李菲菲

課題信息：南京市第十二期個(gè)人課題“基于核心素養(yǎng)的高中概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)研究”，課題編號(hào)為Ec317.

在“概率與統(tǒng)計(jì)”實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)重視學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)處理、數(shù)據(jù)建模等能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的過程，掌握數(shù)據(jù)分析的方法.筆者結(jié)合“概率與統(tǒng)計(jì)”中的幾個(gè)典型案例，談?wù)剬?duì)“概率與統(tǒng)計(jì)”教學(xué)的感悟.

1 明晰概率模型

概率主要是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的學(xué)科，其在生活中隨處可見，有著重要的應(yīng)用價(jià)值，它是統(tǒng)計(jì)的思想基礎(chǔ)，也是重要的工具.概率的模型眾多，如高中階段的概率初步模型中有幾何概型、古典概型、互斥事件概率、條件概率等，隨機(jī)變量模型中包括幾何分布、正態(tài)分布、二項(xiàng)分布等.因其模型眾多，為此理解并掌握這些概率模型成為了概率與統(tǒng)計(jì)的重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn).縱觀歷屆高考容易發(fā)現(xiàn)，造成失分的主要原因就是很多學(xué)生對(duì)這些概率模型理解不深，在解題時(shí)常常張冠李戴.為此，在教學(xué)中教師要充分利用好教材資源，挖掘各種概率模型之間的區(qū)別和聯(lián)系，揭示概率模型的本質(zhì)特征，進(jìn)而便于學(xué)生在解題時(shí)可以準(zhǔn)確選擇模型，順利求解.

例1? 現(xiàn)將號(hào)碼各不相同的100張卡片放在抽獎(jiǎng)箱中，從中任意抽取1張記錄后，將其重新放回抽獎(jiǎng)箱，重復(fù)20次.證明：p<91019<1e2（其中p表示抽得的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率）.

證法1：由已知可知這100張?zhí)柎a各不相同，這樣若從中任意抽取1張則有100種結(jié)果，另外因?yàn)槌槿〔⒂涗浐笥謱⑵浞呕兀瑸榇诉B續(xù)抽取20次就有10020種結(jié)果，其中20個(gè)號(hào)碼互不相同的有A20100種結(jié)果，每個(gè)結(jié)果都是等可能的，因此由古典概型的計(jì)算公式可得p=A2010010020，于是證明A2010010020<91019<1e2（不等式證明略）.

證法2：因?yàn)槌槿〉?0張卡片各不相同，為此在計(jì)算時(shí)可以分步進(jìn)行.第1次抽取是在100張各不相同的卡片中抽取，則任抽1張的概率為100100；第2次同樣有100張卡片，但因?yàn)榈?次已經(jīng)抽取了一張，則第2次抽出互不相同卡片的概率為99100；依次類推，第20次抽取時(shí)，卡片的總數(shù)依舊為100張，然前面已抽取了19次，則抽出互不相同卡片的概率為81100.由條件概率的計(jì)算公式得p=100100×99100×98100×……×81100，不等式證明略.

從學(xué)生解題的反饋來看，大多數(shù)學(xué)生從已知條件出發(fā)，根據(jù)題設(shè)信息判斷其符合有限性、等可能性兩大特點(diǎn)，所以選擇應(yīng)用古典概型來解決問題.不過在具體實(shí)施過程中，部分學(xué)生對(duì)結(jié)果是否有序理解不清，給出的答案為p=C2010010020，顯然整體事件中包括了同一種號(hào)碼排列順序不同的情況，所以其正解不是p=C2010010020，而是p=A2010010020；也有的學(xué)生認(rèn)為每次抽出后又放回，這樣每次抽出已知號(hào)碼概率均為1100，所以選擇利用二項(xiàng)分布解決問題，但是從二項(xiàng)分布事件發(fā)生的次數(shù)為0，1，2……顯然不適合二項(xiàng)分布.

為了讓學(xué)生能夠準(zhǔn)確識(shí)別并應(yīng)用各種概率模型，在完成例1的講解后，筆者給出了如下變式題目進(jìn)行強(qiáng)化練習(xí).

變式1? 現(xiàn)有10張編號(hào)由1到10的卡片，從中任取3張，求恰好有2張?zhí)柎a能被3整除的概率.

變式2? 現(xiàn)有10張編號(hào)由1到10的卡片，從中任意抽取1張，記錄號(hào)碼后放回，重復(fù)3次，則隨機(jī)抽取的3張卡片中，有2張恰好被3整除的概率是多少？

可見，概率問題是非常靈活多變的，稍加修改其解題思路就會(huì)完全不同，另外即使同一問題也可能蘊(yùn)含著不同的概率模型.

為此，若想順利求解，必須要掌握各個(gè)模型的本質(zhì)特征，從而準(zhǔn)確地識(shí)模用模.

2 熟識(shí)統(tǒng)計(jì)圖表

圖表可以直觀呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，為此在統(tǒng)計(jì)分析時(shí)自然離不開圖表.識(shí)圖用圖也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，對(duì)于識(shí)圖，要具備能夠從不同圖表中提取重要信息的能力；對(duì)于用圖，學(xué)生要明晰圖表的功能，以便結(jié)合實(shí)際問題選擇合適的圖表，將使雜亂無章的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為可視化的圖表，進(jìn)而使問題變得更加直觀明了.

