【摘 要】以發(fā)展的眼光、整體的視角解讀中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，有助于把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)屬性，促進(jìn)數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)的整體性、一致性理解。文章指出，教師應(yīng)對(duì)特定主題下能夠反映數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)屬性的關(guān)鍵問(wèn)題進(jìn)行深入分析，并從傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中搜尋解決問(wèn)題的資源。在此基礎(chǔ)上，按照歷史順序、邏輯順序、認(rèn)知順序三者融合的方式，結(jié)合多種數(shù)學(xué)文化資源，通過(guò)整理、分析與重構(gòu)的方式，將其由數(shù)學(xué)形態(tài)、歷史形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，并以主題式復(fù)習(xí)的形式，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這一主題內(nèi)容進(jìn)行整體性、一致性、深度的理解與提升。

【關(guān)鍵詞】傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化；整體性；一致性；平面圖形面積；二維屬性

【作者簡(jiǎn)介】李建良，高級(jí)教師，杭州市教壇新秀，主要研究方向?yàn)镠PM視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的選擇要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展前沿與數(shù)學(xué)文化，繼承和弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化。［1］同時(shí)，教學(xué)內(nèi)容的組織和呈現(xiàn)應(yīng)關(guān)注核心素養(yǎng)培養(yǎng)的整體性與一致性。中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)文化（以下簡(jiǎn)稱“傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化”）在漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程中，經(jīng)歷了不斷完善的過(guò)程，形成了清晰的結(jié)構(gòu)和脈絡(luò)，對(duì)核心素養(yǎng)的整體性與一致性發(fā)展具有重要的意義。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有多種方式，相較于片段式的解讀，在歷史發(fā)展的整體脈絡(luò)中解讀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化更具價(jià)值。也只有用發(fā)展的眼光、整體的視角對(duì)素材進(jìn)行解讀，才能觸及數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)和數(shù)學(xué)背后的文化。［2］要使傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化集中、連續(xù)地融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，除單元整體教學(xué)外，六年級(jí)下學(xué)期的總復(fù)習(xí)也是一個(gè)重要的途徑。本文以“圖形與幾何”領(lǐng)域的平面圖形面積總復(fù)習(xí)為例，對(duì)借助傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化開(kāi)展階段性總復(fù)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的具體策略和過(guò)程進(jìn)行闡述。

一、思考與分析教學(xué)中的若干關(guān)鍵問(wèn)題

核心素養(yǎng)的整體性、一致性培養(yǎng)需要具體的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)活動(dòng)為依托。教學(xué)中，教師追求學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體性、一致性理解，是為了幫助學(xué)生更好地把握數(shù)學(xué)本質(zhì)；反之，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施過(guò)程中以恰當(dāng)?shù)乃夭暮突顒?dòng)凸顯學(xué)習(xí)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，更有利于學(xué)生形成整體性和一致性理解。為此，教師應(yīng)對(duì)教學(xué)過(guò)程中的關(guān)鍵問(wèn)題和教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)屬性進(jìn)行深度思考和分析。

面積是計(jì)量中的基本概念，也是小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”中“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”主題的主要教學(xué)內(nèi)容之一?？臻g在兩個(gè)不同方向上同時(shí)延展的可能性及程度在人腦中的反映，形成了面積的概念。［3］可見(jiàn)，空間中的兩個(gè)不同方向或維度是面積的特有屬性，應(yīng)貫穿于平面圖形面積學(xué)習(xí)的全過(guò)程。因此，在平面圖形面積教學(xué)的不同階段，教師必須重視以下幾個(gè)問(wèn)題。一是平面圖形面積作為一個(gè)二維對(duì)象，其二維屬性具體是如何表現(xiàn)的？怎樣讓學(xué)生在直觀感受的基礎(chǔ)上進(jìn)一步理解和把握這一屬性？這些問(wèn)題涉及面積概念的理解和長(zhǎng)方形、正方形面積的測(cè)量與計(jì)算，是整個(gè)小學(xué)階段平面圖形面積學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。二是長(zhǎng)方形、正方形的二維屬性較為明顯，與“長(zhǎng)”“寬”這兩個(gè)外顯的要素形成直接的聯(lián)系，其他多邊形面積的二維屬性如何體現(xiàn)？是否能與長(zhǎng)方形、正方形面積達(dá)成一致性理解？這關(guān)系到多邊形的轉(zhuǎn)化與面積公式的推導(dǎo)，是小學(xué)階段平面圖形面積的主要內(nèi)容。三是在多邊形中總能直接找到或通過(guò)轉(zhuǎn)化后找到互相垂直的兩個(gè)量，圓同樣作為平面圖形，其面積測(cè)量或計(jì)算過(guò)程中是否也存在這樣的兩個(gè)量？鑒于曲邊圖形與直邊圖形的差異，教師如何才能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并理解圓的這一對(duì)關(guān)系？這涉及極限思想的理解和運(yùn)用，關(guān)系到學(xué)生對(duì)平面圖形面積深層次的理解，是學(xué)生在“圖形與幾何”領(lǐng)域的認(rèn)知方式和認(rèn)知水平的一次重要飛躍。

