黃月 曲新婷 董艷

摘要：在面向思維能力培養(yǎng)的基礎教育教學中，研究者常基于數學學科開展有針對性的思維能力訓練，但學習效果不一。為此，文章基于51篇相關的實驗與準實驗研究所得數據，采用元分析方法探討了小學數學思維能力訓練的學習效果。結果顯示：我國面向小學數學的思維能力訓練有中上程度的正向效果，但其效果在低階或高階思維能力上并無顯著差異；不同數學課程內容與訓練策略均能產生顯著差異；學段、訓練周期和是否使用信息技術工具并無顯著差異。文章根據研究結果提出了有效開展思維能力訓練的對策和建議，以期厘清研究脈絡，并為實踐者開展循證教學提供參考。

關鍵詞：小學數學；思維能力訓練；元分析；學習效果

【中圖分類號】G40-057 【文獻標識碼】A 【論文編號】1009—8097（2024）06—0091—09?【DOI】10.3969/j.issn.1009-8097.2024.06.010

引言

我國基礎教育領域一直關注對學習者思維能力的培養(yǎng)，其中數學作為核心學科，常被選為思維能力訓練的載體。《義務教育數學課程標準（2022版）》（下文簡稱“2022新課標”）中重點提到“會用數學的思維思考現實世界”，并將數學思維描述為“主要表現為運算能力、推理意識或推理能力。通過數學思維過程，理解數學基本概念與關系法則，明確數學與現實世界間的聯系，運用邏輯解釋論證數學基本方法與結論，分析解決數學問題和實際問題，探究數學規(guī)律，進行數學再發(fā)現，發(fā)展批判性思維，形成理性精神”。良好的數學思維能力培養(yǎng)需要包含針對性練習的教學設計^[1]，近30年我國小學數學教育取得了一定的進展，建立了一套比較科學嚴密的課程體系，形成了具有中國特色的數學教學模式與經驗^[2]。我國關注數學推理意識與能力的培養(yǎng)^[3]，也注重知識之間的包含關聯與遷移變化^[4]。其中，珠象心算作為特有的訓練工具，被廣泛應用于國內早期的思維能力訓練中^[5]。在小學數學思維能力訓練領域內部，研究者還關注了年級差異^[6]、數學課程內容^[7][8]、訓練策略^[9][10][11]、訓練周期^[12][13]、信息技術工具的使用^[14]。然而，將小學數學思維能力訓練看作一個整體考慮時，其學習效果卻出現了分歧。部分研究顯示了思維能力訓練在小學數學中的積極作用^[15][16][17]。但另外一些研究認為學習效果不明顯甚至起消極作用，如對小學生實施空間工作記憶任務訓練^[18]、計算思維訓練^[19]、空間可視化訓練^[20]并不能顯著促進數學學習的結果。小學思維能力訓練是否能提升學習效果，尚未達成統(tǒng)一結論。

綜上，本研究嘗試在系統(tǒng)梳理已有研究的基礎上，采用元分析法對國內外30年間發(fā)表的關于中國小學數學的實驗或準實驗研究論文進行綜合分析，探討思維能力訓練對我國小學數學學習效果的影響，以及學段、數學課程內容、訓練策略、訓練周期、信息技術工具的使用共五個細分變量的調節(jié)影響，以期厘清研究脈絡，并為實踐者開展循證教學提供參考。

一 研究設計

鑒于Gene V. Glass^[21]提出的元分析評價程序受到了廣泛認可，因此按照其展開研究，主要包括如下四個步驟：文獻檢索、文獻篩選、文獻編碼、效應量計算。研究過程盡可能對程薇等^[22]針對元分析方法在教育領域中應用的問題做出回應，包括闡述編碼過程、保證編碼一致性等。

