張浩 袁彥巧 邱暢

【摘 要】數(shù)學(xué)文化試題是高考命題的一個(gè)新趨勢，本文以一道綜合創(chuàng)新題為例，討論其命題思路，對結(jié)論進(jìn)行推廣，挖掘隱含的背景，并給出數(shù)學(xué)文化深度融入試題的思考。

【關(guān)鍵詞】杜奇序列；數(shù)學(xué)文化；數(shù)學(xué)游戲；創(chuàng)新題

【作者簡介】張浩，博士，高中數(shù)學(xué)教研員，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育教學(xué)與數(shù)學(xué)文化；袁彥巧，高級(jí)教師，北京市朝陽區(qū)骨干教師；邱暢，二級(jí)教師，致力于教育心理學(xué)與數(shù)學(xué)建模案例研究。

【基金項(xiàng)目】北京市教育學(xué)會(huì)“十四五”教育科研2021年度一般課題“數(shù)學(xué)文化視角下的高中數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)研究”（ZXSXYB2021-009）；北京市朝陽區(qū)教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)專項(xiàng)課題“服務(wù)數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維拓展學(xué)習(xí)資源的開發(fā)和使用”（2023ZX050）

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》闡述了數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，并指出要“注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透”。在近年高考中，數(shù)學(xué)文化試題不斷涌現(xiàn)，成為高考命題的一個(gè)新趨勢。數(shù)學(xué)文化的類型很豐富，包含數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與科技、數(shù)學(xué)與人文社會(huì)、數(shù)學(xué)與藝術(shù)體育、數(shù)學(xué)游戲等［1］。在眾多精彩紛呈的數(shù)學(xué)文化試題中，題型多設(shè)置為選擇題和填空題。除了概率統(tǒng)計(jì)之外，在其他主題的解答題中，數(shù)學(xué)文化呈現(xiàn)得不多。本文以一道綜合創(chuàng)新題為例，挖掘其背后隱含的數(shù)學(xué)文化，希望能為關(guān)注數(shù)學(xué)文化創(chuàng)新題命制的教師提供啟發(fā)。

一、試題設(shè)計(jì)與解析

（2022年北京市朝陽區(qū)高三第二學(xué)期質(zhì)量檢測二第21題）已知集合N4={α|α=（x1，x2，x3，x4），xi∈N，i=1，2，3，4}。對集合N4中的任意元素α=（x1，x2，x3，x4），定義T（α）=（|x1-x2|，|x2-x3|，|x3-x4|，|x4-x1|），當(dāng)正整數(shù)n≥2時(shí)，定義T n（α）=T［T n-1（α）］［約定T 1（α）=T（α）］。

（1）若α=（2，0，2，1），β=（2，0，2，2），求T 4（α）和T 4（β）。

（2）若α=（x1，x2，x3，x4）滿足xi∈{0，1}（i=1，2，3，4）且T 2（α）=（1，1，1，1），求α的所有可能結(jié)果。

（3）是否存在正整數(shù)n使得對任意α=（x1，x2，x3，x4）∈N4（x1≥x2≥x4≥x3），都有T n（α）=（0，0，0，0）？若存在，求出n的所有取值；若不存在，說明理由。

這是一道綜合創(chuàng)新題，以集合為載體，給出新定義、符號(hào)，涉及四元有序0-1數(shù)組、絕對值、變換等知識(shí)。第一問以一個(gè)具體例子幫助學(xué)生理解新信息，涉及基本概念和運(yùn)算，體現(xiàn)基礎(chǔ)性。第二問稍顯一般化，可通過正向或逆向思維考慮所有情況，需要綜合相關(guān)知識(shí)（如絕對值的處理）與技能（如逆向思維、窮舉法）進(jìn)行分析，體現(xiàn)綜合性。第三問加強(qiáng)對探索能力的考查，設(shè)問具有開放性，需要學(xué)生充分運(yùn)用觀察、試驗(yàn)、猜想、歸納、推廣等非邏輯思維活動(dòng)解決問題，能激發(fā)學(xué)生的探索精神，體現(xiàn)創(chuàng)新性。當(dāng)然，題目中的特殊條件x1≥x2≥x4≥x3也留有拓展和探索的空間。

