摘" 要：提高學(xué)生解決解析幾何問題的能力，關(guān)鍵是提高學(xué)生簡化計算過程的能力。為此，應(yīng)站在更高的層面，幫助學(xué)生充分認(rèn)識解析幾何的本質(zhì)，從而從幾何性質(zhì)和代數(shù)技巧兩個方面入手，注意利用圖形的整體性質(zhì)和局部性質(zhì)轉(zhuǎn)化條件，利用代數(shù)式同構(gòu)進(jìn)行代換，利用方程同解建立系數(shù)關(guān)系，利用曲線方程進(jìn)行消元。由此，針對具體的問題靈活地尋求簡化計算過程的方法。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解析幾何；解題教學(xué)；簡化計算

本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃青年專項(xiàng)課題“指向高階思維培養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究”（編號：C/2023/03/47）的階段性研究成果。

平面解析幾何是高中數(shù)學(xué)課程的經(jīng)典內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)考查的重難點(diǎn)內(nèi)容。解析幾何難題通常表現(xiàn)為“思路易想而過程難算”，尤其是在考試時間的限制下，面對繁雜的計算，學(xué)生常常算不出來或算錯。因此，提高學(xué)生解決解析幾何問題的能力，除了要提高學(xué)生按部就班計算（“死算”）的能力，更為關(guān)鍵的是提高學(xué)生簡化計算過程（“巧算”）的能力。

事實(shí)上，很多教師都會教給學(xué)生簡化解析幾何問題計算過程的一些常規(guī)方法，如回歸定義、設(shè)而不求、取特殊值、點(diǎn)差法等；甚至還會教給優(yōu)秀學(xué)生一些拓展方法，如利用曲線系方程、參數(shù)方程、仿射變換、非對稱韋達(dá)定理等處理的方法。但我們會發(fā)現(xiàn)，學(xué)生利用這些方法仍然不能較好地解決一些解析幾何難題，尤其是在近幾年的“新高考”中。究其原因，這些方法都只是某些特定題型的特殊套路，并不能完全覆蓋解析幾何的所有題目，因此，學(xué)時不容易記住，用時也不容易想到。

對此，我們應(yīng)站在更高的層面，幫助學(xué)生充分認(rèn)識解析幾何的本質(zhì)——利用代數(shù)方法解決幾何問題，從而從幾何性質(zhì)和代數(shù)技巧兩個方面入手，針對具體的問題靈活地尋求簡化計算過程的方法，從容地應(yīng)對各種解析幾何問題。以下嘗試舉例說明這一思路下的若干方法。

一、 利用幾何性質(zhì)簡化計算過程

解析幾何問題本質(zhì)上是幾何問題。因此，我們可以充分運(yùn)用有關(guān)的幾何知識，即圖形的幾何性質(zhì)，轉(zhuǎn)化題目條件，使得所列式子發(fā)生變化，從而簡化解題所需的計算過程。一般來說，可以利用圖形的整體（宏觀）性質(zhì)和局部（微觀）性質(zhì)。

（一） 利用圖形的整體性質(zhì)轉(zhuǎn)化條件

圖形的整體性質(zhì)主要表現(xiàn)為對稱性，有時也表現(xiàn)為周期性。這樣的性質(zhì)，讓我們只需要研究圖形一個部分，就能夠“同理”知道圖形的其他部分，因此，可以很好地幫我們簡化解析幾何問題的計算過程。

例1" 如圖1，過橢圓x24+y2=1的中心作一條直線，與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，若∠PFQ=2π3，則△PFQ的面積為""" 。

圖1

本題如果直接求解△PFQ的面積，無論是用底和高的公式，還是用兩邊及其夾角的公式，求邊長或高的計算都會非常煩瑣，因?yàn)椤螾FQ=2π3這個條件不太好處理。如果關(guān)注到橢圓的對稱性，嘗試將P、Q兩點(diǎn)與橢圓的另一個焦點(diǎn)F′連接起來，就會得到一個平行四邊形。再利用平行四邊形的性質(zhì)將△PFQ的面積轉(zhuǎn)化為△PFF′的面積，進(jìn)而利用焦點(diǎn)三角形的面積公式，就可以很快地得到答案：S△PFQ=S△PFF′=b2tanπ6=33。