1?文獻檢索

本研究的中文文獻來源于中國知網（CNKI）與主要師范院校、部分綜合性大學的校內碩博論文數據庫，文獻檢索時間均限定為30年。在知網檢索期刊庫時限定類型為CSSCI與核心期刊，并分前后兩個階段開展檢索：第一輪通過檢索式（TKA=‘小學數學）OR（SU=‘小學數學）獲得2327篇文獻；第二輪在此結果的基礎上以檢索式（TKA=‘實證+‘實驗+‘實驗研究法+‘基于設計的研究方法+‘行動研究法+‘研究+‘影響）OR（SU=‘實證+‘實驗+‘實驗研究法+‘基于設計的研究方法+‘行動研究法+‘研究+‘影響）進行檢索，得到907篇文獻。碩博士論文在各大院校的校內碩博士論文庫以主題“小學數學”進行檢索，合并檢索結果得到1424篇文獻。

本研究的英文文獻來源于Web of Science、ERIC、SpringerLink、Scopus、ScienceDirect共5個主流的數據庫，具體的檢索式分別包括TS=（“math* learn*”or“math* edu*”or“math* instru*”or“math* pedagogy*”or“primary math*”or“elementary math*”or“K12 math*”）、TS=（“thinking”or“training”or“intervention”or“cognitive”or“metacognitive”or“metacognition”or“intelligence”）與ALL=（“china”or“chinese”），合并檢索結果得到1741篇文獻。

2?文獻篩選

為確保文獻分析的準確性和可靠性，本研究制訂以下文獻篩選標準：①實證研究，排除非實證研究；②與研究主題高度相關，排除無關主題；③包含對照實驗，排除非對照實驗；④報告思維能力訓練的影響效果，排除無影響效果說明；⑤包含完整數據信息，排除缺少數據或無法得出效應量。經過兩輪篩選最終納入有效樣本文獻51篇（期刊10篇，碩博40篇，會議1篇）。

3?文獻編碼

本研究將納入元分析的51篇文獻按項特征值進行編碼，部分論文編碼情況如表1所示。其中，結果變量編碼為學習效果?；诓剪斈返膶W習目標分類理論，將知識、領會、應用層次的學習效果編碼為低階思維能力，分析、評價、創(chuàng)造層次的學習效果編碼為高階思維能力。

調節(jié)變量包括學段、數學課程內容、訓練策略、訓練周期、使用信息技術工具：①由于不同年級學生的認知水平和思維特征存在差異，因此區(qū)分學段開展針對性訓練非常重要。基于2022新課標，本研究將學段編碼分為第一學段（1～3年級）與第二學段（4～6年級）。②不同數學課程內容可能影響學習效果。基于2022新課標，本研究將數學課程內容編碼為數與代數、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐四個部分。③思維能力訓練策略的不同也將影響學習效果。基于加涅^[27]的定義，本研究將訓練策略編碼為認知訓練、元認知訓練與其他訓練。認知訓練包括對注意、編碼、練習、檢索相關言語信息和智力技能進行訓練的策略；元認知訓練是針對個體對自己的認知過程和結果的意識與控制進行訓練的策略；其他訓練是指對與問題情境相關、以圖式組織的言語信息和智力技能進行訓練的策略。④訓練周期的長短也可能對學習效果產生影響。本研究根據納入元分析樣本的實際訓練時間將訓練周期編碼為一周內、一月內、一學期內、一學期以上四類。⑤由于信息技術對教育的影響，本研究對在思維能力訓練時使用小程序、游戲等信息技術工具的情況進行單獨編碼，分為是、否兩類。編碼由本研究團隊中兩位經過元分析編碼標準培訓的作者分別進行，分歧之處由兩人協商，保證雙編碼結果完全一致。

4?效應量計算

本研究元分析中的所有數據統(tǒng)計過程均使用軟件CMA 3.7完成，采用標準化均差（Standardized Mean Difference）作為元分析的效應量，以評估面向小學數學思維能力訓練的學習效果。根據Deeks等^[28]的研究，在滿足效應量計算獨立性的前提下，若一篇文獻同時呈現多個獨立樣本，可以分別提取效應量。本研究納入元分析的51篇文獻中共提取出113個效應量。