上述問(wèn)題是由面積的二維屬性衍生而來(lái)的，思考并解決這些問(wèn)題，有助于面積本質(zhì)屬性的理解與把握。小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排遵循螺旋式上升的原則，同一主題的教學(xué)內(nèi)容，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，被安排在不同的學(xué)段或年級(jí)。這一客觀原因加上教師本身缺乏整體意識(shí)，容易使隱含在具體知識(shí)、技能背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)遭到忽視。即使教師有透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的意識(shí)，往往也很難找到適當(dāng)?shù)乃夭淖鳛榻虒W(xué)的載體。但如果教師能善于審視和挖掘傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中包含了很多與上述問(wèn)題相關(guān)的數(shù)學(xué)史料。在六年級(jí)下學(xué)期總復(fù)習(xí)階段，學(xué)生的認(rèn)知水平和整體意識(shí)已經(jīng)有了明顯的提升。教師通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)史料的充分挖掘和有效應(yīng)用，可以使學(xué)生對(duì)平面圖形面積的理解水平達(dá)到更高的層次，從而進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)水平和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、搜集與整理傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的相關(guān)史料

由于小學(xué)數(shù)學(xué)中很多基本概念的產(chǎn)生和形成都年代久遠(yuǎn)，受早期客觀條件（如表達(dá)形式和記錄方式等）的限制，相關(guān)史料本就不多，加上經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歲月多有遺失，流傳下來(lái)的史料比較有限，數(shù)學(xué)概念的發(fā)展軌跡變得模糊不清。因此，在資料搜集的過(guò)程中，除數(shù)學(xué)專著本身以外，數(shù)學(xué)家為專著所作的注釋也是值得關(guān)注的。此外，在很多其他門類的典籍（如諸子學(xué)說(shuō)、史書(shū)、其他學(xué)科論著等）和保存下來(lái)的文物古跡中，也包含了大量的數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容，值得教師進(jìn)一步搜集與整理，以作為數(shù)學(xué)教學(xué)的有效素材。

1.關(guān)于面積概念及面積二維屬性的史料

《九章算術(shù)》中“方田術(shù)”把長(zhǎng)方形面積計(jì)算方法概括為“廣從步數(shù)相乘得積步”，其中長(zhǎng)度和面積都用“步”作單位。其實(shí)古代有專門表示面積的方法，先秦時(shí)期多部典籍都采用了“方××里”的形式來(lái)描述土地面積的大小。如“方千里”的真正含義是縱橫各千里，也就是說(shuō)，方千里的面積等于邊長(zhǎng)為一千里的正方形的面積，即一百萬(wàn)平方里。［4］《九章算術(shù)》中的“步”在作為面積單位時(shí)的意思是“方步”或“平方步”，即邊長(zhǎng)為一步的正方形的面積。因此，“方田術(shù)”中的“廣從步數(shù)”既可以理解為長(zhǎng)方形中互相垂直的長(zhǎng)與寬的長(zhǎng)度，也可以理解為長(zhǎng)、寬兩個(gè)維度上一平方步的小正方形數(shù)量。

