葉巧卡

數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)由于思考角度不同，有多種定義.其一認(rèn)為，數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)就是學(xué)習(xí)者對(duì)所學(xué)知識(shí)的正反兩個(gè)方面的思考過(guò)程，是對(duì)知識(shí)的全面認(rèn)識(shí)和思考；其二認(rèn)為，數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)就是學(xué)生自覺(jué)主動(dòng)地對(duì)自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為、方法以及由此產(chǎn)生的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行的審視和調(diào)控.我國(guó)著名的心理學(xué)專(zhuān)家林崇德教授認(rèn)為，一個(gè)學(xué)習(xí)好的學(xué)生，應(yīng)該是善于反思學(xué)習(xí)的學(xué)生.波利亞說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅是一半，更重要的是解題之后的回顧.” 反思是學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)的重要環(huán)節(jié)，同時(shí)也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)水平的關(guān)鍵.

本文中針對(duì)學(xué)生存在的下面四類(lèi)典型問(wèn)題——基礎(chǔ)知識(shí)問(wèn)題、運(yùn)算問(wèn)題、綜合能力問(wèn)題、考試心理問(wèn)題，分別提出了不同的、具體的反思學(xué)習(xí)策略，從而提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解并培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的技能.下面按照?qǐng)D1所示的流程進(jìn)行闡述.

1 針對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)問(wèn)題的反思學(xué)習(xí)策略

基礎(chǔ)知識(shí)問(wèn)題主要指學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解不到位，記憶模糊不清，錯(cuò)在粗心大意或是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握不扎實(shí).造成這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念，以及相似或相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)等不清楚或記憶模糊.

1.1 教師層面

首先，在教學(xué)中可以通過(guò)簡(jiǎn)化概念、圖像化表達(dá)、聯(lián)系已知概念、舉例說(shuō)明、重點(diǎn)標(biāo)注、引導(dǎo)學(xué)生思考等手段，促使學(xué)生更加牢固地掌握基礎(chǔ)知識(shí).

其次，要善于根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，準(zhǔn)確把握易錯(cuò)點(diǎn)，并采取得力措施，如對(duì)易混淆易錯(cuò)的概念進(jìn)行比較對(duì)照、反復(fù)強(qiáng)調(diào)、反復(fù)梳理等，加強(qiáng)對(duì)易錯(cuò)易混知識(shí)點(diǎn)的教學(xué).

再次，有意識(shí)將學(xué)生的練習(xí)、作業(yè)或各類(lèi)考試中出現(xiàn)的問(wèn)題暴露出來(lái)，與學(xué)生一起分析導(dǎo)致知識(shí)缺漏、思維障礙的原因，避免無(wú)意識(shí)地再次犯錯(cuò).

最后，對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)問(wèn)題總是出錯(cuò)的學(xué)生，可以引導(dǎo)他們多重視課本基本概念和基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)和記憶.

這樣在教師的經(jīng)常引導(dǎo)下，學(xué)生能夠真正投入到課堂學(xué)習(xí)中，逐步形成較強(qiáng)的反思能力，減少低級(jí)錯(cuò)誤的產(chǎn)生，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提高.

例如，在一次考試中有下面這道題：

西梅以“梅”為名，實(shí)際上不是梅子，而是李子，中文正規(guī)名叫“歐洲李”，素有“奇跡水果”的美譽(yù).因此，每批西梅進(jìn)入市場(chǎng)之前，會(huì)對(duì)其進(jìn)行檢測(cè).現(xiàn)隨機(jī)抽取了10箱西梅，其中有4箱測(cè)定為一等品.

（1）現(xiàn)從這10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；

（2）以這10箱的檢測(cè)結(jié)果來(lái)估計(jì)這一批西梅的情況，若從這一批西梅中隨機(jī)抽取3箱，記X表示抽到一等品的箱數(shù)，求X的分布列和期望.

本題12分，但整個(gè)年級(jí)學(xué)生的平均分只有5.9分，大大低于預(yù)期.筆者針對(duì)本題進(jìn)行了如下反思：

分析原因：原因是學(xué)生理解錯(cuò)誤，把第（2）問(wèn)看成了超幾何分布，事實(shí)是二項(xiàng)分布.為什么會(huì)這樣？其實(shí)是學(xué)生對(duì)這兩種分布的本質(zhì)沒(méi)有理解透徹.

