顧文銀

1 問(wèn)題的提出

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的邏輯起點(diǎn)，是激發(fā)與升華數(shù)學(xué)思維的保障，也是培養(yǎng)多種核心素養(yǎng)的重要載體.數(shù)學(xué)教育教學(xué)領(lǐng)域十分關(guān)注數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略問(wèn)題的探討和研究.可見(jiàn)，以核心素養(yǎng)為指導(dǎo)進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)是值得深思的.本文給出了“曲線和方程”這一節(jié)課新教學(xué)設(shè)計(jì)下的具體實(shí)踐，并提出了核心素養(yǎng)指導(dǎo)下概念教學(xué)的一些思考.

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 問(wèn)題前置，創(chuàng)境引思

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了解析幾何的一些知識(shí)，如“直線與圓的方程”.那么，大家知道哪位數(shù)學(xué)家被稱(chēng)為解析幾何之父嗎？

生（齊）：笛卡兒.

師：很好，讓我們一起來(lái)一場(chǎng)與他的“親密接觸”?。ㄕn件展示：數(shù)學(xué)的兩大分支“代數(shù)”與“幾何”完美結(jié)合成為解析幾何，通過(guò)二者的相互結(jié)合、相互促進(jìn)，它們一改往日的緩慢進(jìn)展，變得愈發(fā)迅猛，最終向著完美的方向前進(jìn)，這樣偉大的貢獻(xiàn)源于——笛卡兒.由于他對(duì)數(shù)學(xué)事業(yè)的杰出貢獻(xiàn)，產(chǎn)生了以他名字命名的“笛卡兒坐標(biāo)系”.）

師：笛卡兒坐標(biāo)系有哪些？

生1：平面直角坐標(biāo)系.

師（追問(wèn)）：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如何？

生（齊）：一一對(duì)應(yīng).

師：若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)成了曲線，是否還有方程與曲線對(duì)應(yīng)？又該如何去求這樣的方程的呢？（學(xué)生若有所思.）

師（拾級(jí)而上）：今天就讓我們一起來(lái)研究這些問(wèn)題.（板書(shū)課題.）

設(shè)計(jì)意圖：課堂引入的形式多樣，從數(shù)學(xué)史角度引出新課題是其中的一種，形象生動(dòng).學(xué)生似懂非懂，此時(shí)最能激起思維的浪潮，激發(fā)探索的熱情，感悟理解新知的實(shí)際意義.

2.2 初步探索，形成感知

問(wèn)題1? 如圖1，方程x-y=0，|x|-|y|=0，x-y=0中表示第一、三象限的角平分線的有哪些？為什么？

生2：方程x-y=0可以，其余均不可以.

師：理由呢？

生2：方程|x|-|y|=0，即方程y=±x，它對(duì)應(yīng)的圖形即為兩條直線（見(jiàn)圖2），對(duì)照?qǐng)D1，多出了一部分，所以不可以；方程x-y=0，即方程y=x（x≥0），它對(duì)應(yīng)的圖象即為一條射線（見(jiàn)圖3），對(duì)照?qǐng)D1，又缺失了一部分，所以也不可以；而方程x-y=0所對(duì)應(yīng)圖象恰好就是表示第一、三象限的角平分線.

生3：點(diǎn)集.

師：很好！那圖3中，射線上的點(diǎn)與方程x-y=0的解又是什么樣的關(guān)系呢？

生4：一一對(duì)應(yīng).

師：我們將A視為直線上點(diǎn)的集合；B視為以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集合，那么問(wèn)題1中各個(gè)方程的集合B與集合A的關(guān)系如何？

生5：“x-y=0”是“A=B”；“|x|-|y|=0”是“AB”；“x-y=0”是“BA”.

師：還能再精確些嗎？

生6：“x-y=0”是“A=B”；“|x|-|y|=0”是“AB”；“x-y=0”是“BA”.

師：真棒！那么，從直線上點(diǎn)與方程解的對(duì)應(yīng)關(guān)系的視角該如何闡釋呢？

生6：以方程x-y=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)均在直線上……

師：可以如此精確而全面地闡述，真是太棒了！現(xiàn)在思考“方程表示直線的條件”，誰(shuí)能試著歸納？

生7：方程表示直線的條件——以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)均在直線上；直線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)均為方程的解.簡(jiǎn)記為“方程→直線，直線→方程”.（其余學(xué)生被生7的一番闡述所震驚，有贊同，有欽佩，有驚嘆.）

師：生7在歸納條件的基礎(chǔ)上還能進(jìn)行提煉，太妙了，充分展示了他的探索力和創(chuàng)造力！來(lái)，掌聲送給他！（此時(shí)，如雷鳴般的掌聲響起……）

問(wèn)題2? 試著畫(huà)出方程x=1-y2（y≥0）所對(duì)應(yīng)的曲線.

師：誰(shuí)來(lái)試一試？（有學(xué)生自告奮勇板演出圖4.）

師：是個(gè)半圓，為什么呢？

生8：由x=1-y2（y≥0），得出x2+y2=1（y≥0），所以它對(duì)應(yīng)的圖形是個(gè)半圓.

師：似乎有點(diǎn)道理.真的是半圓嗎？（學(xué)生開(kāi)始小聲討論，有的陷入沉思.）

生8：我想到了，不對(duì)！方程x=1-y2（y≥0）中實(shí)則還包含了隱含條件x≥0，所以可得x2+y2=1（x≥0，y≥0），它對(duì)應(yīng)的圖形應(yīng)該是四分之一圓，如圖5所示.

