（24）.

［2］ 羅毅，陳方玉.概念課教學(xué)如何“玩轉(zhuǎn)概念”—“向量”概念教學(xué)有感［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（12）.

［3］ 李佩寧.什么是真正的跨學(xué)科整合—從幾個案例說起［J］.人民教育，2017（11）.