摘" 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》初中統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域的課程，新增了“數(shù)據(jù)分組的原則”和“箱線圖與百分位數(shù)”的內(nèi)容。增加前者，立足于大數(shù)據(jù)時(shí)代的特征，體現(xiàn)了課程的時(shí)代性。相關(guān)的教學(xué)建議有：引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)據(jù)分組的必要性；讓學(xué)生適應(yīng)信息化生態(tài)，形成大數(shù)據(jù)思維；激發(fā)學(xué)生探索分組準(zhǔn)則的求知欲。增加后者，進(jìn)一步完善了初中生對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表的認(rèn)識(shí)，有利于形成整體的知識(shí)結(jié)構(gòu)。相關(guān)的教學(xué)建議有：讓學(xué)生通過實(shí)例制作，感悟箱線圖的結(jié)構(gòu)特征；讓學(xué)生通過知識(shí)拓展，形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域；數(shù)據(jù)分組；箱線圖

與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》相比，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）初中統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域的課程，新增了“數(shù)據(jù)分組的原則”和“箱線圖與百分位數(shù)”的內(nèi)容，具體要求分別是“經(jīng)歷數(shù)據(jù)分類的活動(dòng)，知道按照組內(nèi)離差平方和最小的原則對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分類的方法”［1］和“會(huì)計(jì)算四分位數(shù)，了解四分位數(shù)與箱線圖的關(guān)系，感悟百分位數(shù)的意義”［2］。新增內(nèi)容的學(xué)科內(nèi)涵是什么？育人價(jià)值體現(xiàn)在哪里？教學(xué)實(shí)施有哪些注意點(diǎn)？厘清這些問題，是課程實(shí)施的基本前提。

一、 新增的“數(shù)據(jù)分組的原則”

（一） 內(nèi)容解析

瘙嚔1. 數(shù)據(jù)分組的內(nèi)涵及價(jià)值瘙嚔瘙嚔

數(shù)據(jù)分組是指根據(jù)統(tǒng)計(jì)研究的需要，將原始數(shù)據(jù)按照某種標(biāo)準(zhǔn)劃分成不同的組別。在大數(shù)據(jù)分析中，對(duì)于通過調(diào)查得到的數(shù)據(jù)，雖然經(jīng)過審核、排序等整理手段給予了處理，但是，由于數(shù)據(jù)龐雜，還不能直接進(jìn)入對(duì)數(shù)據(jù)的分析階段，有必要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分組處理，使大量無序、混沌的數(shù)據(jù)變?yōu)橛行?、層次分明、顯示總體特征的資料。在取得完整、正確的統(tǒng)計(jì)資料前提下，數(shù)據(jù)分組的優(yōu)劣是決定整個(gè)統(tǒng)計(jì)研究成敗的關(guān)鍵，直接關(guān)系到統(tǒng)計(jì)分析的質(zhì)量。從一定意義上說，數(shù)據(jù)整理的中心任務(wù)就是分組和編制頻數(shù)分布。

大數(shù)據(jù)時(shí)代的特征是數(shù)據(jù)滲透到每一個(gè)行業(yè)和職能領(lǐng)域，大數(shù)據(jù)給社會(huì)治理、工業(yè)發(fā)展、民生服務(wù)、日常生活等帶來了越來越多的便利，正在改變?nèi)藗兊纳詈屠斫馐澜绲姆绞?。就像望遠(yuǎn)鏡能讓我們感知宇宙，顯微鏡能讓我們觀察微生物一樣，大數(shù)據(jù)開啟了一次重大的時(shí)代轉(zhuǎn)型，成為新發(fā)明和新服務(wù)的源泉。與傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)分析相比，大數(shù)據(jù)分析要在海量數(shù)據(jù)中尋找數(shù)據(jù)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)異常，所以，數(shù)據(jù)預(yù)處理就顯得分外重要。數(shù)據(jù)分組就是數(shù)據(jù)預(yù)處理的手段之一。因此，新課標(biāo)增加“數(shù)據(jù)分組的原則”的內(nèi)容，立足于大數(shù)據(jù)時(shí)代的特征，體現(xiàn)了課程的時(shí)代性。