二 結果與分析

1 發(fā)表偏倚檢驗

本研究采用漏斗圖和失安全系數（Fail-safe Number）來檢驗發(fā)表偏倚情況。漏斗圖如圖1所示，大部分效應量相對均勻地分布在平均效應量兩側，說明發(fā)表偏移的可能性較小。本研究的失安全系數為9935，遠大于檢驗標準575（5×113+10），說明未發(fā)表研究的效應量對該研究已納入的效應量影響不大。綜上，本研究具有較小的發(fā)表偏差，元分析研究結果具有穩(wěn)健性。

2 異質性檢驗

本研究采用Q檢驗和I²檢驗兩種辦法檢驗樣本的異質性。Q檢驗的標準通常設定為0.10。I²統(tǒng)計量體現了異質性部分占效應量總體的變異比例^[29]，I²值越高，異質性越強。樣本異質性檢驗結果為Q=556.234，p=0.000＜0.10，I²=79.865，說明研究樣本之間存在異質性。

3 整體效應

（1）面向小學數學的思維能力訓練的整體學習效果

為適應研究樣本的異質性，本研究選用隨機效應模型（Random Effects Model）進行整體分析。面向小學數學的思維能力訓練的合并效應量為0.582（p=0.000＜0.01），達到統(tǒng)計學顯著水平。結合Cohen^[30]對效應量標準的界定，當效應量小于0.2時，表示有較小影響；當效應量介于0.2～0.5時，表示有中等影響；當效應量介于0.5～0.8時，表示有中上程度影響；當效應量大于0.8時，表示有高度影響。本研究的合并效應量為0.582，說明面向小學數學的思維能力訓練具有中上程度的正向效果。進行敏感性分析發(fā)現，排除任意一個樣本后效應量在0.559～0.591之間浮動，與總體估計值相差不大，表明元分析最終結果具有較高的穩(wěn)定性。

（2）面向小學數學的思維能力訓練的具體學習效果

思維能力訓練對低階或高階思維能力的影響效果如表2所示，無論是低階思維能力，還是高階思維能力，兩者的效應量均達到0.01水平下的顯著（p＜0.01），說明現有思維能力訓練對低階或高階思維能力的培養(yǎng)都具有正向作用。從高階思維能力與低階思維能力分別提取出73、40的樣本量，它們的組間效應為0.150，p=0.698＞0.10，這說明雖然小學數學思維能力訓練更多地將目標定位為培養(yǎng)高階思維能力，但思維能力訓練對兩種能力的影響效果不存在顯著差異。

4 調節(jié)效應

5個調節(jié)變量的調節(jié)效應分析結果如表3所示：

①學段。第一學段的合并效應量為0.606，第二學段為0.568，兩個學段的合并效應量均達到統(tǒng)計顯著水平，在0.01水平下顯著（p＜0.01）。兩個學段的組間效應為0.107，p=0.743＞0.10，即在不同學段開展思維能力訓練的學習效果不存在顯著差異。

②數學課程內容。“數與代數”的合并效應量為0.424，“圖形與幾何”為0.464，“統(tǒng)計與概率”為1.813，“綜合與實踐”為0.539。四者的合并效應量均在0.01水平下顯著（p＜0.01）。四個部分的組間效應為18.804，p＜0.10，即思維能力訓練對小學數學課程內容存在顯著差異，這說明采取基于不同數學課程內容的思維能力訓練能產生不同的學習效果，其中使用“統(tǒng)計與概率”的學習效果最明顯，“綜合與實踐”“圖形與幾何”“數與代數”的學習效果依次遞減。

③訓練策略。認知訓練的合并效應量為0.766，元認知訓練為0.321，其他訓練為0.560。三者均在0.01水平下顯著（p＜0.01）。從樣本量來看，采用認知訓練策略的研究最多，其他訓練策略次之，元認知訓練策略最少。三者的組間效應為18.872，p＜0.01，即不同的訓練策略產生的影響效果存在顯著差異，說明不同的小學數學思維能力訓練策略存在不同的學習效果，其中認知訓練策略的學習效果最好，其次是其他訓練策略，最后是元認知訓練策略。