辨析實(shí)質(zhì)：如何才能讓學(xué)生清晰地理解和掌握二項(xiàng)分布與超幾何分布的本質(zhì)區(qū)別呢？筆者作了如下講解.

首先，對(duì)比兩種分布的概念，以幫助學(xué)生更好地理解它們.接下來(lái)，幫助學(xué)生明確它們的本質(zhì)區(qū)別：

超幾何分布可以看作是古典概型，它涉及從總體中不放回地抽取 m 個(gè)元素，總體中一共有 n 個(gè)元素.這意味著每次抽取都會(huì)減少總體數(shù)量.

二項(xiàng)分布則是由 n 個(gè)相互獨(dú)立的兩點(diǎn)分布組成，每個(gè)兩點(diǎn)分布都有相同的成功概率.在題目中，關(guān)鍵詞通常包括“以頻率作為概率”或者“使用樣本來(lái)估計(jì)總體”，以及“從大量不明確總數(shù)的產(chǎn)品中進(jìn)行抽取”.此外，這個(gè)分布也涉及到有放回的抽樣和相互獨(dú)立事件.

總之，離散型隨機(jī)變量分布列問(wèn)題的關(guān)鍵在于仔細(xì)審題，捕捉關(guān)鍵詞，以確定使用哪種分布類(lèi)型來(lái)解答.最后，通過(guò)多個(gè)實(shí)際例子幫助學(xué)生判斷上述問(wèn)題是使用超幾何分布還是二項(xiàng)分布來(lái)解決，從而更清晰地區(qū)分這兩種分布.

1.2 學(xué)生層面

首先，學(xué)生需要重視基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)和對(duì)知識(shí)的深刻理解.這可以通過(guò)深入閱讀教材，真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，確?；竟胶投ɡ砝斡浻谛?

其次，最好能自己仔細(xì)演繹一遍，以強(qiáng)化記憶和理解.同時(shí)，重做錯(cuò)誤的練習(xí)題是一個(gè)有益的反思過(guò)程.

最后，通過(guò)反復(fù)學(xué)習(xí)和反思，建立起知識(shí)體系.通過(guò)重新解答做錯(cuò)的問(wèn)題并認(rèn)真分析反思，可以找出學(xué)習(xí)行為或思維方式上的問(wèn)題，從而不斷提高學(xué)習(xí)能力.只有掌握了知識(shí)，才能真正掌握學(xué)習(xí)的本領(lǐng).

2 針對(duì)運(yùn)算問(wèn)題的反思學(xué)習(xí)策略

學(xué)生最常見(jiàn)的問(wèn)題是出在數(shù)學(xué)運(yùn)算上，他們通常將自己的運(yùn)算錯(cuò)誤歸因于粗心，然而實(shí)際上，這些錯(cuò)誤更常源于他們對(duì)公式的錯(cuò)誤記憶或者未正確選擇適當(dāng)?shù)挠?jì)算方法，更深層次的問(wèn)題在于他們對(duì)數(shù)學(xué)法則、公式等缺乏真正的理解，甚至可能因?yàn)樽孕小皠?chuàng)造”公式等原因而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

2.1 教師層面

首先，可以幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，通過(guò)準(zhǔn)確記憶與計(jì)算相關(guān)的公式，特別是那些具有規(guī)律性的公式，例如三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可借助簡(jiǎn)單的口訣來(lái)幫助記憶，從而更好地運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算.

其次，教師可以幫助學(xué)生通過(guò)課本的脈絡(luò)將那些規(guī)律性的公式聯(lián)系起來(lái)，以便更好地記憶和應(yīng)用它們.對(duì)于規(guī)律不那么明顯的公式，可以通過(guò)在日常教學(xué)中多次運(yùn)用、回顧、整理和強(qiáng)化記憶來(lái)幫助學(xué)生記憶和應(yīng)用.

再次，定期對(duì)學(xué)生進(jìn)行公式默寫(xiě)檢查也是一種有效的方法.