瘙嚔2. 數(shù)據(jù)分組的原則瘙嚔瘙嚔

和數(shù)學(xué)中的分類一樣，數(shù)據(jù)分組也必須做到不遺漏（窮盡性）和不重復(fù)（互斥性），即每一個(gè)數(shù)據(jù)都要且只能劃歸到某一組中去。在此基礎(chǔ)上，數(shù)據(jù)分組的一個(gè)基本原則是，使組內(nèi)的差距盡可能小，組間有明顯的差異。

假設(shè)有n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，不失一般性，假設(shè)這些數(shù)據(jù)都不相等。如果把這些數(shù)據(jù)分為兩組，例如，前m個(gè)數(shù)據(jù)為第一組，后n-m個(gè)數(shù)據(jù)為第二組。記x-1=x1+x2+…+xmm，x-2=xm+1+xm+2+…+xnn-m，則x1+x2+…+xm=mx-1，xm+1+xm+2+…+xn=（n-m）x-2。于是：

x-=x1+x2+…+xnn，

S2=（x1-x-）2+（x2-x-）2+…+（xn-x-）2

=（x1-x-）2+（x2-x-）2+…+（xm-x-）2+（xm+1-x-）2+（xm+2-x-）2+…+（xn-x-）2

=（x1-x-1+x-1-x-）2+（x2-x-1+x-1-x-）2+…+（xm-x-1+x-1-x-）2+（xm+1-x-2+x-2-x-）2+（xm+2-x-2+x-2-x-）2+…+（xn-x-2+x-2-x-）2

=（x1-x-1）2+（x2-x-1）2+…+（xm-x-1）2+（xm+1-x-2）2+（xm+2-x-2）2+…+（xn-x-2）2+m（x-1-x-）2+（n-m）（x-2-x-）2+2［（x1-x-1）（x-1-x-）+（x2-x-1）（x-1-x-）+…+（xm-x-1）（x-1-x-）］+2［（xm+1-x-2）（x-2-x-）+（xm+2-x-2）（x-2-x-）+…+（xn-x-2）（x-2-x-）］

=（x1-x-1）2+（x2-x-1）2+…+（xm-x-1）2+（xm+1-x-2）2+（xm+2-x-2）2+…+（xn-x-2）2+m（x-1-x-）2+（n-m）（x-2-x-）2=S12+S22。

其中，S12=（x1-x-1）2+（x2-x-1）2+…+（xm-x-1）2+（xm+1-x-2）2+（xm+2-x-2）2+…+（xn-x-2）2，通常稱為組內(nèi)離差平方和；S22=m（x-1-x-）2+（n-m）（x-2-x-）2，通常稱為組間離差平方和。［3］

依據(jù)方差的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，組內(nèi)離差平方和S12越小，組內(nèi)數(shù)據(jù)的差距就越?。唤M間離差平方和S22越大，組間數(shù)據(jù)的差異就越明顯。由于一組數(shù)據(jù)的離差平方和S2（除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n即得方差）是一個(gè)定值，當(dāng)組內(nèi)離差平方和S12最小時(shí)，組間離差平方和S22最大。所以，一個(gè)合理的分組原則是使S12最小，稱為數(shù)據(jù)分組的“組內(nèi)離差平方和最小原則”。