④訓練周期。“一周內”的合并效應量為0.634，“一月內”為0.490，“一學期內”為0.576，“一學期以上”為0.656。四者的合并效應均在0.01水平下顯著（p＜0.01），即在各個訓練周期中數學思維能力訓練都具有積極作用。其中，“一學期以上”達到的效果最好，“一周內”“一學期內”“一月內”達到的效果依次遞減。四者的組間效應為1.596，p=0.660＞0.10，即訓練周期對小學數學思維能力訓練的學習效果不存在顯著差異。

⑤使用信息技術工具。是否使用信息技術工具的合并效應量分別為0.641與0.554，兩者均在0.01水平下顯著（p＜0.01）。使用信息技術工具對思維能力訓練（0.641＞0.554）確有幫助。但兩者的組間效應為0.950，p=0.330＞0.10，即是否使用信息技術工具對小學數學思維能力訓練的學習效果不存在顯著差異。

由于本研究涉及的文獻跨越時間周期較長，因此較多早期文獻中并不包含信息技術工具的使用，即使使用了信息技術，對具體技術的描述也較為模糊。盡管后期文獻涌現了較多新技術，但對應具體技術的研究樣本依舊不夠充足，難以從量化角度對信息技術工具的類型進行編碼并形成有統(tǒng)計效力的結果。考慮信息技術對教育研究與實踐的巨大價值，本研究對使用信息技術工具變量與學段、數學課程內容、訓練策略、訓練周期四個變量進行了交叉效應分析，其中使用信息技術工具與數學課程內容、訓練周期兩個變量的交叉效應達到了統(tǒng)計顯著水平。如表4所示，使用信息技術工具在“數與代數”與“綜合與實踐”的數學課程內容中達到統(tǒng)計顯著水平，組間差異分別在0.10（p=0.060＜0.10）和0.01（p=0.000＜0.01）水平下顯著。而未使用信息技術工具在“統(tǒng)計與概率”數學課程內容中達到統(tǒng)計顯著水平，在0.10（p=0.075＜0.10）水平下顯著。但由于細分樣本量過?。?em>N=1對比N=2），本研究保留對此部分的結論。此外，使用信息技術工具在達到“一月內”的思維能力訓練周期時達到統(tǒng)計顯著水平，Q值為8.097，組間差異在0.01（p=0.004＜0.01）水平下顯著，即小學數學思維能力訓練開展周期為一月內時，使用信息技術工具的學習效果顯著好于未使用信息技術工具。

三 結論與討論

本研究采用元分析方法，梳理了1993～2023年51項小學數學思維能力訓練的實驗或準實驗研究，探討我國面向小學數學的思維能力訓練對學習效果的綜合影響，并進一步明晰了學段、數學課程內容、訓練策略、訓練周期、使用信息技術工具等五個調節(jié)變量的效果，結論如下：

1 面向小學數學的思維能力訓練有正向效果，但對高低階思維能力培養(yǎng)的差異效果不明顯

面向小學數學的思維能力訓練具有中上程度的正面效果，這與我國小學數學的培養(yǎng)目標導向是一致的，即希望學生能掌握一種學習能力和數學思維^[31]。盡管近年來數學教育領域強調促進小學生的深度學習^[32][33]，并提倡高階思維能力的訓練^[34]，促使研究者更多地將思維能力訓練的目標放在培養(yǎng)高階思維能力上。但是當前小學數學思維能力訓練在低階思維能力與高階思維能力培養(yǎng)的效果方面并不存在顯著差異，甚至低階思維能力的學習效果略高于高階思維能力。這與皮亞杰^[35]的兒童成長階段論相符，也符合大多數兒童的能力成長是需要從低階思維能力過渡到高階思維能力的結論^[36]。因此，小學后再強化高階思維能力訓練，或許能獲得更好的效果。