最后，進(jìn)行專(zhuān)題訓(xùn)練，特別是在學(xué)生掌握得不夠好的領(lǐng)域進(jìn)行限時(shí)練習(xí)，可以幫助他們提高解題熟練度，如練習(xí)對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算等.

另外，良好的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力需要學(xué)生具備一定的邏輯思維能力，因此，可鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)分析來(lái)深化對(duì)公式的理解，從而提高邏輯思維水平，進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

2.2 學(xué)生層面

首先，學(xué)生應(yīng)當(dāng)重視數(shù)學(xué)的基本知識(shí)、核心技能和基本思想方法的學(xué)習(xí).

其次，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與課堂總結(jié)或問(wèn)題反思，以便他們整理每堂課所掌握的知識(shí)、方法和技巧，并在這一過(guò)程中思考自身的收獲和不足之處，這有助于鞏固他們的學(xué)習(xí)成果.

最后，建議學(xué)生在每次考試后進(jìn)行深入的自我反思，包括考試狀態(tài)、犯過(guò)的錯(cuò)誤以及學(xué)到的知識(shí)，以總結(jié)解題思路.

通過(guò)這樣的反思過(guò)程，學(xué)生能夠不斷鞏固所學(xué)內(nèi)容，提高課堂學(xué)習(xí)效率，增強(qiáng)綜合能力，并降低運(yùn)算錯(cuò)誤的發(fā)生率.

3 針對(duì)綜合能力問(wèn)題的反思學(xué)習(xí)策略

綜合能力問(wèn)題意味著學(xué)生可能已經(jīng)掌握了一定的基礎(chǔ)知識(shí)，但他們?cè)谶\(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題時(shí)存在一些不足之處.他們的思維方式相對(duì)單一，不具備辯證性，缺乏對(duì)問(wèn)題的多角度思考，難以靈活應(yīng)對(duì)新問(wèn)題.通常情況下，學(xué)生可以解決老師已經(jīng)講過(guò)的題目，但問(wèn)題一旦稍有變化，他們還是會(huì)堅(jiān)持老師所講題目的解題思路，缺乏變通性，陷入定勢(shì)思維，難以應(yīng)對(duì)新問(wèn)題.最近幾年的數(shù)學(xué)高考題再次表明：日常教學(xué)中僅僅側(cè)重于訓(xùn)練解題速度和解題數(shù)量，而不注重培養(yǎng)學(xué)生自主思考能力是不夠的.

3.1 教師層面

首先，教師可以采用多樣化的方法，例如提供不同形式的練習(xí)或變式問(wèn)題，以便學(xué)生獲得更多的體驗(yàn)和理解，從而培養(yǎng)他們的聯(lián)想和批判思維能力.

其次，重點(diǎn)總結(jié)各種題型，特別是那些重要的題型.實(shí)際上，不論什么題型，都存在一般的解題思路和方法.只要學(xué)生熟練掌握某類(lèi)題型的解答要領(lǐng)，并能仔細(xì)分析特定題目的特點(diǎn)，就能夠有效地解答這類(lèi)問(wèn)題.

再次，通過(guò)反復(fù)練習(xí)類(lèi)似的錯(cuò)題，學(xué)生可以逐漸形成舉一反三的能力，提高解題的靈活性和創(chuàng)造力，并時(shí)刻獲得新的見(jiàn)解，從而提高思維能力.

最后，采用多種方法和手段，通過(guò)比較、總結(jié)和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，幫助學(xué)生更深入地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，提高他們的綜合能力水平.

學(xué)生的思考方式不會(huì)與標(biāo)準(zhǔn)答案完全相同，但如果能夠培養(yǎng)學(xué)生的自我反思能力，根據(jù)自己的想法尋找合適的解題思路，然后結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)答案進(jìn)行修正，學(xué)習(xí)效果將會(huì)顯著提高.