2.關(guān)于多邊形面積公式及其二維屬性的史料

劉徽在為“方田術(shù)”做注釋時(shí)指出：“凡廣從相乘謂之冪?！边@既給出了面積的概念，又包含了面積的二維屬性及計(jì)算方法。其中，“凡”字體現(xiàn)了對(duì)平面圖形面積屬性與計(jì)算方法的高度概括?！毒耪滤阈g(shù)》中，在計(jì)算三角形面積時(shí)用到了“圭田術(shù)”：“半廣以乘正從”。對(duì)此，劉徽解釋為“半廣知，以盈補(bǔ)虛為直田也”，這就是“出入相補(bǔ)”原理。劉徽正是借助“出入相補(bǔ)”原理將多邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，并使其面積計(jì)算方法與“廣從相乘”建立起聯(lián)系，這也體現(xiàn)了古人對(duì)數(shù)學(xué)方法一致性的追求。

3.關(guān)于圓的面積及其二維屬性的史料

《九章算術(shù)》中“圓田術(shù)”說(shuō)：“半周半徑相乘得積步?！奔碨圓 =

r·r或S圓 =[C2]× r。劉徽解釋為“半周為從，半徑為廣，故廣從相乘為積步也”。也就是說(shuō)，把圓周長(zhǎng)的一半看作寬，把半徑看作長(zhǎng)，這樣圓的面積就同化為“廣從相乘”了。劉徽在利用“割圓術(shù)”研究圓的面積時(shí)，用正多邊形邊長(zhǎng) × 圓半徑的方法依次計(jì)算了若干正多邊形的面積。隨著正多邊形邊數(shù)不斷增加，原來(lái)的正多邊形邊長(zhǎng) × 圓半徑逐漸變成三角形的底×高。一個(gè)三角形的底和高是互相垂直的，n個(gè)三角形的底和高也都互相垂直。因此，可以理解為三角形的底之和與高互相垂直，也就是正多邊形（或圓）的周長(zhǎng)與半徑互相垂直（如圖1），即S圓 =（[Cn]× r ÷ 2） × n =[Cn]× n × r ÷ 2=[C2]× r。

一個(gè)數(shù)學(xué)主題背后的歷史往往揭示了歷史上數(shù)學(xué)家對(duì)該主題的探究過(guò)程，為教師設(shè)計(jì)探究活動(dòng)提供了參照。［5］從上述史料中可以發(fā)現(xiàn)，站在數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化的高度，更能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容的整體性和一致性。

三、設(shè)計(jì)與實(shí)施傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化視角下的整體復(fù)習(xí)

通過(guò)對(duì)教學(xué)內(nèi)容及相關(guān)史料的分析可知，平面圖形面積主要包括面積概念的理解和面積的測(cè)量（“方××里”“廣從步數(shù)相乘得積步”），多邊形面積計(jì)算方法的概括（“凡廣從相乘謂之冪”“以盈補(bǔ)虛為直田也”），以及圓的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)或證明（“半周半徑相乘得積步”“割圓術(shù)”）。這既是面積相關(guān)內(nèi)容的歷史順序，也是教材編排的邏輯順序和學(xué)生認(rèn)知的心理順序。因此，在總復(fù)習(xí)中，教師按照這一順序組織教學(xué)活動(dòng)，有助于提升學(xué)生學(xué)習(xí)的廣度和深度。此外，教學(xué)活動(dòng)以傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化為線索，但不局限于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化。在平面圖形面積的整體復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融入面積單位、面積公式、圖形轉(zhuǎn)化等內(nèi)容之中，并結(jié)合面積計(jì)算、圖形縮放、面積單位進(jìn)率等知識(shí)和技能，幫助學(xué)生全方位、多角度理解平面圖形面積及其二維屬性。

1.借助不同表征發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性

同一主題下不同階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容表現(xiàn)形式是有差異的，學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的認(rèn)知是一個(gè)逐步進(jìn)階的過(guò)程。也正是因?yàn)檫@種階段性和差異性，教師需要遵循從具體直觀到抽象概括的規(guī)律，采用不同表現(xiàn)形式、不同抽象程度的表征方式，幫助學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象形成全面、立體的認(rèn)知。就平面圖形面積的二維屬性而言，在所有平面圖形中，形狀結(jié)構(gòu)越接近于長(zhǎng)方形或正方形的，其面積變化規(guī)律及面積的二維屬性就體現(xiàn)得越明顯；反之，就越隱蔽。為了全面體現(xiàn)各種平面圖形中包含的共同規(guī)律和本質(zhì)屬性，教師可以將圖形按照比例放大前后的面積之比作為載體，讓學(xué)生通過(guò)圖示比較、數(shù)值計(jì)算、公式辨析等多種形式，體會(huì)圖形在兩個(gè)維度上的變化引起的面積變化及其與面積二維屬性的關(guān)系。