例2" 在一張紙上有圓C：（x+5）2+y2=4，定點(diǎn)B（5，0），折疊紙片使圓C上某一點(diǎn)M1恰好與點(diǎn)B重合，這樣每次折疊都會留下一條直線折痕PQ，設(shè)折痕PQ與直線M1C的交點(diǎn)為T。

（1） 求證：|TC-TB|為定值，并求出點(diǎn)T的軌跡C′的方程；

（2） 設(shè)A（-1，0），M為曲線C′上一點(diǎn)，N為圓x2+y2=1上一點(diǎn)（M、N均不在x軸上），直線AM、AN的斜率分別為k1、k2，且k2=-14k1，求證直線MN過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)。

本題第（1）問比較簡單，|TC-TB|=2，軌跡C′的方程為x2-y24=1。對于第（2）問，根據(jù)題意可以作出下頁圖2。聯(lián)立直線AM的方程與雙曲線C′的方程，消元，利用韋達(dá)定理可得Mk21+44-k21，8k14-k21；聯(lián)立直線AN的方程與單位圓的方程，消元，利用韋達(dá)定理及k2=-14k1可得N-k21+1616+k21，-8k116+k21。這時，如果利用兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示直線MN的方程，運(yùn)算量將會非常大。如果關(guān)注到點(diǎn)A在x軸上，雙曲線C′和單位圓都關(guān)于x軸對稱，就會發(fā)現(xiàn)動直線MN繞著x軸上的定點(diǎn)

旋轉(zhuǎn)。于是，可以設(shè)定點(diǎn)為

D（t，0），由三點(diǎn)共線得kMD=kND，

即8k14-k21k21+44-k21-t=-8k116+k21-k21+1616+k21-tk21+4+（k21-4）t=k21-16+（k21+16）tt=1，所以，直線MN過定點(diǎn)D（1，0）。

圖2

（二） 利用圖形的局部性質(zhì)轉(zhuǎn)化條件

幾何中的很多結(jié)論（定理）反映的都是圖形的局部性質(zhì)，比如平行線、三角形、四邊形以及圓的很多性質(zhì)。恰當(dāng)?shù)厥褂眠@些結(jié)論（定理），也能較好地轉(zhuǎn)化題目條件，從而簡化解析幾何問題的計算過程。

例3" 如圖3，已知橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是橢圓上任意一點(diǎn)，直線F2M垂直于OP且交線段F1P于點(diǎn)M，若F1M=2MP，則該橢圓離心率的取值范圍是""" 。

圖3

絕大多數(shù)學(xué)生會采用設(shè)點(diǎn)、解點(diǎn)、代點(diǎn)的步驟求解本題，計算過程十分煩瑣。其實(shí)，這里明顯有可以使用梅涅勞斯定理（若直線l不經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)，并且與△ABC的三邊BC、AC、AB或它們的延長線分別交于點(diǎn)P、Q、R，則BPPC·CQQA·ARRB=1）的幾何結(jié)構(gòu)：△POF1以及與它的三邊所在直線都相交的直線MF2，以及直線MF2分△POF1兩邊所成的比例。因此，可以設(shè)MF2與OP相交于點(diǎn)N，從而得PMMF1·F1F2F2O·ONNP=1，進(jìn)而得出N是線段OP的中點(diǎn)，MF2是線段OP的中垂線，所以PF2=OF2=c∈（a-c，a+c），解得e∈12，1。

例4" 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)O對稱，動點(diǎn)P滿足直線AP與BP的斜率之積等于-13。

（1） 求動點(diǎn)P的軌跡方程；

（2） 設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M、N，問：是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

本題第（1）問比較簡單，點(diǎn)P的軌跡方程為x2+3y2=4（x≠±1）。對于第（2）問，根據(jù)題意可以作出圖4。如果直接使用底和高表示三角形面積，需要設(shè)點(diǎn)、求點(diǎn)，運(yùn)算量非常大。如果關(guān)注到對頂角相等，使用兩邊及其夾角的正弦表示三角形面積，運(yùn)算量會減少很多。此外，還可以充分利用平面幾何結(jié)論簡化計算過程：由S△PAB=S△PMN得S△ABM=S△MNB，從而AN∥BM；延長AB交直線MN于點(diǎn)C，觀察A、B、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可以發(fā)現(xiàn)B是AC的中點(diǎn)，所以M是NC的中點(diǎn)，所以P是△ANC的重心，故xP=xA+xN+xC3=53，則yP=±339，所以存在點(diǎn)P53，±339使得△PAB與△PMN的面積相等。