1.第一問：從抽象到具體

【設(shè)計(jì)】第一問是為了幫助學(xué)生識(shí)別和理解題目中的符號(hào)語言。給出兩個(gè)具體的有序數(shù)組，將抽象的符號(hào)具體化，搭設(shè)臺(tái)階，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)新概念的學(xué)習(xí)常以具體的實(shí)例進(jìn)行闡釋，有了這樣的經(jīng)驗(yàn)之后對概念的理解會(huì)更進(jìn)一步。設(shè)計(jì)求T 4（α）和T 4（β）的問題，一方面為第三問做鋪墊，學(xué)生可以體驗(yàn)到經(jīng)過若干次變換后數(shù)組會(huì)變?yōu)椋?，0，0，0），進(jìn)而可以在解決第三問時(shí)猜想結(jié)論是“存在”；另一方面也與第二問形成對比，第一問是正向思考，第二問是逆向思考。此外，在解決第一問的過程中會(huì)出現(xiàn)T 2（α）=（0，1，0，1），T 3（α）=（1，1，1，1），對第二問有所提示。

【解析】當(dāng)α=（2，0，2，1）時(shí)，T（α）=（2，2，1，1），T 2（α）=（0，1，0，1），T 3（α）=（1，1，1，1），T 4（α）=（0，0，0，0）；當(dāng)β=（2，0，2，2）時(shí)，T（β）=（2，2，0，0），T 2（β）=（0，2，0，2），T 3（β）=（2，2，2，2），T 4（β）=（0，0，0，0）。

2.第二問：靈活選擇角度

【設(shè)計(jì)】對于第二問，可以從不同角度構(gòu)建解題路徑，體現(xiàn)思路的多樣性。學(xué)生在解決問題時(shí)可以體會(huì)到數(shù)學(xué)基本思想的應(yīng)用，發(fā)展數(shù)學(xué)實(shí)踐能力及創(chuàng)新意識(shí)。第二問的數(shù)組各分量屬于二元域F2={0，1}，因此只會(huì)出現(xiàn)有限種情況，可以考慮窮舉法，學(xué)生容易上手。此外，二元域雖然特殊且簡單，但實(shí)際上它是一般情況的約化，對于一般的自然數(shù)數(shù)組的問題，考慮各分量的奇偶性，就等價(jià)于這里考慮的情況，即一般情況可化歸到二元域上。［2］

【解析】

（1）方法一：窮舉法

滿足xi∈{0，1}（i=1，2，3，4）的數(shù)組α=（x1，x2，x3，x4）共16個(gè)，可以將16種情況逐一驗(yàn)證。為了看清它們之間的關(guān)系，我們用箭頭表示變換T，得到圖1。

從圖1中容易得到α的所有可能結(jié)果是（1，0，0，1），（0，1，1，0），（1，1，0，0），（0，0，1，1）。

（2）方法二：逆向思維

由于T 2（α）=（1，1，1，1），向前一步得T（α）=（1，0，1，0）或（0，1，0，1）。T（α）=（1，0，1，0）時(shí)，α=（1，0，0，1）或（0，1，1，0）；T（α）=（0，1，0，1）時(shí)，α=（1，1，0，0）或（0，0，1，1）。

（3）方法三

因?yàn)棣?（x1，x2，x3，x4），所以T（α）=（|x1-x2|，|x2-x3|，|x3-x4|，|x4-x1|），又因?yàn)門 2（α）=（1，1，1，1），所以可得：

[|x1-x2|-|x2-x3|=1|x2-x3|-|x3-x4|=1|x3-x4|-|x4-x1|=1|x4-x1|-|x1-x2|=1]

觀察發(fā)現(xiàn)它們形式相似，以第一個(gè)等式為例思考：因?yàn)閤i∈{0，1}，若x1=x3，則[|x1-x2|-|x2-x3|]=[|x1-x2|-|x2-x1|]=0≠1，所以x1≠x3。同理可得方程組等價(jià)于x1≠x3，x2≠x4，即x1，x2是兩個(gè)自由變量。當(dāng)x1=0，x2=0時(shí)，α=（0，0，1，1）符合題意；當(dāng)x1=0，x2=1時(shí)，α=（0，1，1，0）符合題意；當(dāng)x1=1，x2=0時(shí)，α=（1，0，0，1）符合題意；當(dāng)x1=1，x2=1時(shí)，α=（1，1，0，0）符合題意。

