熊佳　韋煜　袁曉亮

[摘要]導(dǎo)數(shù)的幾何意義的學(xué)習(xí)使學(xué)生從“形”的角度理解導(dǎo)數(shù)，是學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)概念的重要途徑．基于問題驅(qū)動教學(xué)理念，精心設(shè)計問題，使學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，感受數(shù)學(xué)知識的“再創(chuàng)造”過程，最終理解導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)，體會數(shù)形結(jié)合思想方法，培養(yǎng)思辨能力．

[關(guān)鍵詞]問題驅(qū)動；導(dǎo)數(shù)的幾何意義；核心素養(yǎng)

引言

問題是促進(jìn)學(xué)科發(fā)展的原始動力，數(shù)學(xué)也不例外．美國數(shù)學(xué)史家M．Kline曾指出：每一個數(shù)學(xué)分支均是為攻克一類問題而發(fā)展起來的．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：教學(xué)活動應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問題……教學(xué)情境包括：現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境……情境創(chuàng)設(shè)和問題設(shè)計要有利于發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．這凸顯了問題與情境教學(xué)對數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性．教師需要通過問題與情境引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識的生成過程．揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)并學(xué)會思考．

問題驅(qū)動教學(xué)為高中數(shù)學(xué)教師踐行新教育理念、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、落實(shí)立德樹人根本任務(wù)提供了新思路．以問題驅(qū)動教學(xué)，讓學(xué)生在習(xí)得“四基”與“四能”的同時．學(xué)會“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界．用數(shù)學(xué)思維思考世界．用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展．本文以“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”為例，以數(shù)學(xué)知識為導(dǎo)向、以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為引領(lǐng)，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突．從動態(tài)的角度來研究曲線的切線，啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考．以期培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．

“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”是“一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”中的重要組成部分．第1課時從“數(shù)”的角度．通過平均變化率逼近瞬時變化率抽象得到導(dǎo)數(shù)的概念，本節(jié)課則從“形”的角度進(jìn)一步講解導(dǎo)數(shù)的概念，滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，從已有經(jīng)驗(yàn)來看，學(xué)生在九年級學(xué)習(xí)了圓的切線．知道直線與圓只有一個公共點(diǎn)時，這條直線叫做圓的切線；掌握了直線的點(diǎn)斜式方程，積累了一定的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)．具有一定的觀察能力和概括能力．從思維來看．學(xué)生先前根據(jù)公共點(diǎn)的個數(shù)認(rèn)識到圓錐曲線和圓的切線的定義．而本節(jié)課則從“形”的角度來理解切線的概念——由割線逼近來定義切線，由此上升到新的思維層面．

教學(xué)過程設(shè)計

1.問題驅(qū)動，引出課題

問題1 在初中我們學(xué)習(xí)了圓的切線，你還記得是怎樣定義的嗎？

教師提問圓的切線的定義．學(xué)生回答后，課件呈現(xiàn)幾何圖形（如圖1所示）．通過回憶圓的切線的定義．引導(dǎo)學(xué)生將已學(xué)知識遷移到本節(jié)課的學(xué)習(xí)中．應(yīng)用已學(xué)知識解決問題2．

問題2 求曲線f（x）=x-在點(diǎn)（1，1）處的切線方程．

大部分學(xué)生在解決問題2時思路清晰，但過點(diǎn)（1，1）還存在一條直線x=1．直線斜率不存在的情況是學(xué)生容易忽略的．因此．教師在講解過程中要滲透分類討論思想，經(jīng)計算，學(xué)生解出了兩條直線，由切線的唯一性可知，所得到的結(jié)果與事實(shí)不符合，但兩條直線都符合“與曲線只有一個交點(diǎn)”這一條件，“哪一條直線才是切線”會使學(xué)生感到很困惑．這時．教師不妨引導(dǎo)學(xué)生作圖來看看．片刻后．教師用PPT展示圖2．

通過圖象觀察．學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)切線是y=2x-1，而x=1不是切線．當(dāng)學(xué)生沉浸在喜悅中時．教師繼續(xù)追問學(xué)生．使學(xué)生在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上產(chǎn)生新的沖突．促進(jìn)新知的學(xué)習(xí)．

追問1 與曲線只有一個交點(diǎn)的直線一定是曲線的切線嗎？

學(xué)生有了問題2的求解經(jīng)歷．再來思考追問1就顯得很輕松，意識到通過曲線與直線的交點(diǎn)個數(shù)來判斷其是否為切線是有漏洞的，在教師的引導(dǎo)和追問下．學(xué)生又會產(chǎn)生新的疑惑：“該如何判斷切線？”“對于一般曲線的切線是如何定義的？”“該怎樣去找一般曲線的切線？”等等.