（二） 教學(xué)建議

瘙嚔1. 引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)據(jù)分組的必要性瘙嚔瘙嚔

數(shù)據(jù)分組是確定數(shù)據(jù)類型的基礎(chǔ)，是更好地認(rèn)識(shí)數(shù)據(jù)特征、發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)規(guī)律的前提。教學(xué)中，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)真實(shí)性情境讓學(xué)生討論，從而直觀感悟數(shù)據(jù)分組的必要性。例如：統(tǒng)計(jì)得到全省八年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)這一海量的數(shù)據(jù)如何分析呢？拋出問題后，讓學(xué)生討論，形成一些共識(shí)。比如：按地域標(biāo)志，可以把數(shù)據(jù)劃分為城區(qū)、城鎮(zhèn)和郊區(qū)、農(nóng)村等組類；按學(xué)校性質(zhì)標(biāo)志，可以把數(shù)據(jù)劃分為公辦學(xué)校、民辦學(xué)校等組類。這樣的分組可以更好地說明不同類型數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，有利于更好地通過樣本數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)總體的規(guī)律。利用具體實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生感悟：通過數(shù)據(jù)分組，可以根據(jù)影響因素和結(jié)果因素的對(duì)應(yīng)，更好地揭示現(xiàn)象之間的相互制約、相互依存關(guān)系；也可以反映總體內(nèi)部各部分之間的差別，表明總體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)；還可以計(jì)算各組所占總體的比重，從總體的構(gòu)成上認(rèn)識(shí)總體各部分的作用，從而對(duì)總體作出正確的預(yù)測(cè)。

瘙嚔2. 讓學(xué)生適應(yīng)信息化生態(tài)，形成大數(shù)據(jù)思維瘙嚔瘙嚔

大數(shù)據(jù)與小數(shù)據(jù)的根本區(qū)別在于大數(shù)據(jù)采用全樣思維方式，小數(shù)據(jù)強(qiáng)調(diào)抽樣。抽樣是數(shù)據(jù)采集、存儲(chǔ)、分析、呈現(xiàn)技術(shù)達(dá)不到實(shí)際要求或成本遠(yuǎn)超過承受范圍的情況下采取的統(tǒng)計(jì)方法。從理論上講，抽樣得到的結(jié)論是不穩(wěn)定的。比如，比較兩位籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃成績(jī)，一位是2投1中，另一位是10投5中，盡管投中的頻率都是50%，但是由于樣本大小的明顯差異，說兩者有相同的投籃命中率是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，過去不可能獲取全樣數(shù)據(jù)、不可能存儲(chǔ)和分析全樣數(shù)據(jù)的情況都不復(fù)存在，大數(shù)據(jù)時(shí)代是全樣數(shù)據(jù)的時(shí)代，是精準(zhǔn)分析的時(shí)代?！皵?shù)據(jù)分組的原則”的教學(xué)要讓學(xué)生了解抽樣作為統(tǒng)計(jì)的一種方式有一定的局限性，全樣本統(tǒng)計(jì)的時(shí)代已經(jīng)到來；要讓學(xué)生養(yǎng)成獲取大數(shù)據(jù)的意識(shí)，掌握大數(shù)據(jù)分組的方法，了解分析大數(shù)據(jù)的工具，形成大數(shù)據(jù)的思維。

瘙嚔3. 激發(fā)學(xué)生探索分組準(zhǔn)則的求知欲瘙嚔瘙嚔

組內(nèi)離差平方和最小原則是最基本的數(shù)據(jù)分組原則。如果學(xué)生對(duì)這類問題感興趣，可以適度介紹模型選擇的其他準(zhǔn)則。比如，AIC準(zhǔn)則——赤池信息準(zhǔn)則的簡(jiǎn)稱，用于衡量統(tǒng)計(jì)模型的擬合度是否優(yōu)良，以對(duì)多個(gè)模型作出選擇；BIC準(zhǔn)則——貝葉斯信息準(zhǔn)則的簡(jiǎn)稱，與AIC準(zhǔn)則相似，也用于模型選擇；CV準(zhǔn)則——交叉驗(yàn)證法的簡(jiǎn)稱，也是一種分類的統(tǒng)計(jì)分析方法，基本思想是將原始的數(shù)據(jù)集分為兩個(gè)部分——訓(xùn)練集與驗(yàn)證集，先對(duì)訓(xùn)練集進(jìn)行訓(xùn)練，再用驗(yàn)證集對(duì)訓(xùn)練的模型進(jìn)行測(cè)試，進(jìn)一步進(jìn)行分類評(píng)價(jià)。［4］也可以引導(dǎo)學(xué)生查閱關(guān)于AIC、BIC、CV準(zhǔn)則的資料，或者介紹其他關(guān)于大數(shù)據(jù)分類方法的圖書。由此，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探索分組準(zhǔn)則的求知欲。