教學(xué)中，教師可以出示幾種常見(jiàn)的平面圖形，請(qǐng)學(xué)生畫(huà)出按照2∶1放大后的圖形，并求出放大前后圖形的面積之比。學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖與計(jì)算發(fā)現(xiàn)，這些圖形放大后長(zhǎng)與寬或底與高都擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，面積都變成原來(lái)的4倍。其中，梯形必須是上底、下底和高都按2∶1放大，圓則表現(xiàn)為將半徑擴(kuò)大到原來(lái)的2倍。由此，學(xué)生通過(guò)直觀作圖與具體計(jì)算，發(fā)現(xiàn)平面圖形的面積變化與互相垂直的兩個(gè)方向的量的變化都存在關(guān)系（如圖2）。由此引出進(jìn)一步研究平面圖形面積的二維屬性的話題。

通過(guò)將平時(shí)分散學(xué)習(xí)的幾種平面圖形集中在一起進(jìn)行比較，學(xué)生零散的經(jīng)驗(yàn)得到了充分的激活，他們發(fā)現(xiàn)在圖形的面積公式中也包含了上述變化規(guī)律（見(jiàn)表1）。

在此基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)追問(wèn)，如果圖形按照3∶1放大，面積會(huì)如何變化。學(xué)生得出圖形按3∶1放大，面積將擴(kuò)大到原來(lái)的9倍的結(jié)論，并根據(jù)平面圖形面積的二維屬性和它們的計(jì)算公式進(jìn)行解釋：有的面積公式中有平方，因此長(zhǎng)度擴(kuò)大3倍，面積就擴(kuò)大3的平方倍，即9倍；有的面積公式中雖然沒(méi)有平方，但是有兩個(gè)字母，代表兩個(gè)方向，兩個(gè)方向都擴(kuò)大3倍，面積就擴(kuò)大到原來(lái)的9倍。在上述研究的基礎(chǔ)上，學(xué)生得出了關(guān)于圖形邊長(zhǎng)與面積之間關(guān)系的結(jié)論：圖形的邊長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的n倍，面積就擴(kuò)大到原來(lái)的n2倍。由此，教師指出平面圖形具有二維特征，二維可以簡(jiǎn)單地理解為縱、橫兩個(gè)方向，并請(qǐng)學(xué)生從二維的角度解釋平面圖形面積的變化規(guī)律。在師生共同努力下，最終得出結(jié)論：正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓等平面圖形，在兩個(gè)方向上分別擴(kuò)大到原來(lái)的n倍，面積就擴(kuò)大到原來(lái)的n2倍。

2.通過(guò)古今對(duì)比關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性

數(shù)學(xué)教材受篇幅和學(xué)時(shí)所限，大多只能從知識(shí)的邏輯性出發(fā)，對(duì)從古至今的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行高度概括和總結(jié)。［6］出于這一原因，數(shù)學(xué)知識(shí)形成過(guò)程中大量豐富、生動(dòng)的素材都只能棄之不用，這對(duì)學(xué)生準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成正確的數(shù)學(xué)觀是極為不利的。這些素材一方面包含有大量的數(shù)學(xué)信息，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)展的軌跡和脈絡(luò)；另一方面，素材往往結(jié)合具體事例出現(xiàn)，其生動(dòng)的故事背景與活潑的問(wèn)題形式，都是促使學(xué)生積極參與課堂活動(dòng)的有利因素。為了使學(xué)生能夠從歷史發(fā)展的角度更加全面地認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性，教師在教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)和實(shí)施過(guò)程中，還需挖掘更多的相關(guān)內(nèi)容作為佐證，使學(xué)生通過(guò)古今對(duì)比，體會(huì)到同一主題下的數(shù)學(xué)知識(shí)在發(fā)展、完善的過(guò)程中，必然都是圍繞內(nèi)容的本質(zhì)屬性進(jìn)行的。