為了彌補(bǔ)學(xué)生在認(rèn)知上的“缺口”．化解認(rèn)知沖突，體驗(yàn)知識的生成過程，教師引導(dǎo)學(xué)生先從圓的切線人手．通過GGB動畫演示（如圖3所示）．發(fā)現(xiàn)圓的切線繞著切點(diǎn)P0逆時針方向旋轉(zhuǎn)一點(diǎn)．直線與圓就會有兩個交點(diǎn)．圓的切線就變成了割線．

追問2 反過來．圓的割線運(yùn)動會不會變成切線呢？

學(xué)生本能的反應(yīng)是．割線運(yùn)動到達(dá)某一個位置時就會變成切線．這時，借助信息技術(shù)繼續(xù)展示運(yùn)動過程：當(dāng)割線繞著點(diǎn)P0順時針方向旋轉(zhuǎn)，直到與圓只有一個交點(diǎn)P0時，割線就變成了切線．

追問3 對于圓這樣一種特殊的曲線．我們可以從動態(tài)的角度來研究它．對于一般的曲線是否也能用這樣的方法去研究呢？

從問題1到追問3．通過教師提問．一步步引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，建構(gòu)新的知識體系．讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的生成過程．揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，培養(yǎng)邏輯推理能力．感受數(shù)學(xué)的美．

2．抽象概括，生成概念

同樣地，對于一般曲線y=f（x），我們?nèi)匀豢梢詮母罹€逼近得到切線．

問題3 設(shè)曲線y=f（x）的圖象如圖4所示，P0（x0，y0）為曲線上一點(diǎn)，在曲線上任意找一點(diǎn)P作割線P0P.在點(diǎn)P趨近于P0的過程中割線P0P的變化情況是怎樣的？

教師先讓學(xué)生自己作出點(diǎn)P趨勢近于P0的部分圖象（當(dāng)點(diǎn)P無限接近P0時，學(xué)生感到作圖很困難），然后借助GGB動畫演示點(diǎn)P趨近于P0的運(yùn)動過程．讓學(xué)生直觀感受割線如何逼近成切線．觀察動畫演示后．讓學(xué)生自己敘述點(diǎn)P趨近于P0的運(yùn)動過程以及割線P0P的變化情況．

生1：我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P從P0右側(cè)趨近于P0時，割線P0P越來越接近在點(diǎn)P0處的切線，這和我作圖得到的結(jié)果是一樣的．

師：這位同學(xué)回答問題的思路很清晰，結(jié)合自己作圖的經(jīng)歷描述了點(diǎn)P趨近于P0的運(yùn)動過程，非常好，其他同學(xué)有不同的觀點(diǎn)嗎？

生2：我和生1得到的結(jié)果是一樣的，但我作圖是從點(diǎn)P0的左側(cè)開始的，為了驗(yàn)證我作圖時的猜想．我重點(diǎn)觀察點(diǎn)P從P0左側(cè)趨近于P0的運(yùn)動過程，發(fā)現(xiàn)割線P0P也越來越接近在點(diǎn)P0處的切線．

師：這位同學(xué)的邏輯思維非?？b密．帶著問題觀察動畫演示．這樣的學(xué)習(xí)效率是很高的．兩位同學(xué)分別從點(diǎn)P0的左側(cè)和右側(cè)描述了點(diǎn)P運(yùn)動過程中割線的變化情況．所以我們可以這樣定義曲線的切線：在曲線y=f（x）上任取一點(diǎn)P（x，f（x）），如果當(dāng)點(diǎn)P（x，f（x））沿著曲線y=f（x）無限趨近于點(diǎn)P0（x0，f（x0））時，割線PoP無限趨近于一個確定的位置．這個確定位置的直線P0T稱為曲線y=f（x）在點(diǎn)P0處的切線.