圖4

二、 利用代數(shù)技巧簡化計算過程

解析幾何問題也是需要利用代數(shù)方法解決的問題。因此，我們可以積極調(diào)動有關(guān)的代數(shù)技巧，特別是基于代數(shù)結(jié)構(gòu)的“代”與“變”技巧［1］，處理所得式子，從而簡化計算過程。從代數(shù)基本研究對象的角度看，結(jié)合解題經(jīng)驗(yàn)，通常有以下三種代數(shù)技巧。

（一） 利用代數(shù)式同構(gòu)進(jìn)行代換

在高中解析幾何問題中，我們常會遇到兩個幾何對象（如點(diǎn)）滿足同樣或類似的幾何性質(zhì)。這時，可以利用代換（包括字母代換和式子代換）的方法，構(gòu)造出與一個幾何對象對應(yīng)的代數(shù)式結(jié)構(gòu)完全一樣的代數(shù)式，從而避免逐個求解的運(yùn)算量。在此基礎(chǔ)上，甚至可以基于代數(shù)式同構(gòu)，利用代換的方法（替換不同部分，保留相同部分），抽象出這兩個幾何對象同時對應(yīng)的“通式”，從而進(jìn)一步簡化計算過程。

例5" 拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上。直線l：x=1交C于P、Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ。已知點(diǎn)M（2，0），且⊙M與l相切。

（1） 分別求拋物線C、⊙M的方程；

（2） 設(shè)A1、A2、A3是拋物線C上的三個點(diǎn)，直線A1A2、A1A3均與⊙M相切，試判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由。

本題第（1）問比較簡單，拋物線C的方程為y2=x，⊙M的方程為（x-2）2+y2=1。對于第（2）問，設(shè)A1（x1，y1）、A2（x2，y2）、A3（x3，y3），得y21=x1，y22=x2，y23=x3后，如果直接聯(lián)立直線方程與圓的方程去解點(diǎn)，由于三個點(diǎn)的坐標(biāo)都不知道，運(yùn)算量將會非常大。如果關(guān)注到A2、A3兩點(diǎn)滿足同樣的性質(zhì)——在拋物線C上且與A1的連線跟⊙M相切，就可以在由直線A1A2的兩點(diǎn)式方程轉(zhuǎn)化得到斜截式方程y=xy1+y2+y1y2y1+y2，并由直線A1A2與⊙M相切得到2y1y2+（x1-1）x2-x1+3=0后，由代數(shù)式同構(gòu)代換得2y1y3+（x1-1）x3-x1+3=0，進(jìn)而抽象出直線A2A3的方程2y1y+（x1-1）x-x1+3=0。由此，可以得到點(diǎn)M到直線A2A3的距離為|2（x1-1）-x1+3|4y21+（x1-1）2=|x1+1|（x1+1）2=1，所以直線A2A3與⊙M相切。實(shí)際上，基于代數(shù)式同構(gòu)，本題還很容易得到切點(diǎn)弦的方程。

（二） 利用方程同解建立系數(shù)關(guān)系

在高中解析幾何問題中，經(jīng)常需要求解二次曲線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)或兩條二次曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)（求解兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)通常比較容易，不做重點(diǎn)考慮）。從代數(shù)的角度看，就是解聯(lián)立得到的二元二次方程組；進(jìn)一步看，就是解消元得到的一元二次方程。這時，如有新增的二次曲線經(jīng)過所求的交點(diǎn)，便形成了“三線共點(diǎn)”問題。對此，可以基于聯(lián)立、消元得到的方程同解，建立系數(shù)之間的相等關(guān)系，從而簡化未知數(shù)的求解過程。

例6" 已知橢圓O的中心在原點(diǎn)，長軸在x軸上，右頂點(diǎn)A（2，0）到右焦點(diǎn)的距離與它到右準(zhǔn)線的距離之比為32。不過點(diǎn)A的動直線y=12x+m與橢圓O交于P、Q兩點(diǎn)。

（1） 求橢圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2） 記過點(diǎn)A、P、Q的動圓為圓C，已知動圓C過定點(diǎn)A和B（異于點(diǎn)A），求出定點(diǎn)B的坐標(biāo)。