在畫(huà)圖、計(jì)算和公式比較的基礎(chǔ)上，學(xué)生發(fā)現(xiàn)面積單位之間的進(jìn)率中也包含著面積的二維屬性和變化規(guī)律。如當(dāng)正方形邊長(zhǎng)為1cm時(shí)，其面積是1cm2；當(dāng)正方形邊長(zhǎng)擴(kuò)大到10cm（1dm）時(shí)，正方形在長(zhǎng)、寬兩個(gè)維度上都擴(kuò)大到原來(lái)的10倍，面積就變成10×10=100cm2（1×1=1dm2）。因此，cm2和dm2之間的進(jìn)率為100。這一規(guī)律還可以推廣到其他相鄰面積單位（如dm2和m2的進(jìn)率為10×10=100）以及不相鄰的面積單位（如m2和公頃的進(jìn)率為100×100=10000）。隨后，教師提示學(xué)生觀察常見(jiàn)的面積單位的表達(dá)方式，思考其與面積二維屬性之間的關(guān)系。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，面積單位中都有“平方”二字，用字母表示時(shí)，都用右上角的“2”表示平方。因?yàn)槠椒奖硎灸硵?shù)或某量自乘的積，所以平方厘米（cm2）表示厘米×厘米（cm×cm），與面積的二維屬性相匹配。

在此基礎(chǔ)上，教師通過(guò)古籍中的“方千里”等表達(dá)方式，幫助學(xué)生了解早在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，人們就已經(jīng)意識(shí)到面積的二維屬性，并將這種理解蘊(yùn)含在對(duì)面積大小的表達(dá)中。學(xué)生在解釋“方千里”含義的過(guò)程中，進(jìn)一步加深了對(duì)面積屬性的理解。隨后，教師出示《九章算術(shù)》中的“方田術(shù)”：“廣從步數(shù)相乘得積步”，引導(dǎo)學(xué)生思考其中的兩個(gè)“步”所表示的意思是否一樣。如果不一樣，該如何區(qū)分？有學(xué)生提出，前者表示的是邊的長(zhǎng)度，后者表示的是面積。因此，按照現(xiàn)在的表達(dá)方式，后者應(yīng)該表示成“平方步”更為合理，這樣就可以上承“（平）方千里”，下接“平方厘米”，形成面積單位的一致性表達(dá)。也有學(xué)生提出，前面這個(gè)“步”可以理解為“平方步”，那么“廣從步數(shù)相乘得積步”就可以理解為“一行的平方步數(shù)×行數(shù)”，這就與我們現(xiàn)在所說(shuō)的長(zhǎng)方形面積的意義（一行小正方形個(gè)數(shù)×行數(shù)）達(dá)成一致性理解（如圖3）。

通過(guò)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的介入，學(xué)生體會(huì)到面積單位命名、面積計(jì)算方法等內(nèi)容在歷史發(fā)展過(guò)程中是一脈相承的，同時(shí)也對(duì)隱藏在這些數(shù)學(xué)內(nèi)容背后的本質(zhì)屬性有了更清晰的認(rèn)識(shí)。

3.立足思想方法凸顯數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性

對(duì)于數(shù)學(xué)內(nèi)容的整體性、一致性理解，不能回避數(shù)學(xué)主題本身發(fā)展過(guò)程和課堂教學(xué)過(guò)程中的難點(diǎn)問(wèn)題。數(shù)學(xué)史上這些難點(diǎn)問(wèn)題的解決，一方面體現(xiàn)了數(shù)學(xué)本質(zhì)的普適性和包容性，教師可以通過(guò)抓住本質(zhì)屬性，將相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容納入同一個(gè)結(jié)構(gòu)體系中來(lái)；另一方面，也體現(xiàn)了前人在數(shù)學(xué)研究和實(shí)踐過(guò)程中的經(jīng)驗(yàn)與智慧，以及對(duì)數(shù)學(xué)整體性、一致性的孜孜以求。從劉徽對(duì)《九章算術(shù)》的注釋中對(duì)多邊形的轉(zhuǎn)化（“以盈補(bǔ)虛為直田也”）和面積公式的概括（“凡廣從相乘謂之冪”），就可以看出這種執(zhí)著的追求及其研究與教育的價(jià)值。因此，借助傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中的重要過(guò)程、方法和結(jié)論來(lái)解決當(dāng)下課堂教學(xué)中的難點(diǎn)問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀和加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解能起到積極的作用。