追問4 在這里．我們從動態(tài)的角度來看．得到了曲線切線的定義．這只是給我們提供了一個判斷切線的方法．要求切線的方程還需要知道切線的斜率，該如何求切線的斜率呢？

學(xué)生很難想到在某點(diǎn)處的切線的斜率與該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值有關(guān)系，得到切線的定義后．馬上追問學(xué)生切線的斜率，學(xué)生又會產(chǎn)生新的困惑．追問4對學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)思維的要求很高，在學(xué)生已有認(rèn)知中沒有導(dǎo)數(shù)值與切線斜率之間的關(guān)系，對于學(xué)生來說，回答追問4有一定難度．在本節(jié)課，若教師能引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生突破追問4．學(xué)生對導(dǎo)數(shù)概念的理解會有質(zhì)的飛躍．邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)也會得到提升．

在教學(xué)中，教師可以從切線生成的角度來啟發(fā)學(xué)生．切線是由割線無限趨近于一個確定的位置生成的．自然能夠得到當(dāng)割線逼近切線時．割線的斜率就是切線的斜率．學(xué)生知道割線PoP的斜率可以用兩交點(diǎn)P，Po的坐標(biāo)表示出來，即kppo=f（x）-f（x0）/x-x0有了前面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)．學(xué)生不難得到當(dāng)點(diǎn)P沿著曲線y=f（x）無限趨近于點(diǎn)Po時，即當(dāng)△x=x-x0趨近于0時，割線P0P的斜率就趨近于切線P0T的斜率，引導(dǎo)學(xué)生回顧導(dǎo)數(shù)的定義，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)某點(diǎn)處的瞬時變化率（導(dǎo)數(shù)）就是該點(diǎn)處的切線斜率．引導(dǎo)學(xué)生找到導(dǎo)數(shù)與切線斜率之間的關(guān)系后，由教師總結(jié)導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

導(dǎo)數(shù)的幾何意義：y=f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f'（x0）就是切線P0T的斜率k0，即k0=lim△x→0（f（x0+△x）-f（x0）/△x），切線方程為y-y0=f'（x0）（x-x0）.

學(xué)生容易接受從割線斜率逼近得到切線斜率的方法．利用類比思想將切線斜率和瞬時變化率聯(lián)系起來，進(jìn)而得到導(dǎo)數(shù)的幾何意義．整個過程都在學(xué)生的認(rèn)知范圍內(nèi)．知識間的過渡也自然順暢、一氣呵成．

3．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用．理解概念

問題4 求曲線f（x）=x2在點(diǎn)（1，1）處的切線方程，并描述曲線f（x）在x=-1，1，2，3的瞬時變化率.

以前學(xué)生是用傳統(tǒng)的直線與曲線的交點(diǎn)個數(shù)來判斷直線是否是曲線的切線．即聯(lián)立曲線與直線的方程．消去y，得到一個關(guān)于x的方程，令判別式△=0．解出斜率k．而這里要求學(xué)生用本節(jié)課所學(xué)的知識重新求解問題2．讓學(xué)生感受導(dǎo)數(shù)的工具性價值．對于導(dǎo)數(shù)掌握得較好的學(xué)生來說，用導(dǎo)數(shù)法求解會更方便直接．在描述四個點(diǎn)的瞬時變化率時，絕大部分學(xué)生都會想到先算出其導(dǎo)數(shù)值再進(jìn)行描述，這時就順著學(xué)生的思路，引導(dǎo)學(xué)生了解導(dǎo)函數(shù)這個概念.

由于本節(jié)課的主題是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．這時教師通過講解例題引導(dǎo)學(xué)生一起感受導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用．學(xué)生既能鞏固新學(xué)的知識．又能體會“以直代曲”的思想方法．培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

設(shè)計說明

本節(jié)課涉及的知識有切線的定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)）．知識間層層遞進(jìn)，與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系密切．主要圍繞求曲線的切線這一問題展開，以問題串的形式啟發(fā)學(xué)生思考．有利于發(fā)展學(xué)生的高階思維．

本節(jié)課分為三個階段：

第一階段是引發(fā)認(rèn)知沖突，先通過求解曲線的切線引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突．即讓學(xué)生感知利用“曲線與直線只有一個交點(diǎn)”來求解切線不適用于所有曲線；再通過曲線割線的運(yùn)動．啟發(fā)學(xué)生從動態(tài)的角度來研究曲線切線的定義．