本題第（1）問比較簡單，橢圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1。對于第（2）問，如果利用A、P、Q三點(diǎn)的坐標(biāo)求解動圓C的方程，將會非常棘手，因?yàn)镻、Q兩點(diǎn)（動點(diǎn)）坐標(biāo)的表達(dá)式非常復(fù)雜，代入圓C的方程得到的待定系數(shù)的表達(dá)式也會非常復(fù)雜。如果關(guān)注到P、Q兩點(diǎn)既是動直線與橢圓O的交點(diǎn)，又是動直線與動圓C的交點(diǎn)，就可以分別聯(lián)立、消元（設(shè)圓C的方程為一般式x2+y2+Dx+Ey+F=0），得到同解方x2+2mx+2（m2-1）=0和x2+45m+D+E2x+45（m2+Em+F）=0，從而得到系數(shù)之間的恒等關(guān)系2m=45m+D+E2，

2（m2-1）=45（m2+Em+F），整理得到D+E2=32m，

Em+F=32m2-52。再由點(diǎn)A在圓C上得到4+2D+F=0，便可解得D=3（m-1）4，E=32m+32，F(xiàn)=-32m-52。代入圓C的方程，按參數(shù)m整理得x2+y2-34x+32y-52+m34x+32y-32=0后，便可求出圓C還過定點(diǎn)B（0，1）。

（三） 利用曲線方程進(jìn)行消元

用字母表示數(shù)（設(shè)元，包括表示未知的常量和一般的變量）是產(chǎn)生代數(shù)式、建立代數(shù)關(guān)系的基礎(chǔ)，從而是代數(shù)研究的基本思想。表示數(shù)的字母多了，結(jié)果的不確定性就大了，也就需要利用代數(shù)關(guān)系減少一些字母（消元），從而提高結(jié)果的確定性（求得所需的結(jié)果）。求解解析幾何問題自然也需要設(shè)元與消元。相比于二次曲線的方程，直線的方程次數(shù)較低，經(jīng)常作為消元的首選關(guān)系式。但事實(shí)上，很多高中解析幾何問題如果利用二次曲線的方程消元，可以避免煩瑣的運(yùn)算，包括避免不對稱韋達(dá)定理式的出現(xiàn)。特別是，在拋物線問題中，利用拋物線方程消元，可以優(yōu)化很多代數(shù)式的處理。

例7" 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）實(shí)軸端點(diǎn)分別為A1（-a，0）、A2（a，0），右焦點(diǎn)為F，離心率為2，過點(diǎn)A1且斜率為1的直線l與雙曲線C交于另一點(diǎn)B，已知△A1BF的面積為92。

（1） 求雙曲線C的方程；

（2） 若過點(diǎn)F的直線l′與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn)，問：直線A1M與直線A2N的交點(diǎn)Q是否在某條定直線上？若在，求出該定直線的方程；若不在，說明理由。

本題第（1）問比較簡單，雙曲線C的方程為x2-y23=1。對于第（2）問，如果利用直線l′的方程對求點(diǎn)Q的坐標(biāo)時得到的方程中的參數(shù)（點(diǎn)M、N的坐標(biāo)）進(jìn)行消元處理，會得到非對稱韋達(dá)定理類型的式子，進(jìn)而需要一些特殊的技巧（煩瑣的計算）來化解這種式子。如果利用雙曲線C的方程進(jìn)行消元處理，則不需要什么技巧。具體過程如下：當(dāng)直線l′的斜率存在時，設(shè)直線l′的方程為y=k（x-2），M（x1，y1），N（x2，y2），則直線A1M的方程為y=y1x1+1（x+1），直線A2N的方程為y=y2x2-1（x-1）；聯(lián)立直線l′的方程與雙曲線C的方程，消去y得（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0，所以x1+x2=4k2k2-3，x1x2=4k2+3k2-3；聯(lián)立直線A1M的方程與直線A2N的方程，消去y得x+1x-1=y2（x1+1）y1（x2-1），兩邊平方得x+1x-12=y22（x1+1）2y21（x2-1）2；利用M（x1，y1）、N（x2，y2）在雙曲線C：x2-y23=1上，可得y22（x1+1）2y21（x2-1）2=9；解x+1x-12=9，得x=12或x=2（舍去），所以點(diǎn)Q在定直線x=12上。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 劉東升.代數(shù)解題教學(xué)：重視“代”和“變”，培養(yǎng)“結(jié)構(gòu)感”——從常見誤區(qū)說起［J］.教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2023（2）：6265.