3.第三問：大膽猜想試驗(yàn)

【設(shè)計(jì)】與第二問的有限種情況相比，第三問涉及無限種情況，思維難度加大。命題者在設(shè)計(jì)時(shí)也有意降低了難度，條件x1≥x2≥x4≥x3將問題聚焦，此時(shí)x1，x2，x3，x4不是單調(diào)序列，對這種（x1，x2，x3，x4），在不超過6次變換下就會(huì)得到全為0的數(shù)組，這一結(jié)論源于Berlekamp的研究中的一個(gè)引理［3］。在解決這一問時(shí)，需要運(yùn)用直覺思維（猜想）與理性思維（邏輯推理）對具體信息進(jìn)行分析和洞察，還需要較強(qiáng)的歸納概括能力和使用抽象符號(hào)進(jìn)行表達(dá)的能力。去掉該條件后的一般問題更具有挑戰(zhàn)性，可供感興趣的師生探索，下一小節(jié)我們再詳細(xì)討論。

【解析】首先判斷是否存在，其次說明理由。為了得出結(jié)論，先舉一些例子做試驗(yàn)［如表1所示，出現(xiàn)（0，0，0，0）即停止］：

當(dāng)數(shù)字較小時(shí)，規(guī)律表征不明顯，最后一個(gè)例子選擇了相對大一點(diǎn)的數(shù)，規(guī)律逐漸呈現(xiàn)出來：對于這些例子，都存在正整數(shù)n，使得T n（α）=（0，0，0，0）；對于后3種情況，在第一次出現(xiàn)（0，0，0，0）之前會(huì)出現(xiàn)4個(gè)數(shù)字都相同的數(shù)組（c，c，c，c），再向前推一步都有數(shù)組形如（c，0，c，0），再向前推一步都有數(shù)組形如（a，b，b，a）。接著，對猜想進(jìn)行嚴(yán)格的推理論證：

若α=（x1，x2，x3，x4）∈N4滿足x1≥x2≥x4≥x3，則T（α）=（x1-x2，x2-x3，x4-x3，x1-x4），T 2（α）=（|x1+x3-2x2|，x2-x4，|x1+x3-2x4|，x2-x4）。

設(shè)a=|x1+x3-2x2|，b=|x1+x3-2x4|，則T 3（α）=（|x2-x4-a|，|x2-x4-b|，|x2-x4-b|，|x2-x4-a|）。

設(shè)c=||x2-x4-a|-|x2-x4-b||，則T 4（α）=（c，0，c，0），T 5（α）=（c，c，c，c），T 6（α）=（0，0，0，0）。

對滿足x1≥x2≥x4≥x3的任意α=（x1，x2，x3，x4）∈N4，都有T 6（α）=（0，0，0，0）。

當(dāng)n≥7時(shí)，T n（α）=（0，0，0，0）。而α=（6，3，1，2）時(shí)，T 5（α）=（2，2，2，2）。

所以n的所有取值為{n∈N*|n≥6}。

3300余名學(xué)生參加了測試，將學(xué)生分成7組，G1—G4組學(xué)生該題的得分情況如表2所示。

從數(shù)據(jù)可以看出，該題的3個(gè)設(shè)問有層次、有梯度，第一問較好地實(shí)現(xiàn)了基礎(chǔ)性，第二問呈現(xiàn)出較好的區(qū)分度，也體現(xiàn)了綜合性，第三問較低的得分率也體現(xiàn)了該問的創(chuàng)新性。

二、問題溯源與拓展

（一）數(shù)學(xué)文化背景

我們發(fā)現(xiàn)這樣的變換有一些對稱性，比如（7，6，2，5）的變換與（6，2，5，7），（2，5，7，6）的變換本質(zhì)上一樣，因此我們借助幾何的對稱性，將四個(gè)數(shù)寫在一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)處，變換T相當(dāng)于在這個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)寫下相應(yīng)頂點(diǎn)的數(shù)字之差的絕對值，連接四個(gè)中點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)新的正方形，重復(fù)以上過程，則“是否存在正整數(shù)n使得T n（α）=（0，0，0，0）”相當(dāng)于“是否出現(xiàn)一個(gè)正方形的各頂點(diǎn)數(shù)字均為0”。例如，取α=（7，6，2，5），按照上述步驟可得圖2。