師（追問(wèn)）：你能基于“方程的解與圓弧上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系”的視角，具體說(shuō)一說(shuō)圖4不可以而圖5可以的原因嗎？

生8：圖4滿足“方程→圓弧”，但不滿足“圓弧→方程”；而圖5兩個(gè)方向均滿足.（學(xué)生都點(diǎn)頭贊同生8的觀點(diǎn).）

師：那我們?cè)賮?lái)思考“圓弧表示方程所對(duì)應(yīng)的曲線的條件”，誰(shuí)來(lái)歸納？

生9：圓弧表示方程所對(duì)應(yīng)的曲線的條件是“方程→圓弧、圓弧→方程”均滿足.

設(shè)計(jì)意圖：“曲線與方程”是學(xué)生比較陌生的概念，不易與生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)接.像這樣的概念教學(xué)，我們只有通過(guò)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)搭橋引路，采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的方式，通過(guò)解析幾何中最為核心的兩個(gè)問(wèn)題來(lái)達(dá)成曲線與方程的雙向研究，讓學(xué)生在深度學(xué)習(xí)中獲得初步感知，為之后的生成提供有效助力.

2.3 深入探究，有效生成

問(wèn)題3? 在問(wèn)題1和2的基礎(chǔ)之上，進(jìn)一步思考：

（1）若用方程f（x，y）=0表示給定的曲線C，則該方程需滿足哪些條件？

（2）若用一條曲線C表示給定的方程f（x，y）=0，則該曲線需滿足哪些條件？

師：根據(jù)你們剛才探索獲得的理解，解決問(wèn)題3.先獨(dú)立思考，再小組交流你是怎么想的，5分鐘后展示你的想法.（學(xué)生自然進(jìn)行思考和討論.）

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)呢？

生10：在第（1）問(wèn)中，方程需要滿足2個(gè)條件，即“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)均在曲線上”“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)均為方程的解”.

生11：在第（2）問(wèn)中，曲線需要滿足2個(gè)條件，即“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)均在曲線上”和“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)均為方程的解”.

師：非常好！（課件呈現(xiàn)具體概念.）

師（追問(wèn)）：這個(gè)概念中兩個(gè)條件可以去掉一個(gè)嗎？概念中的“能”可以去掉嗎？

生12：不可以，兩個(gè)條件缺一不可.“能”字也不能去掉，它代表無(wú)一例外.

師：我們將A視為曲線上的點(diǎn)所構(gòu)成的集合；B視為以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)所構(gòu)成的集合，請(qǐng)闡述這兩個(gè)條件所對(duì)應(yīng)的集合A，B的關(guān)系.

生（齊）：條件1表示AB；條件2表示BA.

師：概念中條件1、條件2同時(shí)成立，表示什么？

生13：A=B.

師：方程f（x，y）=0的解與曲線C上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).曲線C的方程即為f（x，y）=0，我們也可以說(shuō)曲線f（x，y）=0.

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性是毋庸置疑的，因而概念的敘述也需準(zhǔn)確精煉，所以概念的論述需要步步有依據(jù)且簡(jiǎn)潔明了.在以上設(shè)計(jì)中，學(xué)生通過(guò)從具體到抽象的學(xué)習(xí)，能夠獲得概念的內(nèi)化，水到渠成地生成概念，同時(shí)可以很好地孕育抽象概括能力與創(chuàng)造性思維能力.

2.4 小試牛刀，鞏固提升（略）

2.5 課堂小結(jié)，總結(jié)提升（略）

3 教學(xué)評(píng)析與思考

3.1 基于“生本理念”，設(shè)計(jì)適切問(wèn)題

基于“生本理念”，就是很好地關(guān)注學(xué)生已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容的有機(jī)聯(lián)系，設(shè)計(jì)適切的問(wèn)題，激蕩學(xué)生的探究之情.本課的導(dǎo)入中通過(guò)一位數(shù)學(xué)家的故事將以前學(xué)過(guò)的“點(diǎn)與坐標(biāo)的關(guān)系”和即將要學(xué)的“曲線與方程的關(guān)系”聯(lián)系在一起，從一個(gè)較高的角度讓學(xué)生體驗(yàn)和感知“數(shù)形結(jié)合”的魅力，自然而然地從已有知識(shí)區(qū)域向著四周發(fā)散開(kāi)去，就這樣，新的發(fā)展區(qū)域水到渠成地出現(xiàn)了.顯然，這樣的問(wèn)題導(dǎo)入不僅有趣，也是高效的.

3.2 基于“三個(gè)理解”，準(zhǔn)確實(shí)施教學(xué)

數(shù)學(xué)教師不僅需要傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，還需要將數(shù)學(xué)意識(shí)與數(shù)學(xué)思想傳授給學(xué)生，需要從學(xué)生的認(rèn)知心理、智能水平和學(xué)習(xí)需求出發(fā)，基于“三個(gè)理解”準(zhǔn)確定位和實(shí)施教學(xué)，讓學(xué)生沉浸于教師營(yíng)造的探索環(huán)境之中，通過(guò)自己的想象、思考、實(shí)踐、表達(dá)去主動(dòng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、生成知識(shí)、體驗(yàn)成功，最終培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).