二、 新增的“箱線圖與百分位數(shù)”

（一） 內(nèi)容解析

瘙嚔1. 箱線圖的內(nèi)涵及作用瘙嚔瘙嚔

箱線圖又稱為盒式圖、盒狀圖，是一種常用的描述數(shù)據(jù)分布情況的統(tǒng)計(jì)圖。它有5個(gè)特征數(shù)：最小值、下四分位數(shù)、中位數(shù)、上四分位數(shù)與最大值。如下頁圖1所示，在箱線圖中，最上方和最下方的線段分別表示這組數(shù)據(jù)的最大值和最小值；箱子上方和下方的線段分別表示這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)和下四分位數(shù)，中間的線段表示這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；最上方和最下方的圓圈表示數(shù)據(jù)中的異常值。箱線圖一般有兩種類型，即單式箱線圖和復(fù)式箱線圖。前者用于分析只有一個(gè)變量的數(shù)據(jù)分布，后者用以分析具有兩個(gè)或以上變量的數(shù)據(jù)分布。

箱線圖制作方便，常見于品質(zhì)管理等報(bào)告中。它能夠直觀地呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的離散分布情況（包括數(shù)據(jù)的對(duì)稱性和數(shù)據(jù)中的異常值），直觀地比較幾組數(shù)據(jù)的分布特征，有利于數(shù)據(jù)的清洗。因此，新課標(biāo)增加“箱線圖與百分位數(shù)”的內(nèi)容，進(jìn)一步完善了初中生對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表的認(rèn)識(shí)，有利于形成整體的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

瘙嚔2. 箱線圖的制作步驟瘙嚔瘙嚔

第一步：把一組數(shù)據(jù)從小到大排列為x1，x2，…，xn，找出這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，用m50表示。m50把這組數(shù)據(jù)分為前后（小大）兩部分。

第二步：分別找出前后兩部分?jǐn)?shù)據(jù)的中位數(shù)，用m25和m75表示。m25、m50、m75把這組數(shù)據(jù)分為個(gè)數(shù)相等的四個(gè)部分，因此被稱為四分位數(shù)，其中m75被稱為上四分位數(shù)，m25被稱為下四分位數(shù)。

第三步：繪制箱子的上下范圍，上四分位數(shù)為上限，下四分位數(shù)為下限，在箱子內(nèi)部中位數(shù)的位置繪制橫線。

第四步：計(jì)算上四分位數(shù)和下四分位數(shù)的差值，即四分位數(shù)差，記為δ。將大于上四分位數(shù)1.5δ的值和小于下四分位數(shù)1.5δ的值劃為異常值。超出3δ的異常值稱為極端異常值，常用實(shí)心點(diǎn)表示；不到3δ的異常值稱為溫和異常值，常用空心點(diǎn)表示。

第五步：在異常值外，靠近最大值和最小值處劃?rùn)M線，作為箱線圖的觸須。

第六步：為箱線圖添加名稱、數(shù)軸。

瘙嚔3. 單個(gè)箱線圖分析瘙嚔瘙嚔

中位數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)：中位數(shù)高，表示平均水平較高；中位數(shù)低，表示平均水平較低。四分位數(shù)的差反映一組數(shù)據(jù)的離散情況：箱子短，表示數(shù)據(jù)集中；箱子長(zhǎng)，表示數(shù)據(jù)分散。中位數(shù)在箱子的正中間時(shí)，數(shù)據(jù)一般呈正態(tài)分布（如圖2所示）；中位數(shù)在箱子的上半部分時(shí)，數(shù)據(jù)一般呈左偏分布（如圖3所示）；中位數(shù)在箱子的下半部分時(shí)，數(shù)據(jù)一般呈右偏分布（如圖4所示）。