這被稱為“四數(shù)游戲”，既簡單又直觀，嘗試一些數(shù)就會(huì)發(fā)現(xiàn)總會(huì)得到頂點(diǎn)全為0的正方形，于是就不禁好奇：這樣的結(jié)論對所有的自然數(shù)數(shù)組是否一定成立？這個(gè)趣題最早出現(xiàn)于20世紀(jì)30年代［4］，歸功于意大利數(shù)學(xué)家恩里科·杜奇（Enrico Ducci），到了20世紀(jì)40年代已經(jīng)有“四數(shù)游戲”和“差方格”（Difference boxes）的叫法［5］。數(shù)組序列“α，T（α），T 2（α），T 3（α），…，T n（α），…”也被稱為杜奇序列。數(shù)學(xué)家John Michael Hammersley在頂級(jí)期刊SIAM Review上提出過這個(gè)問題，吸引了包括計(jì)算機(jī)科學(xué)泰斗Donald E. Knuth在內(nèi)的許多專家的討論［6］，著名的數(shù)學(xué)科普作家馬丁·加德納也對這個(gè)數(shù)學(xué)游戲感興趣［7］。具體例子的計(jì)算也常作為編程練習(xí)，移動(dòng)端上有這款游戲供數(shù)學(xué)愛好者和教育者使用［8］。

（二）一般結(jié)論拓展

1.新問題（1）與（2）

四數(shù)游戲是本文例題的一般情況，即去掉第三問的條件x1≥x2≥x4≥x3。去掉該條件后，會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)新問題：（1）對任意α=（x1，x2，x3，x4）∈N4，是否存在正整數(shù)n，使得T n（α）=（0，0，0，0）？（2）是否存在正整數(shù)n，使得對任意α=（x1，x2，x3，x4）∈N4，都有T n（α）=（0，0，0，0）？

這兩個(gè)問題乍看雷同，但答案卻完全不同：第一個(gè)問題是對單個(gè)數(shù)組而言，結(jié)論是存在；而第二個(gè)問題問是否存在一個(gè)一致的n符合題意，結(jié)論是不存在。

我們先給出一些符號(hào)上的說明。盡管α=（x1，x2，x3，x4）以數(shù)組形式呈現(xiàn)，但它可以通過循環(huán)的方式理解，也就是說只與各項(xiàng)的相對順序有關(guān)。從這種視角看，圖1可以簡化為圖3：

【結(jié)論1】對任意α=（x1，x2，x3，x4）∈N4，存在正整數(shù)n，使得T n（α）=（0，0，0，0）。

【證明】當(dāng)x1=x2=x3=x4時(shí)，顯然成立。因此設(shè)x1，x2，x3，x4不全相等。

令αmax=max{x1，x2，x3，x4}，斷言當(dāng)αmax＞0時(shí)，存在k∈{1，2，3，4}使得T k（α）max＜αmax。

假設(shè)這個(gè)斷言成立，由于T k（α）max是非負(fù)整數(shù)，經(jīng)過有限次變換后，T n（α）max一定會(huì)得到0，因此存在正整數(shù)n使得T n（α）=（0，0，0，0）。因此，我們只需證明以上斷言。

根據(jù)前面的符號(hào)說明，證明可約化為以下幾種情況。

（Ⅰ）假設(shè)x1，x2，x3，x4都不為0，顯然T （α）max＜αmax。

（Ⅱ）假設(shè)x1，x2，x3，x4中有且僅有三個(gè)為0，不妨假設(shè)α=（x，0，0，0），則T （α）=（x，0，0，x），T 2（α）=（x，0，x，0），T 3（α）=（x，x，x，x），T 4（α）=（0，0，0，0），于是T 4（α）max＜αmax。