3.2 學(xué)生層面

首先，對(duì)于學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的計(jì)算錯(cuò)誤或復(fù)雜的問(wèn)題，建議他們創(chuàng)建一個(gè)“學(xué)習(xí)反思記錄”，用以審視并修正錯(cuò)誤.在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生難免會(huì)遇到不會(huì)或答錯(cuò)的問(wèn)題，特別是那些經(jīng)典難題.通過(guò)對(duì)這些問(wèn)題的訂正和深刻反思，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤背后的原因，并通過(guò)糾正這些錯(cuò)誤來(lái)彌補(bǔ)自己的數(shù)學(xué)知識(shí)漏洞，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更為深入，朝向深度學(xué)習(xí)邁進(jìn).

其次，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行問(wèn)題的不同變式練習(xí)，因?yàn)樽兪街g常常存在看似相似但又稍有變化的關(guān)系，這將激發(fā)學(xué)生從更加靈活的角度來(lái)分析和研究問(wèn)題.

最后，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)對(duì)經(jīng)典數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行適度的調(diào)整和改編，使他們能夠全面經(jīng)歷問(wèn)題的演變和發(fā)展過(guò)程，從而提升知識(shí)的遷移能力.

例如，有一次在班級(jí)答疑群里學(xué)生甲提出課本（人教A版）必修一第155頁(yè)第7題“設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx+c （a>0，b，c∈R），且f（1）=－0.5a，求證：函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)”想不到怎么做，按照常規(guī)思路，若f（0）f（2）<0則可得到函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，可是好像沒(méi)法證明，如果有兩個(gè)零點(diǎn)就更復(fù)雜了.

數(shù)學(xué)科代表回答：由f（1）= －0.5a可得到a+b+c=－0.5a， 即3a+2b+2c=0，則 f（0）+f（2）=c+4a+2b+c=（3a+2b+2c）+a=a>0， 因此f（0）與f（2）至少一個(gè)大于0，又f（1）<0，由零點(diǎn)存在性定理可得到結(jié)論.

學(xué)生甲看到科代表的解答后反問(wèn)，怎么想到這么巧妙的解法？科代表回答：為了充分利用已知條件.

學(xué)生甲覺(jué)得想不到這樣巧妙的思路，然后自己經(jīng)過(guò)反復(fù)思考，對(duì)比各種情況，他從結(jié)論出發(fā)，得到了如下思路：

因?yàn)閒（1）<0，所以取兩種很容易想到且符合在（0，2）上有零點(diǎn)的情況：如圖2，根據(jù)事件A，B分別取A的對(duì)立事件A：x1≤0， B的對(duì)立事件B：x2≥2.

A：0＜x1

A：x1≤0

B：x＜2

B：x≥2

分類(lèi)的方法：先取符合條件的個(gè)別情況（簡(jiǎn)單易想到的），再取對(duì)立事件，組合起來(lái).用AB，AB，AB，AB可表示所有情況.其中AB，AB，AB符合（0，2）上有零點(diǎn)；AB+AB推出滿(mǎn)足f（0）>0，即可得到c>0; AB即A：f（0）≤0c≤0，且B：f（2）≥04a+2b+c≥0，又結(jié)合f（1）= －0.5a，推出a-c≥0（當(dāng)c≤0時(shí)，又有a>0，即a≥c是肯定的）.綜上，c∈R，都只能有AB，AB，AB中的一種情況，即只能有（0，2）上存在零點(diǎn)的情況，證畢.

學(xué)生甲成功解決了問(wèn)題，并得出了結(jié)論，即通過(guò)答案提示了零點(diǎn)存在的兩種情況，然后倒推常規(guī)分析方法.有時(shí)我們可能不會(huì)立刻想到巧妙的思路，但如果繪制函數(shù)的圖象，可以更好地幫助我們理解問(wèn)題的構(gòu)思.只要滿(mǎn)足f（1）<0，同時(shí)否定f（0）<0和f（2）<0的條件，就可以得出答案.當(dāng)然，對(duì)于條件3a+2b+2c=0，需要充分加以利用.引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)常進(jìn)行自我反思，按照自己的想法探索解題思路，然后與標(biāo)準(zhǔn)答案進(jìn)行對(duì)比，將會(huì)提高學(xué)習(xí)效果.