以某校九年級(jí)8個(gè)班級(jí)學(xué)生一次單元測(cè)驗(yàn)成績(jī)的箱線圖為例進(jìn)行比較，結(jié)果如下頁圖5所示。

（二） 教學(xué)建議

瘙嚔1. 讓學(xué)生通過實(shí)例制作，感悟箱線圖的結(jié)構(gòu)特征瘙嚔瘙嚔

弗賴登塔爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種活動(dòng)，這種活動(dòng)與游戲、騎自行車是一樣的，不經(jīng)過親身體驗(yàn)，僅僅從看書本、聽講解、觀察他人的演示，是學(xué)不會(huì)的?！?“箱線圖與百分位數(shù)”的教學(xué)要留出足夠的時(shí)間，讓學(xué)生在了解箱線圖制作步驟的基礎(chǔ)上制作箱線圖，通過實(shí)例制作感悟箱線圖的結(jié)構(gòu)特征。從近幾次

江蘇省八年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)結(jié)果看，依據(jù)語言的描述畫出圖形是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)。所以，要鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手做，著力培養(yǎng)學(xué)生從語言（文字、數(shù)據(jù)）中提取信息、用圖形表征信息的能力，逐步幫助學(xué)生形成“畫圖是分析問題的有效策略”的意識(shí)，體會(huì)到箱線圖的價(jià)值。通過動(dòng)手實(shí)踐，箱線圖的特征會(huì)越來越清晰、關(guān)系會(huì)越來越明白，學(xué)生的思考會(huì)越來越深入。當(dāng)然，實(shí)際教學(xué)中，還要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合理的信息化學(xué)習(xí)環(huán)境，探索利用信息技術(shù)（如

Excel、SPSS等軟件）制作箱線圖，提升學(xué)生的探究熱情，開闊學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的想象，提高學(xué)生的信息素養(yǎng)。

直方圖、折線圖和箱線圖都可以用來描述單變量數(shù)據(jù)，當(dāng)有兩個(gè)或兩個(gè)以上變量時(shí)，用什么樣的圖來描述數(shù)據(jù)呢？教學(xué)“箱線圖與百分位數(shù)”內(nèi)容后，引導(dǎo)學(xué)生思考這樣的問題是很有意義的。一方面，這種思考問題的方式是“學(xué)過數(shù)學(xué)的人應(yīng)該具備的基本思維特征”，這樣的引導(dǎo)也是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題能力的好辦法；另一方面，由此介紹多變量統(tǒng)計(jì)圖，有利于學(xué)生形成整體的統(tǒng)計(jì)圖知識(shí)結(jié)構(gòu)。實(shí)際上，學(xué)生對(duì)多變量統(tǒng)計(jì)圖并不陌生：學(xué)校呈現(xiàn)學(xué)生學(xué)業(yè)成績(jī)時(shí)就經(jīng)常用雷達(dá)圖（例如圖6）來描述。無論從知識(shí)基礎(chǔ)來看，還是從關(guān)鍵能力和思維品質(zhì)來看，了解、認(rèn)識(shí)甚至制作雷達(dá)圖對(duì)初中生來說都是可行的，而且貼近他們的學(xué)習(xí)生活，能夠激發(fā)他們的探究興趣，是有意義、有價(jià)值的拓展。當(dāng)然，實(shí)際教學(xué)中，也要引導(dǎo)學(xué)生比較分析各種統(tǒng)計(jì)圖的優(yōu)勢(shì)和缺點(diǎn)，在形成完整知識(shí)結(jié)構(gòu)的同時(shí)，提升合理運(yùn)用各種統(tǒng)計(jì)圖表整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的能力。

參考文獻(xiàn)：

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［4］ 王俊艷.基于AIC、BIC、CV準(zhǔn)則的模型選擇［J］.統(tǒng)計(jì)學(xué)與應(yīng)用，2020（4）：546565.