為了進(jìn)一步體現(xiàn)面積的二維屬性，教師結(jié)合傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中的平面圖形轉(zhuǎn)化過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行整體性認(rèn)知。教師引導(dǎo)學(xué)生思考正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形的面積公式分別是邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)、長(zhǎng)×寬、底×高，這些圖形的面積都可以表示成兩個(gè)量的乘積。而三角形和梯形的面積公式中都有“÷2”，是否能將它們也變成兩個(gè)量的乘積，使得其與前幾種圖形的計(jì)算方法一致？學(xué)生根據(jù)五年級(jí)學(xué)習(xí)時(shí)積累的“出入相補(bǔ)”“以盈補(bǔ)虛”經(jīng)驗(yàn)，指出三角形和梯形都可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，其中三角形面積公式可以表示成“[12]底×高”，梯形可以用“[12]（上底＋下底）×高”來(lái)計(jì)算（如圖4），這就是之后中學(xué)里要學(xué)習(xí)的“中位線×高”。

在對(duì)多邊形面積計(jì)算公式進(jìn)行整體性理解的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生思考圓的面積是否可以表示成兩個(gè)互相垂直的量的乘積這一難點(diǎn)問(wèn)題。學(xué)生根據(jù)圓的特征，提出用半徑×半徑或直徑×直徑的方式，但發(fā)現(xiàn)兩者的乘積均表示正方形的面積。有的學(xué)生根據(jù)圓面積公式推導(dǎo)的過(guò)程，認(rèn)為圓的面積公式應(yīng)表示為S =

r × r =[C2]× r，這樣就可以表示成兩個(gè)量的乘積了，但[C2]與r似乎并不互相垂直。教師引導(dǎo)學(xué)生再次回顧圓面積公式的推導(dǎo)過(guò)程。學(xué)生從圓的不同轉(zhuǎn)化方式以及轉(zhuǎn)化前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系中，發(fā)現(xiàn)了C或[C2]與r的垂直關(guān)系（見(jiàn)表2）。在后兩種方法中，S = a × h ÷2可以進(jìn)一步通過(guò)“出入相補(bǔ)”原理轉(zhuǎn)化成S =[a2] × h，相應(yīng)地，S = C × r ÷2也可以轉(zhuǎn)化成S =[C2]× r。

此時(shí)，大部分學(xué)生都接受了C或[C2]與r互相垂直的觀點(diǎn)，但仍有部分學(xué)生對(duì)此持懷疑態(tài)度并堅(jiān)持認(rèn)為互相垂直的是平行四邊形的底與高或三角形的底與高，而非圓的周長(zhǎng)與半徑。此時(shí)，教師借助劉徽的“割圓術(shù)”及其蘊(yùn)含的極限思想，幫助學(xué)生體會(huì)正多邊形與圓之間的關(guān)系，以及由正多邊形向圓變化過(guò)程中圖形邊長(zhǎng)與邊心距（半徑）之間的關(guān)系。由此，學(xué)生進(jìn)一步理解并確認(rèn)了C或[C2]與r互相垂直的事實(shí)，并達(dá)成對(duì)平面圖形面積及其二維屬性的一致性理解（如圖5）。

四、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化具有提供教學(xué)素材、組織教學(xué)線索、突破教學(xué)難點(diǎn)等多個(gè)方面的價(jià)值。教學(xué)實(shí)踐表明，探尋同一主題下的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，以此為依據(jù)將小學(xué)階段某一主題的主要內(nèi)容加以整合并進(jìn)行復(fù)習(xí)、整理與提升，可以達(dá)成對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體性、一致性和深度理解的目的。在此過(guò)程中，教師應(yīng)該將教學(xué)內(nèi)容的歷史順序與學(xué)生的認(rèn)知順序進(jìn)行對(duì)比與整合，處理好傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化發(fā)展脈絡(luò)與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)流程之間的關(guān)系。同時(shí)，還要注意根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)、教學(xué)活動(dòng)的主要目標(biāo)以及教學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí)水平和認(rèn)知方式，做好數(shù)學(xué)史料的整理、分析與重構(gòu)，將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化由數(shù)學(xué)形態(tài)、歷史形態(tài)向教育形態(tài)轉(zhuǎn)化。另外，教師要將數(shù)學(xué)課堂教學(xué)置于多元文化的情境中，更好地彰顯中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，更加全面、準(zhǔn)確地反映數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。

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（責(zé)任編輯：羅小熒）