4 針對(duì)考試心理問(wèn)題的反思學(xué)習(xí)策略

考試心理問(wèn)題是指學(xué)生在考試環(huán)境中面對(duì)陌生問(wèn)題或難題時(shí)，可能會(huì)感到焦慮，難以集中注意力，思維變得混亂，反應(yīng)速度減慢.這種情況通常與情緒緊張和心態(tài)失衡有關(guān)，尤其在重要考試時(shí)，這種問(wèn)題可能更加顯著，而在平時(shí)則可能不會(huì)出現(xiàn).出現(xiàn)這一問(wèn)題的原因是多方面的，包括學(xué)生可能對(duì)數(shù)學(xué)感到擔(dān)憂(yōu)，長(zhǎng)期以來(lái)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握可能不夠牢固，導(dǎo)致在考試環(huán)境中難以保持平常的冷靜，從而影響他們?cè)诳荚囍械谋憩F(xiàn).

4.1 教師層面

首先，與學(xué)生積極互動(dòng)，表現(xiàn)出對(duì)他們的關(guān)心.通過(guò)評(píng)估學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，深入了解他們?cè)诓煌矫嬗龅降膯?wèn)題，特別是在考試過(guò)程中，包括草稿紙的使用等方面的問(wèn)題.根據(jù)不同情況提供相應(yīng)的解決方法.

其次，強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生解題的規(guī)范性和準(zhǔn)確性，因?yàn)檎_而規(guī)范的解答可以顯著減少錯(cuò)誤.在日常作業(yè)中要求學(xué)生嚴(yán)格遵守解題的規(guī)范性，以提高解題速度和準(zhǔn)確度.

其次，每次考試后，詳細(xì)分析學(xué)生的問(wèn)題，鼓勵(lì)他們自己總結(jié)和分析.可以將典型問(wèn)題整理成案例或課件，供學(xué)生查閱，幫助他們更好地理解易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn).

最后，盡最大努力支持學(xué)生，包括定期輔導(dǎo)、答疑，以提高他們的信心.只有堅(jiān)持不懈的努力才能取得更好的學(xué)習(xí)效果.

現(xiàn)代科技的發(fā)展也為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了巨大幫助，例如智學(xué)網(wǎng)等應(yīng)用程序可以幫助教師迅速評(píng)估學(xué)生的答題情況，及時(shí)提供反饋，有助于區(qū)分個(gè)別問(wèn)題和共性問(wèn)題，以決定是否需要進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo)或全班講評(píng).

4.2 學(xué)生層面

首先，學(xué)生應(yīng)重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，每日投入充足時(shí)間來(lái)鞏固基礎(chǔ)知識(shí).

其次，在非智力因素方面，平時(shí)的訓(xùn)練和培養(yǎng)至關(guān)重要.將一般性考試視為時(shí)間管理和情緒控制的練習(xí)場(chǎng)，努力克服焦躁情緒，提高自信心，以保持情緒穩(wěn)定.

最后，每周的定時(shí)練習(xí)應(yīng)設(shè)置時(shí)間限制，力求在兩小時(shí)內(nèi)完成.考試時(shí)要明智地規(guī)劃時(shí)間，逐步提高解答“選擇、填空和解答題”的速度.只有通過(guò)漸進(jìn)的量變，才能實(shí)現(xiàn)質(zhì)的飛躍.堅(jiān)持不懈才能看到顯著的效果.

一些學(xué)生已經(jīng)總結(jié)出，每當(dāng)他們完成一道數(shù)學(xué)題后，重新審視題目，總能夠發(fā)現(xiàn)一些常犯錯(cuò)誤，這對(duì)于在考試中避開(kāi)陷阱非常有幫助.此外，還有學(xué)生對(duì)一道關(guān)鍵性的問(wèn)題進(jìn)行了詳盡的反思，寫(xiě)下了兩頁(yè)的思考，從中獲得了深刻的理解和領(lǐng)悟.這些都是學(xué)生通過(guò)反思性學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)問(wèn)題中所獲得的成果.

總而言之，通過(guò)針對(duì)典型問(wèn)題的反思性學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生批判性思維技能.學(xué)生通過(guò)從錯(cuò)誤中反思、探究和吸取教訓(xùn)，從失敗中找出原因，養(yǎng)成反思學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，從而不斷提高解題能力和創(chuàng)造性思維能力.