（Ⅲ）假設(shè)x1，x2，x3，x4中有且僅有兩個(gè)為0，設(shè)非零項(xiàng)為x，y：

①若α=（x，0，y，0），則T（α）=（x，y，y，x），由（Ⅰ）可知T 2（α）max<αmax。

②若α=（x，y，0，0），則T（α）=（|x-y|，y，0，x），T 2（α）=（||x-y|-y|，y，x，||x-y|-x|）。

當(dāng)|x-y|=0，即x=y時(shí)，T 2（α）=（x，x，x，x），T 3（α）=（0，0，0，0），于是T 3（α）max＜αmax。

當(dāng)x≠y時(shí)，若||x-y|-y|=0，則|x-y|=y，于是x=2y，此時(shí)α=（2y，y，0，0），T（α）=（y，y，0，2y），T 2（α）=（0，y，2y，y），T 3（α）=（y，y，y，y），于是T 3（α）max＜αmax；若||x-y|-x|=0，則|x-y|=x，于是y=2x，類似地有T 3（α）max＜αmax；若||x-y|-y|≠0且||x-y|-x|≠0，則由（Ⅰ）可知T 3（α）max＜αmax。

（Ⅳ）假設(shè)x1，x2，x3，x4中只有一個(gè)為0。

①若非零項(xiàng)均不相等，則T（α）的四個(gè)分量都不為0，由（Ⅰ）可知T 2（α）max＜αmax。

②若α=（x，y，x，0），x≠y，則T（α）=（|x-y|，|x-y|，x，x），由（Ⅰ）可知T 2（α）max＜αmax。

③若α=（x，x，y，0），x≠y，則T（α）=（0，|x-y|，y，x），T 2（α）=（|x-y|，||x-y|-y|，|x-y|，x）。

當(dāng)||x-y|-y|≠0，由（Ⅰ）可知T 3（α）max＜αmax。

當(dāng)||x-y|-y|=0，則|x-y|=y，于是x=2y，此時(shí)α=（2y，2y，y，0），T（α）=（0，y，y，2y），T 2（α）=（y，0，y，2y），T 3（α）=（y，y，y，y），于是T 3（α）max＜αmax。

④若α=（x，x，x，0），則T（α）=（0，0，x，x），T 2（α）=（0，x，0，x），T 3（α）=（x，x，x，x），T 4（α）=（0，0，0，0），于是T 4（α）max＜αmax。

證明參考了圖書Ingenuity in Mathematics［9］，其想法是：一般而言，T（α）中四個(gè)數(shù)的最大值比α中四個(gè)數(shù)的最大值要小，而自然數(shù)不可能無限減小下去。但某些時(shí)候會(huì)出現(xiàn)兩值相等的情況，于是需要通過分類討論進(jìn)行分析，分類標(biāo)準(zhǔn)是看何時(shí)會(huì)出現(xiàn)αmax不遞減的情況，此時(shí)也就是考慮四個(gè)分量中有多少個(gè)為0。范興亞的文章也給出了該結(jié)論的證明［10］。

【結(jié)論2】不存在正整數(shù)n，使得對任意α=（x1，x2，x3，x4）∈N4，都有T n（α）=（0，0，0，0）。

【證明】通過構(gòu)造一個(gè)反例來說明這個(gè)結(jié)論［11］。類似于斐波那契數(shù)列，定義Tribonacci數(shù)列{tn}為：t0=0，t1=1，t2=1，當(dāng)n＞2時(shí)，tn=tn-1+tn-2+tn-3。

設(shè)αn=（tn，tn-1，tn-2，tn-3），則：

T（αn）=（tn-2+tn-3，tn-3+tn-4，tn-4+tn-5，tn-1+tn-2），

T 2（αn）=（tn-3+tn-5，tn-4+tn-6，tn-1+tn-3，tn-2+tn-4），

T 3（αn）=（2tn-5，2tn-2，2tn-3，2tn-4）=2（tn-5，tn-2，tn-3，tn-4）。

因此，T 3（αn）本質(zhì)上與2（tn-2，tn-3，tn-4，tn-5）等價(jià)。記l（αn）=min{i|T i（αn）=（0，0，0，0）}，則l（αn）=3［[n2]］，其中［[n2]］是不超過[n2]的最大整數(shù)。

所以不存在正整數(shù)n，使得對任意α=（x1，x2，x3，x4）∈N4，都有T n（α）=（0，0，0，0）。

2.新問題（3）與（4）

解決上述兩個(gè)問題之后，又可以提出兩個(gè)新問題：（3）若將自然數(shù)數(shù)組推廣到整數(shù)、有理數(shù)或?qū)崝?shù)上去，是否有類似的結(jié)論？如α=（[2]，e，