第二階段是化解認(rèn)知沖突．通過割線運(yùn)動逼近產(chǎn)生切線．得到一般曲線切線的定義，這解決了如何判斷直線是曲線的切線問題．由于割線運(yùn)動產(chǎn)生切線，自然得到割線斜率逼近就是切線斜率．又割線斜率就是平均變化率．平均變化率逼近就是瞬時變化率（也叫導(dǎo)數(shù)），引導(dǎo)學(xué)生一步步推理得到導(dǎo)數(shù)的幾何意義．這解決了求曲線的切線斜率問題．

第三階段是重建知識體系．通過例題比較“聯(lián)立方程求解曲線的切線”和“用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線的切線”兩種方法．體會導(dǎo)數(shù)的工具性價值．得到導(dǎo)函數(shù)的概念．滲透“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想.

整堂課以學(xué)生為主體．學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)為中心．在學(xué)生認(rèn)知上建立新的生長點(diǎn)，學(xué)生在解決問題的過程中獲得新知．重建知識體系，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)．提高分析問題和解決問題的能力．

問題驅(qū)動式教學(xué)培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)思考

問題驅(qū)動式教學(xué)可以讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識的形成過程，改變傳統(tǒng)教學(xué)中的單一性邏輯結(jié)構(gòu)．創(chuàng)造多線性交融的教學(xué)結(jié)構(gòu)．引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，從而發(fā)展“四基”“四能”，培養(yǎng)數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)思維．發(fā)展學(xué)生問題意識和質(zhì)疑精神．例如．在本節(jié)課的教學(xué)中，以學(xué)生的原有認(rèn)知為基礎(chǔ)．引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，建立更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹R體系．本節(jié)課以圓的切線為起點(diǎn)．以問題驅(qū)動學(xué)生思考，獲得新知，這符合切線的產(chǎn)生歷史．將導(dǎo)數(shù)和切線的斜率聯(lián)系起來，符合微積分的發(fā)展歷史．以問題驅(qū)動教學(xué)，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識的生成是符合實(shí)際需求的，過渡自然順暢，因此．在備課時．教師要充分了解學(xué)生，找準(zhǔn)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)；在教學(xué)中，教師要以學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過不斷追問、啟發(fā)、引導(dǎo)，使學(xué)生學(xué)會獨(dú)立思考．

1．問題設(shè)計要以教學(xué)目標(biāo)為出發(fā)點(diǎn)

問題設(shè)計首先應(yīng)該服務(wù)于教學(xué)目標(biāo)．教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿．教學(xué)目標(biāo)是否達(dá)成是評判一堂課的標(biāo)準(zhǔn)之一．在明確教學(xué)目標(biāo)之前，要清楚新課標(biāo)的具體要求．深刻理解教材、了解學(xué)生．本節(jié)課涉及的切線的概念和導(dǎo)數(shù)的幾何意義都非常抽象．教師明確好教學(xué)目標(biāo)后，根據(jù)學(xué)生的整體情況精心設(shè)計問題．通過問題串、CCB動畫演示幫助學(xué)生突破思維瓶頸．由問題引領(lǐng)學(xué)生體會、體驗(yàn)知識的生成過程，收獲活動基本經(jīng)驗(yàn)，在最近發(fā)展區(qū)習(xí)得新知，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)．

2．問題設(shè)計要立足知識的生成背景

問題源于情境．?dāng)?shù)學(xué)情境是含有相關(guān)數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法的情境，也可以是數(shù)學(xué)知識的生成背景．求曲線的切線問題是促使微積分產(chǎn)生的原因之一．切線的產(chǎn)生也是從圓的切線發(fā)展到一般曲線的切線，本節(jié)課從圓的切線引入，以動態(tài)的視角來探究切線的定義，符合數(shù)學(xué)知識的生成背景．根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平精心設(shè)計教學(xué)過程，符合數(shù)學(xué)知識發(fā)展的內(nèi)在邏輯聯(lián)系．在各個環(huán)節(jié)中滲透特殊與一般、數(shù)形結(jié)合、以直代曲等思想方法，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識的習(xí)得是水到渠成、一氣呵成的，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng)．

基金項(xiàng)目：貴州省民族專項(xiàng)課題“‘三教理念下培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)案例研究”（MJ23040）．