2 面向小學數學的思維能力訓練效果因相關實驗設計調節(jié)變量的差異而不同

①從學段來看，不同學段進行的思維能力訓練效果差異不顯著，第一學段的訓練效果略高于第二學段。這可能是因為低年級小學生處于思維成長的初級階段，更容易受到外界影響，所以進行有針對性的思維能力訓練會更有效。

②從數學課程內容來看，基于不同數學課程內容的思維能力訓練結果差異顯著。“概率與統(tǒng)計”獲得的合并效應量遠高于其他三項，“綜合與實踐”次之。這可能與解決“概率與統(tǒng)計”問題本身的難度相關。一般而言，問題解決的難度與思維能力的增長正相關，即訓練中解決的問題越難，可以獲得的能力成長越顯著。“概率與統(tǒng)計”的內容較難，直到小學四年級學生才開始學習，因此合并效應量最高?！熬C合與實踐”的內容則是學生從一年級就開始學習，但通常安排在學期末，其內容也更考驗學生的綜合能力，因此其合并效應量次之。

③從訓練策略來看，認知訓練的合并效應量顯著高于其他訓練和元認知訓練。這個結果符合皮亞杰的兒童認知發(fā)展階段論，也符合學者前期研究^[37]，即小學階段兒童的“注意”逐漸發(fā)展，但選擇性差、穩(wěn)定性不強。這可能是因為低學段學生以具體形象思維為主，需借助形象具體的對象和情境來理解概念。高學段學生逐步向抽象邏輯思維過渡，記憶也逐步過渡為抽象化記憶。因此，認知訓練策略對小學階段的學生最為有效。雖然這個結論與部分研究的結果相沖突，如郭成^[38]對比了元認知策略與一般思維策略訓練的效果差異，認為元認知策略能獲得更好的效果。該研究中的一般思維策略訓練定義為“直接告訴學生這些策略的含義并力圖讓學生記憶這些策略”，可以歸為認知策略。但是該研究中認知策略的使用并未搭配具體的情境設計，訓練的內容對于處于從具體思維向抽象思維過渡時期的小學生來說難以理解。

④從訓練周期來看，“一學期以上”訓練周期達到的學習效果最好，“一周內”“一學期內”“一月內”訓練周期的學習效果依次遞減。雖然思維能力訓練周期對學習效果不存在顯著組間差異，但就研究結果來看，最長周期的思維能力訓練獲得最好的學習效果。這與一般認知相符，即最多的投入得到最好的結果。值得注意的是，整個周期的合并效應量基于周期的長短呈現“U型”趨勢（0.634→0.49→0.576→0.656），超短期內的突擊思維能力訓練能馬上得到較好的效果，然而隨著訓練周期拉長，效應量緩慢下降，直到思維能力訓練成為一種習慣和日常，其效應量將逐步恢復，并增長到比超短期突擊更高的水平。這表明思維能力訓練是一個長期的、需要持續(xù)進行的過程，這與Lai等^[39]提出較短的訓練周期不利于學生計算思維中認知能力發(fā)展的觀點部分相符。但本研究得到短期與中期訓練效果反而弱于超短期訓練效果的結論，這可能是超短期訓練帶給學生的新奇沖擊效果導致的，這種新奇沖擊效果會隨著周期的拉長而逐步衰退，弱化短期與中期訓練效果。因此，最佳思維能力訓練的訓練周期需要堅持一學期以上。但是如果達不到該長度的訓練周期，或許選擇一周內的超短期思維能力訓練更適宜。

⑤使用信息技術工具的合并效應量略高于未使用信息技術，但兩者的組間差異不顯著。其原因可能是，已有研究更傾向于在數學思維能力訓練中使用傳統(tǒng)工具而不是信息技術工具，整體上尚未充分發(fā)揮信息技術工具的潛力。但在細分問題領域中，是否使用信息技術工具顯示出了顯著的組間差異：首先，在數學課程內容上，研究結果表明，在“數與代數”與“綜合與實踐”部分使用信息技術工具更有效。這可能因為在小學數學的課程內容中，相對于更具體、更情境化的“圖形與幾何”，“數與代數”部分對學習者的抽象思維與邏輯思維要求更高，也更需要信息技術進行輔助?！熬C合與實踐”部分對學生提出了更高的綜合能力要求，其教與學的方式本身也為信息技術的發(fā)揮提供了更多空間。其次，在訓練周期上，在“一月內”的短期思維能力訓練中使用信息技術工具的學習效果顯著性好于不使用。這可能是信息技術工具的使用延長了超短期（一周內）思維訓練產生的新奇沖擊效果所導致的。因此，如果想將超短期的思維訓練周期延長到短期，搭配信息技術工具輔助訓練或許能獲得更好的學習效果。