，[3]）∈R4，計(jì)算可得T 4（α）=（0，0，0，0），那么對一般的α∈R4，是否一定存在正整數(shù)n使得T n（α）=（0，0，0，0）？（4）若將四維數(shù)組擴(kuò)充到高維或縮減為三維向量、二維向量，是否有類似的結(jié)論？

對于問題（3），這里給出一個(gè)反例：

【結(jié)論3】存在α∈R4，使得對任意n都有T n（α）≠（0，0，0，0）。

【證明】設(shè)α=（a，aq，aq2，aq3），其中a＞0，實(shí)數(shù)q滿足1+q+q2=q3。事實(shí)上，q≈1.839是方程1+x+x2=x3的唯一正根（用求根公式可得q=[1+19+3333+19-33333]）。于是T（α）=（a（q-1），aq（q-1），aq2（q-1），a（q3-1））。

又因?yàn)閝3-1=（q2+q+1）（q-1）=q3（q-1），所以T（α）=（a（q-1），aq（q-1），aq2（q-1），aq3（q-1））=（q-1）α，因此T n（α）=（q-1）nα≠（0，0，0，0）。

1+q+q2=q3的離散版本正是結(jié)論2中的數(shù)列{tn}滿足的tn=tn-1+tn-2+tn-3，或者說tn=tn-1+tn-2+tn-3的特征方程是1+x+x2=x3。除了形如（a，aq，aq2，aq3）的數(shù)組外，還有其他與之相關(guān)的數(shù)組經(jīng)過任意次T變換也不會(huì)得到（0，0，0，0）［12］。

對于問題（4），當(dāng)四元數(shù)組推廣為k元數(shù)組時(shí)，可以得到k數(shù)游戲（在正k邊形的頂點(diǎn)和各邊中點(diǎn)標(biāo)注數(shù)字）和一般的杜奇序列。杜奇序列與許多數(shù)學(xué)對象有聯(lián)系，如多項(xiàng)式環(huán)、連分?jǐn)?shù)、Farey數(shù)列、楊輝三角等。著作Roots to Research：A Vertical Development of Mathematical Problems［13］以這個(gè)游戲作為開篇，較為詳細(xì)地整理了相關(guān)的數(shù)學(xué)命題。關(guān)于一般的杜奇序列，一個(gè)重要結(jié)論如下：

【結(jié)論4】已知集合Nk={α|α=（x1，x2，…，xk），xi∈N，i=1，2，…，k}。對Nk中的任意元素α=（x1，x2，…，xk），定義T（α）=（|x1-x2|，|x2-x3|，…，|xk-x1|），當(dāng)正整數(shù)n≥2時(shí)，定義T n（α）=T［T n-1（α）］［約定T 1（α）=T（α）］。對Nk中的任意元素α=（x1，x2，…，xk），存在n使得T n（α）=（0，0，…，0）的充要條件為k是2的正整數(shù)次方冪。

Nk上的變換本質(zhì)上是F[k2]上的線性變換T（α）=（x1+x2，x2+x3，…，xk+x1）mod2［14］，加法是mod2加法。當(dāng)k不是2的正整數(shù)次方冪時(shí)，杜奇序列最終會(huì)出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象［2］［15］。如k=3時(shí)會(huì)出現(xiàn)：（0，1，1）→（1，0，1）→（1，1，0）→（0，1，1）→（1，0，1）→（1，1，0）→…。

2019年北京市西城區(qū)二模壓軸題就以此為背景：

對于向量X0=（a0，b0，c0），若a0，b0，c0三數(shù)互不相等，令向量Xi+1=（ai+1，bi+1，ci+1），其中ai+1=|ai-bi|，bi+1=|bi-ci|，ci+1=|ci-ai|，i=0，1，2，3，...。