例2? 某加工廠計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)新機(jī)器，該機(jī)器的使用壽命為3年.機(jī)器上有一個(gè)零件極易破損，為此在購(gòu)買新機(jī)器時(shí)可以同時(shí)購(gòu)買一些易破損零件備用.若在購(gòu)買新機(jī)器時(shí)同時(shí)購(gòu)買，該零件每個(gè)只需200元，否則每個(gè)500元.為了尋求最佳的購(gòu)買方案，該廠搜集并整理了100臺(tái)同樣型號(hào)機(jī)器3年內(nèi)更換零件個(gè)數(shù)（如圖1）.

以100臺(tái)機(jī)器更換該零件的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換該零件的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器3年內(nèi)共更換該零件的個(gè)數(shù)，n表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器時(shí)購(gòu)買該零件的個(gè)數(shù).

（1）求X的分布列；

（2）若要求P（X≤n）≥0.5，確定n的最小值.

解析：由圖1可知，1臺(tái)機(jī)器在3年內(nèi)更換的易損零件數(shù)分別為8，9，10，11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2.令x1表示第一臺(tái)機(jī)器3年內(nèi)更換易損零件個(gè)數(shù)，x2表示第二臺(tái)機(jī)器3年內(nèi)更換易損零件個(gè)數(shù)，則兩臺(tái)計(jì)機(jī)器3年更換該零件個(gè)數(shù)如表1所示：

表1

x1

x2

891011

8（8，8）（8，9）（8，10）（8，11）

9（9，8）（9，9（9，10）（9，11）

10（10，8）（10，9（10，10）（10，11）

11（11，8）（11，9（11，10）（11，11）

這樣結(jié)合表1，可得7種不同的結(jié)果.根據(jù)頻數(shù)易得P（X=16）=P（x1=8）P（x2=8）=0.2×0.2=0.04；P（X=17）=P（x1=9）P（x2=8）+P（x1=8）＼5P（x2=9）=2×0.2×0.4=0.16.同理可得

P（X=18）=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;

P（X=19）=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;

P（X=20）=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;

P（X=21）=2×0.2×0.2=0.08;

P（X=22）=0.2×0.2=0.04.

于是，可得X分布列如表2所示：

表2

X16171817202122

P0.040.160.240.240.20.080.04

（2）由表2可知，P（X≤18）=0.44，P（X≤19）=0.68，故滿足P（X≤n）≥0.5的n的最小值為19.

由此可見，例2的兩個(gè)問題主要考查了學(xué)生識(shí)圖和用圖的能力，利用圖表逐漸將問題向簡(jiǎn)單化和直觀化轉(zhuǎn)化，大大提升了解題效率.

3 分解復(fù)雜事件

解決復(fù)雜事件時(shí)，一般先將事件字母化，即用字母A，B，C，Ai，Bj，Ck等表示所涉事件；然后將事件簡(jiǎn)單化，即將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和或先求對(duì)立事件的概念，再運(yùn)用公式求解.這樣將問題逐漸簡(jiǎn)單化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的重要應(yīng)用.

例3? 質(zhì)檢部針對(duì)某批出口產(chǎn)品制訂如下檢測(cè)方案：優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記作n.

先從這批產(chǎn)品中任取4件進(jìn)行檢驗(yàn)，這4件中符合以下兩種情況可以通過檢測(cè).第一種情況：若n=4，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任意一件，若為優(yōu)質(zhì)品，則通過檢測(cè)；第二種情況：若n=3，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任抽4件進(jìn)行檢測(cè)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則通過檢測(cè).假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率為50%，求這批產(chǎn)品通過檢測(cè)的概率.

解析：首先將事件字母化.

A1=“第一次任取4件產(chǎn)品中，n=3”；

B1=“第一次任取4件產(chǎn)品中，n=4”；

B2=“第二次任取的4件產(chǎn)品都為優(yōu)質(zhì)品”；

C2=“第二次任取1件為優(yōu)質(zhì)品”；

D=“通過檢測(cè)”.

易得D=（A1B2）∪（B1C2），A1B2與B1C2互斥，A1與B2，B1與C2相互獨(dú)立，任取4件產(chǎn)品中的優(yōu)質(zhì)品件數(shù)服從二項(xiàng)分布.分析至此，問題可以迎刃而解.

在解題時(shí)不要急于求成，要根據(jù)已知條件進(jìn)行逐層解讀，逐層分析，進(jìn)而將復(fù)雜事件逐漸向簡(jiǎn)單事件轉(zhuǎn)化，這樣可以應(yīng)用計(jì)算公式輕松求解問題.

另外，數(shù)據(jù)處理也是學(xué)好概率與統(tǒng)計(jì)所必備的關(guān)鍵能力，其一般要經(jīng)過收集、整理、提取、建模等過程，綜合性更強(qiáng)，然限于篇幅，對(duì)于數(shù)學(xué)處理就不再詳細(xì)闡述.總之，基于核心素養(yǎng)的概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)，有助于幫助學(xué)生走出教考困境，有助于培養(yǎng)學(xué)生的核心競(jìng)爭(zhēng)力，有助于學(xué)生綜合學(xué)力的全面提升.