四 優(yōu)化建議

根據上述研究結論，本研究針對未來面向小學數學思維能力訓練的設計與應用提出建議：

①可以盡早在低年級開展小學階段的數學思維能力訓練，因為年幼的兒童更容易建立數學思維并潛在地養(yǎng)成鍛煉思維的習慣，這些效果可持續(xù)作用于整個小學階段。也無須特別關注“高階思維能力”的培養(yǎng)，因為小學階段數學的低階與高階思維能力培養(yǎng)效果并無顯著差異。

②在設計訓練內容時，建議適當在低年級增加“綜合與實踐”的內容，在高年級增加“概率與統(tǒng)計”的內容。當數學課程內容是“數與代數”或“綜合與實踐”時，增加信息技術工具的使用或許能得到更好的學習效果。

③在設計訓練策略時，應更重視認知策略的使用，進入中學后再適當增加元認知策略的比例。此外，使用認知策略時需要特別重視具體情境的搭配。

④在設計思維能力訓練項目的周期時，建議研究者與實踐者選擇超短期的周內突擊訓練，或一學期以上的長期訓練，通?？鐚W年的思維能力訓練項目能獲得較好的效果。對兒童而言，中等周期的思維能力訓練項目可能容易讓學習者產生厭倦，對持久思維習慣的培養(yǎng)也并無增強效益。如果要將超短期的周內訓練延長至短期月內訓練，建議增加信息技術工具的使用。

⑤建議教育研究與實踐者在小學數學思維能力訓練中應用更多的信息技術工具，充分挖掘信息技術工具在小學數學思維能力訓練中的潛力?？梢栽谟柧氝^程中適當引入包含VR、AR、MR技術的教育虛擬環(huán)境^[40]，也可嘗試使用AI類工具對學生進行適應性反饋與效果追蹤。

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Is the Thinking Ability Training for Primary School Mathematics Effective？

——A Meta-analysis Based on 51 Empirical Studies at Home and Abroad

HUANG Yue¹????QU Xin-Ting¹????DONG Yan²

（1. School of Humanities， Beijing University of Posts and Telecommunications， Beijing，

China 100876;2. Faculty of Education， Beijing Normal University， Beijing， China 100875）

Abstract： In the basic education teaching oriented to the cultivation of thinking ability， researchers often carry out targeted thinking ability training based on the mathematics discipline， yet the learning effect is different.?Therefore， based on data obtained from 51 relevant experimental and quasi-experimental research， this paper adopted meta-analysis method to explore the learning effects of of primary school mathematical thinking ability training. The results showed that thinking ability training for primary school mathematics in China had a moderate positive effect， but there was no significant difference in its effectiveness in low-order or high-order thinking abilities. Different mathematical course content and thinking training strategies could produce significant differences. There was no significant difference in terms of the grade level， training period， and whether information technology tools were used. Guided by these research findings， effective strategies and recommendations for?effectively implementing?thinking ability training were proposed， expecting?to clarify research trends and provide guidance for?practitioners to carry out evidence-based teaching.

Keywords： primary mathematics; thinking ability training; meta-analysis; learning effect

*基金項目：本文為北京教育科學規(guī)劃青年專項課題“小學數學問題解決遷移的認知模型建構與教學應用研究”（項目編號：BCDA18046）的階段性研究成果。

作者簡介：黃月，副教授，博士，研究方向為小學數學思維能力培養(yǎng)、混合教學，郵箱為huangy@bupt.edu.cn。

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