（1）當(dāng)X0=（5，2，1）時(shí)，試寫出向量X100。

（2）證明：對于任意的i∈N，向量Xi中的三個(gè)數(shù)ai，bi，ci至多有一個(gè)為0。

（3）若a0，b0，c0∈N，證明：存在實(shí)數(shù)t，使得Xt=Xt+3。

當(dāng)然還有其他推廣方式，若T（x1，x2，x3，x4）=（|4x1-s|，|4x2-s|，|4x3-s|，|4x4-s|），其中s=x1+x2+x3+x4，那么得到的序列也有類似的現(xiàn)象［16］，從“形”的角度看，這樣得到的序列可以繪制成“噴泉”［17］。

三、對數(shù)學(xué)文化深度融入試題的思考

一是聯(lián)系多樣情境，體現(xiàn)廣泛性。多樣化的情境融入數(shù)學(xué)文化試題，不僅反映數(shù)學(xué)成果在生活、社會(huì)、科技、藝術(shù)等多方面的應(yīng)用，兼有跨學(xué)科的特征，促進(jìn)學(xué)科協(xié)同育人，而且關(guān)注數(shù)學(xué)本身的發(fā)展，拓寬學(xué)生視野，提升學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。如本文介紹的創(chuàng)新題，通過引入游戲背景，抽象的概念、符號(hào)就變得直觀起來；通過呈現(xiàn)試題背后的意義，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光審視游戲過程，將抽象的知識(shí)與具體的體驗(yàn)聯(lián)系起來，對其中的現(xiàn)象使用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行理性分析，反映出數(shù)學(xué)的趣味性。

二是追溯問題源頭，體現(xiàn)歷史性。許多數(shù)學(xué)文化試題都有數(shù)學(xué)史背景，如數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的重要人物、成果等，這些在試題中常以顯性方式呈現(xiàn)。我們還要關(guān)注隱性的數(shù)學(xué)史融入，也就是問題的歷史由來與背后的本質(zhì)和價(jià)值。比如本文所列試題的起源是四數(shù)游戲，歷史上許多人對其中的規(guī)律進(jìn)行了研究，多位數(shù)學(xué)家獨(dú)立地得出了相同的定理，并且不同的人對同一問題也有不同角度的思考和理解。挖掘出這些材料可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過程，加深對數(shù)學(xué)的理解。

三是注重推廣拓展，體現(xiàn)生長性。數(shù)學(xué)是思維的藝術(shù)，它不是“旁觀者的運(yùn)動(dòng)”，正如波利亞所認(rèn)為的，“數(shù)學(xué)不是堆砌起來的符號(hào)和公式，而是生動(dòng)活潑的智力活動(dòng)”，“數(shù)學(xué)活動(dòng)是猜想和論證循序交替、不斷發(fā)展的過程，是演繹和歸納的辯證統(tǒng)一”。［18］許多數(shù)學(xué)文化試題都有可持續(xù)生長性，通過具體實(shí)例、歸納、類比等方式能引發(fā)更多有意義的問題，建立起不同主題、不同角度之間的聯(lián)系，從而提供深度學(xué)習(xí)的素材。這些新的問題能激發(fā)學(xué)生探究學(xué)習(xí)的愿望，引導(dǎo)學(xué)生積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)并進(jìn)行知識(shí)創(chuàng)造，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)鑒賞能力，促進(jìn)拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)。

四是選擇真實(shí)素材，體現(xiàn)銜接性。真實(shí)素材既包括現(xiàn)實(shí)背景、準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，也包括數(shù)學(xué)名題、趣題、猜想、定理、游戲或能通往深刻理論的數(shù)學(xué)情境。真實(shí)素材往往具有豐富的內(nèi)涵，能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)和思想的應(yīng)用價(jià)值。在命題時(shí)，搜集數(shù)學(xué)史料要確保素材真實(shí)并盡可能豐富。本文所列創(chuàng)新題就基于一個(gè)數(shù)學(xué)趣題，將其抽象化后能使用不同的數(shù)學(xué)工具進(jìn)行研究和解釋，并且這個(gè)問題一般化后在現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究里也有其“身影”，從不同的角度看待它能得出不同層次的結(jié)論，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想也具有銜接性，體現(xiàn)中學(xué)與大學(xué)的聯(lián)系。學(xué)生在解決此類問題時(shí)表現(xiàn)出的好奇心、想象力、創(chuàng)造性思維、批判性思維在未來的學(xué)習(xí)中也將起到重要的作用。

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（責(zé)任編輯：潘安）